chuyen de dao ham-hay

ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 1.1. Định nghĩa : Cho hàm số ( ) y f x= xác định trên khoảng ( ) ;a b và ( ) 0 ;x a b∈ , đạo hàm của hàm số tại điểm 0 x là : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' lim x x f x f x f x x x → − = − . 1.2. Chú ý : • Nếu kí hiệu ( ) ( ) 0 0 0 ;x x x y f x x f x∆ = − ∆ = + ∆ − thì : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ' lim lim x x x f x x f x y f x x x x → ∆ → + ∆ − ∆ = = − ∆ . • Nếu hàm số ( ) y f x= có đạo hàm tại 0 x thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm 2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số ( ) y f x= có đồ thị ( ) C • ( ) 0 'f x là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị ( ) C của hàm số ( ) y f x= tại ( ) ( ) 0 0 0 ,M x y C∈ . • Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) y f x= tại điểm ( ) ( ) 0 0 0 ,M x y C∈ là : ( ) ( ) 0 0 0 'y f x x x y = × − + . 2.2. Ý nghĩa vật lí : • Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : ( ) s s t= tại thời điểm 0 t là ( ) ( ) 0 0 'v t s t= . • Cường độ tức thời của điện lượng ( ) Q Q t= tại thời điểm 0 t là : ( ) ( ) 0 0 'I t Q t= . 3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm 3.1. Các quy tắc : Cho ( ) ( ) ; ; :u u x v v x C= = là hằng số . • ( ) ' ' 'u v u v± = ± • ( ) ( ) . ' '. '. . .u v u v v u C u C u ′ ′ = + ⇒ = • ( ) 2 2 '. '. . , 0 u u v v u C C u v v u v u ′ ′ −     = ≠ ⇒ = −  ÷  ÷     • Nếu ( ) ( ) , . x u x y f u u u x y y u ′ ′ ′ = = ⇒ = . 3.2. Các công thức : • ( ) ( ) 0 ; 1C x ′ ′ = = • ( ) ( ) ( ) 1 1 . . . , , 2 n n n n x n x u n u u n n − − ′ ′ ′ = ⇒ = ∈ ≥¥ • ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 0 , 0 2 2 u x x u u x u ′ ′ ′ = > ⇒ = > • ( ) ( ) sin cos sin . cosx x u u u ′ ′ ′ = ⇒ = • ( ) ( ) cos sin cos .sinx x u u u ′ ′ ′ = − ⇒ = − • ( ) ( ) 2 2 1 tan tan cos cos u x u x u ′ ′ ′ = ⇒ = • ( ) ( ) 2 2 1 cot cot sin sin u x u x u ′ ′ ′ = − ⇒ = − . 4. Vi phân 4.1. Định nghĩa : 63 • Cho hàm số ( ) y f x= có đạo hàm tại 0 x vi phân của hàm số ( ) y f x= tại điểm 0 x là : ( ) ( ) 0 0 .df x f x x ′ = ∆ . • Cho hàm số ( ) y f x= có đạo hàm ( ) f x ′ thì tích ( ) .f x x ′ ∆ được gọi là vi phân của hàm số ( ) y f x= . Kí hiệu : ( ) ( ) ( ) . .df x f x x f x dx ′ ′ = ∆ = hay .dy y dx ′ = . 4.2. Công thức tính gần đúng : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 .f x x f x f x x ′ + ∆ ≈ + ∆ . 5. Đạo hàm cấp cao 5.1. Đạo hàm cấp 2 : • Định nghĩa : ( ) ( ) f x f x ′ ′′ ′ =     • Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động ( ) s f t= tại thời điểm 0 t là ( ) ( ) 0 0 a t f t ′′ = . 5.2. Đạo hàm cấp cao : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , 2 n n f x f x n n − ′   = ∈ ≥     ¥ . B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 1. Tìm đạo hàm theo định nghĩa 1.1. Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau : • Cách 1 : Theo quy tắc o Bước 1 : Cho x một số gia x ∆ và tìm số gia y∆ tìm ( ) ( ) y f x x f x∆ = + ∆ − . Lập tỉ số y x ∆ ∆ o Bước 2 : Tìm giới hạn 0 lim x y x ∆ → ∆ ∆ • Cách 2 : Áp dụng công thức: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' lim x x f x f x f x x x → − = − . 1.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra: a) ( ) 3 2 1f x x x= − + tại 0 2x = ; b) ( ) 2 1 2 x f x x − = + tại 0 1x = . Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra: a) ( ) 3 3 4f x x= + tại 0 3x = ; b) ( ) 3 khi khi 2 2 10 16 2 x x x f x x x  − ≥ =  − <  tại 0 2x = . Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa : a) 3 2 2 1y x x= − + ; b) ( ) 2 3 2y f x x x= = − + . 1.3. Bài tập áp dụng : Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra : a) ( ) 2 3 1f x x x= − + tại 0 3x = ; b) ( ) 2 2f x x x= − tại 0 1x = ; c) ( ) 2 3 3 2 x x f x x − + = + tại 0 4x = ; d) ( ) 2 cosf x x= tại 0 4 x π = ; Bài 2. Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên ¡ . a) ( ) 2 khi khi 4 3 1 1 3 5 1 x x x f x x x x  − +  > =  −  − ≤  ; b) ( ) 2 3 khi khi 2 0 0 x a x f x x bx x  + ≤  =  − + >   ; c) ( ) 2 3 2f x x x= − + ; d) ( ) 5 f x x= . 64 Bài 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa : a) ( ) 3 2 3 2 1f x x x x= − + + ; b) ( ) 3 f x x= ; c) ( ) 1 1 x f x x − = + ; d) ( ) 1 sin f x x = ; Bài 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa : a) ( ) 3 2 4f x x x= − ; b) ( ) khi khi sin cos 0 2 1 0 x x x f x x x + >  =  + ≤  ; c) ( ) 2 4 3f x x x= + ; d) ( ) ( ) 3 tan 2 1f x x= + . Bài 5. Có bao nhiêu tiếp tuyến của ( ) 3 2 : 3 6 5C y x x x= − + − có hệ số góc âm ? . 1.4. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) = − + − 4 3 1 2 2 5 3 y x x x ; b) = − − 3 2 ( 2)(1 )y x x . Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) + = − 2 1 1 3 x y x ; b) − + = − 2 3 3 1 x x y x ; c) + − = − + 2 2 1 1 x x y x x . Ví dụ 3. Chứng minh các công thức tổng quát sau a) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 a b a c b c x x a b a c b c ax bx c a x b x c a x b x c + + ′   + + =  ÷  ÷ + +   + + ; ( 1 1 1 , , , , ,a b c a b c là hằng số) . b) ( ) 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 . 2 . b c a a x a b x a b ax bx c a x b a x b + + ′   + + =  ÷  ÷ + +   ; ( 1 1 , , , ,a b c a b là hằng số) . Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) = + + 2 4 ( 1)y x x ; b) + = − 2 3 ( 1) ( 1) x y x ; c) = − + 2 2 1 ( 2 5) y x x . Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) = − + 2 2 5 2y x x ; b) = − + 2 ( 2) 3y x x ; c) ( ) = + − 3 1 1 2y x . Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) 2sin 3 cos5y x x= ; b) sin cos sin cos x x y x x + = − ; c) 2 1 tan 3 2 1 tan 3 x y x + = − . • Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc biệt là đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác. Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) 2 (sin cos )y x x= + ; b) tan coty x x= + ; c) = + + 3 5 2 1 tan2 tan 2 tan 2 3 5 y x x x ; d) ( ) 2 3 tan sin cos 2y x   =   . Ví dụ 8. Cho hàm số : ( ) 3 2 1 2 5 3 y f x x x mx= = − + + . Tìm m để : a) ( ) 0f x x ′ ≥ ∀ ∈¡ ; b) ( ) ( ) 0 , 0;f x x ′ > ∀ ∈ + ∞ ; c) ( ) ( ) 0 , 0;2f x x ′ < ∀ ∈ ; d) ( ) ( ) 0 , ;2f x x ′ ≥ ∀ ∈ −∞ . 65 Ví dụ 9. Cho hàm số : ( ) ( ) 3 2 4 5 1 3 2 m m f x x x m x m= − + − + + . Tìm m để : a) ( ) 0 ,f x x ′ < ∀ ∈¡ ; b) ( ) 0f x ′ = có hai nghiệm cùng dấu. • Bài 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) 5 4 3 2 1 2 3 4 5 2 3 2 y x x x x x= + − − + − ; b) 2 4 1 1 0,5 4 3 y x x x= − + − ; c) 4 3 2 4 3 2 x x x y x= − + − ; d) 5 3 4 2 3y x x x x= − + − ; e) 2 3 2 2 x b a y c x b a x = + + + − ( , ,a b c là hằng số) . Bài 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) 5 (2 3)( 2 )y x x x= − − ; b) (2 1)(3 2)y x x x= − + ; c) ( ) 1 1 1y x x   = + −  ÷   ; d) 2 1 1 x y x − = − ; e) 3 2 5 y x = − ; f) 2 1 1 x x y x + − = − ; g) 2 2 4 5 2 1 x x y x − + = + ; h) 2 1 1 y x x = + − + ; i) 2 5 3 1 x y x x − = + + ; k) 2 2 1 1 x x y x x + + = − + . Bài 8. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) 3 2 2 (2 3 6 1)y x x x= − − + ; b) 2 5 1 ( 1) y x x = − + c) 2 3 2 2 ( 1) ( 1)y x x x x= − + + + ; d) 2 1 y x x   = −  ÷   ; e) 2 1 2y x x= + − ; f) 2 2 1 1y x x= + − − ; g) y x x x= + + ; h) 3 3 3 1y x x= − + ; i) 2 3 2 1 3 x y x −   =  ÷ +   ; k) ( ) 5 2 1y x x= + + . Bài 9. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) sin sin x x y x x = + ; b) 3 3 sin cos sin cos x x y x x + = + ; c) xx xx y 2cos2sin2 2cos2sin − + = ; d) 4sin cos5 .sin 6y x x x= ; e) sin 2 cos 2 sin 2 cos2 x x y x x + = − ; f) sin cos cos sin x x x y x x x − = − ; g) 1 tan 2 x y + = ; h) tan 3 cot 3y x x= − ; i) 2 2 1 tan 1 tan x y x + = − ; k) 2 cot 1y x= + ; l) 4 4 cos siny x x= + ; m) 3 )cos(sin xxy += ; n) xxy 2cos2sin 33 = ; o) ( ) sin cos3y x= ; p) ( ) 2 2 sin cos cos3y x   =   ; q) 2 5 2 3 cot cos 2 x y x   −   =    ÷ +       . 66 Bài 10. a) Cho hàm số ( ) x x xf sin1 cos + = . Tính ( ) ( )             4 '; 2 ';';0' ππ π ffff . b) Cho hàm số ( ) x x xfy 2 2 sin1 cos + == . Chứng minh: 3 ' 3 4 3 f f π π     − =  ÷  ÷     Bài 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) ( ) ( ) 4 4 6 6 3 sin cos 2 sin cosy x x x x= + − + ; b) ( ) ( ) 4 2 4 2 cos 2cos 3 sin 2sin 3y x x x x= − + − ; c) ( ) ( ) 8 8 6 6 4 3 sin cos 4 cos 2sin 6siny x x x x x= − + − + ; d) 4 4 6 6 4 sin 3cos 1 sin cos 3cos 1 x x y x x x + − = + + − ; e) 2 2 2 2 2 cos cos cos 3 3 y x x x π π     = + + + −  ÷  ÷     ; f) ( ) tan . 1 sin 4 2 sin x x y x π   − +  ÷   = ; g) sin sin 2 sin3 sin 4 cos cos2 cos3 cos4 x x x x y x x x x + + + = + + + ; h) 2 2 2 2cos , 0 ; 2 y x x π     = + + + ∈  ÷ ÷     . Bài 12. Cho hàm số xxy sin= chứng minh : a) ( ) ( ) 2 ' sin 2cos 0xy y x x x y− − + − = ; b) ' tan cos y x x x − = . Bài 13. Cho các hàm số : ( ) xxxf 44 cossin += , ( ) xxxg 66 cossin += . Chứng minh : ( ) ( ) 0'2'3 =− xgxf . Bài 14. a) Cho hàm số 2 1 xxy ++= . Chứng minh : yyx =+ '.12 2 . b) Cho hàm số cot 2y x= . Chứng minh : 2 ' 2 2 0y y+ + = . Bài 15. Giải phương trình ' 0y = biết : a) sin 2 2cosy x x= − ; b) 2 cos siny x x= + ; c) 3sin 2 4cos 2 10y x x x= + + ; d) ( ) 1 sin 2 2cos 2y m x x mx= − + − . Bài 16. Cho hàm số ( ) 3 2 1 2 1 4 3 y x m x mx= − + + − . Tìm m để : a) ' 0y = có hai nghiệm phân biệt ; b) 'y có thể viết được thành bình phương của nhị thức ; c) ' 0 ,y x≥ ∀ ∈¡ ; d) ( ) ' 0 , 1 ; 2y x< ∀ ∈ ; e) ' 0 , 0y x> ∀ > . Bài 17. Cho hàm số ( ) 3 2 1 1 3 3 y mx m x mx= − + − − + . Xác định m để : a) ' 0 ,y x≤ ∀ ∈¡ . b) ' 0y = có hai nghiệm phân biệt cùng âm ; c) ' 0y = có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : 2 2 1 2 3x x+ = . Bài 18. Cho hàm số 2 6 2 2 mx x y x + − = + . Xác định m để hàm số có ' 0,y ≤ x∀ ∈ ( ) 1 ;+∞ . Bài 19. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 3 2 3y x x mx m= + + + có ' 0y ≤ trên một đoạn có độ dài bằng 1 . Bài 20. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) 4 2 2 9 10 1 laø tham soáy mx m x m= + − + . Xác định m để hàm số có ' 0y = có 3 nghiệm phân biệt . 67 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 2.1. Phương pháp : • Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( ) :C y f x= tại ( ) 0 0 ;M x y , có phương trình là : ( ) ( ) 0 0 0 ' .y f x x x y = − + ( 1 ) . • Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( ) :C y f x= có hệ số góc là k thì ta gọi ( ) 0 0 0 ;M x y là tiếp điểm ( ) 0 'f x k⇒ = (1)  Giải phương trình (1) tìm 0 x suy ra ( ) 0 0 y f x=  Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : ( ) 0 0 y k x x y= − +  Chú ý :  Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( ) ( ) 0 0 ,M x y C∈ là ( ) 0 tank f x α ′ = = Trong đó α là góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến .  Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau .  Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng 1− . • Biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 1 1 ;A x y :  Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) y f x= tại ( ) 0 0 0 ;M x y : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' . 1y f x x x y= − +  Vì tiếp tuyến đi qua ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 0 0 ; ' . *A x y y f x x x f x⇒ = − +  Giải phương trình(*) tìm 0 x thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến . 2.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Cho đường cong ( ) ( ) 3 2 : 3C y f x x x= = − . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C trong các trường hợp sau : a) Tại điểm ( ) 0 1 ; 2M − ; b) Tại điểm thuộc ( ) C và có hoành độ 0 1x = − ; c) Tại giao điểm của ( ) C với trục hoành . d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 1 ; 4A − − . Ví dụ 2. Cho đường cong ( ) 3 1 : 1 x C y x + = − a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 4 21 0d x y− − = ; b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) : 2 2 9 0x y∆ + − = ; c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 2 5 0x y− + = một góc 0 30 . Ví dụ 3. Cho hàm số ( ) 3 2 3 9 5y x x x C= + − + . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ( ) C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Ví dụ 4. Cho hàm số ( ) 2 1 2 3 x y x + = + . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. (Khối A – 2009) . Ví dụ 5. Cho hàm số ( ) 3 2 3 2y x x C= − + − . Tìm các điểm thuộc đồ thị ( ) C mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị ( ) C . (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999) Ví dụ 6. Cho ( ) C là đồ thị của hàm số 2 6y x x= − . Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của ( ) C cắt trục tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm . 2.3. Bài tập áp dụng: 68 Bài 21. Cho hàm số ( ) 2 : 2 3C y x x= − + . Viết phương trình tiếp với ( ) C : a) Tại điểm có hoành độ 0 2x = ; b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4 9 0x y− − = ; c) Vuông góc với đường thẳng : 2 4 2011 0x y+ − = ; d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 1 ; 0A . Bài 22. Cho hàm số : ( ) 3 1 1 x y C x + = − . a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm ( ) 1 ; 1M − − ; b) Vết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại giao điểm của ( ) C với trục hoành; c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại giao điểm của ( ) C với trục tung ; d) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C bết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 4 1 0d x y− + = ; e) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) : 4 8 0x y∆ + − = . Bài 23. Cho hàm số : ( ) 3 2 3y x x C= − a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C tại điểm ( ) 1 ; 2I − . b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị ( ) C không đi qua I . Bài 24. Cho hàm số ( ) 2 1y x x C= − − .Tìm phương trình tiếp tuyến với ( ) C : a) Tại điểm có hoành độ 0 1 2 x = ; b) Song song với đường thẳng : ( ) : 2 0d x y+ = . Bài 25. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 1 1 1y x mx m x= + + + + , m là tham số thực . Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ 1x = − đi qua điểm ( ) 1 ;2A . (Dự bị A 1 - 2008) Bài 26. Cho hàm số ( ) 3 1 1 1 x y x + = + . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm ( ) 2 ; 5M − . (Dự bị D 1 - 2008) Bài 27. Cho hàm số ( ) 3 3 4y x C= + . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng ( ) : 3 6 0d y x− + = góc 0 30 . Bài 28. Cho hàm số ( ) 3 2 3 9 5y x x x C= − − + − . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ( ) C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. Bài 29. Cho hàm số ( ) 2 1 1 x y C x − = − . Gọi ( ) 1 ; 2I . Tìm điểm ( ) M C∈ sao cho tiếp tuyến của ( ) C tại M vuông góc với đường thẳng IM . (Dự bị B 2 - 2003) Bài 30. (*) Cho hàm số ( ) 2 1 = + x y C x . Tìm điểm ( ) M C∈ , biết tiếp tuyến của ( ) C tại M cắt hai trục tọa độ tại ,A B và tam giác OAB có diện tích bằng 1 2 . (Khối D - 2007) Bài 31. (*) Cho hàm số : ( ) 1 x y C x = − . Viết phương trình tiếp tuyến ( ) ∆ của ( ) C sao cho ( ) ∆ và hai đường ( ) ( ) 1 2 : 1 ; : 1d x d y= = cắt nhau tạo thành một tam giác cân. (Dự bị D 2 - 2007) 69 Bài 32. Cho hàm số ( ) 1 1 y x C x = + + . Chứng minh rằng qua điểm ( ) 1; 1A − kẻ được hai tiếp tuyến với ( ) C và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Bài 33. (*) Cho hàm số ( ) 3 2 1 2 3 3 y x x x C= − + . Qua điểm 4 4 ; 9 3 A    ÷   có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị ( ) C . Viết phương trình các tiếp tuyến ấy . Bài 34. (*) Cho hàm số 2 2 2 ( ) 1 x x y C x + + = + . Gọi ( ) 1 ; 0I − .Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của ( ) C đi qua điểm I . (Dự bị B 2 - 2005). Bài 35. (*) Cho hàm số ( ) 4 2 2 1y x x C= − + − . Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị ( ) C . 3. Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân 3.1. Phương pháp : Dựa theo định nghĩa và công thức sau : • Cho hàm số ( ) y f x= có đạo hàm ( ) f x ′ thì tích ( ) .f x x ′ ∆ được gọi là vi phân của hàm số ( ) y f x= . Kí hiệu : ( ) ( ) ( ) . .df x f x x f x dx ′ ′ = ∆ = hay .dy y dx ′ = • ( ) ( ) ( ) 0 0 0 .f x x f x f x x ′ + ∆ ≈ + ∆ 3.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Tìm vi phân của các hàm số sau : a) 2 3 5 1 x x y x − + = − ; b) ( ) ( ) 2 3 1 2 3y x x x= + − . Ví dụ 2. Tìm vi phân của các hàm số sau : a) sin sin x x y x x = + ; b) 3 2 1 tan cot 3 2 y x x= − . Ví dụ 3. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) : a) 8,99 ; b) 0 cos46 ; c) 0 tan59 45' . 3.3. Bài tập áp dụng: Bài 36. Tìm vi phân của các hàm số sau : a) 2 2 3 5 5 x y x x + = − + ; b) 2 32 ( )y x x= − ; c) 2 1x y x + = ; d) 2 1 cos 2 1 cos 2 x y x + = −    ÷   ; e) 3 cot (2 ) 4 y x π = + ; f) sin(cos ) cos(sin )y x x= + . Bài 37. Cho hàm số 3 3 sin cos 1 sin .cos x x y x x − = + . Chứng minh đẳng thức : . cos2 . 0y dy x dx− = . Bài 38. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) : a) 4,02 ; b) 0 tan 44 30' ; c) 3 7,97 . 4. Đạo hàm cấp cao 70 4.1. Phương pháp : • Dựa theo các định nghĩa sau :  Đạo hàm cấp 2 : ( ) ( ) f x f x ′ ′′ ′ =      Đạo hàm cấp cao : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , 2 n n f x f x n n − ′   = ∈ ≥     ¥ . • Chú ý : Để tìm công thức tính đạo hàm cấp n của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau đó dự đoán công thức tính đạo hàm cấp n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp . 4.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau : a) = − + − + 4 3 2 1 2 5 4 7 4 3 y x x x x . Tìm ′′ ′′′ ,y y ; b) − = + 3 4 x y x . Tìm ( ) ′′ ′′′ 4 , ,y y y ; c) = − 3 3y x x . Tìm ′′ y . Ví dụ 2. Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra: a) 3 2 khi1 0 2y y y x x ′′ + = = − ; b) ( ) ( ) 2 2 2 khi2 1 0 .tanx y x y y y x x ′′ − + + = = . Ví dụ 3. Chứng minh bằng quy nạp các công thức sau đúng * n∀ ∈¥ : a) ( ) ( ) π   = +  ÷   sin sin 2 n n n ax a ax ; b) ( ) ( ) π   = +  ÷   cos cos 2 n n ax ax ; c) ( ) ( ) ( ) + −   =  ÷ +   + 1 1 ! 1 n n n n a n ax b ax b . Ví dụ 4. Tìm các đạo hàm cấp n của các hàm số sau : a) 4 1 2 1 x y x + = − ; b) 2 3 5 1 x x y x − + = + . Ví dụ 5. Tìm các đạo hàm cấp n của các hàm số sau : a) 4 4 sin cosy x x= + ; b) 8sin .cos3 .cos4y x x x= . • Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã cho thành tổng của các hàm số có một trong các dạng : + 1 ; sin ; cosax ax ax b rồi áp dụng các công thức ở ví dụ trên , dự đoán ra công thức đạo hàm cấp n của hàm số đã cho và chứng minh lại bằng quy nạp (nếu cần) . 4.3. Bài tập áp dụng: Bài 39. Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau : a) .cos3y x x= tìm y ′′ ; b) 2 sin 2y x= tìm y ′′′ ; c) ( ) 5 2 1y x= + tìm ( ) 5 y ; d) 2 3 1 2 y x x x = + + − tìm ( ) 4 y . Bài 40. Chứng minh các đẳng thức sau : a) ( ) 2 ' sin " 0xy y x xy− − + = nếu xxy sin= ; b) ( ) 0"1218 =+− yy nếu xy 3cos 2 = ; c) 0" =+yy nếu xx xx y cossin1 cossin 33 − + = ; d) [ ] 4 2 4 40y xy y ′′′ ′′ + − = nếu ( ) 2 2 1y x= − ; 71 e) ( ) "1'2 2 yyy −= nếu 4 3 + − = x x y ; f) ( ) 0'.4".14 2 =−++ yyxyx nếu 2 1 xxy ++= ; g) ( ) 2 2 1 " ' 0x y xy k y + + − = nếu ( ) k xxy 1 2 ++= , ( ) k ∈¥ . Bài 41. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau : a) 2 1 2 x y x − = + ; b) 2 3 2 y x x = − − ; c) 2 2 2 1 x y x x + = − + ; d) 2 2 4 5 3 2 3 1 x x y x x − + = − + ; d) 8sin .sin 2 .sin3y x x x= ; e) 6 6 sin cosy x x= + ; f) Cho cos3y x= . Chứng minh ( ) ( ) 2 2 1 3 n n n y y= − . 5. Dùng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn 5.1. Phương pháp : Ta có thể sử dụng định nghĩa của đạo hàm : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' lim x x f x f f x x x → − = − để tính các giới hạn có dạng vô định . Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng : ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x x → − − , sau đó tính đạo hàm của hàm ( ) f x tại điểm 0 x rồi áp dụng định nghĩa đạo hàm suy ra kết quả của giới hạn . 5.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau : a) x x x 141 lim 3 0 −+ → ; b) 1 75 lim 2 3 23 1 − +−− → x xx x . Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau : a) → + + + − − L 2 1 lim 1 n x x x x n x ; b) 2 1 )1( 1 lim − −+− → x nnxx n x . Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau : a)       − → xx x 4 tan.2tanlim 4 π π ; b) x x x sin21 4 sin lim 4 −       − → π π . 5.3. Bài tập áp dụng: Bài 42. Tìm các giới hạn sau : a) 2 1 8 3 lim 2 3 x x x x → + − + − ; b) 3 1 3 2 lim 1 x x x x → − − − ; c) → − + + + − − 0 1 2 1 sin lim 3 4 2 x x x x x ; d) 3 3 2 2 3 4 24 2 8 2 3 lim 4 x x x x x → − + + − − − ; e) 1 1 lim 4 3 1 − − → x x x ; f) 0 1 2 1 lim 1 3 1 n m x x x → + − + − ; Bài 43. Tìm các giới hạn sau : a) π → − ≠lim( ) tan , ( 0 ) 2 x a x a x a a ; b) x xx x sin 112 lim 3 2 0 +−+ → ; c) 0 cos5 cos3 lim .sin2 x x x x x → − ; d) )1tan( 23 lim 1 − −+ → x xx x ; 72