S D C B A O I J A B C P M N K Bài tập hình học không gian BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Cho tứ giác lồi ABCD nằm trong mặt phẳng (P) và điểm S không thuộc (P). a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). b) Nếu tứ giác ABCD không phải là một hình thang, tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC). Giải: a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD: Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD) ⇒ ⊂∈ ⊂∈ )( )( SDBBDO SACACO O là điểm chung (SAC) và (SBD) ⇒ SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD) b) * Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD): Ta có: S là điểm chung của (SAB) và (SCD) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của AB và CD ⇒ ⊂∈ ⊂∈ )( )( SCDCDI SABABI I là điểm chung của (SAB) và (SCD) ⇒ SI là giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và (SCD) * Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC) Ta có: S là điểm chung của (SAD) và (SBC) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi J là giao điểm của AD và BC ⊂∈ ⊂∈ )( )( SBCBCJ SADADJ ⇒ J là điểm chung của (SAD) và (SBC). ⇒ SJ là giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC). 2. Cho mp (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trên mặt phẳng (P). Giả sử ba đường thẳng AB, BC và AC đều cắt (P). CMR ba giao điểm đó thẳng hàng. Giải: Ta có A, B, C không thẳng hàng ⇒ Có 1 mp chứa 3 điểm A, B, C Gọi (ABC) là mặt phẳng chứa A, B, C M, N, K lần lượt là giao điểm của AB, BC, AC với (P) ⇒ N, N, K lần lượt thuộc hai mặt phẳng (Q) và (ABC) Vậy M, N, K thẳng hàng 1/5 Bài tập hình học không gian 3. Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a) Mp(AMN) và mp(BCD) b) MP(DMN) và mp(ABC). Giải: a) Tìm giao tuyến của mp(AMN) và mp(BCD): Trong ∆ ABD gọi I là giao điểm của AM và BD Trong ∆ ACD gọi J là giao điểm của AN và CD Ta có: ⇒ ⊂∈ ⊂∈ )( )( BCDBDI AMNAMI I là điểm chung của (AMN) và (BCD) Mặt khác: ⇒ ⊂∈ ⊂∈ )( )( BCDCDJ AMNANJ J là điểm chung của (AMN) và (BCD) ⇒ IJ là giao tuyến của mp(AMN) và mp(BCD) b) Tìm giao tuyến của mp(DMN) và mp(ABC) Trong ∆ ABD gọi K là giao điểm của DM và AB Trong ∆ ACD gọi H là giao điểm của DN và AC Ta có: ⇒ ⊂∈ ⊂∈ )( )( ABCABK DMNDMK K là điểm chung của (DMN) và (ABC) ⇒ ⊂∈ ⊂∈ )( )( ABCACH DMNDNH H là điểm chung của (DMN) và (ABC) ⇒ HK là giao tuyến của mp(DMN) và mp(ABC). 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA. a) CMR tứ giác NMPQ là hình bình hành. b) Gọi R, S lần lượt là trung điểm của AC và BD. Tứ giác MRPS là hình gì? c) Nhận xét gì về ba đoạn MP, NQ, RS ? Giải: 2/5 A B C D M N J H I K C I A B D M N P Q S R Bài tập hình học không gian a) CMR tứ giác MNPQ là hình bình hành: * Cách 1: Ta có: MN // AC vì MN là đường trung bình của tam giác ABC PQ // AC vì PQ là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ MN // PQ (1) Mặt khác: MQ // BD vì MQ là đường trung bình của tam giác ABD NP // BD vì NP là đường trung bình của tam giác BCD. ⇒ MQ // NP (2) Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành. (đpcm) * Cách 2: Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ = ACMN ACMN 2 1 // (*) Mặt khác: PQ là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ = ACPQ ACPQ 2 1 // (**) Từ (*) và (**) ⇒ = ⇒ PQMN PQMN // Tứ giác MNPQ là hình bình hành (đpcm) b)Nhận