chuyên đề đạo hàm cực hay

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1 CHƯƠNG V. ðẠO HÀM § 1. ðỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ðẠO HÀM KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. ðịnh nghĩa Cho hàm số ( ) y f x = xác ñịnh trên khoảng (a; b), 0 0 ( ; ), ( ; ) x a b x x a b ∈ + ∆ ∈ Nếu tồn tại., giới hạn (hữu hạn) 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x ∆ → + ∆ − ∆ ñượ c gọ i là ñạ o hà m củ a ( ) f x tạ i 0 x Kí hi ệ u là 0 '( ) f x hay 0 '( ) y x 0 x x x ∆ = − gọ i là s ố gia củ a ñố i s ố tạ i x 0 . 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) y f x f x f x x f x ∆ = − = + ∆ − gọ i là s ố gia t ươ ng ứ ng củ a hà m s ố . 2. Quy t ắ c tí nh ñạ o hà m b ằ ng ñị nh nghĩ a ðể tí nh ñạ o hà m củ a hà m s ố ( ) y f x = tạ i ñ i ể m x 0 b ằ ng ñị nh nghĩ a, ta có qui t ắ c: Qui t ắ c: B1. V ớ i x ∆ là s ố gia củ a ñố i s ố tạ i x 0 , tí nh 0 0 ( ) ( ) y f x x f x ∆ = + ∆ − ; B2. L ậ p tỉ s ố x y ∆ ∆ B3. Tí nh 0 lim x x y ∆ → ∆ ∆ 3. Quan h ệ gi ữ a t ồ n tạ i ñạ o hà m và tí nh liên tụ c củ a hà m s ố ðị nh li 1. N ế u h à m s ố ( ) y f x = có ñạ o hà m tạ i x 0 thì nó liên tụ c tạ i ñ i ể m ñó . Nghĩ a là : 4. Ý nghĩ a hì nh họ c củ a ñạ o hà m ðị nh lí 2. ðạ o hà m củ a hà m s ố ( ) y f x = tạ i ñ i ể m x 0 là h ệ s ố gó c củ a ti ế p tuy ế n M 0 T củ a (C) tạ i ñ i ể m ( ) 0 0 0 ; ( ) M x f x . Khi ñó ph ươ ng trì nh ti ế p tuy ế n củ a ñồ thị hà m s ố tạ i M 0 là : 0 0 0 '( )( ) y y f x x x − = − , trong ñó 0 0 ( ) y f x = . Chú ý : Ta có th ể d ễ dà ng ch ứ ng minh s ự không t ồ n tạ i ñạ o hà m tạ i m ộ t ñ i ể m nh ờ khá i ni ệ m ñạ o hà m m ộ t bên và ñị nh lí : 0 0 0 0 '( ) '( ) '( ) '( ) '( ) f x f x f x f x f x + − + −  ∃  ∃ ⇔ ∃   ∃ = ∃  Trong ñó 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim ; '( ) lim x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x + − + − → → − − = = − − và 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x x x → − = − ( ) f x có ñạo hàm tại x 0 ( ) f x liên tục tại x 0 ðúng Sai Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 2 BÀI TẬP Bài 1. Bằng ñịnh nghĩa, hãy tính ñạo hàm của các hàm số sau: a) 1 ( )f x x = tạ i ñ i ể m 0 2 x = b) 2 ( ) f x x = tạ i ñ i ể m 0 2 x = HD c) ( ) 2 1 f x x = − tại ñiểm 0 5 x = d) 1 ( ) 1 x f x x + = − tại ñiểm 0 0 x = a) 1 ( )f x x = tại ñiểm 0 2 x = Tập xác ñịnh của hàm số là { } \ 0 D = ℝ Với x ∆ là số gia của ñối số tại 0 2 x = sao cho 2 x D + ∆ ∈ , Thì 0 0 1 1 ( ) ( ) (2 ) (2) 2 2 2(2 ) x y f x x f x f x f x x ∆ ∆ = + ∆ − = + ∆ − = − = − + ∆ + ∆ Ta có 1 2(2 ) y x x ∆ = − ∆ + ∆ 0 0 1 1 '( ) lim lim 2(2 ) 4 x x y f x x x ∆ → ∆ →   ∆ = = − = −   ∆ + ∆   V ậ y 1 '(2) 4 f = − b) 2 ( ) f x x = tạ i ñ i ể m 0 2 x = T ậ p xá c ñị nh