Sang kien Kinh nghiem 2011

DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 CHƯƠNG I. TỔNG QUAN ĐỀ TÀI I. Mở đầu: Chương trình hình học lớp 11 gồm có ba chương: - Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng. - Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song. - Chương 3: Véctơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian. Như vậy học sinh được học xong phần hình học phẳng và chuyển sang học hình học không gian từ chương 2. Nhìn chung phần hình học không gian là khá khó đối với trình độ chung của lớp 11, đặc biệt là học sinh trường PTDTNT Bắc Kạn, khi đầu tuyển vào chất lượng học sinh thấp, học sinh nhận thức chậm. Khó khăn trong tư duy trừu tượng, tưởng tượng hình học không gian 3 chiều. Phần hình học không gian nghiên cứu về điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian, nhằm cung cấp các kiến thức cơ bản về hình học không gian, giới thiệu về quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Trong SGK đó trình bày nội dung của không gian Ơclit ba chiều theo phương phỏp tiên đề. Bằng suy luận giáo viên đi xây dựng các khái niệm mới và kịp cho học sinh làm quen với việc chứng minh một số định lý của hình học không gian và giải một số bài toán cơ bản nhất, đơn giản. Một loạt các định nghĩa mới về gócc, khoảng cách Yêu cầu học sinh cần hiểu kiến thức một cách chắc chắn. Các kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11 nhằm giúp học sinh lên lớp 12 tiếp thu tốt các kiến thức về khối đa diện cùng với việc tính toán thể tích các khối này, đồng thời giúp học sinh hiểu rõ về cỏc mặt tròn xoay như mặt cầu, mặt trụ, mặt nón. II. Mục đích của đề tài Để học tốt phần hình học không gian lớp 11 các em học sinh cần có phương pháp học đúng, đặc biệt khi giải toán hình học không gian. Nhằm giúp các em học sinh biết tránh những sai sót phổ biến khi học môn này, tôi đưa ra những cách giải thiếu sót của một bài toán cụ thể và phân tích những nguyên nhân sai lầm về mặt lí luận và kĩ năng tính toán để rút kinh nghiệm cho giáo viên và học sinh. III. Cơ sở của đề tài Đề tài được viết dựa trên cơ sở chủ yếu sau: - Phân tích nguyên nhân các sai lầm của học sinh qua các năm học. - Kết quả học tập của học sinh lớp 11 trường Dân tộc nội trú Bắc Kạn. IV. Biện pháp thực hiện Tiến hành giảng dạy trên các giờ bài tập hình học không gian lớp 11 chương 2, chương 3. Trong giờ yêu cầu lần lượt từng học sinh lên bảng vẽ hình và trình bày bài giải của mình cho cả lớp nghe. Sau đó, cho các bạn nhận xét, đánh giá. Cuối cùng, giáo viên đưa ra kết luận cuối cùng của bài toán. 1 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 Giờ bài tập khác giáo viên đưa ra đề bài toán, tổ chức lớp thành các nhóm cùng giải. Sau đó mỗi nhóm cử đại diện lên bảng trình bày bài giải. Đánh giá kết quả học tập, phát hiện các sai lầm sau bài kiểm tra 1 tiết trên giấy bằng hình thức trắc nghiệm tự luận. Tổng hợp các lỗi thống kê các lỗi, chỉ ra sai lầm của học sinh sau mỗi tiết học và sau mỗi bài kiểm tra 1 tiết. 2 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 CHƯƠNG II. NỘI DUNG I. Đặc điểm tình hình Hình học không gian là môn học có tính tư duy trừu tượng cao, đòi hỏi học sinh phải có phương pháp học tốt mới đạt kết quả cao. Qua thời gianác năm học giảng dạy môn toán 11 ở trường dân tộc nội trú Bắc Kạn, phần hình học không gian các em có kết quả không cao, mắc khá nhiều lỗi khi giải toán hình học không gian. Nhằm giúp các em học sinh biết tránh những sai sót phổ biến khi học môn này, tôi đưa ra dưới đây những cách giải thiếu sót của một bài toán cụ thể và phân tích những nguyên nhân sai lầm về mặt lí luận và kĩ năng tính toán để học sinh rút kinh nghiệm. II. Nội dung 1. Sai khi vẽ hình: Trong việc vẽ hình ta hay thường gặp những trường hợp hình vẽ sai do không chú ý đến các yêu cầu của giả thuyết hoặc những kết luận do trực giác tạo ra. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông có cạnh huyền BC=a, góc nhọn B= α . Các cạnh bên của hình chóp hợp với đáy những góc bằng nhau và bằng β . Tính diện tích xung quanh của hình chóp. * Lời giải sai: J K I H C B A S Kẻ SH ⊥ mp(ABC), ta có: · · · SAH SBH SCH β = = = Mặt khác kẻ HI ⊥ AB, HJ ⊥ BC, HK ⊥ AC thì theo định lí ba đường vuông góc ta có : HI ⊥ AB, SK ⊥ AC, SJ ⊥ BC. Suy ra: 1 1 1 . . . 2 2 2 xp SAB SBC SCA S S S S AB SI BC SI CA SK ∆ ∆ ∆ = + + = + + Vấn đề còn lại là phải tính SI, SJ, SK theo a, α, β (vì các cạnh AB, BC, CA ta dẽ dàng tính được theo a, α, β). 3 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 * Phân tích: Hình vẽ trên sai do không vận dụng hết các điều đã cho trong giả thuyết. Do đó nó không gợi ý một sự liên hệ nào có thể giúp chúng ta thực hiện được việc tính toán. Trước hết, hình chóp đã cho có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau · · · 1 1 tan ; sin , cos 2 2 2 SAH SBH SCH a SH HI HK α α α = = = = = nên từ đó suy ra rằng HA=HB=HC, tức là chân đường cao H phải trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt khác ∆ABC là tam giác vuông tại A, nên H chính là trung điểm của cạnh huyền BC. Dựa vào hình vẽ này ta có BC=a, AB= acosα, AC= asinα, tan ; sin , cos 2 2 2 a a a SH HI HK β α α = = = . K I H C B A S Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .tan .sin tan sin 4 4 2 tan cos tan cos 4 4 2 a a a SI SH HI SI a a a SK SH HI SK β α β α β α β α = + = + ⇒ = + = + = + ⇒ = + Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 .cos . . tan sin . . tan .sin . . tan cos 2 2 2 2 2 2 2 2 (cos tan sin tan sin tan cos ) 4 xq xq a a a a a S a a a a S α β α β α β α α β α β α β α = + + + + = + + + + Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Dựng thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh DD', trung điểm N của cạnh D'C' và đỉnh A. Hãy xác định góc giữa thiết diện với mặt đáy ABCD. 4 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 * Lời giải sai: Do hai mặt bên BB'A'A và CC'D'D song song với nhau nên giáo tuyến của hai mặt phẳng này với mp(AMN) cũng phải song song với nhau. Góc giữa thiết diện với mặt đáy ABCD là B'AB. N M D' C' B' A' D C B A Ta có: · · 0 ' ' 1 sin ' ' 45 ' 2 ' 2 BB BB B AB BAB AB BB = = = ⇒ = . Vậy góc giữa thiết diện với mặt đáy là 45 0 . * Phân tích: Lời giải trên đây phạm 2 sai lầm: - Việc xác định thiết diện chưa đủ căn cứ kết luận, chưa chứng minh được rằng MN// AB'. - Góc tạo bởi thiết diện với mặt đáy không phải là góc B'AB. Đây là trường hợp xác định góc giữa hai mặt phẳng hay góc phẳng của nhị diện. Do đó việc đầu tiên là phải xác định cho được giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Ta phải lý luận như sau: Trong mp(AA'D'D), AM và A'D' phải cắt nhau tại một điểm P. Suy ra điểm P này phải là điểm chung của mp(A'B'C'D') và mp(AMN) nên nó nằm trên giao tuyến của 2 mặt phẳng này, tức là : PN là giao tuyến của (AMN) và (A'B'C'D'). Mặt khác ta có: ' 1 ' 1 ' 2 ' 2 D M PD A A PA = ⇒ = Từ đó vì ' 1 ' ' 2 D N A B = ta suy ra PN đi qua B' hay NB' là giao tuyến của mp(AMN) với mp(A'B'C'D'). Vậy thiết diện là AMNB'. Trong mp(DCC'D'), MN và CD phải cắt nhau tại một điểm, gọi điểm đó là Q. Từ đó suy ra điểm Q là điểm chung của hai mp(AMN) và (ABCD). Vậy Q phải nằm trên giao tuyến của mặt phẳng thiết diện với mặt phẳng đáy ABCD. Nối AQ là giao tuyến của mp(AMN) và mp(ABCD) hay chính là cạnh của nhị diện hợp bởi thiết diện và mặt phẳng đáy. 5 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 K N' I P Q A B C D A' B' C' D' M N Từ B' kẻ B'I ⊥ AQ và vì: B'B ⊥ mp(ABCD) và B'I ⊥ AQ nên BI ⊥ AQ ( Theo định lí ba đường vuông góc). Vậy góc · 'B IB chính là góc phẳng của nhị diện cạnh AQ. Ta có: · ' tan ' BB B IB BI = Kẻ NN'//CC' => BN'// B'N//AQ, vậy µ µ 1 1 B A= Do đó ta có · ' ' tan ' ' BB AB N B B IB BI BI N K = = = (1) Gọi cạnh hình lập phương là a, ta tính được: 5 ' , , ' 2 2 a a N K a BK N B= = = . Thay vào (1) ta có: · · 5 5 5 tan ' ' arctan . 