xét về tứ giác MRPS: * Cách 1: Ta có: MR // BC vì MR là đường trung bình của tam giác ABC SP // BC vì SP là đường trung bình của tam giác BCD ⇒ MR // SP (3) Mặt khác, ta lại có: MS // AD vì MS là đường trung bình của tam giác ABD RP // AD vì RP là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ MS // RP (4) Từ (3) và (4) ⇒ Tứ giác MRPS là hình bình hành Vậy tứ giác MRPS là hình bình hành. * Cách 2: 3/5 A B C D S d N M Bài tập hình học không gian Ta có: MR là đường trung bình của tam giác ABC = ⇒ BCMR BCMR 2 1 // (***) Ta lại có: SP là đường trung bình của tam giác BCD = ⇒ BCSP BCSP 2 1 // (****) Từ (***) và (****) = ⇒ SPMR SPMR // ⇒ Tứ giác MRPS là hình bình hành c) Nhận xét về ba đoạn MP, NQ, RS Ta có: MP và NQ là hai đường chéo của hình bình hành MNPQ ⇒ MP cắt NQ tại trung điểm I của mỗi đoạn (5) Mặt khác ta lại có: MP và RS là hai đường chéo của hình bình hành MRPS ⇒ MP cắt RS tại trung điểm I của mỗi đoạn (6) Từ (5) và (6) ⇒ MN, NQ, RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn. Vậy MN, NQ, RS đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn. 5. Cho điểm S ở ngoài mặt phẳng của hình bình hành ABCD. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). b) Một mặt phẳng (P) qua AD cắt SB và SC lần lượt tại M và N. Tứ giác ADMN là hình gì? a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC): Ta có: S là điểm chung của (SAD) và (SBC) Gọi d là đường thẳng đi qua S và song với AD ⇒ d ⊂ (SAD) (*) Mặt khác: AD // BC vì ABCD là hình bình hành ⇒ BC // d ⇒ d ⊂ (SBC) (**) ⇒ d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (ABC) b)Nhận xét về tứ giác ADMN: Ta có (P) ∩ (SBC) = MN (P) ∩ (ABCD) = AD 4/5 Bài tập hình học không gian (ABCD) ∩ (SBC) = BC Mà BC // AD ⇒ MN // AD // BC ( Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng) Trong tứ giác ADMN có MN // AD ⇒ Tứ giác ADMN là hình thang. 6. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. CMR OO’//(ADF) và OO’//(BCE) b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. CMR MN//(CEF). a) Chứng minh rằng OO’ // (ADF) và OO’ // (BCE) * Chứng minh OO’ // (ADF) Ta có: OO’ là đường trung bình của tam giác BDF ⇒ OO’ // DF Mà DF ⊂ (ADF) ⇒ OO’ // (ADF) (đpcm) *Chứng minh OO’ // (BCE) Ta có: OO’ là đường trung bình của tam giác ACE ⇒ OO’ // EC Mà EC ⊂ (BCE) ⇒ OO’ // (BCE) (đpcm) b) Chứng minh MN // (CEF) Ta có: = ABEF ABEF // ( Vì tứ giác ABEF là hình bình hành) = CDAB CDAB // ( Vì tứ giác ABCD là hình bình hành) = ⇒ CDEF CDEF // ⇒ Tứ giác CDEF là hình bình hành ⇒ ED ⊂ (CEF). Gọi I là trung điểm của AB ta có: 3 1 == IE IN ID IM (Vì M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE) ⇒ MN // ED (Định lí talet đảo) Mà ED ⊂ (CEF) ⇒ MN // (CEF) ( Điều phải chứng minh) 5/5 B A D E C O’ O F I N M . . S D C B A O I J A B C P M N K Bài tập hình học không gian BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Cho tứ giác lồi ABCD nằm trong mặt phẳng (P) và điểm S không thuộc (P). a). N, K lần lượt thuộc hai mặt phẳng (Q) và (ABC) Vậy M, N, K thẳng hàng 1/5 Bài tập hình học không gian 3. Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong tam giác. ba đoạn MP, NQ, RS ? Giải: 2/5 A B C D M N J H I K C I A B D M N P Q S R Bài tập hình học không gian a) CMR tứ giác MNPQ là hình bình hành: * Cách 1: Ta có: MN // AC vì MN là đường trung bình