Chuyên đề Hàm số và đồ thị

2 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1... 2 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại ba đi

 4y2 + 4y + 1 + 8y + 8  0  4y2 + 12y + 9  0: Bất phương trình này thoả với mọi y

Vậy tập giá trị của hàm số là R

Ví dụ 3 Tìm tập giá trị của hàm số y =

21

x

x 

Giải: TXĐ R \  1

Vậy tập giá trị của hàm số là (; 0)(4; )

Ví dụ 4 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (m-1)sinx + m(cosx - 2) = 0 có nghiệm

Giải:

Phương trình tương đương m(sinx+ cosx - 2) = sinx (1)

Do sinx + cosx  2 nên sinx + cosx - 2 < 0 Suy ra sinx + cosx - 2  0

Gọi y là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm số

Khi đó phương trình y = sin

HD Cho hàm số y = f(x) xác định trên D Phương trình f(x) = k có nghiệm trên D khi và chỉ

khi k thuộc tập giá trị của f(x)

3) Chứng minh - 1

2 2

12 ( )36

x x a y

12 ( )36

x x a y

Chú ý nếu không có dấu bằng trong các bất đẵng thức trên thì phải thêm điều kiện về giới hạn

Ví dụ: f(x) > m,  x D thì không thể kết luận ngay tập giá trị của f(x) là (m; + )

mà phải có thêm điều kiện



Giải: Ta có 1 2 2 1

1

x x

 ,  x R, y = 2

21

x x

 liên tục trên R Vậy tập giá trị của hàm số y =

2lim

Hàm số đã cho liên tục trên R

Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1)

BTII.2 Tìm tập giá trị các hàm số sau

1) y = x22x 3 x22x3

2) y = 4x2

3) y = (x2)(3 2 ) x

4) y = x 3 6x

3 Tìm tập giá trị bằng phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số

PP Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D Khảo sát và lập bảng biến thiên, ta sẽ thấy

ngay tập giá trị của hàm số

Ví dụ 1 Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 2

1

x x



Giải: TXĐ: R

Ta có y' =

2 2

2(1 ) 4

(1 )

x

2

2 2

2(1 ) (1 )

x x



 Bảng biến thiên:

Thấy ngay tập giá trị [ -1; 1]

Ví dụ 2 y = x2  x 1 x2 x 1

Giải: TXĐ: R

Ta có: y' =

2

x



 

-

2

x



 

* Nếu 1

2  x 1 2  thì y'  0 * Nếu x 1 2  thì y'  0  (x2 - x + 1)(2x + 1)2  (x2 + x + 1)(2x - 1)2  -2x2 + 2x + x2 - x + 1  2x2 + 2x - x2 - x - 1  x2 1 - 1 x1 hay 1 2 x1 thì y'  0 * Nếu x < - 1 2 thì y'  0  (x2 - x + 1)(2x + 1)2  (x2 + x + 1)(2x - 1)2  -2x2 + 2x + x2 - x + 1  2x2 + 2x - x2 - x - 1  x2 1 x  1hoặc x  1 hay với x < - 1 2 thì y'  0 Bảng biến thiên: Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1) BTII.3 Tìm tập giá trị các hàm số sau 1) y = 2 2 2 3 2 3 x  x  x  x x -  - 1 1 + 

y' - 0 + 0 - y 0 1

-1 0

x - +

y' +

y 1

- 1

PP M(x0; y0) thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi y0 = f(m, x0), m

hay phương trình y0 = f(m, x0), thoảm

Vậy M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = f(m, x) khi chỉ khi phương trình y0 = f(m,

x0), thoảm Từ đây suy ra x0, y0

Ví dụ 1 Tìm điểm cố định của họ đường thẳng: y = m(x - 1) + m - 1

Giải: M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = m(x - 1) + m - 1 khi chỉ khi phương trình

y0 = m( x0 - 1) + m - 1, thoảm 

 mx0 - 1 - y0 = 0 thoảm  x0 = 0, y0 = 1

Ví dụ 2 Cho hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) (1)

1) Chứng minh rằng đồ thị luôn luôn đi qua một điểm cố định

2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

Vì thế phương trình tương đương với ( x - 2)[x2 - (3m + 1)x + 2m(m +1)] = 0

Thấy ngay 3 nghiệm x = 2, x = 2m, x = m + 1

m m

2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Bài tập III.1.2 Tìm điểm cố định của đồ thị các hàm số sau đây

2 Điểm không có đồ thị nào đi qua

ĐN Điểm M(x0; y0) được gọi là điểm không có đồ thị nào của đồ thị hàm số y = f(m, x), trong

đó m là tham số, đi qua nếu M(x0; y0) không thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x)

