Đề cương ôn tập chương II Đại số 9

NÕu ng êi thø nhÊt lµm mét m×nh trong 9 ngµy vµ ngêi thø hai ®Õn lµm tiÕp trong 1 ngµy n÷a th× xong viÖc.. KIÕN THøC CÇN NHí.[r]

Hệ phơng trình I Hệ phơng trình không chứa tham số.

Dạng 1: Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng, phơng pháp thế. Ví dụ : Giải hệ phơng trình sau:

a)

2x y 3x y   



 

 §S: x y    

 b)

2x 3y

5x 2y   



 

 §S: x y      c)

5x 2y

4x 3y   



  

§S: (x ; y ) = ( -1 ; )

Bµi 1 a)

2x 3y

3x 2y

  



 

 b)

4x 3y 2x y

  



 

 c)

9x 8y 2x y

       d)

x 6y 17 5x y 23

  



 

 e)

7x 4y 74 3x 2y 32

  



 

 f)

x 3y 2x 6y 12

        Bµi 2 a) x y

5x y 11           b)

a b

5 3

4a 5b 10           c) x y

x y 10          Bµi 3: a)

x y

x y

         b)

( 1)x y

x ( 1)y

           c)

x 3y

2x y 2

         d)

x y

x y

         e)

(x (1 3)y (1 3)x y

           f)

5x y 2 x y 2

         Bµi 4: a)

6(x y) 2x 3y 5(y x) 3x 2y

    



   

 b)

(x 1)(y 2) (x 1)(y 3) (x 5)(y 4) (x 4)(y 1)

    

 

    

 c)

(x 2)(y 1) xy (x 8)(y 2) xy

  

 

  



Bµi a)

5x y 2 (1) x y 2 (2)

         b)

(2 3)x 3y (1) 4x y (2)

            Đáp số:

a) Nghim ca h phng trỡnh (x; y) = (1/ 6; -1/ 2) b) Nghiệm hệ phơng trình (x; y) = (1; -2 3) Dạng 3: Giải hệ phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình

a)

2

1 x y

2

1 x y           

Đáp số: ĐK: x1, y NghiƯm lµ

3 x y        b) x y

2

1 x y         

Giải: Điều kiện x 0, y Đặt

1

a , b

x  y  ta có hệ phơng trình :

1 a

a 3b a 3b 5a 5

2a b 6a 3b 2a b 1

b 2a

5                                     Do 1 x x 5 11

1 y 2

3

2 y

                 

 ( thỏa mÃn điều kiện )

Vậy hệ phơng trình có nghiệm

x; y 5;11       VÝ dô 2:

a) x y 1 x y          

 b)

6

3 x 2y x 2y

3

1 x 2y x 2y              

 c)

x y

2 x y

    

Đáp sè: a) (1; -1) b) (

1 29 ; 36 72  

) c) (1; -1) D¹ng thø nhÊt:

a) 1 x y x y            b) x y 10 x y            c)

1 1

x y

10 1 x y            d)

1 1

x y 24

2 x y           e) 1 x y

2

1 x y                f) x y

5 29

x y 20                g) 1 x y 12

1

3 x y 12              h) 2x y

3 13

2x y

               i) 1 x y

2

1 y x               

D¹ng thø hai:

a)

2x y

2 x y

x 3y

1 x y                b) 2x 3y 3x y

3

21 3x y 2x 3y                c)

7

x y x y

3

4 x y x y                    d) x x y y 12

x x

2 y 12 y              e) 2x y x y

1

0 2x y x y                f)

4 5

x y 2x y

3

x y 2x y

                  

Bài 1: Gải hệ phơng trình | x y |

(II)

2x y

   



  

 Híng dÉn: Gi¶i hƯ (II) ta quy vỊ gi¶i hai hƯ sau:

x y

(*)

2x y

   



  



y x

(**)

2x y

   



  



NghiƯm cđa (II) lµ: ( 1 2; -1-2 2) vµ ( 1  2; 2) II Hệ phơng trình chứa tham số.

Dạng 1: Giải hệ phơng trình biết giá trị tham số. Bài 1: Cho hệ pt

x ay a.x y

  



 

 (I)

a) Gi¶i hƯ pt a =

b) Với giá trị a hệ pt có nghiƯm nhÊt Gi¶i:

Khi a = hƯ pt cã nghiÖm (x;y) = (1;0) x ay

(I) (1 a )y a (*)

a(1 ay) y  



     

   

HƯ cã nghiƯm nhÊt vµ chØ pt (*) cã nghiÖm nhÊt ⇔ - a2 a 1 Bài 2.

Giải hệ phơng trình sau với m=1

m x y  2mx 3y

  

  

 

Đáp số :

1 x

4 y

2 

       

D¹ng 2: Giải biện luận hệ phơng trình có chứa tham số tham số. Chú ý:

Phơng trình ax = b (1)

+ Nếu a = phơng trình (1) cã d¹ng 0x = b

- Khi b = phơng trình (1) có dạng 0x = phơng trình có vô số nghiệm - Khi b phơng trình (1) vô nghiệm

+ Nếu a phơng trình (1) có nghiệm nhÊt b a

VÝ dơ : Gi¶i biện luận phơng trình theo m : (m - 2)x + m2 - = (1)

(m - 2)x = (2 - m)(2 + m)

+ NÕu m 2 th× (1)  x = - (m + 2) + NÕu m = th× (1) vô số nghiệm

Ví dụ 2: Giải biện luận số nghiệm hệ phơng trình sau theo tham sè m a)

2x my (1) mx 2y (2)

 

 

 

 b)

mx 4y 10 - m (1) x my (2)

  



 



Ta cã (1)<=> x= my

2 

(1’) Thay (1’) vµo (2) ta cã:

2

2 my

m 2y m m y 4y

2

(4 m )y m

(2 m)(2 m)y m (3) 

         

    

Ta cã (2) <=> x = 4-my (2’) Thay (2’) vµo (1) ta cã:

m(4-my)+4y=10-m <=>(4-m2)y=10-5m (3) *) NÕu m =2,

pt (3) thành : 0y = (vô số nghiƯm) => HƯ pt v« sè nghiƯm: (x=4-my; yR) *) NÕu m = -2,

*) NÕu m=2,

pt(3) thành 0y = (vô số nghiệm ) => Hệ phơng trình vô số nghiệm

(x= 2y

; y R



 )

*) NÕu m =-2, pt (3) thành 0y = (vô nghiệm) Hệ phơng trình vô nghiƯm

*) NÕu m  2 th× pt(3) cã nghiÖm nhÊt

y=

2 m thay vµo (1’) ta cã x = m .

*) NÕu m  th× pt(3) cã nghiÖm nhÊt±

y =

2 m Thay vµo (2’) cã

x= m m

 

VËy

*) Nếu m=2, hệ phơng trình có vô số nghiÖm

NghiÖm TQ: ( 2y

; y 

) víi yR

*) NÕu m =-2, hệ phơng trình vô nghiệm

*) Nếu m hệ phơng trình có nghiệm

nhÊt (x=

2 m , y = m .)

VËy

*) Nếu m=2, hệ phơng trình có vô số nghiệm

NghiƯm TQ: (4-my; y) víi yR *) Nếu m =-2, hệ phơng trình vô nghiệm *) Nếu m 2, hệ phơng trình có nghiệm

duy nhÊt (x= m m



 ,y = m )

(Cần lu ý, sử dụng phơng pháp cộng đại số để giải toán trên, bắt buộc phải nhân hai vế hai phơng trình với m nên mắc thiếu sót nh khơng phân trờng hợp m=0 hay m0.)

