2/ Tìm tất cả số thực x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường tròn tại điểm D khác A.. • Giám thị không giải thích gì thêm... 2/ Tìm tất c
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
ĐĂK LĂK NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 9 - THCS
(Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề)
Ngày thi: 22/03/2011
Bài 1 ( 4,0 điểm)
P
1/ Thu gọn biểu thức P.
2/ Tìm tất cả số thực x để biểu thức P nhận giá trị nguyên
Bài 2 ( 5,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương
1/ Chứng minh rằng a3+ + ≥b3 c3 3abc
2/ Tính giá trị biểu thức P ab bc= + nếu biết
2
2010 2011
+ =
=
Bài 3 ( 4,0 điểm)
1/ Giải hệ phương trình
2 2 7
xy x y
− + =
+ + − =
2/ Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì số
( ) ( ) ( )
n
x = n− n n+ n+ + + có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp
Bài 4 ( 4,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), có BC R= 3và AB < AC Gọi
H là trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường tròn tại điểm D khác A
1/ Tính góc BAC Suy ra tam giác OAH cân;
2/ Chứng minh rằng AD.BC = AB.CD + AC.BD
Bài 5 ( 3,0 điểm)
Chứng minh rằng nếu lục giác lồi ABCDEF có 6 góc trong bằng nhau thì có
EF
- HẾT
-• Thí sinh không được sử dụng tài liệu
• Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……… ……… Số báo danh………
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9 THCS HỌC SINH GIỎI TỈNH - NĂM HỌC 2010 - 2011
Ngày thi: 22/03/2011
Bài 1 ( 4,0 điểm)
Cho biểu thức 1 2 2 3
P
− + + − +
1/ Thu gọn biểu thức P.
2/ Tìm tất cả số thực x để biểu thức P nhận giá trị nguyên
Giải.
1/ Điều kiện : 0< ≤x 2 ( 0,5 điểm)
( )
1
(0,5x3=1,5 điểm) Khi x = 1 thì P = 1
P
− + − (0,5 điểm)
Chứng minh được :
Nên 1≤ ≤P 2(0,5 điểm)
Bài 2 ( 5 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương
1/ Chứng minh rằng a3+ + ≥b3 c3 3abc
2/ Tính giá trị biểu thức P ab bc= + nếu biết
2
2010 2011
+ =
+ =
=
Giải
1/ 3 3 3 ( )3 ( ) 3
Q a= + + −b c abc= +a b − ab a b+ + −c abc (0,5 điểm) ( )3 ( ) ( ) ( )
a b c ab a b c a b c a b c
( ) ( )2
3 3 3
= + + + + − − − (0,5 điểm) = + +(a b c a) ( 2+ + −b2 c2 ab ac bc− − ) (0,5 điểm) ( ) ( ) (2 ) (2 )2 3 3 3
2Q= + +a b c a b− + −b c + −c a ≥ → + + ≥0 a b c 3abc
2/
Trang 3Vẽ tam giác vuông ABC đỉnh A, và đường cao AD
có kích thước như hình vẽ có (0,5 điểm)
AB = 2010, AC = 2011 (1,0 điểm)
và
2 ABC
2010.2011 4042110
P= = (0,5 điểm)
b
a D B
c
Bài 3.( 4 điểm)
1/ Giải hệ phương trình
2 2 7
xy x y
− + =
+ + − =
2/ Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì số
( ) ( ) ( )
12 1 1 2 1 23
n
x = n− n n+ n+ + + có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp
Giải.
1/
( )( ) ( ) ( )
7
2 2 11
x y
xy x y
⇔
− + =
Đặt u = x+1; v = y-1 Ta có ( )2
25 6
u v uv
=
(0,5 điểm)
Có hai trường hợp :
( 2 )2 2 ( ) (2 ) (2 )2
= + − + = + + = − + + + + (0,5x3=1,5 điểm) Vậy có điều phải chứng minh
Trang 4Bài 4.( 4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), có BC R= 3và AB < AC Gọi H là trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường tròn tại điểm D khác A
1/ Tính góc BAC Suy ra tam giác OAH cân
2/ Chứng minh rằng AD.BC = AB.CD + AC.BD
Giải
1/ Trong tam giác vuông IOC với I là trung điểm BC
có
2
IC
OC
= = → = (0,5 điểm)
60 2
→ = = (0,5 điểm)
Vẽ đường kính AE , có BH, CE cùng vuông góc AC
nên BH//CE, tương tự CH//BE Nên tứ giác BHCE là
hình bình hành tâm I (0,5 điểm)
Có OI là đường trung bình tam AHE nên
AH = 2OI = 2OC.sin300 = R = OA
Vậy tam giác OAH cân tại A (0,5điểm)
K
E D
A
B'
A'
C' H
O
2/ Ta có ∆ABK : ∆ADC ( ·BAK =·DAC ABK;· =·ADC ) (0,5 điểm) Suy ra AB BK AB CD AD BK
AD= DC → = (1) (0,5 điểm) Chứng minh tương tự hai tam giác ACK và ADB đồng dạng nên có
AC BD AD CK
AD= DB→ = (2) (0,5 điểm)
Từ (1) và (2) có AD.BC = AB.CD + AC.BD (0,5 điểm)
Bài 5.( 3 điểm)
Chứng minh rằng nếu lục giác lồi ABCDEF có 6 góc trong bằng nhau thì có
EF
Giải
- Theo giả thiết suy ra cả 6 góc trong của lục giác đều bằng
0
120 (0,5 điểm)
- Vẽ ba phân giác trong BP, DM, FN Có các tứ giác BCDP,
DEFM, FNBA đều là hình bình hành ( các góc đối bằng nhau)
(1 điểm)
- Tam giác MNP có 3 góc bằng 60 là tam giác đều 0
(0,5 điểm)
tương tự suy ra
EF
A
F
D P
N
M
E
- Hết