PP M(x0; y0) không thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi y0 = f(m, x0), không thoảm hay phương trình y0 = f(m, x0), vô nghiệm m

Ví dụ 2 Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng y = 1 sao cho không có đồ thị nào của họ y =

m x + 1

x , vô nghiệm m Phương trình 

Thấy ngay hệ (1) vô nghiệm m chỉ khi x0 = 0 hoặc x0 < 1

Đó là tập hợp những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có hoành độ x < 1

ĐN Điểm M(x0; y0) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) đi qua nếu M(x0; y0) thuộc vào đúng k đồ thị của họ

PP Điểm M(x0; y0) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi phương trình

y0 = f(m, x0) có đúng k nghiệm m

Ví dụ Chứng minh rằng những điểm trong mặt phẳng bên phải trục tung có đúng hai đồ thị

của họ đồ thị hàm số

2 2(m + 1)x - m

y =

x - m đi qua

Giải: Gọi A(x0; y0) , trong đó x0 > 0 Xét phương trình

2 2 0 0

b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số

c) Tìm trên mặt phẳng các điểm có đúng hai đồ thị của họ (Cm) đi qua

IV VẤN ĐỀ ĐỐI XỨNG

1 Trục đối xứng

Ta chỉ xét trục đối xứng là đường thẳng vuông góc trục hoành

ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có trục đối xứng là đường thẳng x = x0 khi và chỉ khi qua phép biến đổi x = x + X0

Giải:

Giả sử đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số

Khi đó qua phép biến đổi: x x0 X

Vậy đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 1

*Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành

Theo trên, khi x0 = 1 thì Y = X4 - 8X2 + 6

Hoành độ giao điểm của đồ thi với trục hoành là nghiệm phương trình:

y = 0  Y = 0  X4 - 8X2 + 6 = 0

 X2 = 4  10

 X =  4 10, X =  4 10

Suy ra phương trình có 4 nghiệm: x = 1 4 10 , x = 1 4 10

Hoành độ 4 giao điểm với trục hoành là : x = 1 4 10 , x = 1 4 10

***Từ ví dụ 1 trên đây ta suy ra một phương pháp giải phương trình bậc bốn nếu vế trái của phương trình là một hàm mà đồ thị cuả nó có trục đối xứng

Ví dụ 2: Giải phương trình x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + 3 = 0

Đặt y = x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + 3

Giả sử đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số

Khi đó qua phép biến đổi: x x0 X

ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành

BT4 Tìm tất cả các giá trị a để đồ thị hàm số sau có trục đối xứng:

y = 98

Giả sử M0(x0, y0) là tâm đối xứng Qua phép biến đổi 0

Vậy tâm đối xứng duy nhất của đồ thị là M0(1, 0)

**Chú ý: Nếu bạn dùng tính chất giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng để thấy M0(1, 0), rồi cho dù bạn dùng định lý trên để chứng minh M0(1, 0) là tâm đối xứng của đồ thị, vì qua phép biến đổi x = 1 + X

thì lời giải vẫn chưa trọn vẹn bởi bạn chưa trả lời được câu hỏi: còn nữa không ?

Ví dụ : Chứng minh rằng M(- 1; - 2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

2x

x - 1 3) y = 2x3 - 3x2 + 1

BT2 Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số:

1) y = 2 + 3x

2x - 3 2) y =

22x - x - 1

x + 2 3) y = x3 - x2 + x - 1

**Chú ý: Cần và đủ để điểm M'(x'; y') là điểm đối xứng của M(x: y) qua

Ví dụ1 : Tìm tất cả các cặp điểm M,N trên đồ thị hàm số

221

y x

1

21

2

21

2

1 1 1

1

21

1

21

2

1 1

1

21

21

y x

 



 qua đường thẳng y = 2

Giải: Gọi đồ thị hàm số

222

y x

 



 là (C), đồ thị đối xứng qua đường thẳng y = 2 là ( D)

M'(x'; y')  ( D)   M(x; y) đối xứng M'(x'; y') và M(x; y)  (C) 

2

21'

y x

Chứng tỏ đồ thị cắt trục hoành tại A(-3; 0) Tìm B đối xứng A qua tâm đối xứng của đồ thị

BT2 Viết phương trình đường cong đối xứng đường cong y = x3 + 3x2 - 4 qua đường thẳng x =

1

V VẤN ĐỀ TIẾP XÚC

1 Tiếp tuyến của đồ thị

1.1 Tiếp tuyến tại M 0 (x 0; y 0 )

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến tại M 0 (x 0; y 0 )  (C) là:

y = f '(x 0 )( x - x 0 ) + f(x 0 )