Bµi 1: Cho hƯ pt:

mx y 2x y

 

Giải biƯn ln hƯ theo m Bµi lµm:

2x y mx y

  



 

 

(2 m)x (1)

2x y (2)

 

 

  

+ XÐt ph¬ng tr×nh (1) (2 + m)x =

- NÕu + m =  m = - phơng trình (1) có dạng 0x = (3) Do phơng trình (3) vô nghiệm hệ vô nghiÖm

- NÕu + m 0  m -

Thì phơng trình (1) có nghiệm nhÊt x = m

+ Thay x =

2 m vào phơng trình (2) ta cã:y = 2x - =

2 m .- = m m

 

VËy víi m  - th× hƯ cã nghiƯm nhÊt

3 x

2 m - m y

2 m 

 

 

   

 

Bµi 2:

Cho hƯ pt:

nx+y=2n nx+ny=n 

 

Gi¶i vµ biƯn ln hƯ theo n Bµi Cho hƯ phơng trình :

x - (m 3)y (m - 2)x 4y m -

 

 

 

 (m tham số). a) Giải hệ m = -1

Bài Cho hệ phơng tr×nh. mx 2y 2x - 4y

  



 

a) Gi¶i hƯ víi m=1

b) Tìm m để hệ có nghim nht

Đáp số: a) x=

4 -1 y=

8      

 b)

2x - y

4 2(m 1)x 

  

  

 hÖ cã nghiệm m1 Dạng 3: Tìm giá trị tham sè biÕt dÊu cđa nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh.

B

ớc 1: Tìm điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm (có thể đề yêu cầu nghiệm nhất) B

íc 2: Gi¶i hƯ theo tham sè B

ớc 3: Từ điều kiện nghiệm cần thoả mãn mà toán đặt ta tìm tham số Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình:

x my mx 2y

 

 

 



Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) thoả mãn (x>0;y<0) H

ớng dẫn giải : Xét hệ phơng trình

x my 2(1) mx 2y 1(2)

 

 

 



*) Tõ (1) <=> x = 2-my (1’), thay vµo (2) ta cã: m(2-my)-2y=1 => (m2+2)y = 2m-1 (3)

Do m2+2> m => (3) lu«n cã nghiƯm nhÊt Suy ra: hƯ lu«n cã nghiƯm (x,y) nhÊt.

*) Khi y = 2m

m



 , thay vµo (1’) ta cã

1 m

2   

x = m

m

 

*) §Ĩ (x>0;y<0) th× :

2 m

m

0 m 0

1

m 4 m

1

2m 2m m

0 2

m

 

 

 

   

  

     

  

    

  

 

 

VËy víi

1 m

2   

th× hệ phơng trình có nghiệm (x;y) thoả mÃn (x>0;y<0)

Ví dụ 2: Cho hệ phơng trình:

mx 2my m x (m 1)y

  

 

  

 Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) nhất thoả mãn điểm M(x;y) nằm góc phần t thứ

H

íng dÉn gi¶i : Xét hệ phơng trình

mx 2my m 1(1) x (m 1)y 2(2)

  

 

  



*) Tõ (2) <=> x = -(m+1)y (2’)

Thay (2’) vµo (1) ta cã m[2-(m+1)y]+2my=m+1 <=> m(m-1)y=m-1(3) HƯ cã nghiÖm nhÊt <=> pt(3) cã nghiÖm nhÊt <=> m0 vµ m1.(*)

*) Khi đó, (3) => y =

m thay vµo (2’) ta cã x = m

m 

*) §iĨm M(x;y) n»m gãc phÇn t thø nhÊt vµ chØ (x>0,y>0)

<=>

m

0 m 0 m 1

m m 1

1 m m

0 m

 



     



   

  

 

 

   

VËy víi m > th× hệ phơng trình có nghiệm (x;y) thoả mÃn ®iỊu kiƯn ®iĨm M (x;y) n»m gãc phÇn t thø nhÊt

2x - y m - x 2y 3m

 



  



a) Gi¶i hệ phơng trình sau theo m

b) Tỡm m để hệ phơng trình có nghiệm x>0 y>0

Đáp số: a) x=m y=m+2

b) m>0

Bài Cho hệ phơng trình x my 3m

mx y m

 

 

   

a) Giải hệ phơng trình sau theo m

b) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm x>0 v y>0

Đáp số: a)

x m y

  



 b) m>0

Bµi 3.

Cho hƯ pt:

x 2y mx y

  



 



Tìm m để x < 0, y < Bài 4.

Cho hÖ pt:

2

2 x+ay=a +a+1 ax+3y=a +4a 

  



Tìm m để x > 0, y <

Dạng 4: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình.

D.4.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình. Phơng pháp:

Cho hệ pt:

ax by c (1) a x b y c (2)

  



    

 cã nghiÖm

0

0 x x y y   

  Thay x = x0; y = y0 lÇn lợt vào (1) giải Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) giải

Bài Cho hệ phơng trình

2

3x - 2y = (1)

(5n +1)x - (n - 2)y = n - 4n - (2) 

 

Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2)

Gi¶i: Thay (x; y) = (2; 1) vµo (1) ta cã: - 2.(- 2) = 7 + = VËy (2; 1) lµ nghiƯm cđa (1)

Thay (x; y) = (1; -2) vµo (2) ta cã: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 - 4n -

 7n - = n2 - 4n - 3 n(n -11) = 

n n 11

    

Vậy với n = n = 11 hệ cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2)

Bài Cho hệ phơng trình

2

2

5m(m -1)x + my = (1- 2m) (1)

4mx + 2y = m + 3m + (2) 

   

Tìm m để hệ có nghiệm x = 1; y =

5m2 - 5m + m = - 4m + 4m2  m2 = 

m

m

     (I) Thay x = 1; y = vµo (2) ta cã:

4m + = m2 + 3m +  m(m - 1) = 

m m      (II) Tõ (I) vµ (II) Với m = 1(TMĐK) hệ pt có nghiệm x = ; y =

D.4.2: T×m hai giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình. Phơng pháp:

Cho hệ pt:

ax by c a x b y c

  



    

 cã nghiÖm

0

0 x x y y   

 

Thay x = x0; y = y0 vào hệ pt ta đợc

0

0

ax by c

a x b y c

 

 

     

 Gi¶i hƯ pt chøa Èn lµ tham sè. Bµi 1.

Cho hƯ pt:

2mx (n 2)y (m 3)x 2ny

  

 

  

 Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1 Giải: Thay x = 3; y = - vào hệ pt ta có:

(m 3).3 2n.( 1) 6m (n 2).( 1)

   

 

   

 

3m 2n

12m 2n 14   



 

 

m n

  

  VËy víi m = vµ n = th× hƯ cã nghiƯm x = 3; y = - Bµi 2:

a) Xác định hệ số a b, biết hệ phơng trình

2x by

bx ay

  



 

 cã nghiÖm lµ (1; -2) b) Cịng hái nh vËy nÕu hƯ phơng trình có nghiệm 1;

Bài 3: Cho hệ phơng trình

2x ay b ax by

  



  

a) Gi¶i hƯ a=3 ; b=-2

b) Tìm a;b để hệ có nghiệm l (x;y)=( 2; 3)

Dạng 5: Tìm giá trị tham số biết hệ thức liên hệ x y. Bài Cho hệ phơng trình

mx + y = (1) 2mx + 3y = (2) 



 (I)

Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn: (2m - 1)x + (m + 1)y = m (3) Giải:

Điều kiện để hệ có nghiệm nhất: m.32.m  m  Từ (1)  y = - mx Thay vào (2) ta có:

2mx + 3(5 - mx) =  x =

m (m0)

Thay x =

m vµo y = - mx ta cã: y = - 9m

m = - 4

VËy víi m0 hƯ (I) cã nghiƯm x =

Thay x =

m; y = - vào pt (3) ta đợc:

(2m - 1)

m + (m + 1)(- 4) = m

 18 -

m - 4m - = m 5m2 - 14m + = 0 (m - 1).(5m - 9) = 0



m m

5     

 (thoả mÃn)

Vậy với m = m =

5 th× hƯ (I) cã nghiƯm thoả mÃn pt (3). Bài Cho hệ phơng trình.

2x - y m - x 2y 3m

 



  



Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn 2 x +y =10

Đáp số:

x m y m

  

 

 thay x, y vào hệ thức giải phơng trình ta đợc m =1 m=-3

Bµi Cho hệ phơng trình:

3x m y 12 m x 12y 24

  

  



a) Giải hệ phơng trình với m = b) Giải biện luận hệ phơng trình

c) Tỡm m h phng trỡnh có nghiệm ( x ; y ) cho x < y d) Tìm m để hệ có nghiệm âm

e) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x + y > f) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x + y = -1 g) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên

h) Với ( x ; y ) nghiệm hệ Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m

Giải :

a Giải hệ phơng trình với m = ( tự làm ) b Giải biện luân hệ phơng trình.