củ a hà m s ố là D = ℝ V ớ i x ∆ là s ố gia củ a ñố i s ố tạ i 0 2 x = sao cho 2 x D + ∆ ∈ , thì ( ) 2 2 0 0 ( ) ( ) (2 ) (2) 2 2 (4 ) y f x x f x f x f x x x ∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ − = ∆ + ∆ Ta có 4 y x x ∆ = + ∆ ∆ ( ) 0 0 '(2) lim lim 4 4 x x y f x x ∆ → ∆ → ∆ = = + ∆ = ∆ V ậ y '(2) 4 f = c) ( ) 2 1 f x x = − tại ñiểm 0 5 x = Tập xác ñịnh của hàm số ñã cho là 1 / 2 D x x   = ≥     V ớ i x ∆ là s ố gia củ a ñố i s ố tạ i 0 5 x = sao cho 5 x D + ∆ ∈ , thì 0 0 ( ) ( ) (5 ) (5) 9 2 9 y f x x f x f x f x∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ − Ta có 9 2 9 y x x x ∆ + ∆ − = ∆ ∆ Khi ñó 0 0 0 9 2 9 2 1 '(5) lim lim lim 3 9 2 9 x x x y x f x x x ∆ → ∆ → ∆ → ∆ + ∆ − = = = = ∆ ∆ + ∆ + d) 1 ( ) 1 x f x x + = − tạ i ñ i ể m 0 0 x = T ậ p xá c ñị nh củ a hà m s ố ñã cho là { } \ 1 D = ℝ V ớ i x ∆ là s ố gia củ a ñố i s ố tạ i 0 0 x = sao cho 0 x D + ∆ ∈ , thì 0 0 1 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 x x x y f x x f x x x x ∆ + ∆ + ∆ ∆ = + ∆ − = − = + = ∆ − − ∆ − ∆ − Ta có 2 1 y x x ∆ = ∆ ∆ − Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 3 Khi ñó 0 0 2 '(0) lim lim 2 1 x x y f x x ∆ → ∆ → ∆ = = = − ∆ ∆ − Bà i 2. Tí nh (b ằ ng ñị nh nghĩ a) ñạ o hà m củ a m ỗ i hà m s ố sau tạ i cá c ñ i ể m ñã chỉ ra: a) 2 y x x = + tạ i 0 1 x = b) 1 y x = tạ i 0 2 x = c) 2 1 y x = + tại 0 2 x = d) 2 3 y x x = + tại 0 1 x = HD a) 3 b) 1 4 − c) 2 d) 5 Bài 3. Chứngminh rằng hàm số 2 2 ( 1) ; 0 ( ) ; 0 x x f x x x  − ≥  =  − <   không có ñạ o hà m tạ i ñ i ể m x = 0 nh ư ng có ñạ o hà m tạ i ñ i ể m x = 2. HD Ta có : (0) 1 f = , 2 0 0 lim ( ) lim( 1) 1 x x f x x + + → → = − = và 2 0 0 lim ( ) lim( ) 0 x x f x x − − → → = − = Nh ậ n th ấ y 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x f x + − → → ≠ nên hà m s ố ( ) y f x = giá n ñoạ n tạ i x = 0. T ừ ñó suy ra hà m s ố ñó không có ñạ o hà m tạ i x = 0. Ta có [ ) 2 0;x = ∈ +∞ và 2 2 0 0 0 0 (2 ) (2) (1 ) 1 lim lim lim lim(2 ) 2 x x x x y f x f x x x x x ∆ → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ + ∆ − + ∆ − = = = + ∆ = ∆ ∆ ∆ V ậ y hà m s ố ( ) y f x = có ñạ o hà m tạ i x = 2 và '(2) 2 f = Bà i 4. Ch ứ ngminh r ằ ng hà m s ố 2 2 ( 1) ; 0 ( ) ( 1) ; 0 x x f x x x  − ≥  =  + <   không có ñạ o hà m tạ i x = 0, nh ư ng liên tụ c tạ i ñ i ể m ñó . HD Ta có (0) 1 f = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim lim( 2) 2 x x f x f x f x x x x + + + → → − = = − = − − 0 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim lim( 2) 2 x x f x f x f x x x x − + − → → − = = + = − Vì 0 0 '( ) '( ) f x f x + − ≠ nên hàm số ( ) y f x = không có ñạo hàm tại x = 0. Mặt khác, ta có 2 0 0 lim ( ) lim( 1) 1 x x f x x + + → → = − = 2 0 0 lim ( ) lim( 1) 1 x x f x x − − → → = + = Và (0) 1 f = nên hàm số ( ) y f x = liên tục tại ñiểm x = 0. Bài 5. Chứng minh rằng hàm số cos ; 0 ( ) sin ; 0 x x y f x x x ≥  = =  − <  không có ñạo hàm tại x = 0. HD Ta có 0 0 lim ( ) lim cos 1 x x f x x + + → → = = 0 0 lim ( ) lim( sin ) 0 x x f x x − − → → = − = (0) cos0 1 f = = Nhận thấy 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x f x + − → → ≠ nên hàm số ( ) y f x = gián ñoạn tại x = 0 Do ñó hàm số này không có ñạo hàm tại ñiểm x = 0. Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 4 Bài 6. Chứng minh rằng hàm số 2 3 1; 0 ( ) ; 0 x x y f x x x  + ≥  = =  <   không có ñạ o hà m tạ i x = 0. HD Ta có 2 0 0 lim ( ) lim( 1) 1 (0) x x f x x f + + → → = + = = 3 0 0 lim ( ) lim 0 x x f x x − − → → = = Nh ậ n th ấ y 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x f x + − → → ≠ nên hà m s ố ( ) y f x = gián ñoạn tại x = 0 Do ñó hàm số này không có ñạo hàm tại ñiểm x = 0. Bài 7. Cho parabol 2 3 2 y x x = − + − . Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại ñiểm có hoành ñộ x 0 = 2 HD Bằng ñịnh nghĩa, ta tính ñược y’(2) = -1. Do ñó hệ số góc của tiếp tuyến là – 1 Ngoài ra, ta có y(2) = 0 Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại ñiểm M 0 (2; 0) là: y – 0 = (-1)(x – 2) hay y = - x + 2 Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = x 3 a) Tại ñiểm (- 1; -1) b) Tại ñiểm có hoành ñộ bằng 2 c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 HD Trướ c h ế t ta tí nh ñạ o hà m củ a hà m s ố 3 ( ) y f x x = = tạ i x 0 tù y ý trên ℝ , có m ộ t s ố gia x ∆ Tí nh ( ) 3 3 2 2 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 3 3 y f x x f x x x x x x x x x ∆ = + ∆ − = + ∆ − = ∆ + ∆ + ∆ ( ) 2 2 2 0 0 0 0 0 lim lim 3 3 3 x x y x x x x x x ∆ → ∆ → ∆ = + ∆ + ∆ = ∆ a) Tạ i ti ế p ñ i ể m x 0 = -1, '( 1) 3 f − = . V ậ y ti ế p tuy ế n c ầ n tì m: y – (- 1) = 3[x – (-1)] hay y = 3x + 2 b) Tạ i ñ i ể m x 0 = 2, ta có '(2) 12 f = và 3 (2) 2 8 f = = V ậ y pttt c ầ n tì m: y – 8 = 12 ( x – 2) hay y = 12x – 16 c) Bi ế t 0 '( ) 3 f x = , nên ta có 0 2 0 0 1 (1) 1 3 3 1 ( 1) 1 x f x x f = ⇒ =  = ⇔  = − ⇒ − = −  V ậ y ti ế p tuy ế n c ầ n tì m là : y = 3x – 2 và y = 3x + 2 Bà i 9. Vi ế t ph ươ ng trì nh ti ế p tuy ế n củ a ñườ ng hypebol 1 y x = a) Tạ i ñ i ể m 1 ;2 2 M       b) Tạ i ñ i ể m có hoà nh ñộ b ằ ng – 1 c) Bi ế t h ệ s ố gó c củ a ti ế p tuy ế n b ằ ng 1 4 − HD Tr ướ c h ế t ta tí nh ñạ o hà m củ a hà m s ố 1 ( )y f x x = = tạ i x 0 tù y ý trên { } \ 0 ℝ có m ộ t s ố gia x ∆ Tí nh ( ) 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ) ( ) x y f x x f x x x x x x x −∆ ∆ = + ∆ − = − = + ∆ + ∆ Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 5 ( ) 2 0 0 0 0 0 1 lim lim x x y x x x x x x ∆ → ∆ → ∆ −∆ = = − ∆ + ∆ a) Tại tiếp ñiểm 