Luong giac toan tap(P5)

CHƯƠNGV PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX () ( ) asinx cosx bsinxcosx c 1++ = Cách giải Đặt =+ ≤t sin x cos x với điều kiện t 2 Thì t 2 sin x 2 cos x 44 ππ ⎛⎞ ⎛⎞ =+=− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ Ta có : ( ) 2 t 1 2sin xcos x nên 1 thành=+ () 2 b at t 1 c 2 +−= 2 bt 2a t b 2 c 0⇔+−−= Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện t2≤ giải phương trình π ⎛⎞ + = ⎜⎟ ⎝⎠ 2sin x t 4 ta tìm được x Bài 106 : Giải phương trình ( ) 23 sin x sin x cos x 0 *++= (*) () ( ) 2 sin x 1 sin x cos x 1 si n x 0⇔++−= () ( ) ⇔+ = + − =1sinx 0haysinxcosx1sinx 0 ( ) () sin x 1 1 sin x cos x sin x cos x 0 2 =−⎡ ⇔ ⎢ +− = ⎢ ⎣ () () () 2 1x k2kZ 2 Xét 2 : đặt t sin x cos x 2 cos x 4 điều kiện t 2 thì t 1 2sin x cos x π •⇔=−+π∈ π ⎛⎞ •=+=− ⎜⎟ ⎝⎠ ≤=+ Vậy (2) thành 2 t1 t0 2 − −= () 2 t2t10 t1 2 t1 2loại ⇔−−= ⎡ =− ⇔ ⎢ =+ ⎢ ⎣ Do đó ( 2 ) ⇔ 2cos x 1 2 4 π ⎛⎞ −=− ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ ⇔−=−=ϕ<ϕ< ⎜⎟ ⎝⎠ π ⇔−=±ϕ+ π∈ ϕ= − π ⇔=±ϕ+ π∈ ϕ= −   2 cos x 1 cos với 0 2 42 2 xh2,h,vớicos 42 2 xh2,h,vớicos 42 π 1 1 Bài 107 : Giải phương trình () 33 3 1 sin x cos x sin 2 x * 2 −+ + = () ( )( ) 3 * 1 sin x cos x 1 sin x cos x sin 2 x 2 ⇔− + + − = Đặt tsinxcosx 2sinx 4 π ⎛⎞ =+= + ⎜⎟ ⎝⎠ Với điều kiện t2≤ Thì 2 t12sinxcos=+ x Vậy (*) thành : () 2 2 t1 3 1t1 t 1 22 ⎛⎞ − −+ − = − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ()() () () () 22 32 2 2t3t 3t 1 t3t3t10 t1t 4t1 0 t1t 2 3t 2 3loại ⇔− + − = − ⇔+ −−= ⇔− ++= ⇔=∨=−+ ∨=−− với t = 1 thì 1 sin x sin 44 2 ππ ⎛⎞ += = ⎜⎟ ⎝⎠ ππ π π ⇔+= = π∨+ = + π∈ π ⇔= π∨=+ π ∈   3 xk2x k2,k 44 4 4 xk2 x k2,k 2 với π− ⎛⎞ =− += = ⎜⎟ ⎝⎠ 32 t32thìsinx sin 4 2 ϕ ππ − ⇔+=ϕ+π∨+=π−ϕ+π∈ = ππ − ⇔=ϕ−+π∨=−ϕ+π∈ = ϕ   32 xm2x m2,m,vớis 44 2 33 xm2x m2,m,vớisin 44 2 ϕin 2 Bài 108 :Giải phương trình () ( ) 2sinx cosx tgx cotgx*+=+ Điều kiện sin x 0 sin 2x 0 cos x 0 ≠ ⎧ ⇔≠ ⎨ ≠ ⎩ Lúc đó (*) () sin x cos x 2sinx cosx cos x sin x ⇔+=+ () 22 sin x cos x 1 2sinx cosx sinxcosx sinxcosx + ⇔+= = Đặt tsinxcosx 2sinx 4 π ⎛⎞ =+= + ⎜⎟ ⎝⎠ Thì =+ ≤ ≠ 22 t12sinxcosxvớit 2vàt1 (*) thành 2 2 2t t1 = − 3 2t 2t 2 