ham so va do thi

Phòng giáo dục và đào tạo thuận thành Trờng THcs nghĩa đạo ************************ Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp giảI các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số Giáo viên: Nguyễn Hồng Bốn Nghĩa Đạo, tháng 3 năm 2009 A Phần mở đầu I Lý do chọn đề tài Bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số là một phần kiến thức tơng đối nhiều và rất cơ bản trong bộ môn toán ở lớp 9 cũng nh ở chơng trình toán THPT. Trong thực tế nếu giáo viên không nghiên cứu kỹ và hớng dẫn học sinh thì các em sẽ gặp nhiều khó khăn ngay từ khâu nhận dạng bài toán và phơng pháp giải cho từng loại bài. Đặc điểm của môn Đại số nói chung là có sự liên quan mật thiết, lôgic giữa các chơng, bài đòi hỏi các em phải nắm chắc kiến thức, kĩ năng cơ bản từ đó học sinh biết nhận dạng và giải đợc nhanh hơn. Đối với bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số đây là một chuyên đề mà SGK cha đề cập hết các dạng toán nên các em học sinh lớp 9 còn lúng túng. 1 Để giúp các em có một phơng pháp học và ôn tập tốt trong các kì thi đạt kết quả cao vợt qua các trở ngại, khó khăn trên. Bản thân tôi đã tiến hành phân loại các đơn vị kiến thức, các dạng bài tập theo từng chủ đề mà các em thờng gặp. Tìm hiểu, nghiên cứu các cách giải ngắn gọn tơng ứng cho từng loại bài. Với những yêu cầu và mong muốn trên tôi đã chọn đề tài: Phơng pháp giải các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số. II - Đối t ợng nghiên cứu Các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số và phơng pháp giải của từng dạng bài, loại bài. III Nhiệm vụ nghiên cứu 1 Cơ sở lý luận của phơng pháp giải các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số. 2 - Nghiên cứu phơng pháp giải ở 4 dạng bài cơ bản Điểm thuộc đờng, đờng đi qua một điểm; Vị trí tơng đối giữa 2 đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ; Bài toán về lập phơng trình của một đờng thẳng; Bài toán về chứng minh đờng thẳng luôn đi qua một điểm. IV Giới hạn của đề tài Trong khuôn khổ một đề tài với thời gian cho phép cùng các điều kiện khác. ở đây chỉ nghiên cứu 4 dạng bài cơ bản, phơng pháp giải tơng ứng cha đi sâu, mở rộng đến các bài toán nâng cao khó khăn phức tạp nhằm giúp học sinh đại trà đạt yêu cầu tối thiểu. B Phần nội dung I Các kiến thức liên quan: Bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số muốn có phơng pháp giải đúng, khắc phục đợc những khó khăn cần phải nắm chắc một số nội dung kiến thức cơ bản và các kĩ năng tơng ứng đó là: Khái niệm và dấu hiệu bản chất của đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai dạng đặc biệt y = a x 2 (a 0) Cách biểu diễn và hình ảnh một điểm trên mặt phẳng toạ độ, vị trí của chúng trên mặt phẳng toạ độ, ở trên trục nào và khi đó giá trị của hoành độ và tung độ ra sao? Điều kiện để phơng trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm. Cách giải hệ phơng trình bậc nhất, bậc 2 hai ẩn số. Các điều kiện về nghiệm của phơng trình bậc 2, hệ 2 phơng trình bậc nhất hai ẩn số. Cách giải bất phơng trình bậc nhất, bậc 2 một ẩn số Cách vẽ đồ thị 2 Vị trí tơng đối giữa:1 điểm với 1 đờng thẳng; 1 điểm với một Parabol; 2 đờng thẳng với nhau, 1 đờng thẳng với 1 Parabol; và quan hệ của 3 đờng. Các điều kiện tơng ứng cho mỗi trờng hợp trên. Đặc biệt là việc hớng dẫn cho học sinh nhận đợc các dạng bài toán