1 ;2 2 M       , ta có 1 ' 4 2 f   = −     V ậ y ti ế p tuy ế n c ầ n tì m: y = - 4( x – 1) b) Tạ i ñ i ể m x 0 = -1, '( 1) 1 f − = − và ( 1) 1 f − = − Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y = -1( x + 1) c) Biết 0 1 '( ) 4 f x = − , nên 0 2 0 0 1 2 (2) 1 1 2 1 4 2 ( 2) 2 x f x x f  = ⇒ =  − = − ⇔   = − ⇒ − = −   V ậ y ti ế p tuy ế n c ầ n tì m là : 1 1 4 y x = − + và 1 1 4 y x = − − Bà i 10. Tì m ñạ o hà m củ a m ỗ i hà m s ố sau: a) 2 y ax = ( a là h ằ ng s ố ) trên ℝ b) 3 2 y x = + trên ℝ c) 1 2 1 y x = − v ớ i 1 2 x ≠ d) 3 y x = − với 3 x < HD a) 2 y ax = có t ậ p xá c ñị nh là ℝ , v ớ i x 0 tù y ý thu ộ c ℝ , có m ộ t s ố gia x ∆ Tí nh ( ) 2 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 y f x x f x a x x ax x x x ∆ = + ∆ − = +∆ − = ∆ + ∆ ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 2 lim lim lim 2 2 x x x a x x x y a x x ax x x ∆ → ∆ → ∆ → ∆ + ∆ ∆ = = + ∆ = ∆ ∆ V ậ y ' 2 y ax = b) 3 2 y x = + trên ℝ , th ự c hi ệ n t ươ ng t ự , ta có 2 ' 3 y x = c) 1 2 1 y x = − . T ậ p xá c ñị nh củ a hà m s ố 1 \ 2 D   =     ℝ V ớ i 0 x ∈ ℝ tù y ý , ta có m ộ t s ố gia x ∆ Tinh ( ) 0 0 0 0 0 0 1 1 2 ( ) ( ) 2( ) 1 2 1 (2 1) 2 2 1 x y f x x f x x x x x x x − ∆ ∆ = + ∆ − = − = + ∆ − − − + ∆ − ( ) 2 0 0 0 0 0 2 2 lim lim (2 1) 2 2 1 (2 1) x x y x x x x x ∆ → ∆ → ∆ − − = = ∆ − + ∆ − − V ậ y 2 1 2 ' 2 1 (2 1) y y x x − = ⇒ = − − d) 3 y x = − , th ự c hi ệ n t ươ ng t ự ) 1 3 ' 2 3 y x y x − = − ⇒ = − Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 6 § 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ðẠO HÀM KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. ðạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở ñây u = u(x)) (c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1 ( ) 1 ' ( , 2) n n x nx n n − = ∈ ≥ ℕ ' 2 1 1 ,( 0) x x x   = − ≠     ( ) ' 1 ,( 0) 2 x x x = > (k.u)’ = k.u’ ( ) 1 ' . ' n n u nu u − = ' 2 1 ' ,( 0) u u u u   = − ≠     ( ) ' ' ,( 0) 2 u u u u = > 2. Các quy tắc tính ñạo hàm ( ở ñây u = u(x), v = v(x)) (u + v)’ = u’ + v’ (u – v)’ = u’ – v’ (u.v)’ = u’.v + v’.u ' 2 '. '. ,( 0) u u v v u v v v +   = ≠     Chú ý thêm: (ax + b)’ = a ' 2 2 ( ) ( ) a b c d ax b ad cb cx d cx d cx d + −   = =   + + +   ( ) 2 ' 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' a b a c b c x x a b a c b c ax bx c a x b x c a x b x c + +   + + =   + +   + + 3. ðạo hàm của hàm số hợp Cho y là hàm số theo u và u là hàm số theo x thì: ' ' ' . x u x y y u = BÀI TẬP Bài 1. Tính ñạo hàm của mỗi hàm số sau tại ñiểm x 0 ñược cho kèm theo a) y = 7 + x – x 2 , x 0 = 1 b) y = x 3 – 2x + 1, x 0 = 2 c) y = 2x 5 – 2x + 3, x 0 = 1 d) y = x 4 – x 2 + 2, x 0 = - 1 HD a) y’ = (7 + x – x 2 )’ = (7)’ + (x)’ – (x 2 )’ = 0 + 1 – 2x = 1 – 2x Tại x 0 = 1, y’(1) = 