0⇔−−= (Hiển nhiên t không là nghiệm) 1=± ()() () 2 2 t22t2t20 t2 t 2t 1 0 vô nghiệm ⇔− ++ = ⎡ = ⇔ ⎢ ++= ⎢ ⎣ Vậy () ⇔* 2sin x 2 4 π ⎛⎞ += ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ ⇔+= ⎜⎟ ⎝⎠ ππ ⇔+=+ π∈ π ⇔=+ π∈   sin x 1 4 xk2,k 42 xk2,k 4 Bài 109 : Giải phương trình () ( ) ( ) 3cotgx cosx 5tgx sinx 2*−−−= Với điều kiện sin , nhân 2 vế phương trình cho sinxcosx thì : 2x 0≠ 0≠ () ( ) ( ) ⇔−−−= 22 * 3 cos x 1 sin x 5 sin x 1 cos x 2 sin x cos x ( ) ( ) () () ()( () () ⇔−−−= − ⇔−+−−+⎡⎤⎡ ⎣⎦⎣ ⇔−+−−+ +− = ⎡ ⇔ ⎢ −= ⎢ ⎣ 22 3cos x1 sinx 5sin x1 cosx 5sinxcosx 3sinxcosx 3cos x cos x 1 sin x sin x 5 sin x sin x 1 cos x cos x 0 3cos x cos x sin x cos x sin x 5sin x sin x sin x cos x cos x 0 sin x cos x sin x cos x 0 1 3cosx 5sinx 0 2 ) =⎤ ⎦ = ( Ghi chú: A.B + A.C = A.D ⇔ A = 0 hay B + C = D ) Giải (1) Đặt tsinxcosx 2sinx 4 π ⎛⎞ =+= + ⎜⎟ ⎝⎠ Thì với điều kiện : 2 t12sinxcos=+ x t 2 và t 1 ≤ ≠± (1) thành : 2 2 t1 t0t2t 2 − 10 − =⇔ − −= () () t1 2loạidot 2 t 1 2 nhận so với điều kiện ⎡ =+ ≤ ⎢ ⇔ ⎢ =− ⎣ Vậy () 12 sin x sin 0 2 42 π− ⎛⎞ += =α<α<π ⎜⎟ ⎝⎠ ππ ⎡⎡ +=α+ π =α−+ π ⎢⎢ ⇔⇔ ⎢⎢ ππ ⎢⎢ + =π−α+ π ∈ = −α+ π ∈ ⎢⎢ ⎣⎣   xk2 xk2 44 3 xk2,kxk2, 44 k () () ⇔ ==β⇔=β+π∈ <β<π 3 2 tgx tg x h , h với 0 5 Bài 110 : Giải phương trình ( ) () 32 2 31 sinx x 3tg x tgx 8cos * 42 cos x + π ⎛⎞ −+ = − ⎜⎟ ⎝⎠ Điều kiện : cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠± Lúc đó : (*) () () () 22 tgx 3tg x 1 3 1 sin x 1 tg x 4 1 cos x 2 ⎡ ⎤ π ⎛⎞ ⇔−+++=+− ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎝⎠ ⎣ ⎦ () 41 sinx=+ () () ( ) () () () () () () 22 2 2 2 tgx 3tg x 1 1 sin x 3 1 tg x 4 0 3tg x 1 tgx 1 sin x 0 3tg x 1 sinx cos x sin x cos x 0 3tg x 1 1 sinx cosx sinxcosx 0 2 ⎡⎤ ⇔−+++− ⎣⎦ ⇔−++= ⇔− ++ = ⎡ = ⇔ ⎢ ++ = ⎢ ⎣ = () 2 13 (1) t g xt g xx 336 Giải 2 đặt t sin x cosx 2 sin x 4 π •⇔ =⇔ =± ⇔=±+πk π ⎛⎞ •=+= ⎜⎟ ⎝⎠ + Với điều kiện t 2 và t 1≤≠± Thì 2 t12sinxcosx=+ (2) thành : 2 2 t1 t0t2t1 2 − 0 + =⇔ + −= () () t 1 2 loại diều kiện t 2 t 1 2 nhận so với điều kiện ⎡ =− − ≤ ⎢ ⇔ ⎢ =− + ⎣ Vậy 21 sin x sin 4 2 π− ⎛⎞ += = ⎜⎟ ⎝⎠ ϕ xk2,k xk2,k 44 3 xk2,kxk2, 44 ππ ⎡⎡ +=ϕ+ π∈ =ϕ−+ π∈ ⎢⎢ ⇔⇔ ⎢⎢ ππ ⎢⎢ + =π−ϕ+ π ∈ = −ϕ+ π ∈ ⎢⎢ ⎣⎣ ¢¢ ¢¢k Bài 111 : Giải phương trình ( ) −= −+ 33 2sin x sin x 2 cos x cosx cos2x * () () () 33 22 * 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0⇔−−−+−= () ( ) () () sinx cosx 0 hay 2 1 sinxcosx 1 sinx cosx 0 sin x cosx 0 1 sin x cosx sin 2x 1 0 2 ⇔−= + −+ + = −=⎡ ⇔ ⎢ ++ += ⎢ ⎣ () () 1tgx1 xk,k 4 xét 2 đặt t sin x cosx 2 cosx x 4 •⇔ = π ⇔=+π∈ π ⎛⎞ •=+= ⎜⎟ ⎝⎠ ¢ − Với điều kiện : t2≤ 2 t1sin2x=+ () () 2 Vậ y 2thànht t 1 1 0+−+= () tt 1 0 t 0 t 1⇔+=⇔=∨=− Khi t = 0 thì cos x 0 4 π ⎛⎞ −= ⎜⎟ ⎝⎠ () x2k1,k 42 3 xk,k 4 ππ ⇔− = + ∈ π ⇔= +π∈ ¢ ¢ Khi 13 t1thìcosx cos 44 2 ππ ⎛⎞ =− − =− = ⎜⎟ ⎝⎠ 3 xk2,k 44 xk2hayx k2,k 2 ππ ⇔− =± + π∈ π ⇔=π+ π =−+ π∈ ¢ ¢ Bài 112 : Giải phương trình ( ) 234 2 3 4 sin x sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x *+++=+ + + Ta có : (*) () () ( ) ( ) () ()( )() 22 33 44 sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 0 hay 1 sin x cosx 1 sin x.cosx sin x cosx 0 ⇔−+ − + − + − = ⇔− = ++++ ++= () () () sin x cos x 0 1 2 sinx cos x sin x cosx 2 0 2 −=⎡ ⇔ ⎢ ++ += ⎢ ⎣ Ta có : (1) tgx 1⇔= xk,k 4 π ⇔=+π∈ ¢ Xét (2) : đặt tsinxcosx 2cosx 4 π ⎛⎞ =+ = − ⎜⎟ ⎝⎠ Với điều kiện t2≤ Thì 2 t12sinxcosx=+ (2) thành 2 t1 2t 2 0 2 − ++= () 2 t4t30 t1t3loại ⇔++= ⇔=−∨=− khi t = -1 thì 13 cos x cos 44 2 ππ ⎛⎞ −=− = ⎜⎟ ⎝⎠ 3 xk2,k 44 3 xk2, 44 xk2,k xk2,k 2 ππ ⎡ −= + π∈ ⎢ ⇔ ⎢ ππ ⎢ −=− + π∈ ⎢ ⎣ =π+ π ∈ ⎡ ⎢ ⇔ π ⎢ =− + π ∈ ⎣ ¢ ¢ ¢ ¢ k Bài 113 : Giải phương trình ( ) ( ) −+−= 233 t g x1 sinx cosx 1 0* Điều kiện : cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠± Lúc đó (*) () 2 33 2 sin x 1sinx cosx1 0 cos x ⇔−+−= () ( )( ) ( ) ()() () ()( ) () 23 32 22 1cosx1sinx 1cosx1sinx 0 1cosx1sinx 0 hay 1 cosx 1 sin x sin x 1 cosx cos x 1 sin x 0 ⇔− − −− − = ⇔− − = +++−++ + () () 22 2 2 cosx 1 nhận do điều kiện sin x 1 loại do điều kiện sin x sin x cosx cos x sin x cos x 0 ⎡ = ⎢ ⇔= ⎢ ⎢ +−−= ⎢ ⎣ = () 22 cos x 1 sin x cos x sinx cosx sin x cos x 0 = ⎡ ⇔ ⎢ −+ −= ⎣ cosx 1 sin x cosx 0 hay sin x cosx sin x cos x 0 = ⎡ ⇔ ⎢ −= ++ = ⎣ cos x 1 tgx 1 sinx cosx sinxcosx 0 =∨ = ⎡ ⇔ ⎢ ++ = ⎣ xk2,k xk,k 4 sin x cos x sin x cosx 0 =π∈ ⎡ ⎢ π ⎢ ⇔=+π∈ ⎢ ⎢ ++ = ⎣ ¢ ¢ xét pt s inx cosx sinxcosx 0++ = đặt () t sin x cosx 2 cosx x điều kiện t 2 và t 1 4 π ⎛⎞ =+ = − ≤ ≠± ⎜⎟ ⎝⎠ 2 t 1 2sinxcosx⇒=+ Ta được phương trình 2 2 t1 t0t2t1 2 − +=⇔+−=0 () () t12loại t12nhậnsovớiđk ⎡ =− − ⎢ ⇔ ⎢ =− + ⎣ Vậy 21 co s x cos 4 2 π− ⎛⎞ −= =ϕ ⎜⎟ ⎝⎠ xk2,kxk2, 44 ππ ⇔− =±ϕ+ π∈⇔=±ϕ+ π∈ ¢¢k Bài 114 : Cho phương trình () ( ) m sin x cosx 1 1 sin 2x *++=+ Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0, 2 π ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Đặt tsinxcosx 2sinx 4 π ⎛ =+ = − ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ , điều kiện t2≤ Thì 2 t1sin2=+ x Vậy (*) thành : () 2 mt 1 t+= Nếu 3 0x thì x 24 44 ππ π ≤≤ ≤+≤ π Do đó 2 sin x 1 24 π ⎛⎞ ≤+ ⎜⎟ ⎝⎠ ≤ 1t 2⇔≤≤ ta có () 2 mt 1 t+= 2 t m t1 ⇔= + (do t = -1 không là nghiệm của phương trình) Xét 2 t ytrên1, t1 ⎡⎤ = ⎣⎦ + 2 Thì () 2 2 t2t y' 0 t 1, 2 t1 + ⎡⎤ =>∀∈ ⎣⎦ + Vậy y tăng trên 1, 2 ⎡⎤ ⎣⎦ Vậy (*) có nghiệm trên () () 1, y 1m y 2 2 π ⎡⎤ ⇔≤≤ ⎢⎥ ⎣⎦ () ⇔≤ ≤ − 1 m2 21 2 Bài 115 : Cho phương trình ( ) 33 cos x sin x msin xcosx *+= a/ Giải phương trình khi m2= b/ Tìm m để (*) có nghiệm Ta có : (*) ( ) ( ) cosx sinx 1 sinxcosx msinxcosx⇔+ − = Đặt tsinxcosx 2cosxx 4 π ⎛⎞ =+ = − ⎜⎟ ⎝⎠ Với điều kiện () t2≤ Thì 2 t12sinxcosx=+ Vậy (*) thành 22 t1 t1 t1 m 22 ⎛⎞⎛ −− −= ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ( ) ( ) 22 t3 t mt 1⇔−= − a/ Khi m= 2 ta có phương trình () ( ) ( ) 22 t3 t 2 t 1−= − ()() 32 2 t2t3t20 t2t22t10 t 2 hay t 2 1 hay t 2 1( loại) ⇔+ −− = ⇔− + += ⇔= =− + =− − Vậy cosx x 1 x k2 ,k x k2 ,k 44 4 ππ π ⎛⎞ •−=⇔−=π∈⇔=+π ⎜⎟ ⎝⎠ ¢¢ ∈ 12 cos x cos 4 2 xk2,kxk2, 44 π− ⎛⎞ •−= =α ⎜⎟ ⎝⎠ ππ ⇔− =±α+ π∈⇔= ±α+ π∈¢¢k b/ Xét phương trình () ( ) ( ) 22 t3 t kt 1 **−= − Do không là nghiệm của (**) nên t=±1 () 3 2 3t t ** m t1 − ⇔= − Xét () {} 3 2 3t t yCtrên2,2\ t1 − ⎡⎤ =− ⎣⎦ − 1± Ta có () 4 2 2 t3 y' 0 t 1 t1 −− =<∀= − ± ) suy ra y giảm và ( trên 1,1− lim , lim xx yy +− →− → =+∞ =−∞ 11 Do đó () {} trên 1,1 2, 2 \ 1 ⎡⎤ −⊂− ± ⎣⎦ ta có (d) y = m cắt (C) 3 2 3t t yvớim t1 − =∀ − R∈ Vậy (*) có nghiệm mR∀∈ Bài 116 : Cho phương trình () () 111 msinx cosx 1 t g xcot g x0 2sinxcosx ⎛⎞ +++ +++ = ⎜⎟ ⎝⎠ * a/ Giải