và viết đợc các điều kiện tơng ứng. Học sinh biết lập luận chặt chẽ, trình bày lời giải khoa học. II Các dạng bài toán cơ bản và ph ơng pháp giải: Dạng 1: Điểm thuộc đ ờng - đ ờng đi qua một điể m * Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A( -2, 2) và đờng thẳng (d 1 ) có PT y = - 2(x + 1) a) Giải thích vì sao A nằm trên (d 1 ) b) Tìm a trong hàm số y = ax 2 có đồ thị ( P ) đi qua A Bài giải a) f (x A ) = f( - 2) = -2( -2 + 1) = 2 = y A Vậy A (d 1 ) b) Vì (P)đi qua A nên toạ độ điểm A phải nghiệm đúng phơng trình (P) thay x = - 2, y = 2 vào PT của (P) ta đợc. 2 = a( - 2) 2 a = 2 1 Vậy với a = 2 1 thì (P) y = 2 1 x 2 luôn đi qua A * Tóm lại: Đồ thị hàm số y = f(x) mà đi qua một điểm A(x A , y A ) trên mặt phẳng toạ độ thì toạ độ điểm đó nghiệm đúng của phơng trình y = f(x) Dạng 2: Xét vị trí t ơng đối của hai đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ. * Nội dung: Cho (P) và (d) theo thứ tự là đồ thị của hàm số y = f( x) và y = g(x) Hỏi (P) và (d) sẽ xảy ra vị trí nh thế nào đối với nhau trên cùng mặt phẳng toạ độ . * Phơng pháp giải : Toạ độ điểm chung của (P) và (d) nếu có là nghiệm của hệ phơng trình sau: y = f(x) (A) y = g(x) Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình f(x) g(x) = 0 (1) 3 - Nếu phơng trình (1) vô nghiệm thì hệ phơng trình (A) vô nghiệm (P)và (d) không có điểm chung Hai đồ thị không giao nhau . - Nếu phơng trình (1) có nghiệm kép hệ PT(A) có nghiệm kép (P) và (d) tiếp xúc với nhau, đờng thẳng trở thành tiếp tuyến của đờng cong. Điểm chung là tiếp điểm của đờng thẳng và đờng cong. Nếu PT(1) có hai nghiệm phân biệt PT(A) có hai nghiệm phân biệt (P) và(d) có hai điểm chung phân biệt. Ví dụ 2: Trong cùng một mặt phẳng toạ độ, cho Parabol (p) y = x 2 và đ- ờng thẳng (d) có PT: y = 2x + m Tìm m để a) (P) và(d) không có điểm chung b ) (P) tiếp xúc với (d) c ) (P) Cắt (d) tại hai điểm phân biệt . Bài giải: a) ( P) và (d) không có điểm chung khi và chỉ khi hệ PT y = f(x) (*) vô nghiệm y =g(x) Hệ PT(*) vô nghiệm khi phơng trình x 2 - 2x - m = 0 Vô nghiệm < 0 b 2 - ac < 0 1 + m 0 m < - 1 Vậy với m < - 1 thì (P) và ( d) không cắt nhau. b) (P) và (d) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phơng trình x 2 2x m = 0 có nghiệm kép = 0 1 + m = 0 m = - 1 Khi đó x = a b' = 1 y = 1 Vậy với m = - 1 thì (P) và (d) tiếp xúc nhau và toạ độ tiếp điểm là (1; 1) c) ( P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phơng trình x 2 2x m = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 0 1 + m > 0 m > - 1 Vậy với m > - 1 thì (P) và(d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt Ví dụ 3: Cho đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) lần lợt có phơng trình (d 1 ): y = ax + 2 b (d 2 ): y = bx + 3 a a) Xác định a và b để đờng thẳng(d 1 )và (d 2 ) cùng đi qua điểm A(1; 2) 4 b) Với a, b vừa tìm đợc ở câu a, gọi giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) cùng đi qua điểm A (1; 2) với trục tung lần lợt là B,C hãy tìm toạ độ của B và C. c) Hãy xác định a và b để đờng thẳng (d 1 )và (d 2 ) cắt nhau tại một điểm (0; 5) Bài giải: a) Đây là bài toán cơ bản điểm thuộc đờng, đờng đi qua điểm: Vì (d 1 )và (d 2 ) cùng đi qua A(1; 2) nên toạ độ điểm A phải nghiệm đúng đồng thời 2 phơng trình ( d 1 ) và (d 2 ) Thay x = 1, y = 2 vào (d 1 )và (d 2 ) ta có HPT: 2 = a + 2 b 2a + b = 4 ( 1) 2 = a + 3 a a + 3b = 6 ( 2) Giải hệ ta đợc : a = 5 6 b = 5 8 Vậy với : a = 5 6 thì ( d 1 ) và (d 2 ) cùng đi qua A (1; 2) b = 5 8 b) Để giải câu b ta cần phải hiểu một điểm nằm trên trục tung thì hoành độ của điểm đó bằng 0. Việc xác định tung độ của các điểm đó tức là việc xác định tung độ gốc của các đờng thẳng trên. Với a = 5 6 và b = 5 8 thì: (d 1 ) y = 5 6 x + 5 4 5 4 là tung độ điểm B . Vậy toạ độ điểm B( 0; 5 4 ) Với a = 5 6 và b = 5 8 thì (d 2 ) : y = 5 8 x + 5 2 tung độ điểm C là 5 2 Vậy toạ độ điểm C ( 0; 5 2 ) c) Câu này cách giải giống câu a, nhng điểm (0; 5) nằm trên trục tung vì (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau tại điểm (0; 5) nên x = 0, y = 5 là nghiệm của HPT: y = ax + 2 b y = bx + 3 a Thay x = 0, y = 5 vào hệ trên ta đợc hệ HPT: 5 5 = a . 0 + 2 b a = 15 5 = b. 0 + 3 a b = 10 Vậy với a = 15; b = 10 thì ( d 1 ) và (d 2 ) cùng đi qua điểm( 0; 5) * Cách giải thứ 2: Vì (d 1 ) đi qua điểm (0; 5) là điểm trên trục tung (điểm có tung độ y = 5) là tung độ gốc của (d 1 ) 2 b = 5 b = 10 Tơng tự điểm có tung độ y = 5 là tung độ gốc của (d 2 ) cùng đi qua điểm (0; 5) * Chú ý: Đồ thị hàm số y = ax + b luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b Dạng 3 : Bài toán về lập ph ơng trình đ ờng thẳng * Bài toán 1: Lập PT đờng thẳng (d) đi qua điểm A( x A , y A ) và có hệ số góc k. Đây là bài toán đi tìm hệ số b trong phơng trình đờng thẳng và là một bài toán cơ bản đờng đi qua một điểm. Lời giải Phơng trình tổng quát của (d) là y = ax + b + Xác định a: Theo bài toán ta có a = k + Xác định b: Vì đờng thẳng (d) đi qua A ( x A , y A ) ta thấy a = k, x = x A , y = y A vào phơng trình tổng quát của d ta đợc ph- ơng trình của (d) cần tìm là: y = kx + y A - kx A * Bài toán 2: Lập PT đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm A( x A , y A ); B(x B ,y B ) Lời giải Phơng trình tổng quát của (d) là y = ax + b Vì (d) đi qua A và B nên ta có hệ PT y A = ax A + b y B = ax B + b Giải hệ trên ta tìm đợc a và b Thay a và b vào PT(d) đợc PT của (d) cần tìm. * Bài toán 3: Lập phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp xúc với đờng cong (P) có PT: y = f(x) Lời giải Phơng trình tổng quát của (d) có dạng: y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là f(x) = kx + b (1) Vì (d) tiếp xúc với (P) nên PT(1) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm đợc b và suy ra PT của (d) 6 * Bài toán 4: Lập PT của đờng thẳng (d) đi qua A( x A , y A ), tiếp xúc với đờng cong P: y = f(x) và song song với đồ thị hàm số: y = kx +m Giải: Ta đa bài toán này về dạng bài 3 và 4 vì (d) song song với y = kx +m do đó hệ số góc là k. Dạng 4: Bài toán về chứng minh đờng thẳng luôn đi qua điểm cố định. Ta có phơng trình ax +b = 0 có vô số nghiệm khi a = 0, b = 0 * Bài toán: Chứng minh rằng với mọi m thì đờng thẳng sau đây luôn đi qua một điểm cố định và tìm toạ độ điểm đó. y = mx + m - q ( m, q là tham số R) Cách giải Gọi A( x 0 , y 0 )là một điểm cố định trong mặt phẳng toạ độ mà đờng thẳng y = mx + m q luôn đi qua với mọi m Vì A là điểm thuộc đờng thẳng, nên toạ độ A nghiệm đúng phơng trình đờng thẳng. Thay vào đó ta có: y 0 = mx 0 + m - q luôn đúng m m (x 0 + 1) - (y 0 + q) đúng m x 0 + 1= 0 x 0 = 0 y 0 + q = 0 y 0 = - q A(- 1, -q) là điểm cố định Vậy đờng thẳng trên luôn đi qua điểm A( - 1, - q) cố định với mọi m * Các ví dụ: Ví