o C A B I M o B A M o B A I M o B A D o B A C x o A B E o A B D C F M o A B C o B A D C Trường THCS VĂN LANG Tổ : TOÁN -TIN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II – TOÁN 9-2010-2011 TÓM TẮT LÝ THUYẾT A. HÌNH HỌC :Các định lý và hệ quả thường dùng về GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN: 1.Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. » » AB CD AB CD = ⇔ = 2.Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy » » MA MB IA IB= ⇒ = 3.Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại » » MA MB OM AB= ⇔ ⊥ 4.Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy và chia cung bị căng ra hai phần bằng nhau » » ;IA IB OI AB MA MB= ⇒ ⊥ = 5.Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy và chia cung bị căng ra hai phần bằng nhau » » ;OI AB IA IB MA MB⊥ ⇒ = = 6.Hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau » » / /AB CD AC BD⇒ = 7.Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn · » BOC Sd BC= 8.Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn · » 1 2 BAC Sd BC= 9.Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn · » 1 2 BAx Sd AB= 10.Trong một đường tròn : a)Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau · · » » ACB DFE AB DE= ⇒ = b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau · · AMB ACB= ( cùng chắn cung AB) c) Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau » » · · AB DE ACB DFE= ⇒ = d) Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90 o có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung · · 1 2 ACB AOB= ( cùng chắn cung AB) x o A B C B o A C E o C D A B B A o E C D o A B M e) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại,góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn · 90 o ACB = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) f)Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau · · BAx BCA= ( cùng chắn cung AB) 11.Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn · » » 1 ( ) 2 BED Sd BD AC= + (góc có đỉnh bên trong đường tròn) 12. Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn · » » 1 ( ) 2 CED Sd CD AB= − (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) 13.Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng cho trước dưới một góc α không đổi là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng đó (0 180 ) o o α < < -Đặc biệt : Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc 90 o là đường tròn đường kính AB. 14.Quỹ tích các điểm cách điểm O cố định một khoảng không đổi R là đường tròn tâm O,bán kính R 15.Trong tứ giác nội tiếp ,tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 o 16.Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp : a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 o b) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện c) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm .Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác d) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông hoặc dưới một góc α 17.Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. 18.Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. 19. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến,tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính 20.Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây chung. Các công thức tính toán thường dùng: I/ Đa giác đều nội tiếp: 1. Dây căng cung 60 0 bằng R 2. Dây căng cung 90 0 bằng R 2 3. Dây căng cung 120 0 bằng R 3 (Trong đó R là bán kính đường tròn ) II/ Độ dài đường tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình tròn, diện tích hình quạt. 1. C = π 2 R 2. l = 180 Rn π 3. S = π R 2 4. S quạt = 360 n 2 R π 5. Đường cao tam giác đều bằng cạnh nhân 3 chia 2 6. Diện tích tam giác đều bằng cạnh bình phương nhân 3 chia 4 B.