1 – 2.1 = - 1. b) y’ = (x 3 – 2x + 1)’ = 3x 2 – 2 và y’(2) = 10 c) y’ = (2x 5 – 2x + 3)’ = 10x 4 – 2 và y’(1) = 8 d) y’ = (x 4 – x 2 + 2)’ = 4x 3 – 2x và y’(-1) = - 2 Bài 2. Tìm ñạo hàm của các hàm số sau a) y = x 5 – 4x 3 + 2x – 3 b) 2 4 1 1 1 4 3 2 y x x x = − + − c) 4 3 2 2 4 1 2 3 5 x x x y = − + − d) y = 3x 5 (8 – 3x 2 ) Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 7 HD a) y’ = (x 5 – 4x 3 + 2x – 3)’= 5x 4 – 12x 2 + 2 b) ' 2 4 3 1 1 1 1 ' 2 2 4 3 2 3 y x x x x x   = − + − = − + −     c) 4 3 2 3 2 2 4 8 ' 1 2 2 2 3 5 5 x x x x y x x   = − + − = − +     d) y’ =( 3x 5 (8 – 3x 2 ))’= 15x 4 (8 – 3x 2 ) + 3x 5 (-6x) = - 63x 6 + 120x 4 Bài 3. Tìm ñạo hàm các hàm số sau a) 4 2 y x x x = − + b) ( ) 3 5 y x x x = − c) y = (1 – 2x) 3 d) ( ) 3 7 2 5 y x x = − e) 2 2 1 x y x = − f) 2 3 5 1 x y x x − = − + HD a) ( ) 4 2 3 1 ' 4 2 2 y x x x x x x = − + = − + b) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 3 5 3 5 5 3 2 3 4 1 ' 3 8 2 y x x x x x x x x x x x x x x     = − = − + − = + −       c) y’ = ((1 – 2x) 3 )’ = (1 – 2x)’(1 – 2x) = - 2(1 – 2x) d) ( ) ( ) ' 3 7 2 5 5 2 5 ' 5 3 ( 5) (7 10) y x x x x x= − = − − e) ( ) ' 2 2 2 2 2 2( 1) ' 1 1 x x y x x − +   = =   −   − f) ( ) ' 2 2 2 2 3 5 5 6 2 ' 1 1 x x x y x x x x − − −   = =   − +   − + Bài 4. Tính ñạo hàm các hàm số sau a) 2 1 y x x x = − + b) 2 2 5 y x x = − − c) 3 2 2 x y a x = − (a là hằng số) d) 1 1 x y x + = − HD a) ( ) ' 2 3 ' 1 2 2 y x x x x x = − + = − b) ( ) ' 2 2 2 5 ' 2 5 2 2 5 x y x x x x − − = − − = − − c) ( ) ( ) ' 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 ' x a x x y a x a x −   = =   −   − d) ' 3 1 3 ' 1 2 (1 ) x x y x x + −   = =   −   − Bài 5. Tính ñạo hàm các hàm số sau a) ( ) 2 7 y x x = + b) ( ) ( ) 2 2 1 5 3 y x x = + − c) 2 2 1 x y x = − d) 2 5 3 1 x y x x − = + + e) 2 2 2 1 x x y x + + = + f) (2 1)(3 2) y x x x = − + HD Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 8 a) ( ) ( )( ) ' 2 7 6 6 ' 2 1 7 1 y x x x x x   = + = + +     b) ( )( ) ( ) ( ) ' 2 2 2 ' 1 5 3 4 3 1 y x x x x = + − = − + c) ( ) ( ) 2 ' 2 2 2 2 1 2 ' 1 1 x x y x x − +   = =   −   − d) ( ) ' 2 2 2 2 5 3 5 6 8 ' 1 1 x x x y x x x x − − + +   = =   + +   + + e) ' 2 2 2 2 ( 2) ' 1 ( 1) x x x x y x x   + + + = =   + +   f) ( ) ( ) ' 2 ' (2 1)(3 2) 2 9 1 y x x x x x = − + = + − Bà i 6. Tí nh ñạ o hà m cá c hà m s ố sau: a) 2 2 3 5 5 x y x x + = − + b) ( ) 5 2 1 1 y x x = − + c) 2 1 y x x x = + + d) ( ) ( ) 2 3 ( 1) 2 3 y x x x = + + + e) 2 1 x y x + = f) 1 1 x y x − = − HD a) ( ) ' 2 2 2 2 2 3 2 6 25 ' 5 5 5 5 x x x y x x x x + − − +   = =   − +   − + b) ( ) ( ) ' 5 6 2 2 1 5(2 1) ' 1 1 x y x x x x   − −   = =   − + − +   c) ( ) ' 2 3 ' 1 2 2 y x x x x x = + + = + d) ( ) ( ) ( ) ' 2 3 2 2 ' ( 1) 2 3 2( 2)( 3) (3 11 