dụ 4: CM rằng đờng thẳng y = mx + m 2 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm toạ độ điểm đó: Bài giải Gọi A( x 0 , y 0 )là một điểm cố định mà đờng thẳng trên luôn luôn đi qua với mọi m Ta có y 0 = mx 0 + m 2 m (x 0 + 1) (y 0 + 2) = 0 luôn đúng m x 0 + 1 = 0 x 0 = - 1 y 0 + 2 = 0 y 0 = - 2 Vậy điểm A( - 1; - 2) là điểm cố định mà đờng thẳng trên luôn đi qua Am * Ví dụ 5: Trên mặt phẳng toạ độ xOy ta xét Parabol( P) và đờng thẳng(d) lần lợt có PT: (P) : y = 2x 2 7 (d) : y = ax + 2 a Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì Parabol( P) và đờng thẳng (d) có một điểm chung cố định. Tìm toạ độ điểm chung đó: ( Trích đề thi vào THPT năm học 1999 - 2000) Đây là bài toán đi tìm điểm cố định mà đờng thẳng luôn luôn đi qua a rồi chứng tỏ điểm đó thuộc đờng cong (P). Bài giải Gọi điểm cố định mà đờng thẳng (d)luôn đi qua là M( x 0 , y 0 )với mọi a Thay vào PT của (d) ta có: y 0 = ax 0 + 2 a luôn đúnga ( x 0 1) a y 0 + 2 = 0 x 0 1 = 0 x 0 = 1 2 y 0 = 0 y 0 = 2 Vậy đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua điểm M (1; 2) cố định a Ta nhận thấy rằng toạ độ M(1; 2) luôn luôn thoả mãn phơng trình của (P). Thật vậy f(1) = 2 . 1 2 = 2 = y M Vậy (P) và(d) luôn luôn có một điểm chung cố địnhM(1; 2) với mọi a * Ví dụ 6: Cho hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) lần lợt có phơng trình: (d 1 ): y = 3x 2 (d 2 ): y = x + m Hãy tìm m để 2 đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau tại một điểm nằm trên Parabol có PT: y = x 2 . Bài giải: Ta có thể giải theo hai cách sau: Cách1: Xác định toạ độ giao điểm của (d 1 ) và (P) toạ độ giao điểm của (P) và (d 1 ) là nghiệm của hệ PT sau: y = 3x 2 y = x 2 Hoành độ giao điểm là nghiệm của PT: x 2 3x + 2 = 0 Ta thấy: a + b + c = 1 3 + 2 = 0 Nên PT có 2 nghiệm phân biệt x 1 = 1 ; x 2 = 2 Với x 1 = 1 thì tung độ giao điểm y 1 = 1 ta có toạ thứ nhất là A(1 ; 1) Với x 2 = 2 thì tung độ giao điểm là y 2 = 4 ta có toạ độ giao điểm thứ hai là B(2 ; 4) Vì(d 2 ) cũng đi qua A hoặc B 8 Nếu( d 2 ) đi qua A thì m thoả mãn PT: 1 = 1 + m m = 0 Nếu( d 2 ) đi qua B thì m thoả mãn PT: 4 = 2 + m m = 2 Vậy với m = 0 thì (d 1 ) cắt(d 2 ) tại điểm A(2, 1) trên đồ thị hàm số y = x 2 Với m = 2 thì ( d 1 ) cắt (d 2 ) tại B (2; 4 ) trên đồ thị hàm số y = x 2 * Cách 2: Ta có thể tìm toạ độ giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) theo m rồi thay toạ độ x, y theo m vào phơng trình (P): y = x 2 để tìm đợc các giá trị của m. * Thực chất để tìm m và toạ độ giao điểm của d 1 , d 2 trên P là giải hệ 3PT: d 1 : y = 3x - 2 d 2 : y = x + m P: y = x 2 Với 3 ẩn m,x,y Ví dụ 7: Trong cùng một hệ trục toạ độ vuông góc cho Parabol (P): y = 4 1 x 2 và đờng thẳng (d): y = mx 2m 1 a) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm đó. b) Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định A (P) Bài giải: a) ( d) tiếp xúc với (P) phơng trình x 2 + 4mx 8m 4 = 0 có nghiệm kép = b 2 ac = 0 4m 2 + 8m + 4 = 0 (m + 1) 2 = 0 m = - 1 Vậy với m = -1 thì (d) tiếp xúc với (P) Toạ độ tiếp điểm là nghiệm của hệ PT y = 4 1 x 2 x = 2 y = - x + 1 y = - 1 Vậy toạ độ tiếp điểm là ( 2; 1) b) Gọi toạ độ điểm cố định A(x 0 , y 0 ) mà đờng thẳng (d) luôn đi qua m ta có: y 0 = mx 0 2m 1 luôn đúng m (x 0 2 ) m (y 0 + 1) = 0 m x 0 2 = 0 x = 2 y 0 + 1 = 0 y = - 1 Ta nhận thấy x 0 = 2; y 0 = - 1 thoả mãn PT của (P) do