To Hop (Nang cao)

MỘT SỐ ĐỀ THI VỀ TỔ HỢP Bài 1: (IMO_1987) Gọi ( ) n p k là số các hoán vị của tập ( ) 1,2, ,n có đúng k điểm cố định. Chứng minh : ( ) 0 . ! n n k k p k n = = ∑ . Giải: Ta để ý rằng: 1 1 k k n n nC kC − − = , ( ) ( ) 0 k n n n k p k C p − = và ( ) 0 ! n n k p k n = = ∑ . Do đó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 . . 0 . 0 0 0 n n n n n k k k k n n n k n n k n n k n n k k k k k k k p k k C p n C p n C p n C p − − − − − − − − − − − = = = = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 1 1 0 . 1 ! ! n n k n p k n n n − − = = = − = ∑ . Bài 2: (IMO_1989) Cho n là một số nguyên dương, một hoán vị { } 1 2 2 , , , n x x x của tập hợp { } 1,2, ,2n được gọi là có tính chất P nếu { } 1 1,2, ,2 1 : i i i n x x n + ∃ ∈ − − = . Chứng minh với mỗi n thì số các hoán vị có tính chất P lớn hớn số các hoán vị không có tính chất đó. Hướng dẫn: Ta chia các số 1, 2, …,2n thành từng cặp như sau: (1, n +1), (2, n + 2), …, (n, 2n). Gọi A, B lần lượt là tập hợp các hoán vị không có tính chất P và có tính chất P. Ta xây dựng một ánh xạ :f A B→ là đơn ánh và không toàn ánh. Từ đó suy ra : A B< . Giả sử { } 1 2 1 1 2 , , , , , , , k k k n x x x x x x A − + ∈ là một hoán vị bất kì không có tính chất P và k x là số thuộc cùng một cặp với 2n x , khi đó 2 2k n ≤ − . Ta định nghĩa { } ( ) { } 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 , , , , , , , , , , , , , , , k k k n k k n n k f x x x x x x x x x x x x x B − + − − + = ∈ . Kiểm tra :f A B→ là đơn ánh và không toàn ánh. Bài 3: Tính tổng : 3 3 0 . n k n k C       = ∑ Giải: Xét đa thức ( ) ( ) 0 1 n n i i n i P x x C x = = + = ∑ . Gọi ε là căn nguyên thủy bậc 3 của đơn vị, tức là 2 1 0 ε ε + + = . Khi đó ta có: 2 0 ' 3 1 3 ' 3 k k nê u k nêu k ε ε /  + + =   M M . Vì thế, ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 0 0 1 1 3 . n n i i i i n n i i P P P C C ε ε ε ε       = = + + = + + = ∑ ∑ Ta có, ( ) ( ) 1 1 1 2 n n P = + = . ( ) 1 3 1 3 1 cos sin 2 2 2 2 3 3 n n n n P i i i π π ε       = + − + = + = +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷       . ( ) 2 1 3 1 3 1 cos sin 2 2 2 2 3 3 n n n n P i i i π π ε       = + − − = − = −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷       . Do đó, 3 3 0 2 2cos 3 . 3 n n k n k n C π       = + = ∑ Bài 4: Tìm số tất cả các số có n chữ số lập từ các số 3, 4, 5, 6 và chia hết cho 3. Giải: Gọi C n là số tất cả các số có n chữ số lập từ các số 3, 4, 5, 6 và chia hết cho 3. Gọi ε là căn nguyên thủy bậc 3 của đơn vị, tức là 2 1 0 ε ε + + = . Khi đó ta có: 2 0 ' 3 1 3 ' 3 k k nê u k nêu k ε ε /  + + =   M M . Xét đa thức ( ) ( ) 3 4 5 6 . n P x x x x x= + + + Dễ thấy C n chính bằng tổng các hệ số của các số mũ chia hết cho 3 trong khai triển của P(x). Nói cách khác, nếu ( ) 6 0 n k k k P x a x = = ∑ thì 2 3 0 n n k k C a = = ∑ . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2 2 2 3 0 0 1 1 3 . n n k k k k k k P P P a a ε ε ε ε = = + + = + + = ∑ ∑ Mà, ( ) ( ) ( ) 2 1 4 , 1 n P P P ε ε = = = . Do đó, 2 3 0 4 2 . 3 n n n k k C a = + = = ∑ Bài 5: Tính tổng ( ) 0 cos n k n k C kx = ∑ . Giải: Đặt S = ( ) 0 cos n k n k C kx = ∑ , ( ) 0 sin n k n k T C kx = = ∑ . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 cos sin 1 1 cos sin n n n n k k ikx ix n n k k S iT C kx i kx C e e x i x = = + = + = = + = + + ∑ ∑ 2cos cos sin 2cos cos sin 2 2 2 2 2 2 n n x x x x nx nx i i         = + = +  ÷  ÷  ÷           . Do đó, 2cos cos . 2 2 n x nx S   =  ÷   Bài 6: (VMO_1996) Cho các số nguyên dương k và n với k n ≤ . Hỏi có tất cả bao nhiêu chỉnh hợp chập k ( ) 1 2 , , , k a a a của n số nguyên dương đầu tiên, mà mỗi chỉnh hợp ( ) 1 2 , , , k a a a thỏa mãn ít nhất một trong 2 điều kiện sau: i) { } 1,2, , :t k∃ ∈ nếu s t> thì s t a a> . ii) { } 1,2, , : 2 s s k a s / ∃ ∈ − M . Bài 7: (VMO_2009) Cho số nguyên dương n . Kí hiệu T là tập hợp 2n số nguyên dương đầu tiên. Hỏi có bao nhiêu tập con S của T có tính chất: trong S không tồn tại các phần tử ,a b mà { } 1,a b n− ∈ (Lưu ý tập rỗng được coi là tập có tính chất trên). . tính chất P và có tính chất P. Ta xây dựng một ánh xạ :f A B→ là đơn ánh và không toàn ánh. Từ đó suy ra : A B< . Giả sử { } 1 2 1 1 2 , , , , , , , k k k n x x x x x x. n k f x x x x x x x x x x x x x B − + − − + = ∈ . Kiểm tra :f A B→ là đơn ánh và không toàn ánh. Bài 3: Tính tổng : 3 3 0 . n k n k C       = ∑ Giải: Xét đa thức ( ) (