ĐẠI SỐ : I.Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – HỆ THỨC VIET 1. Hệ thức Viet: nếu phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x 1 ,x 2 thì tổng và tích của chúng là: S = x 1 + x 2 = - b / a ; P = x 1 .x 2 = c / a 2. Tính nhẩm nghiệm: - Nếu a + b + c = 0 thì x 1 = 1 ; x 2 = c / a - Nếu a – b + c = 0 thì x 1 = -1 ; x 2 = - c / a 3. Lập phương trình bậc hai: dùng định lý đảo Viet: Nếu có hai số u,v mà u + v = S ; u.v = P thì hai số u,v là nghiệm của phương trình: x 2 – Sx + P = 0 4. Các cơng thức của hệ thức đối xứng giữa các nghiệm x 1 ,x 2 a) A = P S xx xx x PSSxPSxx = + =+=−=+=−=+ 21 12 2 33 2 22 2 2 1 . 1 32 1 3 1 x 1 C c) x B ) b d) D = P PS xx xx x x x P PS xx xx xx 2211 2 21 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 − = + =+= − = + =+ 1 x E e) Các dạng tốn thường gặp: 1. Cm phương trình bậc hai ln có 2 nghiệm phân biệt pp: Tính: m ∀>+=∆+∆∆ 05 2 4)-(m :VD dương. sốmột thức nhòmột phương bìnhvề đưa rồi' hoặc 2. Cm phương trình bậc hai ln có nghiệm: pp: Tính m ∀≥+=∆∆∆ 0 2 3)(m :VD thức. nhòmột phương bìnhvề đưa rồi' hoặc 3. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: pp: Tính ∆ hoặc ∆ ’ rồi cho ∆ > 0 hoặc ∆ ’ > 0 4. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép. pp: Tính ∆ hoặc ∆ ’ rồi cho ∆ = 0 hoặc ∆ ’ = 0 Nghiệm kép là x 1 = x 2 = - b / 2a hoặc x 1 = x 2 = - b’ / a 5. Xác định m để phương trình có nghiệm cho trước. Tính nghiệm còn lại. pp: Thay nghiệm cho trước vào giải tìm được m. Dùng hệ thức Viet để tính nghiệm còn lại 6. Xác định m để 2 nghiệm x 1 ,x 2 thoả một hệ thức đối xứng cho trước. pp: - Đặt điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là ∆ > 0 - Áp dụng các cơng thức đối xứng ở phần 4 ở trên. Nếu khơng có ở các cơng thức trên ta phải biến đổi, nhóm, đặt thừa số chung…để có thể thế S, P vào được rồi giải tìm m. 7. Xác định m để 2 nghiệm x 1 ,x 2 thoả một hệ thức khơng đối xứng cho trước. pp: - Đặt điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là ∆ > 0 - Dùng hệ thức Viet tính: x 1 +x 2 = - b / a (1) ; x 1 x 2 = c / a (2) hệ thức đã cho đặt (3). - Từ (1) và (3) giải tìm x 1 ,x 2 .Sau đó thay x 1 ,x 2 vào (2) tìm m II.Chủ đề: SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG 1. Phương trình Parabol có dạng: y = ax 2 (a )0 ≠ - Nếu a > 0 hàm số đồng biến khi x>0 ; nghịch biến khi x<0 - Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x<0 ; nghịch biến khi x>0 2. Vẽ đồ thị hàm số y = ax 2 - TXĐ: R - Lập bảng giá trị gồm 5 điểm rồi vẽ parabol 3. Phương trình hồnh độ giao điểm của parabol và đường thẳng thì cho 2 biểu thức của y bằng nhau, rồi chuyển vế để có phương trình bậc hai. VD: (P): y = x 2 và đường thẳng (D): y = 4x – 2m thì p. t hồnh độ giao điểm là: x 2 = 4x – 2m <=> x 2 – 4x + 2m = 0 Các dạng tốn thường gặp: 1. Cm đường thẳng (D) ln cắt (P) tại 2 điểm phân biệt: pp: Lập phương trình hồnh độ giao điểm. Tính ∆ . Cm: ∆ > 0 2. Tìm m để đường thẳng (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. pp: Lập phương trình hồnh độ giao điểm. Tính ∆ . Cho ∆ > 0 . Giải bất pt tìm m. 3. Tìm m để đường thẳng (D) tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm. Pp: Lập pt hồnh độ giao điểm. Tính ∆ . Cho ∆ = 0. Giải pt tìm m. - Toạ độ tiếp điểm: x = - b / 2a . Thay vào tính y. 4. Tìm m để đường thẳng (D) và (P) khơng giao nhau. Pp: Lập phương trình hồnh độ giao điểm. Tính ∆ . Cho ∆ < 0. Giải bất pt tìm m 5. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (D) và (P) pp: Giải hệ pt của (P) và (D) BÀI TẬP ĐỀ 1 : Bài 1: Giải các phương trình : a) 2 3 5x x− = b) 2 2 ( 2)( 3) 14x x− + = Bài 2: a)Trong hệ toạ độ Oxy vẽ đồ thị hàm số 2 1 2 y x= − b) Chứng minh rằng đường thẳng d: 3 5y x= − cắt đồ thị parabol ở câu a) tại hai điểm phân biệt Bài 3: Cho phương trình (ẩn x): x 2 – 2(m – 1)x + m 2 = 0 a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 b) Xác định m để 2 nghiệm x 1 ,x 2 thoả: 2 2 1 2 4x x+ = Bài 4: Cho đường tròn tâm O và một điểm A ở bên ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) với B,C là hai tiếp điểm. a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn (O) tại điểm D (khác B). Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh: AB 2 = AE.AD c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA. ĐỀ 2 : Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình a) 2 2 ( 3 )( 9) 0x x x− − = b) 2 3 1 3 5 2 x y x y − = + = Bài 2: a)Trong hệ toạ độ Oxy vẽ đồ thị hàm số 2 1 4 y x= b) Chứng minh rằng đường thẳng d: 4y x= − và đồ thị parabol ở câu a) không có điểm chung Bài 3: Cho phương trình (ẩn x): x 2 – 2(m – 3)x + m 2 - 4 = 0 a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 b) Xác định m để 2 nghiệm x 1 ,x 2 thoả: 1 2 1 2 ( 3)( 3) 4 12x x x x− − + = Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ đường cao AH. Trên đoạn AH lấy điểm M. Đường tròn tâm O đường kính AM cắt AB ở D và AC ở E. a) Cm: tứ giác MECH nội tiếp. b) Chứng minh : · · AMD ABC= c) Cm: AD.AB = AE.AC d) Cho · 30 o HAC = , AM= 3 cm. Tính diện tích phần của hình tròn ( O) nằm ngoài tam giác AEM (lấy π = 3,14) ĐỀ 3 : Bài 1:Giải các phương trình và hệ phương trình: a) 2 4 2 3x x− = b) 3 4 1 2 3 3 x y x y − = + = Bài 2: Cho phương trình: x 2 – 2(m – 1)x – 4m – 2 = 0 (1) a) Cmr: phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m b) Định m để phương trình (1) có 2 nghiệm x 1 ,x 2 thoả 1 2 1 1 1 2x x + = c) Định m để phương trình (1) có tổng bình phương các nghiệm sẽ nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất đó. Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O;R). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ » AC . Đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại S a)Chứng minh: · · SMC ACB= b) Cm: AC 2 = AM.AS c) Trường hợp A ˆ = 60 0 . Tính độ dài cung ¼ BAC ; độ dài dây AB và diện tích phần hình tròn nằm ngoài tam giác ABC theo R Bài 4: Cho hàm số y = ƒ(x) = (3 - 2 4 14m m− + ) x 2 . Hãy so sánh: f( 5 7− ) và f( 15 17− ) với mọi số thực m ĐỀ 4 : Bài 1:Giải các phương trình và hệ phương trình: a) 4 2 4 21 0x x− − = b) 2 3 1 0 2 3 0 x y x y − − = + − = Bài 2: Cho phương trình: x 2 – (m – 1)x – m = 0 (1) a) Xác định m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 b) Định m để 2 nghiệm x 1 ,x 2 thoả 3 3 1 2 7x x+ = c) Đặt S = 1 2 x x+ và P= 1 2 .x x Hãy viết biểu thức liên hệ giữa S và P không phụ thuộc vào m. Bài 3: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R trên đoạn OA lấy điểm C sao cho AC = 3 R . M là điểm trên đường tròn ( M khác A và B) .Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với MC cắt các tiếp tuyến vẽ từ A và B theo thứ tự tại D và E . a)Chứng minh tứ giác CMEB nội tiếp b)Chứng minh tam giác DCE vuông c)Chứng minh tích AD .BE không đổi Bài 4: Tìm hai số u,v biết u+v =5 ; u 3 .v 3 = 216 ĐỀ 5 : Bài 1: a) Giải phương trình: 2 2 ( 4)( 5 2) 0x x x− − + = b)Tìm hai số u và v biết: u + v = -6 ; uv = -27 và u > v Bài 2: a) Trong hệ toạ độ Oxy vẽ đồ thị hàm số : 2 3 2 y x= b) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m tiếp xúc với parabol 2 3 2 y x= .Xác định tọa độ tiếp điểm Bài 3: Cho phương trình : 2 5 2 0x x m− + − = a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 b) Tìm m để phương trình có một mghiệm bằng -2.Tính nghiệm còn lại c) Tìm m để hai nghiệm x 1 ;x 2 thoả mãn 3x 1 + 2x 2 = 13 Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A có AB>AC, nội tiếp (O ; R). Hai tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt nhau ở M. a)Chứng minh : Tứ giác MAOB nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó. b)Chứng minh : · · OAB IAM= . c)Đường cao AH của ∆ABC cắt CM ở N. Chứng minh : N là trung điểm của AH. d)Giả sử · ACB của ∆ABC bằng 60 0 . Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC của (O) theo R. ĐỀ 6 : Bài 1: a) Giải phương trình: 2 2 ( 7)( 5) 8x x− − = b)Tìm hai số u và v biết: u + v = 5 ; u 2 v 2 = 36 và u > v>0 Bài 2: a) Trong hệ toạ độ Oxy vẽ đồ thị hàm số : 2 y x= b) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m -1 cắt đồ thị hàm số 2 y x= tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 ,x x sao cho 1 2 2 3 19x x− = Bài 3: Cho phương trình : 2 4 3 0x x m− + − = a)Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép.Tính nghiệm kép đó b)Tìm m để phương trình có một mghiệm bằng -3.Tính nghiệm còn lại c)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 ;x 2 thoả mãn 2x 1 + 3x 2 = 11 Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Gọi M là điểm chính giữa của cung AB, I là trung điểm của đoạn OA.Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với M I cắt tiếp tuyến tại A và tại B của nửa đường tròn O tại C và D ; C I cắt AM tại H,D I cắt BM tại K. 1.Chứng minh tam giác M ID vuông cân. 2.Chứng minh tứ giác I H M K nội tiếp. 3.Chứng minh tích AC.BD không đổi ĐỀ 7 : Bài 1 : Giải các phương trình : a) 2 2 3 4x x− = b) 2 2 ( 4)( 3) 18x x+ − = Bài 2 Cho phương trình (ẩn x): x 2 – (m – 3)x + 2m-10 = 0 a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 b) Xác định m để 2 nghiệm x 1 ,x 2 thoả: 3 3 3 1 2 2x x+ = Bài 3 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ đường cao AH. Trên đoạn AH lấy điểm M. Đường tròn tâm O đường kính AM cắt AB ở D và AC ở E. a) Cm: tứ giác MECH nội tiếp. b) Cm: AD.AB = AE.AC c) Cho · 30 o HAC = , AM= 4 cm. Tính diện tích phần của hình tròn ( O) nằm ngoài tam giác AEM ( Thay π = 3,14 và 3 1,73= ) Bài 4 :Tìm hai số dương u,v biết : 2 4 4 13u v+ = và 2 . 3u v = ĐỀ 8 : Bài 1: a)Giải hệ phương trình: 2 3 3 12 x y x y − = + = b)Chứng tỏ ba đường thẳng sau đồng qui: (d 1 ) : 2x – y = 3 ; (d 2 ) : 3x + y = 12 ; (d 3 ) : y = -x + 6 Bài 2: Cho hàm số y = ax 2 ( a ≠ 0). a)Định a biết đồ thị hàm số qua A(2 ; -4). b)Vẽ đồ thị của hàm số trên với giá trị a vừa tìm được. Bài 3: Cho phương trình x 2 – (2m - 1 )x + 2m -2 = 0 (1) ( m tham số) a)Giải phương trình (1) với m = 2. b)Định m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 3.Tìm nghiệm còn lại c)Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 thỏa hệ thức: x 1 - x 2 -3 = 0 Bài 4:Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính vuông góc AB và CD.Trên đoạn OA lấy điểm E sao cho OE= 1 3 OA, CE cắt (O) tại M. a)Chứng minh tứ giác OEMD nội tiếp. b)Gọi F là giao điểm của AD và CM.Chứng minh AF = FD và tính tỉ số EF CE c) Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BD kéo dài tại J.Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng AJ, JD và cung nhỏ AD theo R