Chuyên đề Hàm số và đồ thị

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 1 Chủ đề I. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ. 1. Hàm số dạng y = ( ) ( ) f x g x . (1) TXĐ: D =     g g g x D g(x) 0 D \ x D g(x) = 0     2. Hàm số dạng y = ( ) f x . (2) TXĐ: D =   f x D f(x) 0   3. Hàm số có dạng y = lnf(x). TXĐ: D =   f x D f(x) > 0  Do vậy ta chuyển các bài toán tìm tập xác định của hàm số vào chủ đề phương trình và hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình. II. TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ. 1. Tìm tập giá trị bằng định nghĩa. ĐN. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. y là một giá trị thuộc tập giá trị của f(x) khi và chỉ khi phương trình f(x) = y có nghiệm thuộc D. PP. Tìm điều kện y để phương trình f(x) = y có nghiệm. Phương pháp này thường dùng cho các hàm số có tập xác định R. Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 1 1 x x   . Giải: TXĐ. R \   1 . Phương trình y = 2 1 1 x x    2 1 1 yx y x x         ( 2) 1 1 y x y x         y  2 Vậy tập giá trị của hàm số là R \   2 . Ví dụ 2. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 2 1 2 1 x x x    . Giải: TXĐ. R \ 1 2        . Phương trình y = 2 2 1 2 1 x x x     2 2yx + y = 2x - x - 1 1 x 2         2 2 (2 1) 1 0 1 2 x y x y x              4y 2 + 4y + 1 + 8y + 8  0  4y 2 + 12y + 9  0: Bất phương trình này thoả với mọi y. Vậy tập giá trị của hàm số là R. Ví dụ 3. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 1 x x  . Giải: TXĐ. R \   1 . Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2 y = 2 1 x x   2 yx - y = x x 1      2 0 1 x yx y x         y 2 - 4y  0  y  0 hoặc y  4. Vậy tập giá trị của hàm số là ( ;0) (4; )    Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (m-1)sinx + m(cosx - 2) = 0 có nghiệm Giải: Phương trình tương đương m(sinx+ cosx - 2) = sinx (1) Do sinx + cosx  2 nên sinx + cosx - 2 < 0. Suy ra sinx + cosx - 2  0 (1)  sin sin cos 2 x x x   = m (2) Đặt y = sin sin cos 2 x x x   TXĐ: R Gọi y là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm số. Khi đó phương trình y = sin sin cos 2 x x x   có nghiệm. y = sin sin cos 2 x x x    (y - 1)sinx + ycosx - 2y = 0 Phương trình này có nghiệm khi chỉ khi (y - 1) 2 + y 2  (- 2y) 2  2y 2 + 2y - 1  0 - 1 - 3 - 1 + 3 y 2 2    Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi - 1 - 3 - 1 + 3 m 2 2   BTII.1. 1) Tìm tập giá trị của hàm số a) 2 2 1 1 x y x    b) 2 2 1 x y x   2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm : sinx - 2cosx + 1 = 1 - 2m sinx + 2 HD. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Phương trình f(x) = k có nghiệm trên D khi và chỉ khi k thuộc tập giá trị của f(x). 3) Chứng minh - 1 2 2 cos 2 cos 1 2 cos 1 x x x x          , với (0; )    HD. Tìm tập giá trị của hàm số 2 2 cos 2 cos 2 cos 1 x x y x x         Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 3 4)* Tìm a để tập giá trị của hàm số 2 1 x y x a    chứa đoạn [0; 1] 5)* Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 3 4 2 12 ( ) 36 x x a y x          HD. Tìm tập giá trị của hàm số 3 4 2 12 ( ) 36 x x a y x          . 2. Tìm tập giá trị bằng phương pháp bất đẳng thức. PP. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D. Nếu m  f(x)  M, x D   thì tập xác định của f(x) là [m; M] Nếu m  f(x), x D   thì tập xác định của f(x) là [m; +  ) Nếu f(x)  M thì tập xác định của f(x) là ( -  ; M] Chú ý nếu không có dấu bằng trong các bất đẵng thức trên thì phải thêm điều kiện về giới hạn. Ví dụ: f(x) > m, x D   thì không thể kết luận ngay tập giá trị của f(x) là (m; +  ) mà phải có thêm điều kiện 0 lim x x  f(x) = m. Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 2 1 x x  . Giải: Ta có 2 2 1 1 1 x x     , x R   , y = 2 2 1 x x  liên tục trên R. Vậy tập giá trị của hàm số y = 2 2 1 x x  là [-1; 1]. Ví dụ 2. y = 2 2 1 1 x x x x      Giải: Ta có: y = 2 2 2 1 1 x x x x x      = 2 2 2 1 3 1 3 ( ) ( ) 2 4 2 4 x x x        2 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 x x x   = 2 1 1 2 2 x x x     2 1 1 2 2 x x x    = 2 2 x x = 1 Dấu bằng không xảy ra vì hệ sau vô nghiệm: 0 1 1 0 ( )( ) 0 2) 2 0 x x x x x               Mặt khác ta có 2 2 lim ( 2 1 2 1) x x x x x       = 2 2 2 lim 1 1 x x x x x x       = - 1 2 2 lim ( 2 1 2 1) x x x x x       = 2 2 2 lim 1 1 x x x x x x       = 1 Hàm số đã cho liên tục trên R Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1) Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 4 BTII.2. Tìm tập giá trị các hàm số sau 1) y = 2 2 2 3 2 3 x x x x      2) y = 2 4 x  3) y = ( 2)(3 2 ) x x   4) y = 3 6 x x    3. Tìm tập giá trị bằng phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số. PP. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D. Khảo sát và lập bảng biến thiên, ta sẽ thấy ngay tập giá trị của hàm số. Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 2 1 x x  . Giải: TXĐ: R Ta có y' = 2 2 2 2 2(1 ) 4 (1 ) x x x    = 2 2 2 2(1 ) (1 ) x x   Bảng biến thiên: Thấy ngay tập giá trị [ -1; 1] Ví dụ 2. y = 2 2 1 1 x x x x      Giải: TXĐ: R Ta có: y' = 2 2 1 2 1 x x x    - 2 2 1 2 1 x x x    * Nếu 1 2   x 1 2  thì y'  0 * Nếu x 1 2  thì y'  0  (x 2 - x + 1)(2x + 1) 2  (x 2 + x + 1)(2x - 1) 2  -2x 2 + 2x + x 2 - x + 1  2x 2 + 2x - x 2 - x - 1  x 2 1   - 1 1 x   hay 1 2 1 x   thì y'  0 * Nếu x < - 1 2 thì y'  0  (x 2 - x + 1)(2x + 1) 2  (x 2 + x + 1)(2x - 1) 2  -2x 2 + 2x + x 2 - x + 1  2x 2 + 2x - x 2 - x - 1  x 2 1   x 1   hoặc x  1. hay với x < - 1 2 thì y'  0 Bảng biến thiên: Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1) BTII.3. Tìm tập giá trị các hàm số sau 1) y = 2 2 2 3 2 3 x x x x      x -  - 1 1 +  y' - 0 + 0 - y 0 1 -1 0 x -  +  y' + y 1 - 1 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 5 2) y = x + 2 4 x  3) y = x + 2 4 x  4) y = 4 4 x x    III. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ. 1. Điểm cố định. ĐN. Điểm M(x 0 ; y 0 ) được gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số y = f(m, x), trong đó m là tham số, nếu M(x 0 ; y 0 ) thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x). PP. M(x 0 ; y 0 ) thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi y 0 = f(m, x 0 ), m  . hay phương trình y 0 = f(m, x 0 ), thoả m  . Vậy M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = f(m, x) khi chỉ khi phương trình y 0 = f(m, x 0 ), thoả m  . Từ đây suy ra x 0 , y 0 . Ví dụ 1. Tìm điểm cố định của họ đường thẳng: y = m(x - 1) + m - 1 Giải: M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = m(x - 1) + m - 1 khi chỉ khi phương trình y 0 = m( x 0 - 1) + m - 1, thoả m  .   mx 0 - 1 - y 0 = 0 thoả m   x 0 = 0, y 0 = 1. Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 3 - 3(m + 1)x 2 + 2(m 2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) (1) 1) Chứng minh rằng đồ thị luôn luôn đi qua một điểm cố định. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. Giải: 1) M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = x 3 - 3(m + 1)x 2 + 2(m 2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) khi chỉ khi phương trình : y 0 = x 3 0 - 3(m + 1)x 2 0 + 2(m 2 + 4m + 1)x 0 - 4m(m +1 ) thoả m  .  (2x 0 - 4)m 2 - (3 x 2 0 - 8 x 0 + 4)m + x 3 0 - 3 x 2 0 + 2 x 0 - y 0 = 0 thoả m  .  0 2 0 0 3 2 0 0 0 0 2 4 0 3 8 4 0 3 2 0 x x x x x x y                x 0 = 2, y 0 = 0. 2) Từ 1) cho ta thấy khi y = 0 phương trình: x 3 - 3(m + 1)x 2 + 2(m 2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) = 0 có 1 nghiệm x = 2 Vì thế phương trình tương đương với ( x - 2)[x 2 - (3m + 1)x + 2m(m +1)] = 0 Thấy ngay 3 nghiệm x = 2, x = 2m, x = m + 1. Ta phải có: 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 m m m m m m                   m > 1 2  m 1  Bài tập III.1.1 Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + (m 2 - 3m)x - m 2 + 2m - 1 (1) 1) Tìm các điểm mà đồ thị (1) luôn luôn đi qua với mọi m. Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 6 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Bài tập III.1.2. Tìm điểm cố định của đồ thị các hàm số sau đây 1) y = x 4 + mx 2 - m - 5 2) y = 2 2 x x n x n     3) y = 2 2 (1 ) 1 x m x m x m      4) y = x 3 - (m + 1)x 2 - (2m 2 - 3m + 2)x + 2m( 2m - 1) 2. Điểm không có đồ thị nào đi qua. ĐN. Điểm M(x 0 ; y 0 ) được gọi là điểm không có đồ thị nào của đồ thị hàm số y = f(m, x), trong đó m là tham số, đi qua nếu M(x 0 ; y 0 ) không thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x). PP. M(x 0 ; y 0 ) không thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi y 0 = f(m, x 0 ), không thoả m  hay phương trình y 0 = f(m, x 0 ), vô nghiệm m. Từ đây suy ra x 0 , y 0 . Ví dụ 1. Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ đường thẳng: y = m(x - 2) + m 2 - 1 đi qua Giải: Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm như thế  y 0 = m(x 0 - 2) + m 2 - 1, vô nghiệm m  m 2 + (x 0 - 2)m - 1 - y 0 = 0, vô nghiệm m  (x 0 - 2) 2 - 4(1 + y 0 ) < 0  y 0 > 1 4 ( 2 0 0 4 x x  ) Đó là phần trong của parabol y = 1 4 ( 2 4 x x  ) (phần mặt phẳng chứa điểm (0; 1) Ví dụ 2. Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng y = 1 sao cho không có đồ thị nào của họ y = 2 2 m x + 1 x đi qua. Giải: Gọi M(x 0 ; 1) là điểm như thế  1 = 2 2 0 0 m x + 1 x , vô nghiệm m Phương trình  2 2 0 0 0 x m = x - 1 x 0       (1) Thấy ngay hệ (1) vô nghiệm m chỉ khi x 0 = 0 hoặc x 0 < 1. Đó là tập hợp những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có hoành độ x < 1. Bài tập III.2.1. 1) Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng sao cho không có đồ thị nào của họ đồ thị sau đây đi qua: 2 x + mx - 8 y = x - m . 2) Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng sao cho không có đồ thị nào của họ đồ thị sau đây đi qua: 2 (m - 2)x - (m - 2m + 4) y = x - m . 3. Điểm chỉ có một số đồ thị đi qua. f(x)=(x^2-4 x)/4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x f(x) Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 7 ĐN. Điểm M(x 0 ; y 0 ) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) đi qua nếu M(x 0 ; y 0 ) thuộc vào đúng k đồ thị của họ. PP. Điểm M(x 0 ; y 0 ) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi phương trình y 0 = f(m, x 0 ) có đúng k nghiệm m. Ví dụ. Chứng minh rằng những điểm trong mặt phẳng bên phải trục tung có đúng hai đồ thị của họ đồ thị hàm số 2 2 (m + 1)x - m y = x - m đi qua. Giải: Gọi A(x 0 ; y 0 ) , trong đó x 0 > 0. Xét phương trình 2 2 0 0 0 (m + 1)x - m y = x - m (1) (1)  2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 3 yx - ym = mx + x - m m - (x + y)m - x + x y = 0 (1) x - m 0 x - m 0 Δ = (x + y) + 4x - 4xy = x + 2x y + y + 4x - 4xy = = y + 2(x - 2x)y + x + 4x δ' = (x - 2x) x - 4x = - 4x           < 0, x > 0. Δ > 0, x > 0, y.     Suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt. Bài tập III.3.1. 1) Chứng minh rằng những điểm trong mặt phẳng và không thuộc trục tung có đúng hai đồ thị của họ đồ thị hàm số 2 2 x - mx - m y = x + m đi qua. 2) Những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có bao nhiêu đồ thị của họ đồ thị hàm số sau đi qua: y = x 4 - 2mx 2 + m 2 + 1 đi qua. 3) Cho hàm số 2 2 - x + mx - m y = x - m , (C m ) a) Khảo sát hàm số khi m = 1. b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. c) Tìm trên mặt phẳng các điểm có đúng hai đồ thị của họ (C m ) đi qua. IV. VẤN ĐỀ ĐỐI XỨNG. 1. Trục đối xứng. Ta chỉ xét trục đối xứng là đường thẳng vuông góc trục hoành. ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có trục đối xứng là đường thẳng x = x 0 khi và chỉ khi qua phép biến đổi 0 x = x + X y = Y    hàm số đã cho trở thành Y = f(x 0 + X) là một hàm số chẵn. Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x 4 - 4x 3 - 2x 2 + 12x - 1 có trục đối xứng. Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. Giải: Giả sử đường thẳng x = x 0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Khi đó qua phép biến đổi: 0 x x X y Y       hàm số đã cho trở thành: Y = (x 0 + X) 4 - 4(x 0 + X) 3 - 2(x 0 + X) 2 + 12(x 0 + X) - 1 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 8 = 4 3 2 2 3 4 0 0 4 6 4 o o x x X x X x X X     - - 3 2 2 3 0 0 0 4 12 12 4 x x X x X X    - - 2 2 0 0 2 4 2 x x X X   + 0 12 12 1 x X     Y là hàm số chẵn của X 0 3 2 0 0 0 4 4 0 4 12 4 12 0 x x x x             Suy ra: x 0 = 1. Vậy đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 1. *Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. Theo trên, khi x 0 = 1 thì Y = X 4 - 8X 2 + 6 Hoành độ giao điểm của đồ thi với trục hoành là nghiệm phương trình: y = 0  Y = 0  X 4 - 8X 2 + 6 = 0  X 2 = 4 10   X = 4 10   , X = 4 10   Suy ra phương trình có 4 nghiệm: x = 1 4 10   , x = 1 4 10   Hoành độ 4 giao điểm với trục hoành là : x = 1 4 10   , x = 1 4 10   ***Từ ví dụ 1 trên đây ta suy ra một phương pháp giải phương trình bậc bốn nếu vế trái của phương trình là một hàm mà đồ thị cuả nó có trục đối xứng. Ví dụ 2: Giải phương trình x 4 + 8x 3 + 12x 2 - 16x + 3 = 0 Đặt y = x 4 + 8x 3 + 12x 2 - 16x + 3. Giả sử đường thẳng x = x 0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Khi đó qua phép biến đổi: 0 x x X y Y       hàm số đã cho trở thành: Y = (x 0 + X) 4 + 8(x 0 + X) 3 + 12(x 0 + X) 2 - 16(x 0 + X) + 3 = = 4 3 2 2 3 4 0 0 4 6 4 o o x x X x X x X X     - 3 2 2 3 0 0 0 8 24 24 8x x X x X X      2 2 0 0 12 24 12x x X X     0 16 16 3 x X     Y là hàm số chẵn, suy ra: x 0 = - 2 Y = X 4 - 12X 2 + 35 Y = 0  X 2 = 5, X 2 = 7  X = 5  , X = 7  Suy ra bốn nghiệm X = - 2 5  , X = - 2 7  Bài tập tương tự: BT1. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 2x 4 - 16x 3 + 43x 2 - 44x + 14 có trục đối xứng. Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 9 ĐSố: x = 2 1 2  , x = 2 2  . BT2. Giải phương trình 6x 4 + 24x 3 + 23x 2 - 2x - 1 = 0 ĐSố: x = - 1 2 3  , x = - 1 3 2  . BT3. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x 4 + 8x 3 + 12x 2 - 16x + 3 có trục đối xứng. Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. BT4. Tìm tất cả các giá trị a để đồ thị hàm số sau có trục đối xứng: y = ax 4 + 4x 3 - 2ax 2 + 1 2. Tâm đối xứng. ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có tâm đối xứng là M 0 (x 0 , y 0 ) khi và chỉ khi qua phép biến đổi 0 0 x = x + X y = y + Y    hàm số đã cho trở thành Y = f(x 0 + X) - y 0 là một hàm số lẻ. Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 4x 3 - 2x 2 + 12x - 1 có một tâm đối xứng. Giải: Với M 0 (x 0 , y 0 ) : Qua phép biến đổi 0 0 x = x + X y = y + Y    hàm số đã cho trở thành 3 2 0 0 0 Y = 4(x + X) - 2(x + X) + 12(x + X) + 1 - y 0 = = 4 3 2 2 3 0 0 12 12 4 o x x X x X X    - 2 2 0 0 2 4 2 x x X X    + + 1 - y 0 Y là một hàm số lẻ  0 3 2 0 0 0 12x - 2 = 0 4x - 2x + 1 - y = 0       0 0 1 x = 6 97 y = 98        Vậy, đồ thị hàm số có đúng một tâm đối xứng là 0 1 97 M ; 6 98       **Chú ý: Bài toán yêu cầu tìm tâm đối xứng hay chứng minh đồ thị có tâm đối xứng ta đều đi tìm tâm đối xứng. Đối với hàm số bậc ba, bạn có thể chỉ ra tâm đối xứng là điểm uốn của đồ thị, nhưng như thế không chứng minh được " có đúng một tâm đối xứng". Ví dụ 2: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số 2 x - 2x y = x - 1 . Giải: Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 10 Giả sử M 0 (x 0 , y 0 ) là tâm đối xứng. Qua phép biến đổi 0 0 x = x + X y = y + Y    hàm số đã cho trở thành 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 2( ) 2( 1) 2 ( ) 1 1 (2 2) 2 1 x X x X X x X x x y Y x X x X X x y X x x x y y Y x X                          Y phải là một hàm số lẻ, trong khi mẫu thức chỉ có thể là một hàm số lẻ, do đó tử thức phải là một hàm số chẵn. Suy ra: 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 0 x x x y y               Vậy tâm đối xứng duy nhất của đồ thị là M 0 (1, 0). **Chú ý: Nếu bạn dùng tính chất giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng để thấy M 0 (1, 0), rồi cho dù bạn dùng định lý trên để chứng minh M 0 (1, 0) là tâm đối xứng của đồ thị, vì qua phép biến đổi x = 1 + X y = 0 + Y    hàm số đã cho trở thành 2 2 (1 ) 2(1 ) 1 X X X Y X X       là một hàm số lẻ thì lời giải vẫn chưa trọn vẹn bởi bạn chưa trả lời được câu hỏi: còn nữa không ? Ví dụ : Chứng minh rằng M(- 1; - 2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số 2 x y = x + 1 . Giải: Qua phép biến đổi x = -1 + X y = 2 + Y    hàm số đã cho trở thành 2 2 2 ( 1 ) 2 1 1 2 ( 1 ) 1 X X X X Y Y X X X               Y là một hàm số lẻ. Suy ra đpcm. Bài tập tương tự: BT1. Chứng tỏ rằng đồ thị các hàm số sau đều có một tâm đối xứng: 1) y = 2 - 3x 2x - 3 2) y = 2 2x + x - 1 x - 1 3) y = 2x 3 - 3x 2 + 1 BT2. Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số: 1) y = 2 + 3x 2x - 3 2) y = 2 2x - x - 1 x + 2 3) y = x 3 - x 2 + x - 1 **Chú ý: Cần và đủ để điểm M'(x'; y') là điểm đối xứng của M(x: y) qua i) M 0 (x 0 ; y 0 ) là 0 0 x + x' = 2x y + y' = 2y    Đặc biệt qua O(0; 0) là x + x' = 0 y + y' = 0    ii) Đường thẳng y = m là x = x' y + y' = 2m    Đặc biệt qua trục hoành là x = x' y = - y'    [...]... của đồ thị hàm số x 2  mx  2m  4 BT5 Cho hàm số y  , (1) x2 1) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị hàm số 2) Tìm những điểm mà đồ thị hàm số (1) đi qua với mọi m 1) y'= VIII VẤN ĐỀ SUY ĐỒ THỊ Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra đồ thị hàm số: 1) y = - f(x) bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành đồ thị. .. Cho hàm số y = , (1) x-m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1 Từ đó suy ra đồ thị hàm số - x2 - x + 1 y= -x+1 Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 28 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Tìm m để (1) có cực trị Chứng minh rằng với m vừa tìm được, trên đồ thị hàm số (1) luôn luôn tìm được hai điểm mà tiếp tuyến của