Đề HSG + Đáp án Toán 8

Trờng THCS Vinh Xuõn Đề và đáp án thi chọn dội tuyển toan 8 Năm học 2010 2011 (thời gian 150ph) Câu 1: a. Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A= 6x y3x2 2y x + b. Cho (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 và a,b,c 0. Chứng minh : abc 3 c 1 b 1 a 1 333 =++ Câu 2: a. Tìm x,y,x biết : 5 zyx 4 z 3 y 2 x 222222 ++ =++ b.Giải phơng trình : 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9 Câu 3: a. Chứng minh : a 5 - a chia hết cho 30 với a Z b. Chứng minh rằng : x 5 x + 2 không là số chính phơng với mọi x Z + Câu 4: Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức : 8 bc a c ba c b ac b a + + + Câu5: Cho tứ giác ABCD có ADC+ DCB=90 0 . AD=BC, CD=a, AB=b. Gọi I,N,J,M là trung điểm lần lợt của AB,AC,CD và BD, S là diện tích tứ giác INJM. a,Tứ giác INJM là hình gì?. b, Chứng minh :S ++ ++ ++ + 2 2 2 2 2 2 b a a b c b b c a c c a abc 1 abc Dấu bằng sảy ra khi nào? Câu 6: Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì (1+a 2 )(1+b 2 )(1+c 2 ) bằng bình phơng của số hữu tỉ. Hết. Đáp án Câu 1: a : 3y-x=6 x=3y-6 Thay vào ta cú A=4 b. Vì: (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 và a,b,c 0. =++ 0bcacab 0 abc bcacab = ++ 0 c 1 b 1 a 1 =++ Đặt : z c 1 ;y b 1 ;x a 1 === áp dụng bài toán cơ bản ta có Nếu x+y+z=0 thì: x 3 +y 3 +z 3 =3xyz đpcm Câu 2: a. : 5 zyx 4 z 3 y 2 x 222222 ++ =++ 5 z 4 z 5 y 3 y 5 x 2 x 222222 ++ =0 zyx0 20 z 15 y2 10 x3 222 ===++ b. phơng trình : 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9 9)x2x8)(1x16x64( 22 =+ 72)x16x64)(1x16x64( 22 =+ đặt :64x 2 -16x+0,5=k Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72 5,8k25,72k 2 = Với k=8,5 Ta có x= 2 1 x; 4 1 = Với k=-8,5 phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2 Câu 3: a, có: a 5 -a=a(a 4 -1)=a(a 2 -1)(a 2 +1)=a(a-1)(a+1)(a 2 -4+5) = a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1) vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên 30 ; 5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết cho 30 đpcm b,Từ bài toán trên ta có: x 5 -x 5 x 5 -x+2 chia 5 d 2 x 5 -x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phơng nào có tận cùng là 2hoặc 7)Vậy x 5 -x+2 không thế là số chính phơng với mọi x + Z Câu 4 Đặt A= + + + bc a c ba c b ac b a = + +++ bc a c a 1 ac b b c ab 2 2 2 = abc 1 a c c b a b b a b c c a abc 22 2 2 22 +++++++ = ++ ++ ++ + 2 2 2 2 2 2 b a a b c b b c a c c a abc 1 abc ta có x+1/x 2 Với x>0 8A Câu5: a ,ta có IM=NJ=IN=MJ ( cùng bằng 1/2AD mà AD=BC) , CB CB(gt) 0 90MIN = MINJ là hình vuông B, dt tứ giác MINJ=1/2MN.IJ=1/2MN 2 .Gọi P là trung điểm của AD ta có: MN ( ) 8 ba 2 ba 2 1 S 2 ba PMPN 2 2 = = Dấu bằng sảy ra khi MN= PMPN Hay P,M,N thẳng hàng. Câu 6 có 1+a 2 =ab+ac+bc+a 2 =(a+c)(a+b) Tơng tự 1+b 2 =(a+b)(b+c) 1+c 2 =(b+c)(a+c ( )( )( ) [ ] 2 222 cbcaba)c1)(b1)(a1( +++=+++ đpcm A B C D M N I ++ ++ ++ + 2 2 2 2 2 2 b a a b c b b c a c c a ab c 1 abc P . + + + bc a c ba c b ac b a = + ++ + bc a c a 1 ac b b c ab 2 2 2 = abc 1 a c c b a b b a b c c a abc 22 2 2 22 ++ ++ + ++ = ++ ++ ++ + 2 2 2 2 2 2 b a a b c b b c a c c a abc 1 abc . dụng bài toán cơ bản ta có Nếu x+y+z=0 thì: x 3 +y 3 +z 3 =3xyz đpcm Câu 2: a. : 5 zyx 4 z 3 y 2 x 222222 ++ =++ 5 z 4 z 5 y 3 y 5 x 2 x 222222 ++ =0 zyx0 20 z 15 y2 10 x3 222 == =++ b. phơng. ) 8 ba 2 ba 2 1 S 2 ba PMPN 2 2 = = Dấu bằng sảy ra khi MN= PMPN Hay P,M,N thẳng hàng. Câu 6 có 1+a 2 =ab+ac+bc+a 2 =(a+c)(a+b) Tơng tự 1+b 2 =(a+b)(b+c) 1+c 2 =(b+c)(a+c (