Tr ư ờng THPT Phước Bửu Tổ Tốn ƠN TẬP CHƯƠNG II MŨ & LÔGARIT I.MŨ: 1,Các Đònh nghóa 1) a 0 = 1 (a ≠ 0) 2) a -n = 1 n a (a ≠ 0) 3) n n a b b a − = ÷ ÷ 4) n n b a a b= ⇔ = (b>0) 2.Tính chất của căn ( ) 1) 2) 3) 4) n le 5) n n n n n n m n m n n k nk n n a a a b ab b b a a a a a khi a a khi n chan = = = = = 3.Lũy thừa mũ hữu tỷ 1 1) 2) ê ua : m n m n n n a a H q a a= = 4.Tính chất của lũy thừa số mũ thực . 1) . 2) 3) ( ) 4) ( ) . 5) 6) 1 : 1 : a a a a a a a a ab a b a a b b a thi a a a thi a a α α β α β α β β α β α β α α α α α α α β α β α β α β + + = = = = = ÷ • > > ⇔ > • < > ⇔ < II.LÔGARIT 1. Đònh nghóa: log a b = α ⇔ a b α = (a>0, a ≠ 1) 2. Tính chất của lôgarit 1) log a 1 =0 2) log a a =1 3) log a a α = α 4) log a b a b= 3. Quy tắc tính lôgarit 1) log a (b 1 .b 2 ) = log a b 1 + log a b 2 2) log a 1 2 b b ÷ = log a b 1 – log a b 2 Hệ quả: 1) log a 1 b ÷ = – log a b 2) log a b α = α log a b 4. Đổi cơ số: log a b = log log c c b a Hệ quả: 1) log c a . log a b = log c b 2) log a b = 1 log b a 3) 1 log log a a b b α α = 5. So sánh 1 : log log 0 1 : log log a a a a a thi b c b c a thi b c b c • > > ⇔ > • < < > ⇔ < 6. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên 1) Lôgarit thập phân là Lôgarit cơ số 10 log 10 b thường được viết là logb hoặc lgb (Đọc là “lốc b”) Ví dụ : log5 hiểu là log 10 5 lg7 hiểu là log 10 7 2) Lôgarit tự nhiên là Lôgarit cơ số e (vơùi e ≈ 2,71828) Log e b thường được viết là lnb (Đọc là “lốc b” hoặc “lốc Nêpe b”) Ví dụ : ln5 hiểu là log e 5 ln7 hiểu là log e 7 III. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN: 1) Phương trình a x = b b ≤ 0: Pt a x = b vô nghiệm b >0: a x = b ⇔ x = log a b ƠN TẬP CHƯƠNG II GIẢI TÍCH 12 Năm học 2009-2010 Tr ư ờng THPT Phước Bửu Tổ Tốn Tổng quát: a f(x) =b b ≤ 0: Pt a f(x) = b vô nghiệm b>0: a f(x) = b ⇔ f(x) = log a b 2) Phương trình log a x = b log a x = b ⇔ x= a b Tổng quát log a f(x) = b ⇔ f(x)= a b 3) Bất phương trình a x >b (*) b ≤ 0: Tập nghiệm của (*) là R b>0: Ta có (*) ⇔ a x > log a b a , do đó: Với a>1 thì nghiệm của (*) là x> log a b Với 0<a<1 thì nghiệm của (*) là x<log a b 4) Bất phương trình log a x > b Với a>1 thì log a x > b ⇔ x > a b Với 0<a<1 thì log a x > b ⇔ 0<x < a b 2. MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT: Cách 1: Đưa về cùng cơ số , rồi áp dụng công thức: a f(x) = a g(x) ⇔ f(x) = g(x) Với ĐK f(x)>0, g(x)> 0 ta có log a f(x) = log a g(x) ⇔ f(x) = g(x) Cách 2 : Đặt ẩn phụ: Đặt t = a f(x) , ĐK t >0 Đặt t = log a f(x) , không có ĐK Đưa về PT ẩn t để giải CHÚ Ý: 1) a 2x =(a x ) 2 2) 2 log a x nghóa là (log a x) 2 Cách 3 : Lôgarit hóa (Lấy lôgarit cơ số phù hợp cả 2 vế của PT) Chú ý: ĐK để Lôgarit hóa được là cả hai vế của PT đều phải dương. 3. MỘT SỐ CÁCH GIẢI BẤT PT MŨ VÀ LÔGARIT Sử dụng tính chất: Với a>1 thì các hàm số y = log a x và y= a x đồng biến Với 0<a<1 thì các hàm số y = log a x và y= a x nghòch biến Từ đó ta có: Với a>1 thì: 1) a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) > g(x) 2) Với ĐK ( ) 0 ( ) 0 f x g x > > ta có log a f(x) > log a g(x) ⇔ f(x) > g(x) Với 0<a<1 thì: 1) a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) < g(x) 2) Với ĐK ( ) 0 ( ) 0 f x g x > > ta có log a f(x) > log a g(x) ⇔ f(x) < g(x) GHI NHỚ: a>1: BPT không đổi chiều 0<a<1: BPT đổi chiều IV.BẢNG CÁC ĐẠO HÀM: TT ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ HP (u = u(x)) 1 (C) / = 0 (C là hằng số) 2 1/ )( − = αα α xx /1/ .)