đó điểm A(2; - 1) thuộc Parabol y = 4 1 x 2 mà A cố định. Ví dụ 8: Xác định các giá trị của tham số k để 3 đờng thẳng (I): x +6y = 0 (II): ( 1 k) x + ky = 1 + k (III): 6x + 7y = - 6 9 Đồng quy tại 1điểm Bài giải: Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (I) và (III) điểm chung của (I) và (III) là nghiệm của hệ PT: x + 6y = 0 (1) 6x + 7y = - 6 (2) Giải hệ ta đợc : x = - 29 36 y = 29 6 Vậy toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng (I) và(III) là A(- 29 36 ; 29 6 ) Vì toạ độ điểm A thoả mãn PT II ( vì 3 đờng thẳng đồng quy) thay x =- 29 36 ; y = 29 6 vào PT II, ta đợc (1 k) (- 29 36 ) + 29 6K = 1 + k - 36 + 36 k + 6k = 29 + 29k 13k = 65 k = 5 Vậy với k = 5 thì 3 đờng thẳng trên đồng quy tại điểm A(- 29 36 ; 29 6 ) * Tơng tự ví dụ 6 ta có thể tìm k và xác định toạ độ điểm đồng quy bằng cách giải hệ 3 PT Ví dụ 9: Cho Parabol y = - 2 1 x 2 và điểm A( - 1 ; 1) Viết phơng trình đờng thẳng (d) tiếp xúc với(P) và đi qua điểm A( - 1;1) Bài giải: Phơng trình tổng quát (d) là: y = ax + b vì (d) đi qua điểm A(- 1 ; 1) nên toạ độ A(- 1; 1) là nghiệm của phơng trình (d), thay vào ta có: a b = - 1 (1) Vì (d) tiếp xúc với Parabol nói trên nên phơng trình: x 2 + 2ax + 2b = 0 có nghiệm kép = 0 a 2 2b = 0 (2) Kết hợp (1) và(2) ta có HPT a b = -1 (1) a 2 2b = 0 (2) Giải hệ HPT ta đợc a 1 = 1 + 3 , b 1 = 2 + 3 khi đó (d 1 ) là y = (1 + 3 )x + 2 + 3 a 2 = 1+ 3 ; b 2 = 2 - 3 ta có PT(d 2 ) là y = ( 1 - 3 ) x + 2 - 3 10 [...]... Đại số 9 5 Toán Bồi dỡng học sinh giỏi Đại số 9 6 - Để học tốt Đại số 9 7 Các đề thi tốt nghiệp THCS và tuyển sinh vào THPT và một số các tài liệu hớng dẫn ôn thi khác Mục Lục A Phần mở đầu B Phần Nội dung Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3 Dạng 4 Kết quả thực hiện - Bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất C Phần Kết luận Tài liệu tham khảo Trang 2 3 4 4 7 8 13 13 14 đề kiểm tra toán 9 phần hàm số và đồ thị Thời... khỏi những thi u sót trong khi giảng dạy chuyên đề này Vậy bản thân tôi rất mong các thầy giáo, cô giáo, các đồng nghiệp đóng góp ý kiến, phê bình để chất lợng giảng dạy, đặc biệt là nâng cao chất lợng học tập của học sinh ở chuyên đề này nói riêng và chất lợng môn Toán nói chung ở trờng THCS Xin chân thành cám ơn Nghĩa Đạo, ngày 10 tháng 3 năm 2009 Ngời viết Nguyễn Hồng Bốn 11 Tài liệu tham khảo 1... loại này IV Bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất Việc phân chia kiến thức theo từng chuyên đề từng dạng bài là hết sức cần thi t, giíp chúng ta có thể đi sâu hơn về từng nội dung kiến thức, phân tích đánh giá đợc đầy đủ hơn vì vậy chúng ta nên coi đây là việc làm thờng xuyên, cần thi t để đem lại hiệu quả cao Trong quá trình giảng dạy ngoài việc giáo viên tự phân tích, tổng hợp để phân dạng các nội dung . tiếp xúc với đờng cong P: y = f(x) và song song với đồ thị hàm số: y = kx +m Giải: Ta đa bài toán này về dạng bài 3 và 4 vì (d) song song với y = kx +m do đó hệ số góc là k. Dạng 4: Bài toán. thấy x 0 = 2; y 0 = - 1 thoả mãn PT của (P) do đó điểm A(2; - 1) thuộc Parabol y = 4 1 x 2 mà A cố định. Ví dụ 8: Xác định các giá trị của tham số k để 3 đờng thẳng (I): x +6y = 0 (II):. bài là hết sức cần thi t, giíp chúng ta có thể đi sâu hơn về từng nội dung kiến thức, phân tích đánh giá đợc đầy đủ hơn vì vậy chúng ta nên coi đây là việc làm thờng xuyên, cần thi t để đem lại