SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐĂK LĂK NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 9 - THCS (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề) Ngày thi: 22/03/2011 Bài 1. ( 4,0 điểm) Cho biểu thức 2 3 1 2 1 1 2 x x x P x x x x x x x − − = − + − + + − + 1/ Thu gọn biểu thức P. 2/ Tìm tất cả số thực x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. Bài 2. ( 5,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương . 1/ Chứng minh rằng 3 3 3 3a b c abc+ + ≥ . 2/ Tính giá trị biểu thức P ab bc= + nếu biết 2 2 2 2 2 2 2 2010 2011 a b b c b ac + = + = = . Bài 3. ( 4,0 điểm) 1/ Giải hệ phương trình 2 2 7 2 2 11 xy x y x y x y − + = + + − = 2/ Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì số ( ) ( ) ( ) 12 1 1 2 1 23 n x n n n n= − + + + + có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp. Bài 4. ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), có 3BC R= và AB < AC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường tròn tại điểm D khác A. 1/ Tính góc BAC. Suy ra tam giác OAH cân; 2/ Chứng minh rằng AD.BC = AB.CD + AC.BD. Bài 5. ( 3,0 điểm) Chứng minh rằng nếu lục giác lồi ABCDEF có 6 góc trong bằng nhau thì có EFAB DE BC CD FA− = − = − . HẾT • Thí sinh không được sử dụng tài liệu. • Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh……………… ……………… Số báo danh……… ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9 THCS HỌC SINH GIỎI TỈNH - NĂM HỌC 2010 - 2011 Ngày thi: 22/03/2011 Bài 1. ( 4,0 điểm) Cho biểu thức 2 3 1 2 1 1 2 x x x P x x x x x x x − − = − + − + + − + 1/ Thu gọn biểu thức P. 2/ Tìm tất cả số thực x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. Giải. 1/ Điều kiện : 0 2x< ≤ ( 0,5 điểm) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 x x x x x P x x x x x x x − + − − − − = + = + = ≠ − − + − + + (0,5x3=1,5 điểm) Khi x = 1 thì P = 1. 2/ 2 2 1 2 x x P x x x − − = = − + − (0,5 điểm) Chứng minh được : ( ) 2 2 2 2 2 2 2x x x x x x x x+ − ≤ + − ≤ + − → ≤ + − ≤ (0,5 điểm) Nên 1 2P≤ ≤ (0,5 điểm) 1 1P Z P x → ∈ ⇔ = ⇔ = (0,5 điểm) Bài 2. ( 5 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương . 1/ Chứng minh rằng 3 3 3 3a b c abc+ + ≥ . 2/ Tính giá trị biểu thức P ab bc= + nếu biết 2 2 2 2 2 2 2 2010 2011 a b b c b ac + = + = = . Giải. 1/ ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3Q a b c abc a b ab a b c abc= + + − = + − + + − (0,5 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3a b c ab a b c a b c a b c = + + − + + − + + + (0,5 điểm) ( ) ( ) 2 3 3 3a b c a b c ab ac bc = + + + + − − − (0,5 điểm) ( ) ( ) 2 2 2 a b c a b c ab ac bc= + + + + − − − (0,5 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 0 3Q a b c a b b c c a a b c abc = + + − + − + − ≥ → + + ≥ (0,5 điểm) 2/ Vẽ tam giác vuông ABC đỉnh A, và đường cao AD có kích thước như hình vẽ có (0,5 điểm) AB = 2010, AC = 2011 (1,0 điểm) và 2 ABC P ab bc S= + = (0,5 điểm) 2010.2011 4042110P = = (0,5 điểm) b a D B A C c Bài 3.