Giói hạn dãy số

Bài tập CSC,CSN Bồi dưỡng HSG GV: Phạm Hoằng Tổ Toán-Trường THPT Kim Liên 1 1. TÌM HIỂU TÍNH CHẤT CỦA CSC,CSN Dạng 1: Nhận dạng cấp số: 1) Cho CSC )u( n có 9 2017 = − uu và 153 2 20 2 17 =+uu . Hãy tìm số hạng ñầu tiên và công sai của cấp số. HD: Ta có: 17 20 1 1 ( 16 ) ( 19 ) 3 9 3 u u u d u d d d − = + − + = − = ⇒ = − . 2 2 2 17 20 1 ( 16 ) 153 u u u d+ = + − 2) Cho CSC )u( n có 3 3 1 15 15 302094 585 u u S  + =   =   . Hãy tìm số hạng ñầu tiên và công sai của cấp số biết dãy số tăng. 3) Cho hai CSC: ( ):4; 7; 10; 13; ( ):1; 6; 11; 16; 21; n n x y Hỏi trong 100 số hạng ñầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung? 4) Tìm x từ phương trình: a, 245 12 7 2 = + + + + x , biết 2;;7; 12; ; x là CSC. b, 1010 96 2 11 2 6 2 1 2 = + + + + + + + + ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( , biết 1; 6; 11; là CSC. 5) Ba số khác nhau có tổng bằng 6 lập thành một CSC. Bình phương ba số ấy thì ta ñược một CSN. Tìm ba số ñó. 6) Ba số dương mà tổng là 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một CSN, hoặc là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ 25 của một CSC. Tìm ba số ñó. 7) Cho CSN có 2 2 2 5 3 6 3 3 0; 63 u u u u + = + = . Hãy tính: 1 2 2010 S u u u= + + + Dạng 2: Chứng minh hệ thức về cấp số 1) CMR ba số dương c , b , a theo thứ tự lập thành một CSC khi và chỉ khi các số ba , ac , cb +++ 111 theo thứ tự lập thành một CSC. 2) CMR: nếu nnn S,S,S 32 tương ứng là tổng của n , n , n 3 2 số hạng ñàu tiên của một CSC thì )SS(S nnn − = 23 3 . 3) Cho CSC )u( n , CMR nếu 2 2 n m S S n m = thì 12 12 − − = n m u u n m . 4) Cho CSC )u( n , và cho các số nguyên dương m, k với m<k. CMR 2 mkmk k uu u +− + = 5) Cho CSC : 2 1 2 ; ; b a b b c − − . CMR: a;b;c theo thứ tự lập thành một CSN. 6) Cho CSN: a;b;c;d. CMR: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b c c a d b a d − + − + − = − . Bài tập CSC,CSN Bồi dưỡng HSG GV: Phạm Hoằng Tổ Toán-Trường THPT Kim Liên 2 7) Cho CSN: ( n u ) ( 0 n u ≠ ). CMR: 2 2 3 2 n n n n n n n S S S S S S S − = − − . 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ðẾN CÁC CẤP SỐ A)Trong lượng giác-hình học 1) Chu vi của một ña giác là 158 cm, số ño các cạnh của nó lập thành một CSC với công sai d=3cm. Biết cạnh lớn nhất là 44 cm, tính số cạnh của ña giác ñó. 2)Có thể có một tam giác mà số ño các cạnh và chu vi của nó lập thành một CSC không? 3) Có thể có tam giácc vuông nào mà số ño các cạnh của nó lập thành một CSC không? 4) Cho ABC ∆ có 6 A π = và số ño các góc ; ; A B C lập thành một CSC. CMR: a) 2 2 2 sin ;sin ;sin A B C lập thành một CSC tiến. b) 2 2 2 os ; os ; os c A c B c C lập thành một CSC lùi. c) tan ;tan ;tan A B C lập thành một CSN tiến. d) cot ;cot ;cot A B C lập thành một CSN lùi. 5) Tìm ñiều kiện ñể các góc ; ; α β γ có số ño lập thành CSC và 2 2 2 sin ;sin ;sin α β γ cũng lập thành một CSC. 6) Tìm ñiều kiện ñể 2 2 2 sin ;sin ;sin α β γ lập thành một CSC thì tan ;tan ;tan α β γ lập thành một CSN. 7) CMR: ( ): tan ;tan ;tan ( ): osA;cosB;cosC 2 2 2 A B C CSC CSC c ⇒ 8) CMR: ; ; a b c lập thành một CSC nếu có một trong các ñiều kiện sau ñược thỏa mãn: 2 )( ):sin ;sin ;sin ; )( ) :cot ;cot ;cot ; 2 2 2 )cot .cot 3; )sin sinC=3sin 2 2 2 A B C a CSC A B C b CSC A C B c d A= 9)Cho ; ; a b c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng CMR: công sai của cấp số ñó ñược tính theo công thức: 3 (tan tan ) 2 2 2 C A d r= − 10) CMR: 2 2 2 ( ):cot ;cot ;cot ( ): ; ; CSC A B C CSC a b c ⇒ . 