( uuu − = αα α 3 2 / 11 x x −= 2 / / 1 u u u −= 4 x x 2 1 )( / = u u u 2 )( / / = 5 (sinx) / = cosx (sinu) / = u / .cosu 6 (cosx) / = – sinx (cosu) / = – u / .sinu 7 (tanx) / = x 2 cos 1 = 1+ tan 2 x (tanu) / = u u 2 / cos = u / (1 + tan 2 u) 8 (cotx) / = – x 2 sin 1 = –(1+ cot 2 x) (cotu) / = – u u 2 / sin = – u / (1 + cot 2 u) 9 xx ee = / )( // .)( uee uu = 10 aaa xx ln)( / = auaa uu ln )( // = 11 x x 1 )(ln / = x x 1 )(ln / = u u u / / )(ln = u u u / / )(ln = 12 (log a x ) / = axln 1 (log a x ) / = axln 1 au u u a ln. )(log / / = au u u a ln. )(log / / = V. BÀI TẬP CƠ BẢN ƠN TẬP CHƯƠNG II GIẢI TÍCH 12 Năm học 2009-2010 Tr ư ờng THPT Phước Bửu Tổ Tốn Bài 1 a)Tính A= 0,75 2 2 5 0 32 1 1 0,25 (1 2) 8 16 3 − − − + − + + − ÷ ÷ b) Rút gọn P= 4 1 2 3 3 3 1 3 1 4 4 4 a a a a a a − − + ÷ + ÷ (với a>0) Bài 2 Tính a) A = 1 64 log 2 4 b) A=log 3 6.log 16 27.log 6 2 c)A = 3 2 1 2 4 2 2 .2 .2 + − − − d) A = 3 5 2 5 1 5 6 2 .3 + + + e). A = 2 2 3 3 3 5 5 2 2 2 4 8 (0,04) 144 :16 − + + Bài 3 1.Cho log 2 5 = a, log 2 3 = b. Tính log 30 8 theo a, b. 2. Cho log 2 5 = a. Tính log 4 1250 theo a. Bài 4:Viết các biểu thức dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ 1. 2 2. 5 3 2 2 2 3. 11 16 : ( 0)a a a a a a > 4. 3 27.9.3 5. 3 4 32 . aaaa ( a ≥ 0). 6. 3 4 32 xxxx Bài 5 : Rút gọn các biểu thức sau A= 6 12 2 5 3 5 ( )x y xy− B = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 9 4 3 3 ( 0; 1; ) 2 2 3 a a a a a a a a a a a − − − − − − + + > ≠ ≠ − − C = 3 3 3 3 4 4 4 4 1 1 2 2 ( )( )a b a b ab a b − + − − D = 4 4 4 4 3 4 4 : ( ) a b a b a b a b a a b − − − − + + (a>0,b>0, a b ≠ ) E = 3 1 1 22 22 4334 )( )(3 2 ))(( − − − − + ++ ++++ yxx yxy xyyx yxyxyyxx :(x+y) -1 Với x > 0 , y > 0 , x y ≠ và x y −≠ . Bài 6. Tìm đạo hàm của các hàm số: a) y = 2xe x +3sin2x b) y = 5x 2 – lnx+ 8cosx c) y = ln 1 x x e e+ d) y = sin2 2 ln( 1) x e x+ + Bài 7 Giải các phương trình sau: a) 2 3 3 7 7 11 11 7 x x− − = ÷ ÷ b) ( ) 1 5 7 2 1,5 3 x x + − = ÷ c) 2.16 x – 17.4 x + 8 = 0 d) log 4 (x+2) = log 2 x Bài 8. Giải các bất phương trình sau: a) 9 x – 5.3 x + 6 < 0 b) log 3 (x+2) >log 9 (x+2) Bài 9 Giải các phương trình sau: 1/ 16 17.4 16 0 x x − + = 2/ 81 10.9 9 0 x x + − = . 3/ 36 35.6 36 0 x x + − = 4/ 49 8.7 7 0 x x + + = . 5/ 1 5 5 6 0 x x− + + = 6/ 1 7 7 8 0 x x− + − = 7/ 5.25 3.10 2.4 x x x + = 8/ 4.9 12 3.16 0 x x x + − = 10 2 3 .2 1 x x = 11/ 2 4 .3 1 x x = 12/ 2 9 .7 1 x x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 10 Giải các phương trình sau: a) 2 2x+2 – 9.2 x +2 = 0 b) log 4 x+log 2 (4x) = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 11 Giải các phương trình sau: a) 3 2x+1 – 9.3 x +6 = 0 b) 3 4 1 8 16 log log log 5x x x+ + = c) 2 2 1 2 2 log 3log log 2x x x+ + = Bài 