   

 

 2    

36x 12 m y 144

3x m y 12

m x 12y 24 m x 12 m y 24 m

  



  



 



 

       

 



Trừ vế hai phơng trình ta cã :

     

     

2

m x 36x 24 m 144 m 36 x 24m 24 144

m m x 24m 168

 

          

 

    

Nếu m = thay vào hệ phơng trình ban ®Çu ta cã :

3x 6y 12 x 2y

x 2y x 2y

6x 12y 24 x 2y

   

 

      

 

   

Hệ vô số nghiệm dạng ( - 2t ; t ) víi t R

Nếu m = -5 thay vào hệ phơng trình ban đầu ta có :

3x 6y 12 x 2y

6x 12y 24 x 2y

   

 



 

    

 NÕu m5 vµ m 7 tõ (3) ta cã :    

     

24 m

24m 168 24

x

m m m m m

 

  

    

Thay vµo (2) ta cã:

m  24 12y 24 12y 24 24 m 1  y 2 m 1  y 12

m m m m

 

 

           

   

 

Tãm l¹i :

 Nếu m = -5 hệ phơng trình cho vơ nghiệm

 Nếu m = -7 hệ phơng trình cho có vơ số nghiệm x = - 2t , y = t với t R

 Nếu m5 m 7 hệ phơng trình cho có nghiệm nhất:

24 12

x , y

m m

 

 

Chú ý : Khi tìm đợc

24 x

m 

 ta không nên thay vào (1) để tìm y hệ số y m và ta lại phải xét trờng hợp hệ só khác để tìm y

c Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm ( x ; y ) cho x < y. Theo câu trên, phơng trình có nghiệm m5; m 7

Khi nghiệm hệ :

24 12

x , y

m m

 

 

 

24 12

x y

m m

  

 

Với m5; m 7 ta có (x + 5)2 >0 Nhân hai vế (1) với (x + 5)2 >0 ta đợc bất phơng trình

   

24 m 5 12 m 5  24m 120 12m 60   12m 60 m 5 KÕt hỵp víi điều kiện ta có m < -5 giá trị cần tìm

Chú ý :

Khi nhân hai vế bất phơng trình với biểu thức ta phải ý xem biểu thức đó dơng hay âm để đổi chiều hay khơng đổi chiều bất đẳng thức

Nếu đề cho làm câu c ( d, e, f, g ) mà khơng cho câu b làm, b ớc ta phải tìm điều kiện để hệ có nghiệm nhất, ta trình bày nh câu b tới (3) lập luận hệ có nghiệm duy (3) có nghiệm  m5 m 7

d Tìm m để hệ có nghiệm nht õm.

Theo câu trên, phơng trình có nghiƯm nhÊt m5 vµ m 7

Khi nghiệm hệ :

24 12

x , y

m m

 

 

HÖ cã mét nghiÖm nhÊt ©m 24

0 m 0

m m 0 m 5

12 m

0 m 



   

 

      

 

  

 

  

Kết hợp với điều kiện ta có m < -5 giá trị cần tìm

Chỳ ý: Nghiệm ( x ; y ) hệ đợc gọi âm x < y < Nghiệm dơng, không âm, không dơng hệ tơng tự.

e Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x + y > 1

Khi nghiệm hệ :

24 12

x , y

m m

 

 

HƯ cã nghiƯm nhÊt tho¶ m·n x + y >

24 12 36 m 31 m

1 0

m m m m

  

      

   

 

31 m m 31

m m m 31

5 m 31

m

31 m m 31

v« nghiƯm

m m

    

 

 

     

 

 

       

       

 

   

 

 

Kết hợp với điều kiện ta có  5 m 31 m 7 giá trị cần tìm f. Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x + y = -1.

Theo câu trên, phơng trình có mét nghiÖm nhÊt

m

m   



 .

Khi nghiệm hệ :

24 12

x , y

m m

 

 

HÖ cã nghiÖm nhÊt tho¶ m·n x + y = -1

 

24 12 36 2m 10 46 2m

2 0

m m m m

46 2m m m 23

  

      

   



Kết hợp điều kiện ta có m = - 23 giá trị cần tìm

g Tỡm m nguyờn h cú nghiờm nht l nghim nguyờn

Theo câu trên, phơng trình có nghiệm m5 m 7

Khi nghiệm hệ :

24 12

x , y

m m

 

 

Hệ có nghiêm nghiệm nguyên

24 12

vµ

m 5 m 5 số nguyên

Vì m nguyên nên m + lµ íc cđa 24 vµ 12  m 5   12; 6; 4; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12     

 

m 17; 11; 9; 8; 7; 6; 4; 3; 2; 1; 1;

           

Kết hợp điều kiện ta có m  17; 11; 9; 8; 7; 6; 4; 3; 2; 1; 1          giá trị cần tìm h Với ( x ; y ) nghiệm hệ Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ

thuéc vµo m.

Ta cã

 

   

3x m y 12 3x my y 12 my y 3x 12

I

mx x 12y 24 mx x 12y 24

m x 12y 24

  

        



 

  

     

    

 

Thay y = vµo hƯ ta cã :  

3x 12 x

m x 24 m



  





 

  

 



Thay m = vào hệ ta đợc

3x 6y 12 x 2y

x 2y

6x 12y 24 x 2y

   

 

   

 

   

  ( hƯ v« sè nghiƯm )

 

2 2

y 3x 12

m y 3x 12

y

I x x 12 24

y mx x 12 24

xy 3x 12x xy 12y 24y 3x 12x 12y x 4x 4y

  

  



     

    

              

VËy biÓu thøc cần tìm x2 - 4x + 4y = 0

Bài Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm thoả mãn: x2 2x y 0 

x my 3m

mx y m

 

 

   

Đáp số: Giải hệ theo x, y sau thay vào hệ thức Ta có

m

m

   

   

Bµi 6: Cho hệ phơng trình: (a 1)x y a x (a 1)y    



 

Tìm giá trị a tho¶ m·n 6x2 - 17y = 5.

Dạng 6: Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm nguyên. Chú ý:

+) a

Z

m  m¦(a) (a, m Z)

+) a

Z m

b Z m

     



  m Ư(a,b)

Bài 1

Cho hệ pt:

(m 2)x 2y mx y

  

 

 



Tìm m Z để hệ có nghiệm nguyên Giải:

Từ (2) ta có: y = mx - Thay vào (1) ta đợc: (m + 2)x + 2(mx - 1) =

 3mx + 2x = 7

 x.(3m + 2) = (m 

2 

)

 x = 3m 2 .

Thay vµo y = mx -  y =

3m + 2.m -  y = 4m - 3m +

§Ĩ x Z 

3m + 2 Z  3m +  ¦(7) = 7; 7;1; 1  

+) 3m + = - 7 m = -

+) 3m + = 7 m =

3 (Lo¹i)

+) 3m + = 1 m = 

Thay m = - vµo y =

4m -

3m +  y = (t/m)

Thay m = - vµo y =

4m -

3m +  y = (t/m)

Kết luận: m Z để hệ có nghiệm nguyên m = -3 m = -1 Bài 2

Cho hÖ pt:

(m 3)x y mx 2y

   



 



Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Giải:

Tõ (1) ta cã y = - (m - 3).x  y = - mx + 3x

Thay vµo (2) ta cã: mx + 2.(2 - mx + 3x) = 8 - mx + 6x =  x.(6- m) = (m 6)

 x =

6 m Thay vµo y = - (m - 3).x ta cã: y =

24 6m m

 

§Ĩ x Z 

6 m  Z  - m  ¦(4) = 1; 1; 2; 2; 4; 4   

+) - m =  m = +) - m = -1 m = +) - m =  m = +) - m = - 2 m = +) - m = 4 m = +) - m = - 4 m = 10

Thay m = vµo y =

24 6m m



  y = - (t/m)

Thay m = vµo y =

24 6m m



  y = 18 (t/m)

Thay m = vµo y =

24 6m m



  y = (t/m)

Thay m = vµo y =

24 6m m



  y = 17 (t/m)

Thay m = vµo y =

24 6m m



  y = (t/m)

Thay m = 10 vµo y =

24 6m m



  y = (t/m)

Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên m 5;7;4;8;2;10

Bài 4: Cho hệ phơng trình

x y m

2x my

  



 

 (1) Giải hệ phơng trình (1) m = -1 Xác định giá trị m để:

a) x = vµ y = nghiệm hệ (1) b) Hệ (1) vô nghiệm

3 Tìm nghiệm hệ phơng trình (1) theo m Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = Đáp số: Khi m = - 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2.

