Đề HSG khối 8 (10-11)

Trường THCS Cát Lâm ĐỀ THI TUYỂN HSG LỚP 8 NH: 2010 – 2011. Thời gian: 120 phút. // Bài 1: (3,0 đ) a) Tìm GTNN của biểu thức 2 A 5 7x x= + + b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 B 4 4 3x x= + − . Bài 2: (3,0 đ) a) Giải phương trình sau: 17 21 1 4 1990 1986 1004 x x x − − + + + = b) Tìm x, biết: 4 12.2 32 0 x x − + = . Bài 3: (2,0 đ) Cho x, y, z đôi một khác nhau và 1 1 1 0 zx y + + = . Tính giá trò của biểu thức: 2 2 2 z z A 2 z 2 z z 2 y x xy x y y x xy = + + + + + Bài 4: (2,0 đ) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh rằng OM = ON. b) Chứng minh rằng 1 1 2 AB CD MN + = . The end Trường THCS Cát Lâm HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ HSG LỚP 8 NH: 2010 – 2011. // Bài 1: (3,0 đ) a) Ta có: 2 2 5 3 3 A 5 7 2 4 4 x x x x   = + + = + + ≥ ∀  ÷   (1,0 đ) Vậy GTNN của 3 A 4 = khi 5 2 x − = (0,5 đ) b) Ta có: 2 2 B 4 4 3 (4 6 ) (2 3) 2 (2 3) (2 3) (2 3)(2 1)x x x x x x x x x x= + − = + − + = + − + = + − (1,5 đ) Bài 2: (3,0 đ) a) Ta có: 17 21 1 4 1990 1986 1004 x x x − − + + + = 17 21 1 1 1 2 0 1990 1986 1004 x x x− − + ⇔ − + − + − = (0,5 đ) 2007 2007 2007 1 1 1 0 ( 2007) 0 1990 1986 1004 1990 1986 1004 x x x x   − − − ⇔ + + = ⇔ − + + =  ÷   (0,5 đ) 2007 0 2007x x ⇔ − = ⇔ = Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2007} (0,5 đ) b) Đặt t 2 x = khi đó, ta có: 2 t 12.t 32 0 (t 8)(t 4) 0 t 8 hoặc t 4− + = ⇔ − − = ⇔ = = (0,75 đ) Với t = 8 thì 8 2 3 x x= ⇒ = Với t = 4 thì 4 2 2 x x= ⇒ = Vậy x = 3; x = 2. (0,75 đ) Bài 3: (2,0 đ) Ta có: 1 1 1 0 zx y + + = z z 0 z z 0 yz y z z xy y x xy y x x x xy + + ⇒ = ⇒ + + = ⇒ = − − ( 0,5 đ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 z yz y z y z y y zx y x x x x x x x x+ = + − − = − − − = − − Tương tự: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 y 2 z y y z ; z 2 y z z –yx x x x+ = − − + = − ( 0,75 đ) Do đó: z z A ( )( z) ( )( z) (z )(z ) y x xy x y x y x y x y = + + − − − − − − (0,25 đ) Tính đúng A = 1 (0,5 đ) Bài 4: (2,0 đ) a) ADC ∆ có OM // DC OM OA DC AC ⇒ = (1) BCD ∆ có ONM // DC ON OB DC BD ⇒ = (2) mặc khác, AB // CD OA OB OC OD ⇒ = OA OB OC OA OD OB ⇒ = + + hay OA OB AC BD = (3) (0,75 đ) Từ (1); (2) và (3) OM ON DC DC ⇒ = hay OM = ON. (0,25 đ) b) Xét ABD∆ để có OM // AB OM DM AB AD ⇒ = (1) Xét ADC ∆ để có OM // CD OM AM DC AD ⇒ = (2) Cộng (1) và (2) ta được 1 1 AM DM AD OM. 1 AB CD AD AD   + + = = =  ÷   (3) (0,5 đ) Chửựng minh tửụng tửù : 1 1 ON. 1 AB CD + = ữ (4) Coọng (3) vaứ (4) ta coự ( ) 1 1 OM ON 2 AB CD + + = ữ 1 1 2 AB CD MN + = (ủpcm) (0,5 ủ) . Ta có: 17 21 1 4 1990 1 986 1004 x x x − − + + + = 17 21 1 1 1 2 0 1990 1 986 1004 x x x− − + ⇔ − + − + − = (0,5 đ) 2007 2007 2007 1 1 1 0 ( 2007) 0 1990 1 986 1004 1990 1 986 1004 x x x x   − −. {2007} (0,5 đ) b) Đặt t 2 x = khi đó, ta có: 2 t 12.t 32 0 (t 8) (t 4) 0 t 8 hoặc t 4− + = ⇔ − − = ⇔ = = (0,75 đ) Với t = 8 thì 8 2 3 x x= ⇒ = Với t = 4 thì 4 2 2 x x= ⇒ = Vậy x = 3; x = 2 Trường THCS Cát Lâm ĐỀ THI TUYỂN HSG LỚP 8 NH: 2010 – 2011. Thời gian: 120 phút. // Bài 1: (3,0 đ) a) Tìm GTNN của biểu thức