2 2 2 a B IB B IB a = = ⇒ = Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi với các đường chéo AC=4a, BD=2a, đường cao SO=h của hình chóp có chân O là giao điểm của AC và BD. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D'. 1) Đường cao SO=h phải thoả mãn điều kiện gì để C' nằm trên cạnh SC. Khi đó hãy tính diện tích của thiết diện AB'C'D'. 2) Xác định h để B'C'D' là tam giác đều. Hãy kiểm nghiệm rằng khi đó mặt phẳng AB'C'D' chia hình chóp S.ABCD ra hai phần có thể tích bằng nhau. * Lời giải sai: 1) AC' là đường cao trog tam giác cân SAC, do đó để có C' thuộc đoạn SC, ASC phải là góc nhọn. Muốn vậy phải có OC<SO => h>2a. Tứ giác ANB'C'D' có các đường chéo AC' và B'D' vuông góc với nhau. Gọi K là giao điểm của các đường chéo, ta có: 4ah=2dt(SAC)=AC'.SC=AC'. 2 2 4h a+ Suy ra 2 2 4 ' 4 ah AC h a = + 6 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 K B' D' O C' S D C B A Mặt khác do K là trực tâm của ∆SAC nên: 4a 2 =OA.OC=OS.OK=h.OK => SK=OS -OK= 2 2 4h a h − Do đó: B'D' =BD. 2 2 2 2 ( 4 )SK a h a SO h − = Vậy dt(AB'C'D')= 2 2 2 2 2 1 4 ( 4 ) '. ' ' 2 4 a h a AC B D h h a − = + . B 1 H B' D' O C' S D C B A 2) Mặt phẳng AB'C'D' cắt BC tại B 1 với AB 1 //BD và AB 1 =2a. Nếu B'C'D' là tam giác đều thì B'HC' là nửa tam giác đều. Suy ra: 1 2 2 4 ' 3 2 3 2 3 4 ah AC AB a h a h a = = = ⇒ = + 7 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 Khi đó SO = h= OA 3 . Suy ra SAC là tam giác đều. Vậy C' là trung điểm SC. Hình chóp C'.ABCD có đường cao hạ từ C' bằng 1 2 h. Do vậy có thể tích bằng một nửa thể tích hình chóp S.ABCD. *Phân tích: Rõ ràng trong câu 2 của bài ra và trong lời giải đó có sự nhầm lẫn do trực giác mang lại. Thật vậy, hình chóp đỉnh C' đáy ABCD khi C' là trung điểm của SC thì có thể tích bằng một nửa thể tích của hình chóp S.ABCD nhưng hình chóp C'.ABCD không thể trùng với một trong hai phần của hình chóp S.ABCD do mp (AB'C'D') chia ra được. ở đây do trực giác ta tưởng rằng hình chóp C'ABCD là phần của hình chóp S.ABCD do thiết diện AB'C'D' cắt ra(!!). Ta dễ nhận ra rằng, thiết diện AB'C'D' chia hình chóp thành hai phần: - Một phần là hình chóp đỉnh S, đáy AB'C'D'. - Một phần là hình đa diện AB'C'D'.ABCD ( hình này không phải là hình chóp, vì nó có tới hai mặt là tứ giác, đồng thời không thể lẫn với hình chóp đỉnh C', đáy ABCD được). Do vậy, phần kiểm chứng trong câu 2 là sai, lời giải chỉ đúng với việc chứng minh rằng thể tích hình chóp đỉnh C' đáy ABCD có thể tích bằng nửa thể tích hình chóp S.ABCD, trong những điều kiện đã cho. Những sai lầm trên đây là do thiếu một số hiểu biết cần thiết trong việc vẽ một số hình quen thuộc. Để sửa chữa một số thiếu sót này ta cần làm quen với một số cách vẽ những hình không gian thường gặp trong các đề toán. Cụ thể như sau: 8 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 Hình chóp tam giác đều H C B A S H D C B A S Hình chóp tứ giác đều H C A B S Hình chóp có một mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy 9 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 C B A S Hình chóp có hai mặt bên kề nhau (SAC) và (SAB) vuông góc với đáy. SA là đường cao. 2. Sai sót khi biểu thị các khái niệm hình học Trong các bài toán hình học không gian ta thường gặp các khái niệm: - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; - Góc giữa hai mặt phẳng; - Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng vv Nếu ta không nắm chắc các khái niệm này thì khi biểu thị nó trên hình vẽ ta dễ mắc sai lầm và dẫn đến những kết quả không đúng. Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C' có cạnh đáy bằng a, đường chéo BC' của mặt bên (BCC'B') hợp với mặt bên (BAA'B') một góc α . Tính thể tích lăng trụ. * Lời giải sai: Nối BA'. Góc giữa đường chéo BC' với mặt bên (BAA'B') là góc · ' 'C BA . Vậy ta có: · ' 'C BA α = . a C' B' A' C B A Xét ∆ABC ta có: ' sin ' sin BC a A α = . Vì ' ' ' 'BC BA A BC= ⇒ ∆ cân. 10 [...]... kẻ A'H ⊥ (ABCD) thì H nằm trên AC và ta có: 14 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 A'H ⊥ OB, AC ⊥ OB => OB⊥ (AA'C'C) => OB ⊥ AA' Mà AA' //BB' nên OB ⊥ BB' Dễ thấy B'J//OB Do vậy B'J ⊥BB' Mặt khác: B'J ⊥ A'C' Vậy B'J chính là đường vuông góc chung của A'C' và BB' Từ đây, ta tính được: BJ ' = 1 a B'D' = 2 2 Qua lời giải bài toán này ta rút ra một kinh nghiệm giải những bài toán tính toán các yếu tố (độ... viên dạy Toán phần này cũng lưu ý để sửa chữa sai lầm giúp các em học sinh 15 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 Vì thời gian ngắn chưa có nhiều ví dụ , rất mong các thầy cô dạy toán góp ý và xây dựng phương pháp học hình học không gian hiệu quả hơn cho học sinh Xin trân thành cảm ơn Bắc Kạn, ngày 26 tháng 03 năm 2011 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) và các tác giả, SGV/SGK Hình... nghĩa phải là góc của nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng đó Do vậy ta phải xác định cho đúng góc phẳng đó Muốn vậy, từ A ta kẻ AI ⊥ BC Vì AA' ⊥ mp(ABC) => A'I ⊥ BC ( Định lý ba đường vuông góc) 12 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 C' B' A' I C B A Vậy góc A'IA là góc phẳng của nhị diện hợp bởi mp(A'BC) với mặt phẳng đáy A Do đó: · ' IA = ϕ Từ đây ta có: AC=tanα; AI= asinα; AA'=AI.tanϕ=asinα.tanϕ 1 2... trùng với tâm của tam giác đều ABD HA = 2 2a 3 a 3 AO = = 3 3 2 3 2 a 3 2a 2 A ' H = A ' A − HA = a −  =  3 ÷ ÷ 3   2 2 h = A'H = a 6 2 Vậy V = h.S ABCD 2 2 a 2 3 a 6 a3 2 = 2 = 4 3 2 13 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 D' C' J A' B' I D C O H A B 2) Gọi J là trung điểm của đường chéo A'C' ta có: B'J ⊥ A'C' và BJ ⊥ A'C' => A'C' ⊥ mp(BB'J) Do vậy, từ trong mặt phẳng (BB'J) ta có thể kẻ đường...DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 (1800 − α ) a sin a sin A ' a 2 = = Từ đó suy ra: BC ' = α sin α sin α 2sin 2 2 2 a a α − a2 = (1 − 4sin 2 ) 2 2 2 α α Vậy CC' =BC' -BC = 2 4sin 2 4sin 2 2 2 a α CC ' = 1 −... ⊥ IC' (2) Từ (1) và (2) ta suy ra : IC'⊥ mp(BAA'B') hay I là chân đường vuông góc kể từ C' đến mp(BAA'B'), nghĩa là BI là hình chiếu của BC' trên mp(BAA'B') Vậy · C ' BI = α , từ đó ta có: 11 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 C 'I = a 3 C 'I a 3 ; BC ' = = 2 sin α 2sin α 2  a 3  a2 BB ' = BC ' − B ' C ' =  − a2 = (3 − 4sin 2 α ) 2  2sin α ÷ ÷ 4sin α   a 3 − 4sin 2 α Suy ra: BB ' = 2sin α a . sau: 8 DTNT BK 2011- Alex Le 0281 3 607 608 Hình chóp tam giác đều H C B A S H D C B A S Hình chóp tứ giác đều H C A B S Hình chóp có một mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy 9 DTNT BK 2011- Alex. Quan hệ vuông góc trong không gian. Như vậy học sinh được học xong phần hình học phẳng và chuyển sang học hình học không gian từ chương 2. Nhìn chung phần hình học không gian là khá khó đối với. bài toán cụ thể và phân tích những nguyên nhân sai lầm về mặt lí luận và kĩ năng tính toán để rút kinh nghiệm cho giáo viên và học sinh. III. Cơ sở của đề tài Đề tài được viết dựa trên cơ sở chủ