2a) HÖ (1) cã nghiƯm x = vµ y = m = 2b) m = - 2: HƯ (1) v« nghiÖm

3. HÖ (1) cã nghiÖm: x = m

4. HÖ (1) cã nghiÖm (x, y) tháa: x + y =  m m 2

+ 2m m 2

=  m2 + m - = 

m 1(thỏa ĐK có nghiệm)

m 2(không thỏa ĐK có nghiệm)  

 

 .

VËy m = 1, hÖ( cã nghiÖm (x,y) tháa: x + y =

Bài : Cho hệ phơng trình

x y

2x 3y m

 

 

 

 (1)

1 Giải hệ phơng trình (1) m = -1

2 Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa

x

y

  



 .

Đáp số:

1 Khi m = -1, hƯ(1) cã nghiƯm: x = 13 vµ y = - T×m:

NghiƯm cđa hƯ (1) theo m: x = 12 - m ; y = m -

Theo đề bài:

x

y

  



 

12 m

m

  



 

 

m 12

m

  



  m < 8.

Bài 6: Cho hệ phơng trình

2x y 3m

3x 2y 2m

  

 

  

1 Giải hệ phơng trình m = -

2 Với giá trị m hệ pt có nghiệm (x; y) tháa

x

y

 

.

Đáp số:

1 Khi m = - , hÖ pt cã nghiƯm: x = vµ y = - T×m:

NghiƯm cđa hƯ (1) theo m: x = 4m + ; y = - - 5m

Theo đề bài:

x

y

  



 

m

m

   

 

  - < m < -

Bµi 7: Cho hệ phơng trình :

2mx y

mx 3y

  

 

 

 (1)

1 Gi¶i hƯ (1) m =

2 Xác định giá trị m để hệ (1):

a) Có nghiệm tìm nghiệm theo m b) Có nghiệm (x, y) thỏa: x - y =

Đáp số:

1 Khi m = 1, hÖ (1) cã nghiÖm: x = - ; y =

2a) Khi m  0, hÖ (1) cã nghiÖm:

2 x

m y 

    



2b) m = 

Bài : Cho hệ phơng trình :

mx y m

2x y m

 

 

   

b) Tính giá trị tham số m để hệ phơng trình (I) có nghiệm tính nghiệm theo m

Đáp số:

a) Khi m = - 2, hÖ (I) cã nghiÖm: x = 3 ; y =

1 3. b)

HÖ (I) cã nghiÖm nhÊt m 4

Khi hệ (I) có nghiệm nhất:

3m x

m  

 ;

2

m 3m

y

m  



Dạng 7: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Bµi Cho hÖ pt:

2 mx - y = m (1)

2x + my = m + 2m + (2) 

  



a) CMR hƯ pt lu«n cã nghiƯm nhÊt víi mäi m

b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + nhận GTNN Tìm giá trị đó. Giải:

a) Do m2 0 víi mäi m

 m2 + > víi mäi m Hay m2 +  víi mäi m

VËy hƯ pt lu«n cã nghiƯm nhÊt víi mäi m b) Rót y tõ (1) ta cã: y = mx - m2 (3)

Thế vào (2) ta đợc

2x + m(mx - m2) = m2 + 2m +2  2x + m2x - m3 = m2 + 2m +2  2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2 x(2 + m2) = (m3 + 2m) + (m2 + 2)  x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) m2 + 0

 x = m +

Thay vào (3)  y = m.(m + 1) - m2 = m Thay x = m + 1; y = m vào x2 + 3y + ta đợc: (m + 1)2 + 3m + = m2 + 5m + 5

= (m2 +

5 25

m )

2  

=

2

5 5

(m )

2 4



  

Do

2

(m )

2

 

VËy (x2 + 3y + 4) = 

m =  Bµi Cho hƯ pt:

2

2

3mx y 6m m (1)

5x my m 12m (2)

    

 

  





Tìm m để biểu thức: A = 2y2 - x2 nhận GTLN Tìm giá trị đó Giải:

Tõ (1) ta cã: y = 3mx - 6m2 + m + Thay vµo (2) ta cã: 5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m

 x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2 0 víi mäi m)



3 6m 10m

x 2m

3m



 



Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + ta đợc y = m + 2

= -2(m2 - 4m + 4) +16 =

2

2(m 2) 16 16

    Do 2(m 2) 0 m VËy max A = 16 m =

Dạng 8: Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào tham sè. Bµi Cho hƯ pt:

2mx 3y x 3my   



  



a) CMR hƯ lu«n có nghiệm

b) Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m Giải:

a) §Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt ta xÐt:

2m.3m - 3.(-1) = 6m2 + > víi mäi m

VËy 6m2 + .0 víi mäi m Hay hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt

b) Rút m từ (1) ta đợc m = 3y

2x 

thay vµo (2) ta cã: -x + 3y

2x 

=  2x2 + 8x -15y + 9y2 = hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m.

Bài Cho hÖ pt:

(m-1)x+y=m x+(m-1)y=2 



Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m Bài 3

Cho hệ pt:

2

2 5x+ay=a +12a 3ax-y=6a -a-2 

  



T×m hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào a Bài tập nhà:

Bài 1: Giải hệ phơng trình:



( -1)

- =

m -1 n ( +1)

+ =

m -1 n

Bµi 2: Cho hệ phơng trình

2 2x -3y =

3mx + (m + 3)y = m - 6m - 

 

Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1)

Bµi 3: Cho hÖ pt:

(m+1)x+2ny=2 3mx+(n-2)y=9 

 

a) Gi¶i hƯ pt víi m = 1; n = -

b) Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - Bi 4:

Cho hệ phơng trình

2 3x + 2y = -8

mx + (3m +1)y = m -1 



 (I) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x - 2y = -6 (3) Bài 5:

Cho hÖ phơng trình

x my 2x 3my

 

 

 



Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn: (m2 - 1)x - 10my = 4m + Bài 6:

Cho hÖ pt:

(m 2)x y mx 3y

   



 



a) Giải hệ pt với m = -1 b) Tìm m để x > 0, y > Bài 7:

Cho hÖ pt:

mx my m mx y 2m

 

 

  

Tìm m để nghiệm hệ thoả mãn điều kiện x > 0, y >

Bµi 8: Cho hÖ pt:

(m 1)x 2y mx y

  

 

 



a) Gi¶i hƯ pt víi m =

b) Tìm m Z để hệ có nghiệm ngun Bài 9:

Cho hƯ pt:

(m 3)x y mx 2y

   



 



Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Bài 10:

Cho hÖ pt:

2

2

3mx y 6m m (1)

5x my m 12m (2)

    

 

  





Tìm m để biểu thức: A = 2y2 - x2 nhận GTLN Tìm giá trị đó Bài 11:

Cho hƯ pt:

2

2

3mx y 3m 2m

x my 2m

    

 

 

 

Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuéc vµo m HD:

2

2

3mx - y = 3m - 2m +1 x + my = 2m

    



2

2

6mx - 2y = 6m - 4m + 3x + 3my = 6m

   

 

6mx - 3x - 2y - 3my = -4m + x + my = 2m

  

Rút m từ (1) ta đợc:

3x + 2y + m =

6x - 3y + Thay vµo (2) ta cã:

2 3x + 2y + 3x + 2y +

x + y = 2.( )

-giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình. Giải toán cách lập phơng trình

hoặc hệ phơng trình DạNG 1: DạNG TOáN CHUYểN §éNG

A KIÕN THøC CÇN NHí

1 Cơng thức chuyển động đều: S = v.t (1)

Trong đó: S - Quãng đờng (km, m, cm ) v - Vận tốc (km/h, m/s ) t - Thời gian (giờ, phút, giây)

Më réng tõ (1) ta cã: s v

t 

(2); s t

v 

(3) 2 Chuyển động mơi trờng động (dịng nớc, gió:

Vxu«i = Vthùc + Vníc Vngỵc = Vthùc - Vníc

3 Bài tốn có tham gia nhiễu động tử: Sau khoảng cách động tử thay đổi:

1 dv v

(Nếu chuyển động ngợc chiều)

dv  v

(Nếu chuyển động chiều)

4 Kỹ phân chia thời gian trình chuyển động: B BI TOỏN ỏP DNG:

Bài toán 1:

Anh Hùng xe đạp từ nhà đến Hà Nội theo đờng dài 48km Lúc anh theo đ-ờng khác ngắn 13km Do đđ-ờng khó nên vận tốc 5/6 vận tốc lúc Tuy nhiên thời gian thời gian 1/2

TÝnh vËn tèc lóc ®i cđa anh Hùng? Hớng dẫn học sinh:

1 Phân tích to¸n:

- Học sinh thấy rõ hai q trình chuyển động - Có đại lợng tham gia: S, v, t

- Mèi liªn hƯ hai trình: Svề + 13 = Sđi

vvỊ = 6v®i

tvỊ = t®i - 2(h) 2 C«ng thøc sư dơng:

S = v.t; s t

v 

; s v

t

3 Kết luận toán: Tìm vận tốc lúc đi? Lời giải:

Gọi vận tốc lúc anh Hùng là: x(km); (x>0)

Khi đó:- Vận tốc lúc là:

6x (km/h)

- Thời gian lúc là: 48

x (h)

- Thêi gian lóc vỊ lµ: 48-13: 6x =

42 x (h)

Vì thời gian thời gian

2 (h) nên ta có phơng trình: 48 42

x  x 2

6

Một ca nô chạy sông Nếu xi dịng 1km ngợc dịng 1km hết 3,5 phút Nếu ca nơ chạy xi dịng 20km ngợc dịng 15km hết

TÝnh vËn tốc dòng nớc vận tốc ca nô nớc yên lặng? Hớng dẫn học sinh:

- Học sinh thấy đợc chuyển động có hai q trình xi dịng ngợc dịng - Mỗi q trình thực hai lần

- C«ng thøc vËn dơng: S = v.t

Vxu«i = Vthùc + Vnớc Vngợc = Vthực - Vnớc Kỹ giải hệ phơng trình

Lời giải:

Gi tc thực ca nơ vận tốc dịng nớc x y (km/h); (x>y>0) Khi đó: - Vận tốc xi dịng ca nơ là: x + y (km/h)

- Vận tốc ngợc dòng ca nô là: x - y (km/h)

Vì: Ca nô xuôi dòng 1km ngợc dòng 1km hết 3,5 phút =

120 nên ta có phơng trình:

1

x y x y 120  (1)

Mặt khác: Ca nô xuôi dòng 20km ngợc dòng 15 km hết nên ta có phơng trình:

20 15

1 x y x y    (2)

Vậy ta có hệ phơng trình:

1

x y x y 120

20 15

1 x y x y 

 

  

 

  

(I)

Đặt:

1 X

x y Y

x y 



 

   

 

 HƯ ph¬ng trình trở thành

7 X Y

120 20X 15Y 

  



  

 (II)

Giải hệ (II) ta đợc:

1 X

40 Y

30 

       

Hay

1

x y 40 x 35

x y 40

1 x y 30 y

x y 30 



      



 

  

  

 

 

  

Víi x = 5, y = 35 thoả mÃn điều kiện toán

Vậy: - Vận tốc ca nô nớc yên lặng 35 (km/h) - Vận tốc dòng nớc chảy (km/h)

Chú ý: Khi giải hệ phơng trình ngồi dùng phơng pháp đặt ẩn phụ ta quy đồng mẫu thức đa hệ phơng trình dạng phơng trình bậc Tìm giá trị thích hợp ca n

Bài toán 3:

Nh Nam nhà Lan nằm đờng quốc lộ cách 7km Nếu Nam Lan xe đạp lúc ngợc chiều sau 15 phút họ gặp Tính vận tốc ngời biết vận tốc mối ngời biết vận tốc Nam vận tốc Lan 4km/h

Híng d·n häc sinh:

- Bài tốn có hai động tử chuyển động ngợc chiều - Biết tổng quãng đờng hai động tử

- Sau hai động tử đợc quãng đờng là: v1 + v2 (km) Lời giải:

C¸ch 1: Gäi vËn tèc cđa Nam lµ x (km/h) vµ vËn tèc LAn y (km/h) điều kiện (x>y>0)

Sau hai bạn đợc tổng quãng đờng là: x + y (km)

Sau 15 phút hai bạn đợc tổng quãng đờng là:

1 (x y)

4 

(km)

Theo bµi ta có phơng trình:

1

(x y)

4

 

(1)

MỈt khác vận tốc Nam vận tốc Lan 4km/h nên ta có phơng trình: x -y =4 (2)

Vậy ta có hệ phơng trình:

1

x y 28 x 16

(x y)

4

x y y 12

x y 

  

   



 

  

  

 

   

Víi x = 16, y = 12 thoả mÃn điều kiện toán

Vy tốc hai bạn Nam Lan 16 km 12 km Chú ý: Bài tốn giải cách lập phơng trình, đặt ẩn gián tiếp Cách 2: Gọi quãng đờng bạn Nam đợc sau 15 phút x (km) Thì quãng đờng Lan đợc là: - x (km)

VËn tèc cña Nam: x

4x

1/  (km/h)

VËn tèc cña Lan: x

4(7 x) 1/



 

(km/h) Theo ta có phơng trình: 4x - 4(7-x) = Giải ta đợc: x = thoả mãn điều kiện toán Vậy quãng đờng Nam đợc 4km

Bài tập dạng:

Bi 1: Hai ngi hai đờng vng góc với xuất phát lúc từ điểm, sau họ cách 15km Tìm vận tốc quãng đờng biết hai ngời xuất phát từ điểm ngợc chiều họ cách 7km

Bài 2: Một ngời dự định từ A đến B khoảng thời gian định Nếu ngời tăng vận tốc thêm 10km/h thời gian hết quãng đờng AB giảm 1giờ Nếu ngời giảm vận tốc 10km/h thời gian hết quãng đờng AB tăng 2giờ so với dự định Hỏi ngời với vận tốc thời gian dự định bao nhiêu?

ĐS: Vậy vận tốc mà ngời dự định là: 30 (km/h) Và thời gian mà ngời dự định là: 4giờ

Bài 4:Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình 9km/h từ B vềA ng ời đó chọn đờng khác để nhng dài đờng lúc km, với vận tốc 12 km/h nên thời gian lúc 20 phút Tính SAB lúc (Gọi độ dài qũãng đờng AB x (>0) Kq: SAB

=30km)

Bài 5:Một ca nô khởi hành từ bến A - B với vận tốc 30 km/h từ B quay A Biết thời gian xi thời gian ngợc dịng 40 phút Tính SAB Biết vận tốc dịng 3km/h vận tốc thật khơng đổi

Bài 6:Lúc 7h30 phút ôtô từ A-B nghỉ 30phút tiếp đến C lúc 10h 15phút Biết quãng đờng AB=30km;BC=50km, vận tốc AB nhỏ BC 10km/hTính vận tốc ơtơ quãng đờng AB, BC (Gọi vận tốc quãng đờng AB x, BC: (x+10) kq: 30km/h ; 40km/h

DạNG 2: TOáN Về NĂNG SUấT LAO ĐộNG A KIếN THứC CầN NHớ.

1 Quy tắc giải toán:

2 Mối liên hệ đại lợng: K, N, T K = N.T;

K N

T 

vµ K T

N  Trong đó:

K: Khối lợng cơng việc N: Năng suất lao động T: Thời gian lao động

- Sự tỷ lệ K T thuận N không đổi - Sự tỷ lệ N T nghịch K không đổi 3 Sự phân tích q trình lao động:

B BàI TOáN áP DụNG Bài toán 1:

Mt đội máy kéo dự định ngày cày 40ha, thực đợc ngày cày đợc 52ha Vì đội cày xong trớc thời hạn ngày mà cịn cày thêm đợc 4ha Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch?

Híng dÉn häc sinh:

- Đây tốn suất lao động thể mối quan hệ của: K, N, T

- Bài toán phân chia hai trình thực hiện: Theo kế hoạch thực tế thực công việc - Bảo đảm hởng ứng hai q trình làm việc

Lêi gi¶i:

Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch x (ha); (điều kiện x>0)

Thế thì: Thời gian đội cày theo kế hoạch là: x

40 (ngày) Thực tế diện tích đội cày đợc là: x + (ha)

Thời gian thực tế đội cày hết: x

52 

(ngµy)

Theo ta có phơng trình:

x x

2

40 52



 



x x

2

40 52



 

13x 10(x 4) 520.2 13x 10x 1040

      

3x 1080 x 360

Với x=360 thoả mÃn điều kiện toán

Vy din tớch tha rung i dự định cày theo kế hoạch là: 360ha Bài toán 2:

Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất làm đợc 400 chi tiết máy Sang tháng sau, tổ vợt mức 10%, tổ II vợt mức 15%, nên tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy Hỏi tháng đầu tổ làm đợc chi tiết máy?

Híng dÉn häc sinh:

- Bài tốn có hai đối tợng tham gia (hai tổ sản xuất)

- Đề cập tới suất lao động hai tổ khác (phức tạp hơn) - Sự tăng suất dạng phần trăm (học sinh hiểu đợc 10%, 15%) - Biết khối lợng công việc ban đầu vợt mức

Lêi gi¶i:

Gọi số chi tiết máy đợc tháng đầu tổ I x (chi tiết) (điều kiện 0<x<400) Thì số chi tiết máy làm đợc tháng đầu tổ II là: 40-x (chi tiết)

Trong th¸ng sau:

- Tổ I làm đợc: (100%+10%)x=

110 11

x x

100 10 (chi tiết) - Tổ II làm đợc:

115 23

(100% 15%)(400 x) (400 x) (400 x)

100 20

     

(chi tiết) Theo ta có phơng trình:

11 23

x (400 x) 448 22x 23(400 x) 8960

10

22x 9200 23x 8960 x 240 x 240

      

        

Với x=240 thoả mãn điều kiện toán Vậy tháng đầu tổ I làm đợc 240 chi tiết Tổ II làm đợc 400 - 240 = 160 chi tit

Chú ý: Bài toán giải cách lập hệ phơng trình

Bài tập dạng

tăng suất lên sản phẩm Vì họ hồn thành số sản phẩm trớc thời hạn Hỏi tổ công nhân dự định làm đợc sản phẩm

Bài 2: Trên cánh đồng cấy 60 lúa giống 40 lúa giống cũ Thu hoạch đợc tất 460 thóc Hỏi suất loại lúa 1ha biết trồng lúa thu hoạch đợc trồng lúa cũ l tn

DạNG III DạNG TOáN Về CÔNG VIệC LàM CHUNG, LàM RIÊNG A KIếN THứC CầN NHớ.

1 Mèi quan hÖ: K, N, T

2 Sự tơng quan tỷ lệ K, N, T

3 Kỹ chọn ẩn, đa kiện quy đơn vị chung (phần việc)

4 Phân tích giai đoạn làm việc, biểu thị mối liên hệ qua ẩn đơn vị chọn. B BàI TOáN áP DNG.

Bài toán

Hai vòi nớc chảy vào bể sau

4 bể đầy Mỗi lợng nớc chảy vòi I 1

2 lợng nớc chảy vòi II Hỏi vòi chảy sau bể đầy?

Hớng dẫn học sinh:

- Phân tích rõ, hớng tốn - Biểu thị quan hệ K, N, T

- Chon đại lợng quy đơn vị, chọn ẩn thích hợp (phần bể I) Lời giải:

Gäi thêi gian vòi II chảy đầy bể x (giờ); (®iỊu kiƯn x> 4

5)

Một vịi II chảy đợc:

x (phÇn bĨ)

Khi vịi I chảy đợc:

1

1

2 x 2x(phÇn bĨ)

Một hai vòi chảy đợc:

1

x 2x (phần bể) Theo ta có phơng trình:

1

x 2x 24 (vì đổi

4 24

5 25 )

5x 24 36 5x 60 x 12

      

Víi x = 12 thoả mÃn điều kiện toán Vậy: Một vòi II chảy đầy bể 12

Còn vòi I chảy đợc

1 1

1

2 12 8 (bÓ) Nên vòi I chảy đầy bể giờ. Bài toán 2:

Hai i xõy dng làm chung công việc dự định làm xong 12 ngày Họ làm với đợc ngày đội I đợc điều động làm việc khác, đội II tiếp tục làm Do cải tiến kỹ thuật, suất lao động tăng gấp đôi, nên đội II làm xong phần cơng việc cịn lại ngày rỡi Hỏi đội làm ngày xong cơng việc? (Với suất bình thờng) Hớng dẫn học sinh:

- Chọn ẩn thời gian (đơn vị số ngày) đội làm xong cơng việc - Chọn tồn khối lợng công việc quy đơn vị công việc

- Lập giải hệ phơng trình Lời giải:

Gọi thời gian cần thiết để đội I đội II làm xong cơng việc là: x (ngày) y (ngày); (điều kiện x, y 12)

Mỗi ngày: Đội I làm đợc

x (phÇn c«ng viƯc)

Đội II làm đợc

Một ngày hai đội làm đợc: 1

xy (phần công việc)

Nên ta có phơng trình:

1 1

xy 12 (1)

Tám ngày hai đội làm đợc:

1

8( )

xy (phần công việc) Do suất tăng gấp đôi nên ba ngày rỡi đội II làm đợc:

2

.3,5

y y(phần công việc)

Vậy ta có phơng trình:

1

8( )

xy y (2) Kết hợp (1) (2) ta có hệ phơng trình:

1 1

(1) x y 12

1

8( ) 1(2)

x y y

1 1 1

1 1

x

x y 12 x y 12

x y 12

8 7 y 21

1 y 21

12 y y 12



  

 

   

 

 

    

     

  

       

 

      



 

 

Víi x y 21

 

thoả mÃn điều kiện toán.

Vy thi gian i I lm mt xong cơng việc 28 ngày Và thời gian đội II làm xong cơng việc 21 ngày Bài tốn 3:

Hai cơng nhân làm chung để hồn thành cơng việc ngày Trong đó, ngời

thø lµm sau ngêi thø nhÊt lµ 1

2 ngày Hỏi ngời làm sau xong cơng việc Biết ngời thứ hồn thành cơng việc nhanh ngời thứ ngày

Lêi gi¶i:

Gäi thêi gian ngời thứ làm xong công việc là: x (ngày); (điều kiện: x>7) Thế ngời thứ nhÊt lµm hÕt: x+3 (ngµy)

Ngời thứ hai làm 5,5 ngày đợc 5,5

x (c«ng viƯc) Theo ta có phơng trình:

2

7 5,5

1 7x 5,5(x 3) x(x 3) 2x 19x 33

x x

6 x 1; x

4

          





Với x=11 thoả mÃn điều kiện toán

Vậy: Ngời thứ hai làm xong công việc 11 (ngày) Ngời thứ làm xong công việc 14 (ngày) Chú ý: Bài toán giải cách lập hệ phơng trình.

Bài tập dạng

Bi 1: Hai ngi thợ làm cơng việc xong Nếu ngời thứ làm sau dừng lại ngời th hai làm tiếp hồn thành cơng việc Hỏi ngời làm xong cơng việc?