1.2 Tiếp tuyến đi qua M 0 (x 0; y 0 )

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Gọi d đường thẳng đi qua M 0 (x 0; y 0 ) Khi đó phương trình của

d là y = k( x - x 0 ) + y 0 d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

(nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm)

VD1 Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số

21

x y x



 , (C) : 1) Tại M(3; 9/2)

2) Đi qua N(2; 0)

Giải: Ta có y ' =

2 2

2( 1)

x



 1) y'(3) = 3/2 Suy ra phương trình tiếp tuyến là 3( 3) 9

y x

2) Gọi d đường thẳng đi qua N(2; 0) Khi đó phương trình d là y = k(x - 2)

d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

2

2 2

( 2) (1)1

2 (2)( 1)

x

k x x

k x

00

ii) x = 4

3 suy ra k =

89

2( 1)

x



 nên x = 2 là một điểm cực trị và dô đó M(2; 4) là một điểm cực trị của

đồ thị hàm số Suy ra đường thẳng y = 4 là một tiếp tuyến của đồ thị

Gọi A(a; 4) là điểm thuộc đường thẳng y = 4 đường thẳng đi qua A tạo với đường thẳng y = 4 góc 450 nghĩa là tạo với trục hoành góc 450 thì có hệ số góc bằng 1 hoặc -1

i) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1: y = x - a + 4

Xét hệ phương trình

2

2 2

4 1

2

1 ( 1)

x

x a x

Suy ra không có tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 tạo với đường thẳng y = 4 góc 450

ii) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng - 1: y = - x + a + 4

Xét hệ phương trình

2

2 2

4 (1)1

2

1 (2)( 1)

1) Tìm m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành

2) Chứng minh rằng trên parabol y = x2 có hai điểm không thuộc đồ thị (1) dù m lấy bất

VD1 Cho hàm số

211

y x

d là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

2

2 2

1

(1)1

2 (2)( 1)

2

1

(1)1

2

2 (2)( 1)

1) Gọi điểm thuộc trục tung A(0; a) đường thẳng d qua A: y = kx + a

d là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

2) Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương của (C m) Tìm m để tiếp tuyến tại A của

(C m) song song với đường thẳng y = 2x

BT2 Cho hàm số y = 1

3x

3

- mx2 + (2m - 1)x - m + 2 có đồ thị (C m)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số khi m = 2

2) Qua A(4/9; 4/3) kẻ được mấy tiếp tuyến đến (C) Viết phương trình các tiếp tuyến đó

3) Với giá trị nào của m thì hàm số (1) nghịch biến trên (- 2; 0)

BT3 Cho các hàm số y = mx2 - mx - 2 và 2

1

mx y x







1) Chứng minh rằng hai đồ thị của hai hàm số trên có cùng một điểm cố định

2) Tìm m để điểm cố định trên trở thành tiếp điểm Viết phương trình tiếp tuyến chung tại tiếp điểm

BT4 Cho hàm số y = 2x3 - 3(m + 1)x2 + 18mx - 8 (1)

1) Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc trục hoành

2) Chứng minh rằng trên parabol y = x2 có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số (1) dù m lấy bất kỳ giá trị nào

 2x03(3m10)x0218mx0 8 0vô nghiệm m

 (18x03x m02) 2x0310x02 8 0 vô nghiệm m

BT5 Cho hàm số y = - x4 + 2mx2 - 2m + 1 có đồ thị (C m)

1) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B

2) Tìm m để các tiếp tuyến của (C m) tại A và B vuông góc với nhau

BT6 Tìm m để hai đường cong y = x3 - 1 và y = - mx2 tiếp xúc với nhau Từ đó suy ra m > 0 để phương trình x3 + mx2 - 1 = 0 có nghiệm duy nhất

BT7 Viết phương trình tiếp tuyến chung của các cặp đường cong sau:

1) y = x2 - 2x + 3 và y = x2 - 4x + 5

2) y = x2 - 5x + 6 và y = - x2 - x - 14

***Chú ý: Đường thẳng y = px + q là tiếp tuyến của parabol y = ax 2 + bx + c khi và chỉ khi

phương trình ax 2 + bx + c = px + q hay ax 2 + (b - p)x + c - q = 0 có nghiệm kép, tức là

= (b - p) 2 - 4a(c - q) = 0

VD Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 2) và tiếp xúc parabol y = 2x2 + x + 1

Giải: Đường thẳng d đi qua A: y = k(x - 1) + 2

d là tiếp tuyến của parabol khi chỉ khi phương trình 2x2 + x + 1 = k(x - 1) + 2 có nghiệm kép

