*Giải bài tập kỳ trớc Bài 1 1. a) Để hàm số có nghĩa thì 4 10 4014 10 x xx x + > << > . b) Để hàm số có nghĩa thì 00xx x>> Vậy tập xác định của hàm số là (0,+) 2. a) Để hàm số có nghĩa thì 1 10 40 4 xm mx m xm x + + + Nếu 1 4 m m + thì tập xác định là (, 4 m ). Để hàm số xác định với mọi x>0 thì (0,+) (, 4 m ), điều này không xảy ra . Nếu 1 4 m +<m thì tập xác định là (, 1m ) +, tơng tự ta phải có (0,+) , điều này cũng không xảy ra. (, 1m + ) Vậy với mọi giá trị của m hàm số không thể xác định với mọi x>0. b) Để hàm số có nghĩa thì 20 2 2 0 xm x m x m xm x m + + . Vậy tập xác định D =[2-m, +) Để hàm số xác định với mọi x>0 thì (0,+)D Ô2-m Ê0Ô m2. 3) a) Để hàm số xác định thì 2m+1-x 0 Ôx2m+1 Vậy tập xác định của hàm số là D=R\{2m+1} Để hàm số xác định trên (-1;0) thì (-1;0) D Ô 2m+1 (-1;0) Ô 1 12 1 1 12 0 2 m m m m + + b) Để hàm số xác định thì 20 2 21 0 21 m xm x mx xm > > *Nếu 2 21 23 m mm thì tập xác định là *Nếu 2 21 23 m mm<> thì tập xác định là D=(;2 1] 2 m m Để hàm số xác định trên (-1;0) thì (-1;0) D Ô 102 1 2 m m < Điều này không xảy ra với 2 3 m > Bài 2 2) Nếu f vừa chẵn,vừa lẻ thì f0. Thật vậy, vì f chẵn nên f(-x)=f(x) " x R Vì f lẻ nên f(-x) =-f(x) " x R Từ đó f(x) =f(-x) " x R Ô f(x) =0 " x R 3) Đặt () ( ) () 2 () ( ) () 2 f xfx gx f xfx hx + = = Khi đó g là hàm chẵn,h là hàm lẻ và ta có f(x) =g(x)+h(x). 4) Giả sử x 0 là một nghiệm của phơng trình f(x) =g(x). Ta chứng minh nghiệm này là duy nhất Thật vậy giả sử còn có x 1 x 0 là nghiệm của phơng trình. Không giảm tính tổng quát có thể giả thiết x 1 > x 0 Khi đó ta có g(x 1 )=f(x 1 ) ( do x 1 là nghiệm) > f(x 0 ) ( do f là hàm tăng (ngặt)) =g(x 0 ) ( do x 0 là nghiệm) >g(x 1 ) ( do g là hàm giảm ngặt) vậy g(x 1 )> g(x 1 ) điều này là vô lý. Bài 2: Phơng trình và hệ phơng trình bậc nhất A. Phơng pháp giải và ví dụ minh hoạ Dạng 1: Giải và biện luận phơng trình bậc nhất Bớc1.Đặt điều kiện cho ẩn số (nếu có) Bớc 2. Biến đổi phơng trình về dạng ax+b=0 Xét các trờng hợp : i) a 0: phơng trình có nghiệm duy nhất x=-b/a ii) a=0, b0: phơng trình vô nghiệm iii) a=b=0: phơng trình có vô số nghiệm Chú ý: Trong trờng hợp i) và iii) cần so sánh giá trị của nghiệm số với điều kiện nếu có. Trong trờng hợp a chứa tham số, khi a=0 ta sẽ tìm đợc giá trị cụ thể của tham số, ta nên thay giá trị của tham số này để đợc một phơng trình cụ thể. Ví dụ1: Giải và biện luận phơng trình. (m 2 +m)x=m+1 (*) Giải Phơng trình đã có dạng ax+b =0. Ta xét các trờng hợp i) m 2 +m 0 Ô m 0, m -1. Khi đó (*) có nghiệm duy nhất x= 11 (1) m mm m + = + ii) m 2 +m =0 Ô m=0, m=1 * m=0 (*) có dạng 0x=1: phơng trình vô nghiệm. * m=-1 (*) có dạng 0x=0 Ô x R. Tóm lại: * m 0, m -1 phơng trình có nghiệm duy nhất 1 x m = * m=0 : phơng trình vô nghiệm. * m=-1: phơng trình có tập nghiệm là R. Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình. 2 11 xm x xx = + (*) Giải Điều kiện: x 1 Ta có (*) Ô (x-m)(x-1)= (x-2)(x+1) Ô mx= m+2 i) m 0: phơng trình có nghiệm 2m x m + = Cần so sánh với điều kiện: +) x 1 Ô 2m x m + = 1Ô 2 0 luôn đúng. +) x -1 Ô 2m x m + = -1 Ô m+2 -m Ô m -1 ii) m=0: Ta có (*) Ô 0x = 2: Vô nghiệm. Tóm lại: - Nếu m 0, m -1 phơng trình có nghiệm duy nhất 2m x m + = -Nếu m=0 hoặc m=-1, phơng trình vô nghiệm. Dạng 2 : Tìm tham số để phơng trình có nghiệm thoả mãn một điều kiện cho trớc. -Đặt điều kiện cho ẩn số nếu có -Biến đổi phơng trình về dạng ax+b=0 - Tuỳ theo điều kiện đầu bài ta tìm tham số để thoả mãn điều kiện đó. Ví dụ 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất. 21 1 x x x mx ++ = Giải Điềukiện: x m, x 1 Ta có (*) Ô mx= 2-m Để phơng trình có nghiệm duy nhất thì cần phải có 0 0 2 {2,0,1} 1 2 1 m m m xm m m m x m m Vậy để phơng trình có nghiệm duy nhất thì m khác các giá trị -2,0,1 ( Tơng tự hãy tìm điều kiện để phơng trình vô nghiệm). Ví dụ 4 . Tìm m để phơng trình có nghiệm. 