9) y x x x x x x x = + + + = + + + + e) ' 2 2 2 2 1 1 ' 1 2 x x y x x x x   + − = =     +   f) ' 3 1 3 ' 1 2 (1 ) x x y x x − −   = =   −   − Bài 7. Tính ñạo hàm các hàm số sau a) ( ) ( ) 3 2 9 2 2 9 1 y x x x = − − + b) 2 3 4 x y x − = + c) 2 3 5 2 x x y x − − + = − d) 3 5 3 y x x   = −     e) 3 2 2 1 y x x = − + f) 4 2 b c y a x x   = + +     (a, b, c là các hằng số) HD a) ( ) ( ) ( ) ' 3 2 3 2 ' 9 2 2 9 1 16 108 162 2 y x x x x x x = − − + = − + − − b) ' 2 2 3 11 ' 4 ( 4) x y x x −   = =   + +   c) ' 2 2 2 3 5 4 1 ' 2 ( 2) x x x x y x x   − − + − + + = =   − −   d) ' 3 2 5 5 4 3 3 3 3 ' 3 5 2 y x x x x x x         = − = − +                   e) ( ) 2 ' 3 2 3 2 3 4 ' 2 1 2 2 1 x x y x x x x − = − + = − + Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 9 f) ' 4 3 2 2 2 3 2 ' 4 b c b c b c y a a x x x x x x         = + + = − + + +                   Bài 8. Tìm ñạo hàm các hàm số sau a) ( ) ( ) 3 2 2 4 2 5 7 y x x x x x = − − − b) ( ) 2 3 1 y x x x   = + −     c) 2 3 2 3 2 x x y x − + + = − d) ( ) 2 2 1 y x x = − + HD a) ( )( ) ( ) ' 3 2 2 4 3 2 ' 4 2 5 7 20 120 27 70 y x x x x x x x x x = − − − = − + + b) ( ) ( ) ' 2 2 1 3 ' 3 1 3 1 2 x y x x x x x x x x       = + − = − + − + +             c) ( ) ' 2 4 3 2 2 3 3 2 3 4 9 4 4 ' 2 2 x x x x x x y x x   − + + − − + − = =   −   − d) ( ) ( ) 2 ' 2 2 2 2 1 ' 2 1 1 x x y x x x − + = − + = + Bài 9. Cho y = x 3 – 3x 2 + 2. Tìm x ñể: a) y’ > 0 b) y’ < 3 HD a) x < 0 hoặc x > 2 b) 1 2 1 2 x− < < + Bài 10. Cho 3 2 ( ) 2; ( ) 3 2 f x x x g x x x= + − = + + . Giải bất phương trình '( ) '( ) f x g x > . HD ( ;0) (1; ) x ∈ −∞ ∪ +∞ Bài 11. Cho 2 3 2 ( ) ; ( ) 2 3 x x f x g x x = = − . Giải bất phương trình ( ) '( ) f x g x ≤ HD [ 1;0] x ∈ − Bài 12. Cho hàm số 2 ( ) 2 f x x x = − . Hãy giải bất phương trình '( ) ( ) f x f x ≤ . HD 2 2 1 ( ) 2 '( ) 2 x f x x x f x x x − = − ⇒ = − Ta cần giải bpt: 2 2 2 0 2 0 1 3 5 2 2 2 2 1 2 3 5 2 x x x x x x x x x x x x x x  <    >    <   −     − > ≤ − ⇔ ⇔    ≤  −    − ≤ −    +  ≥     V ậy nghiệm của bpt ñã cho là: 3 5 ( ;0) ; 2   + −∞ ∪ +∞      Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 10 § 3. ðẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC KIẾN THỨC CẦN NẮM Bảng ñạo hàm (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx 2 1 (tan )' cos x x = 2 1 (cot )' sin x x = − (sinu)’ = u’cosu (cosu)’ = - u’sinu 2 ' (tan )' cos u u u = 2 ' (cot )' sin u u u = − BÀ I T Ậ P Bà i 1. Tì m ñạ o hà m củ a cá c hà m s ố sau a) sin 3 5 y x π   = +     b) sin 2 y x π   = −     c) 3 cos( 1) y x = − d) 2 tan(3 5) y x = + e) tan , , 2 y x x k k π π   = − ≠ ∈     ℤ f) 3 cot (3 1) y x = − HD a) ' ' ' sin 3 3 cos 3 3cos 3 5 5 5 5 y x x x x π π π π           = + = + + = +                     b) ' ' ' sin cos cos sin 2 2 2 2 y x x x x x π π π π           = − = − − = − − = −                     c) ( ) ' 3 3 ' 3 2 3 ' cos( 1) ( 1) sin( 1) 3 sin( 1) y x x x x x = − = − − − = − − d) ( ) 2 ' 2 2 2 2 2 (3 5)' 6 ' tan(3 5) cos (3 5) cos (3 5) x x y x x x + = + = = + + e) ' ' 2 2 1 2 ' tan 2 cos cos 2 2 x y x x x π π π π   −         = − = = −             − −         f) ( ) ( ) 2 ' ' 3 2 2 2 4 (3 1)' 9cos (3 1) ' cot (3 1) 3cot (3 1) cot(3 1) 3cot (3 1). sin (3 1) sin (3 1) x x y x x x x x x − − − = − = − − = − = − − − Bài 2. Tìm ñạo hàm của các hàm số sau a) 5sin 3cos y x x = − b) cot y x x = c) 1 2tan y x = + d) 2 sin 1 y x = + e) sin cos sin cos x x y x x + = − f) sin sin x x y x x = + HD a) ' 5cos 3sin y x x = + b) 2 ' cot sin x y x x = − c) 2 1 ' cos 1 2tan y x x = + d) 2 2 cos 1 ' 1 x x y x + = + e) 2 2 ' (sin cos ) y x x = − − f) 2 2 1 1 ' ( cos sin ) sin y x x x x x   = − −     [...]... Cho hàm s f ( x) = tan 2 2 x Khi ñó f '   2 A 1 B 2 C 3 π  Câu 4 Cho hàm s f ( x) = 4 + cot 4 x Khi ñó f '   8 A – 1 B – 2 C 1 π  Câu 5 Cho hàm s f ( x) = x 2 cos x Khi ñó f '   b ng: 2 Câu 2 Cho hàm s B − A 0 Câu 6 Hàm s có ñ o hàm b ng 2x + π2 4 C π 2 D – 1 D 4 D 2 −− 1 là: x2 π2 D 4 ( π2 4 ) 3 x2 + x x3 + 1 x3 + 5 x − 1 2x2 + x −1 A y = B y = C y = D y = x x x3 x Câu 7 Cho hàm. .. nghĩa Gi s hàm s f ( x) có ñ o hàm f '( x) N u f '( x) cũng có ñ o hàm thì ta g i ñ o hàm c a nó là ñ o hàm c p hai c a f ( x) và kí hi u f ''( x) : ( f '( x) ) ' = f ''( x) ( f ''( x) ) ' = f '''( x) ≡ Tương t f (3) ( x) … f ( n −1) ( x) ' = f ( n ) ( x), n ∈ ℕ* ( ) (n) f ( x) là ñ o hàm c p n c a hàm s f ( x) 2 Ý nghĩa cơ h c c a ñ o hàm c p hai Xét m t ch t ñi m chuy n ñ ng có phương trình s = f (t... -§ 4 VI PHÂN KI N TH C C N N M Cho hàm s y = f ( x) xác ñ nh trên kho ng (a; b) và có ñ o hàm t i x ∈ (a; b) Gi s ∆x là s gia c a x Ta g i tích f '( x)∆x là vi phân c a hàm s y = f ( x) t i x ng v i s gia ∆x , kí hi u là df ( x) ho c dy , t c là dy = df ( x) = f '( x)∆x hay dy = y ' dx BÀI T P Bài 1 Tìm vi phân c a các hàm s sau a) y = x3 – 5x + 1 b) y = sin3x 1 d) y = 3 x c)... (4) f ( x) = sin x Khi ñó f ( x) b ng: B 8 C 10 (3) f ( x) = sin 3 x cos x Khi ñó f (0) b ng: B 36 C – 36 2 Câu 31 Cho hàm s A 4 Câu 32 Cho hàm s A 4 Câu 33 Cho hàm s A 6 Câu 34 Cho hàm s A 32 ( 2 ) D 10 D 10 D – 8 D – 38 3 f ( x) = x 2 + 1 Khi ñó f (3) ( x) b ng: Câu 35 Cho hàm s ( ) A 12 x + 1 2 Bài t p ð i s và Gi i tích 11 ( ) B 24 x 2 + 1 ( C 24 x 5 x 2 + 3 Tài li u lưu hành n i b ) ( D 24... 