ĐỀ 28-HSG TOÁN 8

kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2009 - 2010 đề thi môn : toán Ngày thi : Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Có hay không các số tự nhiên n thoả mãn: n 2 + n + 1 chia hết cho 2005 ? b) Cho x và y là hai số thực sao cho y x 1 + và x y 1 + đều là các số nguyên. Chứng minh rằng 22 22 1 yx yx + là số nguyên. Bài 2: Cho hai đa thức: P(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)( x+ 6)(x + 7) + a và Q(x) = x 2 + 7x + 14. Tìm giá trị của a để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) Bài 3: Tìm x biết: 3 14 5 1 x + 3 1 5 4 x + ( ) 3 15 x = 0 Bài 4: Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O sao cho tia AO nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB. a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ? b) Tìm vị trí điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật đồng thời diện tích tứ giác MNPQ bằng diện tích tam giác ABC. Hết Họ và tên : Số báo danh : hớng dẫn chấm môn toán lớp 8 Bài Sơ lợc lời giải Điểm Bài 1a) 3 điểm Ta sẽ chứng minh n 2 + n + 1 không chia hết cho 5 với n N. Xét n = 5k + r với 0 n 4 => n 2 + n + 1 = 5p + r 2 + r + 1 Thử trực tiếp từng trờng hợp của r => r 2 + r + 1 1;2;3 => n 2 + n + 1 chia 5 cho d là 1;2;3 => n 2 + n + 1 không chiahếtcho 5 Mặt khác thấy 2005 chia hết cho 5 Vậy không có số tự nhiên n nào thoả mãn: n 2 +n+1 chia hết cho 2005 2,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 1b) 2 điểm Từ giả thiết => ( y x 1 + )( x y 1 + ) Z => xy xy 1 + Z 1,0 đ => ( xy xy 1 + ) 2 Z => 22 22 1 yx yx + Z (đpcm !) 1,0 đ Bài 2 4 điểm Đặt x 2 + 7x + 6 = t => Q(x) = t + 8 = q(t) và P(x) = (t - 6) t (t + 4)(t + 6) + a = t 4 + 4t 3 - 36t 2 - 144t + a = p(t) 0,5 đ 1,25 đ Chia p(t) cho q(t), đợc p(t) = (t 3 - 4t 2 - 4t - 112).q(t) + a + 896 Khi đó P(x) chia hết cho Q(x) <=> p(t) chia hết cho q(t) <=> a = -896 Vậy với a = -896 thì P(x) chia hết cho Q(x). 1,25 đ 1,0 đ Bài 3 4 điểm Đặt: 14 5 1 x = a ; 1 5 4 x = b ; ( ) x15 = c => a + b + c = 0 Chứng minh đợc với a+b+c = 0 thì a 3 + b 3 + c 3 = 3 abc 0,5 đ 2,0 đ Khi đó giả thiết 3 14 5 1 x + 3 1 5 4 x + ( ) 3 15 x = 0 <=> 14 5 1 x 1 5 4 x ( ) x15 = 0 <=> x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15 Vậy các giá trị cần tìm của x là: x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15 1,5 đ Bài 4 A A Q P Q P O B C M N M N B C O 4a) 2 đ Tứ giác MNPQ là hình bình hành 2,0 đ 4 b) 5 điểm Giả sử MNPQ là hình chữ nhật => MQ MN => AO BC Do d/t MNPQ = d/t ABC => => AO = 2 AH (đờng cao của ABC) => O tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH là đờng cao của ABC) 1,0 đ 1,5 đ 0,5 đ Ngợc lại, lấy điểm O tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH - đờng cao của ABC), dễ chứng minh đợc tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và d/t MNPQ = d/t ABC Vậy điểm O cần tìm tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH là đờng cao của ABC). Có duy nhất điểm O thoả mãn yêu cầu bài toán. 1,5 đ 0,5 đ . kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2009 - 2010 đề thi môn : toán Ngày thi : Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Có hay không các số tự nhiên. giác MNPQ bằng diện tích tam giác ABC. Hết Họ và tên : Số báo danh : hớng dẫn chấm môn toán lớp 8 Bài Sơ lợc lời giải Điểm Bài 1a) 3 điểm Ta sẽ chứng minh n 2 + n + 1 không chia hết cho. Q(x) = t + 8 = q(t) và P(x) = (t - 6) t (t + 4)(t + 6) + a = t 4 + 4t 3 - 36t 2 - 144t + a = p(t) 0,5 đ 1,25 đ Chia p(t) cho q(t), đợc p(t) = (t 3 - 4t 2 - 4t - 112).q(t) + a + 89 6 Khi đó