 2x2 + (1 - k)x + k - 1 = 0 có nghiệm kép  (1 - k)2 - 2(k - 1) = 0  k = 1, k = 3

Hai tiếp tuyến : y = x + 1, y = 3x - 1

3 Họ đường thẳng tiếp xúc một đường cong cố định

Bài toán Chứng minh rằng họ đường thẳng (d m) luôn luôn tiếp xúc một đường cong cố định

Phương pháp Tìm những điểm trong mặt phẳng mà họ đường thẳng (d m) không đi qua với mọi m Biên của tập hợp cần tìm là đường cong cố định cần tìm

VD1 Chứng minh rằng tiệm cận xiên của họ: y =

2 2(m 1)x m

x m

 luôn luôn tiếp xúc một parabol

cố định

Giải: Họ tiệm cận xiên (d m) : y = (m + 1)x + m2 + m

M(x: y) là điểm thuộc mặt phẳng sao cho không có đường thẳng của (d m) đi qua khi và chỉ khi phương trình y = (m + 1)x + m2 + m vô nghiệm m  m2 + (x + 1)m + x - y = 0 vô nghiệm m

 x2 + 2(2m + 1)x 4m2 + 4 m + 1 = 0

Phương trình này có nghiệm kép với mọi m Suy ra điều phải chứng minh

VD2 Chứng minh rằng họ đường thẳng phụ thuộc thâm số  :

(x1) cos (y1) sin  (d) 4 0

luôn luôn tiếp xúc một đường tròn cố định

Giải: M(x; y) là điểm thuộc mặt phẳng sao cho không có đường thẳng nào của họ đi qua

 phương trình (x1) cos(y1) sin  vô nghiệm 4 0 

BT1 Chứng minh họ đường thẳng 4x - 2my + m2 = 0 luôn luôn tiếp xúc một parabol cố định

BT2 Chứng minh rằng tiệm cận xiên của họ: y =

Từ hệ phương trình suy ra phương trình: f(x) = g(x) ( phương trình cho biết hoành độ điểm

chung (nếu có) của (C) và (D))

(C) và (D) có bao nhiêu điểm chung khi và chỉ khi hệ ( )

có bấy nhiêu nghiệm

Từ đây có hai bài toán:

i) Biện luận số điểm chung của hai đồ thị (C) và (D) dựa vào hệ phương trình

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3

2) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (C m) luôn luôn cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm phân biệt A, B Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB

3) Xác định m để (C m) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm C(0; 1), D, E sao cho các tiếp

tuyến của (C m) tại D, E vuông góc với nhau

Giải 2) Xét phương trình x3 + 3x2 + mx +1 = x3 + 2x2 + 7  x2 + mx - 6 = 0 (*)

Thấy ngay phương trình này luôn luôn có hai nghiệm phân biệt Suy ra đpcm

Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là các điểm chung Khi đó x1, x2 là nghiệm của (*)

(2) có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi 9 - 4m > 0  m < 4/9

Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là các điểm chung khác C Khi đó x1, x2 là nghiệm của (2)

       Khai triển dạng tổng và tích của x1,

x2 Áp dụng Viet Ta có các giá trị cần tìm của m

VD2 Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 - 3x2 + 1 - m = 0

Giải: 1) Bạn hãy tự giải

x y x





1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm phương trình:

21

x y x



 có đồ thị (C)

y = - x + a là họ đường thẳng có hệ số

góc bằng - 1 không đổi, cắt trục trung tại a

Chú ý hai vị trí tiếp tuyến:

Dựa vào đồ thị ta có kết quả:

i) a < 3 2 2 hoặc a > 3 2 2 : Hai nghiệm phân biệt

f(x )=x ^3-3 x^2+2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

x

f(x)

y =1+m 1+m

f(x)=(x^2)/(x-1)

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x

f(x)

3 2 2 

2 2  3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2) Tuỳ theo m, biện luận số nghiệm phương trình

y = mx + m là họ đường thẳng quay xung quanh I( - 1; 0) cố định và có hệ số góc m

Để ý rằng khi đường thẳng y = mx + m là tiếp tuyến thì hệ số góc m = 9/4

Dựa vào đồ thị ta có kết quả:





1) Khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm tất cả các giá tri k để đường thẳng y = kx + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B

3) Tìm quỷ tích trung điểm I của đoạn AB

BT2 Cho hàm số 3 4

1

x y x







1) Khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm tất cả các giá tri a để đường thẳng y = ax + 3 không có điểm chung nào với (C) 3) Từ một điểm A thuộc trục tung có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C)

HD 2) Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến cố định khi chỉ khi :

Phương trình x2 + (2m + 1)x + m2 - 1 = ax + b có nghiệm kép với mọi m

 Phương trình x2 + (2m - a + 1)x + m2 - 1 - b = 0 có nghiệm kép với mọi m

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x

m=9/4