§S: VËy thêi gian ngời thứ làm hoàn thành công việc lµ: 24giê, thêi gian ngêi thø hai lµm mét hoàn thành công việc là: 12giờ

Bi 2: Trong bể nớc có vịi chảy vịi chảy vào Nếu mở hai vịi sau 6 đầy bể Hỏi vòi chảy vào chảy lâu đầy bể Biết thời gian vịi chảy vào chảy đầy bể thời gian chảy hết bể nớc đầy vận tốc chảy vịi khơng đổi

Bài 3: Hai ngời thợ xây bứt tờng 12 phút xong ( vôi vữa gạch có công nhân khác vận chuyển) NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê vµ ngời thứ hai làm

c xây đợc

4 bøc têng Hái ngời làmmột xây xong têng

1

x y 36

5

x y



  

 

   

 ( 12 ; 18 )

Bài 4: Hai công nhân sơn cửa cho cong trình ngày xong việc Nếu ng ời thứ làm ngày ngời thứ hai đến làm tiếp ngày xong việc Hỏi ngời làm xong việc

1 1

x y

10 1

x y



  

 

   

 ( 12 ; )

Bài 5: Hai cần cẩu lớn bốc dỡ lô hàng cảng Sài Gòn Sau có thêm cần cẩu bé ( công suất bé ) làm việc cần cẩu làm việc xong Hỏi cần cẩu làm việc xong việc , biết cần cẩu làm việc từ đầu xong viÖc

12 15

x y

2

x y



  

 

   

 ( 24 ; 30 )

Bài 6: Hai tổ côngnhân làm chung công việc dự định hoàn hành Nhng làm chung tổ II đợc điều động làm việc khác Do cải tiến cách làm, suất tổ I tăng 1,5lần, nên tổ I hồn thành nốt phần việc cịn lại Hỏi với suất ban đầu , tổ làm sau xong công việc

1

6

x y

1

5

x y x

           

 

   

 

  

 ( 18; 9)

DạNG IV DạNG TOáN Về Tỷ Lệ, CHIA PHầN, TĂNG GIảM, THÊM BớT Tỷ Số CáC ĐạI LƯợNG

A KIÕN THøC CÇN NHí

1 Kỹ biểu thị mối liên hệ đại lợng.

2 BiÓu diễn tỷ lệ dới dạng: Phần trăm, thập phân, tû lƯ thøc 3 C¸c tÝnh chÊt cđa tû lệ thức

4 Sự tăng giảm, thêm bớy qua biểu thức B BàI TOáN áP DụNG.

Bài toán 1:

Hợp tác xà Hồng Châu có hai kho thãc Kho thø nhÊt nhiỊu h¬n kho thø hai lµ 100 tÊn NÕu

chuyển từ kho thứ sang kho thứ hai 60 lúc số thóc kho thứ 12

13 sè thãc ë kho thø hai TÝnh sè thãc ë kho lúc đầu?

Lời giải:

Gọi số thóc lúc đầu kho thứ hai là: x (tấn); (điều kiện: x>0) Thì số thóc lúc đầu kho thø nhÊt lµ: x+100 (tÊn)

x 40 12

13x 520 12x 720 x 200 x 60 13



      



Víi x = 200 tho¶ mÃn điều kiện toán

Vậy: Số thóc lúc đầu kho thứ hai là: 200 (tấn) Số thóc lúc đầu kho thứ là: 300 (tấn) Chú ý: Bài toán giải cách lập hệ phơng trình. Bài toán 2:

Mt i xe cần chuyển 120 hàng Khi làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chuyển thêm 16 Hỏi đội xe có chiếc?

Lêi gi¶i:

Gọi số xe lúc đầu đội là: x (chiếc); (điều kiện: x>2; x nguyên)

Theo dự định xe phải chở: 120

x (tÊn hµng) Thùc tÕ lµm viƯc cã x-2 (chiếc) chở

Nên xe phải chở: 120

x 2 (tÊn hµng) Theo bµi ta có phơng trình

2

2

2

1

120 120

16 120(x 2) 16x(x 2) 120x

x x

120x 240 16x 32x 120x 16x 32x 240

x 2x 15 x 5; x

      



    

   

      

Với x = thoả mãn điều kiện toán Vậy: Số xe lúc đầu ca i l chic

Bài tập dạng

Bài 6: Dân số khu phố năm tăng từ 30.000 ngời đến 32.448 ngời Hỏi trung bình hàng năm dân số khu phố tăng % (Gọi số% dân số hàng năm khu phố tăng x % Kq:4%)

Bµi 7: Hai líp 9A vµ 9B gåm 105 hs; líp 9A cã 44 hs tiªn tiÕn ,líp 9B cã 45 hs tiªn tiÕn, biết tỉ lệ học sinh tiên tiến 9A thấp 9B 10%.Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến lớp ,và lớp có học sinh

Gọi x % tỉ lệ học sinh tiên tiÕn cđa líp 9A -> 9B lµ (x+10)% ta cã pt: 4400/x +4500/x =105 Kq:80 % vµ 90% ; 9A: 55hs , 9B 50 hs

Bài 8: Trong tháng đầu tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy Sang tháng tổ I vợt mức 15%, tổ IIvợt mức 20%,, dó cuối tháng tổ sản xuất đợc tổng cộng 945 chi tiết máy Tính xem tháng đầu , tháng hai tổ sản xuất đợc chi tiết máy

Bài 9: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 dụng cụ Nhờ xếp hợp lý dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp I vợt mức 12% kế hoạch xí nghiệp II vợt mức 10% kế hoạch ,do làm đợc 400 dụg cụ Tính số dụng cụ mà xí nghiệp làm theo kế hoch v thc t lm?

DạNG V DạNG TOáN Cã NéI DUNG Sè HäC A KIÕN THøC CÇN NHí

Ngoài kiến thức chung giải toán, học sinh cần nắm kiến thức sau: 1 Cấu tạo thập ph©n cđa mét sè

2 Việc thay đổi thứ tự chữ số, thêm bớt chữ số. 3 Cấu tạo phân số, điều kiện phân số tồn ti B BI TOỏN ỏP DNG

Bài toán 1:

Cho số có hai chữ số, chữ số hàng chục nửa chữ số hàng đơn vị Nếu đặt hai chữ số chữ số ta đợc số lớn số cho 370 đơn vị Tìm số cho?

Híng dÉn häc sinh:

- CÊu t¹o thập phân số tự nhiên Số có hai ch÷ sè: ab 10a b 

Sè cã ba ch÷ sè: abc 10a 10b c  

- Chọn ẩn điều kiện cho ẩn; chữ số: 0#a,b,c#9; a,b,c nguyên Lời giải:

Số ban đầu là: x(2x) 10x 2x 12x

Sè míi lµ: x1(2x) 100x 10 2xx 102x 10  Theo ta có phơng trình:

102x 10 12x 370    90x 360 x Với x=4 thoả mÃn điều kiện to¸n

Nh vậy: Chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị Do đó: Số cho 48

Chó ý: - Bµi toán giải cách lập hệ phơng trình.

- Điều kiện 0<x4 x nguyên chữ số hàng đơn vị nhỏ Bài toán 2:

Tổng hai chữ số hàng đơn vị lần chữ số hàng chục số có hai chữ số 10 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho đợc số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Tìm số ban đầu?

Lêi gi¶i:

Gọi chữ số hàng chục là: x, chữ số hàng đơn vị y (điều kiện: 0<x#9; 0#y#9; x, y N) Thì số cho có dạng: xy 10x y 

Số đổi chỗ có dạng: yx 10y x  Theo ta có phơng trình:

(10x y) (10y x) 18     9x 9y 18   x y 2  (1)

Mặt khác: Tổng chữ số hàng đơn vị hai lần chữ số hàng chục 10 Nên ta cú phng trỡnh: 2x+y=10 (2)

Kết hợp (1) (2) ta có hệ phơng trình:

x y x y x

2x y 10 3x 12 y

    

  

 

  

   

  

Víi: x y   



thoả mÃn điều kiện toán. Nh vậy: Chữ số hàng chục

Ch s hàng đơn vị Do số cho l 42

Bài tập dạng Dạng số cã hai ch÷ sè

Bài 1: Tìm số tự nhiên có chữ số , biết lần chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục đơn vị chữ số viết theo chiều ngợc lại đợc số (có chữ số ) bé số cũ 27 đơn vị

Bài 2: Cho số có chữ số Nếu đổi chổ chữ số đợc số lớn chữ số cho 63 tổng số cho số tạo thành 99 Tìm số cho

x y x y 11    



 

 ( 18 )

Bài 3: Cho số tự nhiên có chữ số Nếu đổi chổ chữ số đợc số lớn số

cho 36 tổng số cho số tạo thành 110 Tìm số cho

9x 9y 36 11x 11y 110

   



 

 ( 3

;7 )

Bài 4: Tìm số có chữ số , biết tổng chữ số 16, đổi chổ chữ số cho ta

đợc số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị

x y 16 x y

  



 

 ( 9; 7)

D¹ng hai số

Bài 1: Tìm số tự nhiên , biÕt r»ng tỉng cđa chóng b»ng 1006 vµ nÕu lÊy sè lín chia cho sè nhá

thì đợc thơng số d 124

x y 1006 x 2y 124

  



 

Bài 2: Tổng số 59 Hai lần số bè lần số Tìm số x y 59

3x 2y   



 

( 34 ; 25)

Bài 3: tìm sè tù nhiªn , biÕt r»ng hiƯu cđa chóng b»ng 1275 vµ nÕu lÊy sè lín chia cho sè nhá th×

đợc thơng số d 125

x y 1275 x 3y 125

  



 

 ( 1850 ; 575 )

DạNG VI DạNG TOáN Có NộI DUNG HìNH HọC. A KIếN THứC CầN NHớ.

Ngoài kiến thức chung, học sinh cần nhớ kiến thức sau:

1 C«ng thøc tÝnh diƯn tích, chu vi hình quen thuộc (tam giác, tam giác vuông, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang )

2 Các hệ thức lợng tam giác vuông B BàI TOáN áP DụNG.

Bài toán 1:

Một mảnh vờng hình chữ nhật có chu vi 124m Nếu tăng chiều dài 5m chiều rộng 3m diện tích tăng thêm 255m2 Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật đó.

Híng dÉn häc sinh:

- C«ng thøc tÝnh chu vi hình chữ nhật: P=2(a+b) - Công thức tính diện tích hình chữ nhật: S=a.b

(Trong ú: a, b l kích thớc hình chữ nhật) Lời giải:

Gọi chiều dài mảnh vờn là: a (m)

Và chiều rộng mảnh vờn là: b (m); (điều kiện: a, b>0) Khi chu vi mảnh vờn l: 2(a+b)

Ta có phơng trình: 2(a+b)=124 a+b = 62 (1) Chiều dài mảnh vờn tăng: a+5 (m) Chiều rộng mảnh vờn tăng: b+3 (m) Diện tích mảnh vờn tăng:

(a+5)(b+3)=ab+5b+3a+15 (m2)

Diện tích ban đầu mảnh vờn là: a.b (m2) Theo ta có phơng trình:

ab+5b+3a+15-ab = 255  3a+5b = 240 (2) KÕt hỵp (1) (2) ta có hệ phơng trình:

a b 62 2a 70 a 35

3a 5b 240 2b 54 b 27

   

  

 

  

   

  

Víi

a 35 b 27

  

thoả mÃn điều kiện to¸n.

Vậy: Chiều dài chiều rộng mảnh vờn cho là: 35(m) 27(m) Chú ý: - Bài tốn giải cách lập phơng trình.

Bài toán 2:

Cho tam giỏc vuụng có cạnh huyền 5cm diện tích tam giác 12cm2 Hãy xác định tam giác vng trên?

Híng dÉn häc sinh:

- C«ng thøc sư dơng (Pitago): a2 = b2 + c2

- Công thức tính diện tích tam giác vuông:

1

S bc

2 

(Trong đó: a độ dài cạnh huyền; b, c: độ dài cạnh góc vng) Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh góc vng lần lợt là: x(cm) y(cm) (điều kiện: 0<x, y<5) Theo định lý Pitago ta có: x2 + y2 = 52 hay x2 + y2 = 25 (1)

Mặt khác: Diện tích tam giác vuông 12cm2 nên ta có:

xy 12 xy 24

2    (2)

KÕt hợp (1) (2) ta có hệ phơng trình:

b

2 2

2 (x y) 73

x y 25

xy 24 (x y) 23

  

   



 

 

Hệ phơng trình vô nghiệm, vì: (x-y)2 # với x, y Vậy: Không có tam giác vuông có tính chất Bài toán 3:

ng cao ca mt tam giác vng cso độ dài 9,6m Và định cạnh huyền hai đoạn thẳng có độ dài 5,6m Tính độ dài cạnh huyền tam giác vng đó?

Híng dÉn häc sinh:

- Nắm hệ thức lợng tam giác vuông: ' '

h b c

- Căn hiệu độ dài hai hình chiếu hai cạnh góc vng: ' '

b c 5,6 Lêi gi¶i:

Gọi độ dài đoạn thẳng mà đờng cao định cạnh huyền lần lợt là: x(m) y(m); (iu kin: x>y>0)

Theo ta có phơng trình: x-y = 5,6 (1)

Mặt khác: áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vuông ta có phơng trình: x.y = 9,62 (2) Kết hợp (1) (2) ta có hệ phơng trình:

2

2

2 2

2

x y 5,6 (x y) 5,6

x.y 9, 4.x.y 4.9, (x y) 4xy 19, 5,6

x y 20 (x y) 400

x y 20

    

 



 

  

 

    

  

    

  

Với x+y = 20 thoả mÃn điều kiện toán

Vậy: Độ dài cạnh huyền tam giác vuông là: 20(cm) Bài tập dạng

Bài 1:Một khu vờn hcn có chu vi 280m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất v-ờn) rộng 2m ,diện tích cịn lại 4256m2.Tính kích thớc vờn (rộng x=60m, dài =80m

Bài 2:Một hcn có chu vi 90m.Nếu tăng chiều rộng lên gấp đơi giảm chiều dài đi15m ta đ-ợc hcn có diện tích diện tích hcn ban đầu Tính cạnh hcn cho

(réng x=15m, dµi =30m)

Bài 3:Một hcn Nếu tăng chiều dài thêm 2m chiều rộng 3m diện tích tăng 100m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m2.Tính diện tích rộng đó (Kq:22m;14m)

Bài 4:Một ruộng hình tam giác có diện tích 180m2, Tính chiều dài cạnh đáy ruộng , biết tăng cạnh đáy thêm 4m chiều cao giảm 1m diện tích khơng i (cnh ỏy x=36m)

Bài 5:Một tam giác vuông có chu vi 30m , cạnh huyền 13m Tính cạnh góc vuông tam giác

DạNG VII DạNG TOáN Có NộI DUNG VậT Lý, HOá HọC A KIếN THứC CầN NHớ.

Ngoài kiến thức chung quy tắc giải, học sinh cần nắm vững kiến thức sau: 1 Công thức tính nhiệt lợng: Qtoả = C.m(t1-t2)

Qthu = C.m(t2-t1)

2 Nồng độ dung dịch:

ct dd m

C% 100%

m 

3 Nồng độ mol/l: M M C

V

4 Tính theo phơng trình hoá học, công, công suất. II BàI TOáN áP DụNG.

Bài toán 1:

Trong 200g dung dch có chứa 50g muối Cần phải pha thêm gam nớc để đợc dung dịch chứa 10% muối

- Nồng độ dung dịch:

ct dd m

C% 100%

m 

Gọi số gam nớc pha thêm x(g) mdd = x+200(g) Sè gam muèi 50g  mct = 50(g)



50

C% 100%

x 200 

 Lêi gi¶i:

Gọi số gam muối cần pha thêm x(g); (điều kiện: x>0) Khi số gam dung dịch là: x+200(g)

Khèi lỵng muối dung dịch là: 50(g)

Nng dung dich:

50

C% 100%

x 200

Theo ta có phơng trình:

50 10 50

x 200 100 x 200 10

500 x 200 x 300

  

 

  

Với x = 300 thoả mÃn điều kiện toán Vậy: Số gam nớc cần pha thêm 300(g) Bài toán 2:

Dựng hai nhit lợng nhiệt lợng 168KJ để đun nóng hai khối nớc 1kg Thì khối nớc nhỏ nóng khối nớc lớn 200C Tính xem khối nớc nhỏ đợc đun nóng thêm bao nhiêu độ?

Híng dÉn häc sinh:

- Công thức sử dụng: Q Cm(t 2 t )1  Nhiệt độ tăng lên là; t2 - t1

Khối lợng cần đun nóng: Q m

C(t t ) 

 - Nhiệt dung riêng: C =4,2(KJ/kg độ) Lời giải:

Gọi độ tăng thêm khối nớc nhỏ là: x0C; (điều kiện: x>0)

Khèi lỵng cđa khèi níc nhá lµ:

Q 168

C.x4, 2x (kg)

Khèi lợng khối nớc lớn là:

Q 168

C(x 2) 4, 2(x 2) (kg) Theo bµi ta có phơng trình:

2

1

168 168

1 x 2x 80 x 10; x

4, 2x 4, 2(x 2)        Vậy: Nhiệt độ tăng thêm khối nớc nhỏ là: 100C