12 Giải các phương trình sau: a) 2 2 1 3 3 log 9 log 8 27 x x + = b) log 5 x = log 5 (x+6) – log 5 (x+2) c) 2.16 x – 15.4 x – 8 = 0 Bài 13 Tìm tập xác đònh của hàm số ƠN TẬP CHƯƠNG II GIẢI TÍCH 12 Năm học 2009-2010 Tr ư ờng THPT Phước Bửu Tổ Tốn 2 2 3 4 ) log ( 4 5) 1 ) log (3 ) 27 x x a y x x b y π − = − + + = − Bài 14 Giải các phương trình sau: a) 25 x – 26.5 x + 25 = 0 2 2 2 2 8 2 1 1 ) log 3 log 3 7 2 ) log 9log 4 ) 2 2 12 2 x x x b x x c x x d + + − − + − = − = − = + Bài 15. Giải các bất phương trình sau: 2 1 2 1 1 15 15 ) log ( 5 6) 3 )log ( 2) log (10 ) 1 a x x b x x − − ≥ − − + − ≥ − Bài 16. Tìm đạo hàm của các hàm số: a) y = e 2x+1 .sin2x b) y = ln 2 1x + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 17. 1. Cho f(x) = ln( 2 1 x x e e+ + ). Tính f / (ln2) 2. Cho hàm số y = e -sinx . Chứng minh : y’cosx – y.sinx +y’’ = 0 3. Cho hàm số y = 1 ln 1 x+ . Chứng minh : x.y’+ 1 = e y Bài 18 Giải các phương trình sau: a) 3 2+x + 3 2 – x = 30 b) 2 4 8 11 log log log 2 x x x+ + = Bài 19. Giải các bất phương trình sau: ( ) 2 2 4 12 4 12 3 1 1 2 1 ) 1 ) 3 1 3 ) ( 10 3) ( 10 3) x x x x x x x x a b c − − − − − + − + > > ÷ + < − Bài 20. Giải các PT và bất PT sau: a) 125 x +50 x = 2 3x+1 b) 2 x +2 3 – x ≤ 9 Bài 21. Giải các PT và bất PT sau: a) log 2 (x 2 +3x+2) + log 2 (x 2 +7x+12) = 3 + log 2 3 b) log x (x - 1 4 ) ≥ 2 Bài 22 : Vẽ đồ thị các hàm số sau : 1. y = 2 x 2. y= ( 1 ) 2 x 3. y =log 2 x 4. y = log 1 2 x VI. NÂNG CAO Bài 23. Giải các PT, hệ PT sau: 2 2 3 2 2 2 1 3 3 1 4 2 4 2 2 2 5 4 ) log log 1 5 0 ) 4 2 2 2 1 log ( ) log 1 ) 2 2 3 ) 25 x x x x x x x x y y a x x b y y x y c d x y + − + − = − + + − = + = + − − = − = + = Bài 24. Giải các PT, hệ PT, bất PT sau: 2 2 2 3 9 3 2 2 5 5 5 1 2 1 ) 3log (9 ) log 3 ) 2 4.2 2 4 0 ) 3.8 4.12 18 2.27 0 ) log (4 144) 4log 2 1 log (2 1) x x x x x x x x x x x x y a x y b c d + − − − + − = − = − − + = + − − = + − < + + Bài 25. Giải các PT, bất PT sau: 3 1 3 2 2 ) 2log (4 3) log (2 3) 2 ) ( 2 1) ( 2 1) 2 2 0 1 ) log (4 15.2 27) 2log 0 4.2 3 x x x x x a x x b c − + + ≤ − + + − = + + + = − Bài 26. Giải các PT, bất PT sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 2 2 ( 1) 2 2 2 1 3 27 2 9 81 2 ) 4 2.4 4 0 ) 3 3 10 ) 3 3 4 ) 5.4 2.25 7.10 log log (2 1)3 1 ) log 1 ) 2 log (2 1) log 1 log 1 log ) ) log (2 1) 1 1 log 1 log ) 8 3.2 16 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x a b c d x xx e f x x x x x g h x x x k + − + + − − − + − + = + < + = + ≤ +− < ≤ ÷ − + + + = − ≤ − + + − − ≤ Hết ƠN TẬP CHƯƠNG II GIẢI TÍCH 12 Năm học 2009-2010 . x g x > > ta có log a f(x) > log a g(x) ⇔ f(x) > g(x) Với 0<a<1 thì: 1) a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) < g(x) 2) Với ĐK ( ) 0 ( ) 0 f x g x > > ta. α α α α α β α β α β α β + + = = = = = ÷ • > > ⇔ > • < > ⇔ < II. LÔGARIT 1. Đònh nghóa: log a b = α ⇔ a b α = (a > 0, a ≠ 1) 2. Tính chất của lôgarit 1) log a 1. của (*) là x<log a b 4) Bất phương trình log a x > b Với a > 1 thì log a x > b ⇔ x > a b Với 0<a<1 thì log a x > b ⇔ 0<x < a b 2. MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH