SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu I (4 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3 1 cos 3 1 sin .cos sin cos 3 0x x x x x+ + − + − − = 2. Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 1 , , 1 x y y z x y z xy yz zx − = − = ∈ + + = Câu II (2 điểm) Giả sử , , ,A B C D lần lượt là số đo các góc , , ,DAB ABC BCD CDA của tứ giác lồi ABCD bất kì. 1. Chứng minh rằng sin sin sin 3sin 3 A B C A B C + + + + ≤ . 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sin sin sin sin 3 A P B C D= − + + + . Câu III (1 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 9 . Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm 1 1 1 , ,A B C . Đường thẳng 1 AA cắt đường thẳng 1 CC tại điểm I ; đường thẳng 1 AA cắt đường thẳng BC tại điểm N ; đường thẳng 1 BB cắt đường thẳng 1 1 AC tại điểm P . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 IPC . Đường thẳng OP cắt đường thẳng BC tại điểm M. Biết rằng BM MN= và 2BAC ABC= . Tính các góc của tam giác ABC. Câu V (1 điểm) Cho hàm số ( ) ( ) : 0; 0;f +∞ → +∞ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 1 3 2 2 2 f x f f x x ≥ + với mọi 0x > . Chứng minh rằng ( ) f x x≥ với mọi 0x > . Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… Tham khảo đáp án: http://www.violet.vn/haimathlx . SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180