22 41 11 xm x m x xx + = 3+ (*) Giải Điều kiện: x>1. Biến đổi phơng trình ta có : (*) Ô 2m+1-4(x-1) =x-2m +3 Ô 3x =3m +1 Ô 31 3 m x + = Để phơng trình có nghiệm thì ta phải có 3 3 m x 1 + = >1 Ô 2 3 >m Dạng 3. Giải và biện luận hệ phơng trình bậc nhất Cho hệ phơng trình '' ax by c ax by c += += ' Đặt D= '' '' ab ab a b ab = D X = '' '' cb cb c b cb = D Y = '' '' ac ac a c ac = Biện luận: a)Nếu D 0 hệ có nghiệm duy nhất , XY xy DD DD == b) Nếu D=0 , thay trực tiếp giá trị của tham số vào hệ phơng trình để xét xem hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm. Ví dụ 5 Giải và biện luận hệ phơng trình. 3 12 xmy m mx y m += +=+ Giải Ta có 2 2 1 1(1)(1) 1 3 2(1 ) 12 1 13 321(1)(13 12 X Y m Dmm m mm mm m m mm mm m D m D ===+ == + ==++=+ + )m Biện luận a) Nếu D 0 Ô (1-m)(1+m) 0 Ô m 1 Khi đó hệ có nghiệm duy nhất 2 1 31 1 X Y m x Dm m y Dm D D == + + == + b) Nếu D=0 Ô m=1, m=-1. +) m=1. Thay m=1 vào hệ phơng trình , hệ có dạng 3 3 3 xy xy xy += += += Do đó hệ này có vô số nghiệm. +) m=-1. Thay vào hệ phơng trình ta đợc hệ có dạng 33 11 xy xy xy xy = = += = Hệ vô nghiệm. Dạng 4. Tìm tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện chi trớc Ví dụ 6: Tìm m để hệ phơng trình sau vô nghiệm. 2 1 () mx my m mx my m = += 3 Giải Để hệ vô nghiệm thì trớc hết D=0 Ô D= 3 2 00 mm m mm m m = = = Ngợc lại với m=0, thay trực tiếp m=0 vào hệ , khi đó hệ trở thành 00 00 3 xy xy = += 1 nên hệ vô nghiệm Vậy đáp số là m=0. Ví dụ7: Tìm m để hệ phơng trình sau có vô số nghiệm. 2( 2) (5 3) 2( 2) (2) 3 2 mxmym mx my m + += + = Giải Để hệ vô số nghiệm thì trớc hết D=0 Ô (m+2)(3-m)=0 Ô 3 2 m m = = +) Với m=-2 hệ có dạng 8 07 8 7 06 4 2 3 y xy xy y = += += = Hệ vô nghiệm. +) Với m=3 hệ có dạng 10 18 2 59 591 xy xy xy = 1 = = Hệ vô số nghiệm Vậy đáp số là m=3. Ví dụ 8 Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất. Khi đó hãy tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nguyên. 2 1 mx y m x my m += +=+ Giải Hệ có nghiệm duy nhất Ô D= m 2 -1 0 Ô m 1 Ta có D X =2m 2 -m-1=(2m+1)(m-1) D Y =m 2 -m =m(m-1) Do đó 21 1 2 11 1 1 11 X Y m x Dm m m y Dm m D D + == = + + == = ++ Do đó m, x,y Z Ô m, 1 1m + Z Ô m+1= 1 Ô 0 2 m m = = So sánh với điều kiện m 1 ta có đáp số m=0, m=-2. B. Bài tập tự giải Bài 1: Giải và biện luận phơng trình. a) 3 2 2 xm x xx += b) 1 2 1 xm x xxm += Bài 2. 1) Tìm m để phơng trình sau vô nghiệm. a) (m-1) 2 x=4x+m+1 b) 2 2 11 xm x xx += + 2) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm. a) m 2 (x-1)=4x-3m+2 với x>0. b) 32 2 22 xm xm x xx + += 1 0 4 m 1 Bài 3 Giải và biện luận hệ phơng trình. a) b) 10 20 mx y xmy += ++= (2)2 0 mx m y xmym ++ = += Bài 4. 1) Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất. 844 (1)(2)3 mx y m mxm ym += ++ = 2)Tìm m để hệ phơng trình sau vô số nghiệm. 41 (6)23 xmy m mxy + =+ ++=+ 3)Tìm m nguyên để hệ phơng trình sau có nghiệm nguyên. a) 22 (1)2 2 mxym x ym mm += = + b) 60 12 mx y x my m += +=+ . kiện cho trớc. -Đặt điều kiện cho ẩn số nếu có -Biến đổi phơng trình về dạng ax+b=0 - Tuỳ theo điều kiện đầu bài ta tìm tham số để thoả mãn điều kiện đó. Ví dụ 3: Tìm m để phơng trình