( 4 điểm) 1/ Giải hệ phương trình 2 2 7 2 2 11 xy x y x y x y − + = + + − = 2/ Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì số ( ) ( ) ( ) 12 1 1 2 1 23 n x n n n n= − + + + + có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp. Giải. 1/ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 6 2 2 2 2 1 1 13 7 2 2 11 x y x y xy x y x y x y + − = ⇔ + + − = − + = + + − = (0,5 điểm) Đặt u = x+1; v = y-1 . Ta có ( ) 2 25 6 u v uv + = = (0,5 điểm) Có hai trường hợp : + 5 3 2 2 1 6 2 3 3 4 u v u u x x uv v v y y + = = = = = ⇔ ∨ ⇔ ∨ = = = = = (0,5 điểm) + 5 3 2 4 3 6 2 3 1 2 u v u u x x uv v v y y + = − = − = − = − = − ⇔ ∨ ⇔ ∨ = = − = − = − = − (0,5 điểm) 2/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 12 1 2 1 1 23 12 2 1 23 n x n n n n n n n n= − + + + + = + − + + + (0,5 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 12 1 23 12 12 11 2 1 2 1 2 3n n n n n n n= + − + = + + = − + + + + (0,5x3=1,5 điểm) Vậy có điều phải chứng minh. Bài 4.( 4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), có 3BC R= và AB < AC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường tròn tại điểm D khác A. 1/ Tính góc BAC. Suy ra tam giác OAH cân. 2/ Chứng minh rằng AD.BC = AB.CD + AC.BD. Giải. 1/ Trong tam giác vuông IOC với I là trung điểm BC có · · 0 3 sin 60 2 IC IOC IOC OC = = → = (0,5 điểm) · · 0 1 60 2 BAC BOC→ = = (0,5 điểm) Vẽ đường kính AE , có BH, CE cùng vuông góc AC nên BH//CE, tương tự CH//BE. Nên tứ giác BHCE là hình bình hành tâm I. (0,5 điểm) Có OI là đường trung bình tam AHE nên AH = 2OI = 2OC.sin30 0 = R = OA Vậy tam giác OAH cân tại A. (0,5điểm) K E D A B' A' C' H B C I O 2/ Ta có ABK ADC ∆ ∆ : ( · · · · ;BAK DAC ABK ADC= = ) (0,5 điểm) Suy ra . . AB BK AB CD AD BK AD DC = → = (1) (0,5 điểm) Chứng minh tương tự hai tam giác ACK và ADB đồng dạng nên có . . AC CK AC BD AD CK AD DB = → = (2) (0,5 điểm) Từ (1) và (2) có AD.BC = AB.CD + AC.BD (0,5 điểm) Bài 5.( 3 điểm) Chứng minh rằng nếu lục giác lồi ABCDEF có 6 góc trong bằng nhau thì có EFAB DE BC CD FA− = − = − . Giải. - Theo giả thiết suy ra cả 6 góc trong của lục giác đều bằng 0 120 . (0,5 điểm) - Vẽ ba phân giác trong BP, DM, FN. Có các tứ giác BCDP, DEFM, FNBA đều là hình bình hành ( các góc đối bằng nhau) (1 điểm) - Tam giác MNP có 3 góc bằng 0 60 là tam giác đều. (0,5 điểm) AB DE FN FM MN− = − = (0,5 điểm) tương tự suy ra EFAB DE BC CD FA− = − = − (0,5 điểm) A F D P N M B C E Hết . ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐĂK LĂK NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 9 - THCS (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề) Ngày thi: 22/03/2011 Bài. thêm. Họ và tên thí sinh……………… ……………… Số báo danh……… ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9 THCS HỌC SINH GIỎI TỈNH - NĂM HỌC 2010 - 2011 Ngày thi: 22/03/2011 Bài 1. ( 4,0 điểm) Cho biểu thức 2 3 1 2 1. − = − . Giải. - Theo giả thi t suy ra cả 6 góc trong của lục giác đều bằng 0 120 . (0,5 điểm) - Vẽ ba phân giác trong BP, DM, FN. Có các tứ giác BCDP, DEFM, FNBA đều là hình bình hành ( các