2 4 2 4 2 3 Câu 20 Ti p tuy n c a ñ th hàm s y = x − 2 x + 1 t i ñi m có hoành ñ x = 1 có phương trình là: A y = – x – 1 B y = x – 1 C y = 2x – 1 D y = 2 – x x −3 Câu 21 Cho hàm s f ( x) = v i x < 0 Khi ñó: x 3 −3 A f '( x) = B f '( x) = 3 x−3 2 x ( x − 3) x2 x 1 3 C f '( x) = D f '( x) = x −3 x −3 2 2 x x Câu 16 Ti p tuy n c a ñ th hàm s y= Câu 22 Vi phân c a hàm s y = cos 2 x là: sin 2 x A dy = dx... các hàm s sau a) y = x2 + sin2x b) y = tan3x c) y = tan23x – cot23x d) y = cos 2 2 x + 1 a) dy = (2x + sin2x)dx 3sin 2 x b) dy = dx ( ho c dy = 3tan2x(1 + tan2x)dx) 4 cos x HD c) dy = ( 6 2 cos 4 3 x + 1 − 2 cos 2 3 x 3 3 sin 3 x cos 3 x ) dx sin 4 x d) dy = − cos 2 2 x + 1 dx -§ 5 ð O HÀM C P HAI KI N TH C C N N M 1 ð nh nghĩa Gi s hàm s f ( x) có ñ o hàm f... c a ñ th hàm s ñã cho, bi t; a) Hoành ñ ti p ñi m x0 = 0 b) Ti p tuy n ñi qua ñi m A(0; 2) Cho hàm s y = f ( x) = HD 2x −1 5 ⇒ f '( x) = ;( x ≠ −2) x+2 ( x + 2)2 1 5 V i x0 = 0 thì f ( x0 ) = f (0) = − và f '(0) = 2 4 5 1 y phương trình ti p tuy n c n tìm là: y = x − 4 2 Phương trình ñư ng th ng (d) ñi qua ñi m A(0; 2) v i h s b nng k là: y = g(x) = kx + 2 2x −1 (d) là ti p tuy n c a ñ th hàm s y =... cot 2 2 x ( Câu 8 Cho hàm s A ) f ( x) = 1 + cos 2 3x 3sin 6 x ( 2 1 + cos 2 3x C ) 3 3sin 3x ( 2 1 + cos 2 3x Câu 9 Cho hàm s 1 ) 3 Khi ñó f '( x) b ng: 3sin 6 x B (1 + cos 3x ) 2 3 3sin 6 x D ( 2 1 + cos 2 x ) 3 f ( x) = cos 2 x − tan 2 3 x Khi ñó f '( x) b ng: A 2cosx – 2tan3x 2 tan 3 x cos 2 3 x 6 tan 3 x D − sin 2 x − cos 2 x B sin 2 x − 6sin 3 x cos3 3 x x3 x2 Câu 10 Cho hàm s f ( x) = + + x... B x = 2π + kπ , k ∈ ℤ 3 kπ π ,k ∈ℤ D x = ± + k 2π , k ∈ ℤ 4 3 5 Câu 13 Cho hàm s y = 3 + Bi u th c thu g n c a K = xy '+ y là: x A 3 B 4 C 5 D 6 Câu 14 Cho hàm s f ( x) = m sin x + (m + 1) cos x − (2m + 1) x ði u ki n c a m ñ phương trình f '( x) = 0 có nghi m là: B m ≥ 2 C −1 ≤ m ≤ 0 D 1 ≤ m ≤ 2 A 0 ≤ m ≤ 1 2 Câu 15 Cho hàm s f ( x) = sin x − mx ði u ki n c a m ñ phương trình f '( x) = 0 có nghi... có hoành ñ x = có phương trình là: Câu 17 Ti p tuy n c a ñ th hàm s y = 2 2x A 2x – 2y = –1 B 2x – 2y = 1 C 2x + 2y = – 3 D 2x + 2y = 3 3 2 x x Câu 18 Ti p tuy n c a ñ th hàm s f ( x) = − − x + 1 t i ñi m có hoành ñ x = 1 có phương trình 3 2 là: 1 5 5 5 A y = x − B y = − x + C y = − x − D y = x + 6 6 6 6 2x −1 Câu 19 Ti p tuy n c a ñ th hàm s f ( x) = t i ñi m có hoành ñ x = 0 có phương trình là: x+2 . +   + + 3. ðạo hàm của hàm số hợp Cho y là hàm số theo u và u là hàm số theo x thì: ' ' ' . x u x y y u = BÀI TẬP Bài 1. Tính ñạo hàm của mỗi hàm số sau tại ñiểm. § 5. ðẠO HÀM CẤP HAI KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. ðịnh nghĩa Giả sử hàm số ( ) f x có ñạo hàm '( ) f x . Nếu '( ) f x cũng có ñạo hàm thì ta gọi ñạo hàm của nó là ñạo hàm cấp hai. Nhận thấy 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x f x + − → → ≠ nên hàm số ( ) y f x = gián ñoạn tại x = 0 Do ñó hàm số này không có ñạo hàm tại ñiểm x = 0. Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp