Sở giáo dục& đào tạo Hà Nam Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi toán lớp 9 thcs năm học 2008-2009 (dự bị) Bài 1 (5 điểm) a) Điều kiện: x > 0; y > 0; xy 1 0,5 Đặt M = xy x x 1 1 xy 1 1 xy + + + + + N = xy x x 1 1 xy 1 xy 1 + + + A = M : N M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 x xy xy x xy xy xy xy xy + + + + + + + 0,5 = ( ) ( ) 1 1 1 1 x x y xy xy xy x y x xy xy xy + + + + + + + 0,25 = ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 x xy xy + + = ( ) 2 1 1 x xy + 0,5 N = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 xy xy xy x xy x xy xy + + + + 0,5 = 1 1 1 xy xy xy x y x x y x xy xy + + 0,25 = ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 xy x xy x xy xy + + = 0.5 ( ) ( ) 2 1 2 1 1 : 1 1 x xy x A xy xy xy + + = = 0,5 b) Theo bất đẳng thức côsi ta có: 1 1 1 1 1 2 . 2 2 3+ = = A A x y x y xy 1,0 Vậy A max =9 1 1 1 3 9 x y x y = = = = 0,5 Bài 2 (4 điểm) a) Với m = -1, từ (*) ta có phơng trình: (x+1) 4 + 2(x+1) 2 3 = 0 Đặt (x+1) 2 = y (y > 0). Ta có phơng trình: y 2 + 2y - 3 = 0 y 1 =1; y 2 = -3 (loại) 0,5 Vậy (x+1) 2 =1 x(x+2) = 0 x = 0 hoặc x = -2 0,5 b) Đặt t = (x+1) 2 , (t 0) ta có phơng trình: t 2 - (m-1)t - m 2 + m - 1 = 0 (**) = ( ) ( ) 2 2 1 4 1m m m + = 2 5 6 5m m + = 2 5 16 5 m 3 5 + ữ 0,5 > 0 với mọi m 0,25 c a =-m 2 +m-1<0 với mọi m. Suy ra phơng trình (**) có 2 nghiệm trái dấu 0,5 Vậy phơng trình (**) luôn có một nghiệm dơng với mọi m. Do đó phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt 0,25 c) Ta luôn có đẳng thức 1 2 1 2 + +x x x x , với mọi m 0,25 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1 2 0x x mà giả thiết cho 1 2 1 2 1 2 2x x x x x x+ = + = + 0,25 Vậy ta có 1 2 0x x 0,25 Từ việc đặt t= ( ) 2 2 1 2 1 0x x x t+ + + = . Phơng trình này có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi 1 0 1 c t t a = 0,25 Ta biết nghiệm dơng của phơng trình (**) là: 2 2 1 5 6 5 1 5 6 5 3 2 m m m t m m m + + = + 0,25 điều kiện 3m , bình phơng hai vế ta có: 5m 2 - 6m+5 9 - 6m + m 2 4m 2 4 1m 0,25 Câu 3 (3 điểm) Gọi giá hai loại vở là x (nghìn đồng) và y (nghìn đồng) , giả sử x > y Số vở loại giá x (nghìn đồng) mà An, Bình, Cẩm mua tơng ứng là a, b, c 0,25 Ta có: (12 ) 50 ( ) 12 50 (14 ) 50 ( ) 14 50 (16 ) 50 ( ) 16 50 xa y a x y a y xb y b x y b y xc y c x y c y + = + = + = + = + = + = 0,75 Vì x-y > 0 nên từ phơng trình (3) ta có 16y < 50. suy ra y < 4 0,25 1. Nếu y=1 thì từ (1) và (2) cho 38 36 a b = suy ra a chia hết cho 19, vô lý vì a 12 0,25 2. Nếu y = 2 thì (1) và (2) cho 26 22 a b = Suy ra a chia hết cho 13, vô lý vì a 12 0,25 3. Nếu y = 3 thì từ (1) cho x-y = 14 a . Suy ra x-y 14 12 Từ (3) cho (x-y)c = 2 suy ra x-y 2 0,25 Vậy x-3 = 2 suy ra x = 5. thay vào 0,25 2a +36=50 suy ra a=7 <12 2b +42=50 suy ra b=4 <14 2c +48=50 suy ra c=1 <16 0,75 Câu 4 (6 điểm) 1. Ta có cung CA=cung AD. Suy ra góc CMA=gócDMA (tính chất góc nội tiếp). Suy ra MA là phân giác của góc CMD 1,0 2. Xét MAC và MDI có góc M 1 = góc M 2 ; gócMAC = gócMDC ( góc nội tiếp cùng chắn cung MC) 0,5 Suy ra MAC đồng dạng với MDI (g.g) 0,5 Suy ra MA.MI=MC.MD 0,5 3. Từ M kẻ hai cát tuyến MAI và MDE đến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AID Thì MA.MI=ME.MD 0,5 Kết hợp với kết quả câu 2 ta có MC=ME. 0,5 Tam giác CME cân, AM là phân giác góc ở đỉnh nên AM vuông góc với CE 0,5 góc AFC = 90 0 Khi M chạy trên cung nhỏ BC thì F chạy trên cung tròn thuộc đ- ờng tròn đờng kính AC 1,0 4. Ta có AE=AC. 0,5 Quỹ tích của E là cung tròn CED thuộc đờng tròn tâm A bán kính AC 0,5 Câu 5 (2 điểm) Vì a, b, c, a, b, c > 0 nên đẳng thức đã cho có nghĩa. Bình phơng hai vế: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , , , , , aa bb cc a b c a b c+ + = + + + + 0,25 , , , , , , , , , 2( . )aa bb cc aa bb bb cc cc a a+ + + + + = = , , , , , , , , , aa bb cc a b ab a c ac b c bc+ + + + + + + + 0,25 , , , , , , , , , , , , ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0a b aa bb ab a c aa cc ac b c bb cc bc + + + + + = 0,5 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , , , , , , 0a b ab a c ac b c bc + + = 0,5 Do đó , , , , , , , ,a b ab a c ac b c bc= = = . Từ đo suy ra điều phảichứng minh 0,5 chú ý: + Mọi cách giải đúng khác với đáp án cho điểm tơng ứng với biểu điểm + Điểm bài thi là tổng điểm của các bài và không làm tròn số D E H M B C A F I 2 1 . Sở giáo dục& đào tạo Hà Nam Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi toán lớp 9 thcs năm học 2008-2 0 09 (dự bị) Bài 1 (5 điểm) a) Điều kiện: x > 0; y > 0; xy 1 0,5 Đặt M = xy. 0,5 b) Theo bất đẳng thức côsi ta có: 1 1 1 1 1 2 . 2 2 3+ = = A A x y x y xy 1,0 Vậy A max =9 1 1 1 3 9 x y x y = = = = 0,5 Bài 2 (4 điểm) a) Với m = -1, từ (*) ta có phơng trình: (x+1) 4 +. 3 2 m m m t m m m + + = + 0,25 điều kiện 3m , bình phơng hai vế ta có: 5m 2 - 6m+5 9 - 6m + m 2 4m 2 4 1m 0,25 Câu 3 (3 điểm) Gọi giá hai loại vở là x (nghìn đồng) và y (nghìn