phương trình khi 1 m 2 = b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên 0, 2 π ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Với điều kiện si ta có n 2x 0≠ (*) () 1sinx cosx 1 1 msinx cosx 1 0 2cosxsinxsinxcosx ⎛⎞ ⇔+++ +++ ⎜⎟ ⎝⎠ = () ( ) () ()() () () 2 m sin 2x sin x cosx sin 2x 1 cos x sin x 0 m sin 2x sin x cosx sin 2x 1 cos x sin x 0 m sin 2x sin x cosx sin x cosx sin x cosx 0 sin x cosx 0 1 msin2x sinx cosx 1 0 2 ⇔+++++ ⇔+++++= ⇔+++++ ⎡ += ⇔ ⎢ ++ += ⎢ ⎣ = = Xét (2) đặt tsinxcosx 2cosx 4 π ⎛⎞ =+ = − ⎜⎟ ⎝⎠ Thì 2 t1sin2=+ x Do sin 2x 0 nên t 2 và t 1≠≤=± Vậy (*) thành : () 2 t0 mt 1 t 1 0 = ⎡ ⎢ −++= ⎢ ⎣ () () t 0 nhận so điều kiện mt 1 1 0 (dot 1) ⎡ = ⇔ ⎢ −+= ≠− ⎢ ⎣ a/ Khi 1 m thì ta được : 2 = () t0 t 1 loại do điều kiện = ⎡ ⎢ =− ⎢ ⎣ Vậy sinx + cosx = 0 tgx 1 xk,k 4 ⇔=− π ⇔=−+π∈¢ b/ Ta có : 0x x 24 4 ππ π << ⇔−<−< 4 π Lúc đó 2 cos x 1 1 t 2 24 π ⎛⎞ < − ≤⇒<≤ ⎜⎟ ⎝⎠ ( t0 1,2 ⎤ =∉ ⎦ Do Nên g ta xét phươn trình : ( ) ( ) mt 1 1 0**−+= () ** mt m 1⇔=− 1 t1 m ⇔=− (do m 0 thì (**) vô nghiệm) Do đó : yêu = cầu bài toán 1 11 2 ⇔<− ≤ m 1 m0 0 ⎧ < ⎧ −> m 1 m21 1 12 12 m m21 ⎪ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ≤=−− ⎪⎪ −≤ − ⎩ ⎪ ⎩ ⇔≤− − Bài 117 : Cho ( ) ( ) = ++−+ 3 2 f x cos 2x 2 sinx cosx 3sin2x m a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3 b/ Tính theo m giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của f(x) Tìm m cho () fx 36 x R≤∀∈⎡⎤ ⎣⎦ 2 () t x ⎛⎞ = sin x cos x 2 cos điều kiện t 2 4 π + = − ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ x Đặt Thì 2 t1sin2=+ Và ( ) 2 2224 cos 2x 1 si 2 2x 1 t 1 t 2t=− =− − =− + n Vậy () () ( ) 423 2 fx thành g t t 2t 2t 3 t 1 m=− + + − − + a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0 t0t1⇔=∨= vậy khi m = -3 thì f( ) = 0 () tt 2t1 0⇔− − + = 22 x () 1 cosx 0haycosx 44 π ⎛⎞ ⎛ ⇔−= ⎜⎟ ⎜ ⎝⎠ 2 x2k1hayx k2,k 4244 π ⎞ −= ⎟ ⎝⎠ ππππ ⇔− = + − =±+ π∈¢ 3 xk 4 π ⇔= +π hay x k2 x k2 , k 2 π = +π∨=π∈¢ b/ Ta () ( ) có g 32 2 ' t 4t 6t 2t 2t 2t 3t 1 = −+ −=− −+ Vậy () g' ⎧ ⎪ t 0 1 t0t1t 2 t2,2 = ⇔=∨=∨= ⎨ ⎡⎤ ∈− ⎪ ⎣⎦ Ta có : ⎩ () () 147 g 03m g 1, g m 216 ⎛⎞ = += = + ⎜⎟ ⎝⎠ () () g2=423m,g2 m342−+ =−−