đồ. .. điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 Về các điểm cực trị phải thoả mãn một số điều kiện nào đó x 2 - mx + m VD1 Cho hàm số y = , (m  0) (1) x-m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = - 1 Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 25 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số (1) có cực trị đồng thời các... tiếp xúc một đường tròn cố định VI VẤN ĐỀ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ  ĐLý Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hàm số y = g(x) có đồ thị (D)  y  f ( x) Xét hệ phương trình  (hệ cho biết toạ độ điểm chung (nếu có) của (C) và (D) (nếu có))  y  g ( x) Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 16 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Từ hệ phương trình... các giá trị m để hàm số (1) có cực trị đồng thời điểm cực trị thuộc khoảng (0; 2m) VD3 Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + 2m + m4 1) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số có cực đại và cực tiểu 2) Viết phương trình parabol các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho 3) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số là đỉnh của một tam giác đều HD 1) y' = 4x3... nhánh đồ thị y  cặp điểm có khoảng cách nhỏ nhất x 1 Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 23 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2 Về phương trình đường đi qua các điểm cực trị ax 2 + bx + c 2.1 Cho hàm số y = (am  0, tử không chia hết mẫu) có cực trị mx + n Khi đó đường thẳng y = 1 (2ax + b) đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số của m hàm. .. tự: BT1 Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3mx + 5 Tìm tất cả các giá trị m để hàm số có cực trị Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho x2 - x + m + 1 BT2 Cho hàm số y = (1) x-m 1) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số (1) có cực trị 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số (1) 3) Tìm qỷ tích các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) BT3... x 2  2mx  1 BT2 Cho hàm số y  2x 1 Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị hàm số x2  4 x  m BT3 Cho hàm số y  Chứng minh rằng, với mọi m làm cho hàm số có cực trị thì x2 các điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định 2m BT4 Cho hàm số y  2 x  1  x 1 Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị Tìm... x1x2 = - m và: 2 y '1  3 x12  6 x1  m , y '2  3 x2  6 x2  m ' 2 Theo giả thiết : 1  y1' y2   3x12  6 x1  m  3x2  6 x2  m  Khai triển dạng tổng và tích của x1, x2 Áp dụng Viet Ta có các giá trị cần tìm của m VD2 Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 17 Hàm số và đồ thị- Trần... ABC đều là  ABC = 600  hệ số góc của (AB) bằng 3 m2 y  yA  3   3  m 33  B xB  xA m f(x) f(x)=x ^4 -4 x^2+5 8 6 A 4 2 B -8 -6 -4 -2 2 -2 -4 -6 -8 VD4 Cho hàm số y = 2x3 + ax2 -12x - 13 Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 26 C x 4 6 8 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 1) Tìm tất cả các giá trị a để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng . Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 1 Chủ đề I. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I. TẬP. trị của hàm số là R. Ví dụ 3. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 1 x x  . Giải: TXĐ. R   1 . Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần. x       = 1 Hàm số đã cho liên tục trên R Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1) Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang