Đề-ĐA HSG cấp trường lớp 9. Môn toán

TRƯỜNG THCS NGHĨA HÀNH NĂM HỌC: 2010 - 2011 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn: TOÁN 9 ( Thời gian: 120 phút ) Câu 1: (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 2 3 5 13 48 6 2 + − + + b) Chứng minh rằng: B = x 4 + 4x 3 y + 2x 2 + 4x 2 y 2 + 4xy + 1 (với x, y € Z) là một số chính phương. Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình a) 2 2 3 3 1 x x x x + − = + − b) 3 3 3 1 3 1 1x x x+ + + = − Câu 3: (5 điểm) a) Cho a, b, c dương và a + b + c = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 9 a b c + + ≥ b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức P = 2 2 2( 1) 1 x x x + + + Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 8 cm, AC = 14 cm. a) Tính số đo góc B. b) Đường phân giác góc C cắt AB tại D. Tính AD c) Từ A vẽ đường vuông góc với CD, cắt CD tại E và cắt BC tại F. Tính AF. Câu 5: ( 2 điểm) Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Gọi AH, BI, CK là các đường cao của tam giác. Cgứng minh rằng: 2 2 2 1 os os os HIK ABC A B C S c c c S = − − − (Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên:……………………… …… .SDB:… . ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 9 Câu Nội dung Điểm 1 a) A = 2 3 5 13 48 6 2 + − + + Biến đổi: 2 2 2 2 2 13 48 13 4 3 13 48 2 3 1 5 13 48 5 (2 3 1) 4 2 3 5 13 48 3 1 3 5 13 48 3 3 1 2 3 2 2 3 8 4 3 6 2 6 2 6 2 (2 3 1) (2 3 1) ( 3 1) ( 3 1) ( 6 2) A + = + = ⇒ + = = + ⇒ − + = − + = − = ⇒ − + = = − ⇒ + − + = + − = + + + ⇒ = = = + + + + + − + + Vậy A = 1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 b) B = x 4 + 4x 3 y + 2x 2 + 4x 2 y 2 + 4xy + 1 = (x 2 + 2x 2 (2xy + 1) + ( 2xy + 1) 2 = ( x 2 + 2xy + 1) 2 Vì x,y € Z => x 2 + 2xy + 1 € Z Vậy B là một số chính phương. 0,75 0,5 0,5 0,25 2 a) 2 2 3 3 1 x x x x + − = + − (1) ĐK: x > 1 Phương trình (1) 2 2 3 3 3 6 9 5 6 0 3; 2 x x x x x x x x x ⇔ + = + ⇔ + = + + ⇔ + + = ⇔ = − = − Vậy phương trình vô nghiệm 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 b) 3 3 3 1 3 1 1x x x+ + + = − 0,5 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 1 3 1 3 ( 1)(3 1)( 1 3 1) 1 4 2 3 ( 1)(3 1)( 1) 1 ( 1) ( 1)(3 1)( 1) 0 1( (3 1)( 1)) 0 1 0 1 (3 1)( 1)( ) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x VN x x ⇔ + + + + + + + + + = − ⇔ + + + + − = − ⇔ + + + + − = ⇔ + + + − =  + = ⇔ = −  ⇔  = − + −   + + Vậy pt có một nghiệm x = -1 0,25 0,25 0,5 0,5 3 a) Ta có: 1 1 1 1 1 1 ( )( ) 3 3 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 9 1 1 1 9( ) a a b b c c a b c a b c a b c b c a c a b a b a c b c b a c a c b dpcm a b c + + = + + + + = + + + + + + = + + + + + + ≥ + + + = ⇒ + + ≥ 1,0 0,5 0,5 b) P = 2 2 2( 1) 1 x x x + + + (*) Vì x 2 + 1 > 0 với mọi x Do đó pt (1)  (x 2 + 1)P = 2x 2 + 2x + 2  (P – 2)x 2 – 2x + (P – 2) = 0 Khi P = 2 thì x = 0 Khi P ≠ 2 xét Δ’ = 1 – (P – 2) 2 ≥ 0  (P – 2) 2 ≤ 1  1 ≤ P ≤ 3 Vậy Min P = 1 khi x = -1. Max P = 3 khi x = 1 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 4 Vẽ hình đúng a) Áp dụng định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn ta có: tg B = 14 1,750 8 AC AB = = => góc B = 60 0 0,5 1,0 b) Từ câu a) => góc C = 30 0 do đó góc ACD = 15 0 0,5 A B CF D Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AD = AC.tg ACD = 14. 0,265 = 3,72 cm 1,0 c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AE = AC. Sin ACE = 14 . 0,257 = 3,598 cm Tam giác ACF có CE vừa là đường cao vừa là đường phân giác => Tam giác ACF cân tại C => AF = 2.AE = 2. 3,598 = 7,916 cm 1,0 1,0 5 Vẽ hình đúng Ta có: S HIK = S ABC – S AKI – S BKH – S CHI 1 . .sin . . .sin CHI HIK AKI BKH ABC ABC ABC ABC AIK ABC AK AI A AK AI AB AC A AC AB S s S S S S S S S S = − − − = = Trong các tam giác vuông AKC và AIB ta có: 2 2 2 2 cos ;cos : : ; os os os AKI ABC CHI BHK ABC ABC AK AI A A AC AB Dodo A B C S c S S S c c T S S = = = = = Vậy: 2 2 2 1 os os os HIK ABC A B C S c c c S = − − − 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 (Nếu học sinh giải cách khác đung vẫn cho điểm tối đa) H A K I CB . TRƯỜNG THCS NGHĨA HÀNH NĂM HỌC: 2010 - 2011 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn: TOÁN 9 ( Thời gian: 120 phút ) Câu 1:. thích gì thêm) Họ và tên:……………………… …… .SDB:… . ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 9 Câu Nội dung Điểm 1 a) A = 2 3 5 13 48 6 2 + − + + Biến đổi: 2 2 2 2