11) Cho tan ;tan ;tan A B C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của góc B. b)CMR: 3 2 osA+cosC 4 c ≤ 12) Cho ABC ∆ có và số ño các góc ; ; C B A lập thành một CSN với công bội q=2 CMR: a) 2 2 2 2 a 7 b c R + + = ; b) 2 2 2 5 os os os 4 c A c B c C + + = ; c) 7 sin .sin .sin 8 A B C = Bài tập CSC,CSN Bồi dưỡng HSG GV: Phạm Hoằng Tổ Toán-Trường THPT Kim Liên 3 d) 1 osA.cosB.cosC=- 8 c ; e) b 1 osA+cosB+cosC= a 2 c − f) 1 1 1 a b c = + ; g) 2 2 ( ) bc a b c c a = + = − 13) Ba cạnh của một tam giác lập thành một CSN. CMR tam giác ñó không thể có hai góc lớn hơn 60 0 . 14) Cho ,( ) ABC AB AC ∆ = có ñộ dài cạnh ñáy BC, ñường cao AH, cạnh bên AB theo thứ tự lập thành một CSN. Tìm công bội của cấp số ñó. B) Trong ñại số-giải tích 1) CðSPHÀNAM.’04. Cho hàm số 3 2 y x mx x m = + − − Xác ñịnh các giá trị của m ñể ðTHS cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành cấp số cộng. 2) ðề thi HSG Lớp 12, tỉnh Hà Tây, 98-99. Cho hàm số 323 m4mx3xy +−= . Xác ñịnh m ñể ñường thẳng y=x cắt ñồ thị hàm số tại 3 ñiểm phân biệt A, B,C với AB=BC. 3) Cho hàm số 3 2 2 3 2 4 9 m y x mx m m x m m C = − + − + − ( ) ; ( ) . Tìm m ñể ðTHS cắt trục hoành tại 3 ñiểm cách ñều nhau. 4) Cho ñồ thị 3 2 ( ): 3 9 1 C y x x x = − − + . Tìm ñiều kiện của a và b ñể ñường thẳng y=ax+b cắt (C) tại 3 ñiểm cách ñều nhau. 5) ðề thi HSG Lớp 12, TP Hà Nội, năm học 09-10. Cho hàm số ( ) 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) y x m m = − − + − . Xác ñịnh các giá trị của m ñể ñồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành CSC. 6) ðề thi HSG Lớp 12, TP Hà Nội, năm học 03-04. Cho ñường cong (C) có phương trình 4 2 4 3 y x x = − + − . Tìm m và n ñể ñường sao cho 1 2 AB CD BC = = 7) Tìm m ñể phương trình 0153 224 =+++− )m(x)m(x có bốn nghiệm lập thành CSC. 8) ðHYDTPHCM.’98. Cho hàm số 4 2 2 1 2 1 y x m x m = − + + − − ( ) Xác ñịnh các giá trị của m ñể ñồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành CSC. 9) CðXDIII.’04.Tìm số tự nhiên k sao cho 1 2 14 14 14 ; ; k k k C C C + + theo thứ tự lập thành CSC. Bài tập CSC,CSN Bồi dưỡng HSG GV: Phạm Hoằng Tổ Toán-Trường THPT Kim Liên 4 . tìm số hạng ñầu tiên và công sai của cấp số biết dãy số tăng. 3) Cho hai CSC: ( ):4; 7; 10; 13; ( ):1; 6; 11; 16; 21; n n x y Hỏi trong 100 số hạng ñầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số. 11; là CSC. 5) Ba số khác nhau có tổng bằng 6 lập thành một CSC. Bình phương ba số ấy thì ta ñược một CSN. Tìm ba số ñó. 6) Ba số dương mà tổng là 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của. CHẤT CỦA CSC,CSN Dạng 1: Nhận dạng cấp số: 1) Cho CSC )u( n có 9 2017 = − uu và 153 2 20 2 17 =+uu . Hãy tìm số hạng ñầu tiên và công sai của cấp số. HD: Ta có: 17 20 1 1 ( 16 ) ( 19