Kỹ năng giải một số hệ phương trình

Một số kỹ năng giải một số hệ phương trình hay và khó trong đề thi HSG, Thi Đại học cao đẳng. Cung cấp cho hs các cách giải các dạng hệ phương trình hay và khó trong các đề thi ”Kỹ năng giải một số hệ phương trình” mục đích giúp học sinh phân biệt được các dạng hệ phương trình và cách giải một số hệ phương trình thường gặp. Kỹ năng giải một số hệ phương trình biết cách phân tích và tổng quát và đặc biệt giúp cho học sinh tìm ra cách xuất phát của bài toán, bài toán do đâu mà có và người ta tạo ra bài toán đó bằng cách nào Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới. Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này.

Phan Ngoc Việt THPT Kim Xuyên Sơn Dương Tuyên Quang 1 1.Tên sáng kiến kinh nghiệm : ”KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ” 2. Mô tả ý tưởng. a. Hiện trạng và nguyên nhân chủ yếu của hiện trạng. Hệ phương trình đại số là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10; tuyển sinh đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi. Thời lượng dành cho phần hệ phương trình trong trương trình phổ thông là rất ít. Sách giáo khoa trình bày khá đơn giản chỉ đề cập đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở dạng đơn giản và chỉ giới thiệu các phương pháp là phương pháp cộng đại số và phương pháp thế trong khi đó ở các đề thi Đại Học, Cao Đẳng, đề thi HSG thì phần hệ phương trình là một phần khá khó đối với học sinh đòi hỏi học sinh vận dụng nhiều phương pháp khác nhau để giải, các hệ phương trình đó học sinh không được làm quen nhiều học trong trương trình phổ thông do đó phần lớn các em rất lúng túng trong quá trình nhận dạng hệ phương trình và tìm ra cách giải Để giải được hệ phương trình đòi hỏi học sinh phải tư duy tốt và có cái nhìn tổng quát mà đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra điểm mấu chốt của bài toán, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em. b. Ý tưởng . Chính vì các nguyên nhân trên tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm ”Kỹ năng giải một số hệ phương trình” mục đích giúp học sinh phân biệt được các dạng hệ phương trình và cách giải một số hệ phương trình thường gặp. Kỹ năng giải một số hệ phương trình biết cách phân tích và tổng quát và đặc biệt giúp cho học sinh tìm ra cách xuất phát của bài toán, bài toán do đâu mà có và người ta tạo ra bài toán đó bằng cách nào Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới. Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này. 3. Nội dụng công việc a. Chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm. b. Tham khảo tìm các tài liệu liên quan : Tìm các dạng bài tập liên quan đến sáng kiến như các bài toán hay gặp trong đề thi tuyển sinh, các dạng toán được nêu trong chuyên đề. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình đối xứng ,hệ phương trình vô tỉ, các kiến thức liên quan khác c. Viết các nội dung cơ bản của sáng kiến Phan Ngoc Việt THPT Kim Xuyên Sơn Dương Tuyên Quang 2 d. Báo cáo trước tổ chuyên môn và tiếp thu các ý kiến đóng góp 4. Triển khai thực hiện a. Quy trình thực hiện. Tìm các dạng bài tập liên quan đến sáng kiến như các bài toán hay gặp trong đề thi tuyển sinh, các dạng toán được nêu trong chuyên đề. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình đối xứng ,hệ phương trình vô tỉ, các kiến thức liên quan khác -Xây dựng ý tưởng, viết đề tài ,báo cáo nội dung sáng kiến trước hội đồng khoa học nhà trường, tiếp thu ý kiến của hội đồng khoa học của nhà trường, điều chỉnh những nội dung chưa phù hợp và hoàn thiện sáng kiến. -Áp dụng thực hiện đề tài đến học sinh trong nhà trường đặc biệt là học sinh khối 10 và một số học sinh ôn tập chuẩn bị thi tuyển sinh khối 12. b. Cách thức : -Nghiên cứu tài liệu, tìm đọc các tài liệu liên quan, trao đổi với đồng nghiệp - Viết nội dung sáng kiến kinh nghiệm, giảng dạy trên lớp c. Phương tiện: - SGK Đại Số 10, Tuyển tập các đề thi Đại Học Cao Đẳng các năm gần đâycác tài liệu tham khảo về hệ phương trình các phương pháp giải hệ phương trình . Máy tính thiết bị trình chiếu d. Thời gian thực hiện. Trong học kì I năm học 2013 - 2014 e. Sự phối hợp để hoàn thành - Các đồng chí giáo viên trong nhóm toán Trường THPT Kim Xuyên đã đóng góp ý kiến và trao đổi, sự hưởng ứng nhiệt tình của các em học sinh trong trường và dưới sự chỉ đạo của Ban Giám Hiệu nhà trường Nội dung đề tài: ”KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ” A .KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Định nghĩa. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng ' ' ' ax by c a x b y c + =   + =  với , , , ', ', ' a b c a b c là các số thực đã cho thỏa mãn 2 2 2 2 0, ' ' 0 a b a b + ≠ + ≠ 2 Cách giải. Ngoài các phương pháp giải đã học ở lớp 9 ta có thêm phương pháp sau: + Bước 1. Tính các định thức D ' ' , D ' ' , D ' ' ' ' ' ' ' ' x y a b c b a c ab a b cb c b ac a c a b c b a c = = − = = − = = − + Bước 2. Phan Ngoc Việt THPT Kim Xuyên Sơn Dương Tuyên Quang 3 - Nếu D 0 ≠ thì hệ có nghiệm duy nhất D D , D D y x x y= = - Nếu D 0 = và 2 2 D D 0 x y + ≠ thì hệ vô nghiệm - Nếu D D D 0 x y = = = thì hệ ax by c ⇔ + = (vô số nghiệm) II. Hệ phương trình đối xứng loại I 1. Định nghĩa. Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ pt có dạng ( ; ) 0 ( ; ) 0 f x y g x y =   =  Trong đó ( ; ) f x y và ( ; ) g x y là những đa thức chứa hai biến x, y thỏa mãn ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ), , f x y f y x g x y g y x x y = = ∀ ∈ R 2. Cách giải phổ biến - Bước 1. Biểu diễn từng pt theo tổng x y + và tích xy - Bước 2. Đặt x y S xy P + =   =  . 2 , 4 x y S P ∃ ⇔ ≥ - Bước 3. Giải hệ mới theo S và P - Bước 4. x và y là hai nghiệm của pt 2 0 X SX P − + = III. Hệ phương trình đối xứng loại II 1. Định nghĩa. Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ phương trình có dạng ( ; ) 0 ( ; ) 0 f x y f y x =   =  trong đó ( ; ) f x y là một biểu thức chứa hai biến x và y. 2. Cách giải. - Bước 1. Trừ vế hai pt ta được ( ; ) ( ; ) 0 f x y f y x − = (*) - Bước 2. Đưa phương trình (*) về dạng tích ( ) ( ; ) 0 x y g x y − = - Bước 3. Xét hai trường hợp. TH 1. x = y thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp TH 2. ( ; ) 0 g x y = kết hợp với ( ; ) ( ; ) 0 f x y f y x + = ta được hệ đối xứng loại I ( ; ) ( ; ) 0 ( ; ) 0 f x y f y x g x y + =   =  * Chú ý. Nếu ( ; ) 0 g x y = phức tạp ta sẽ tìm cách chứng minh nó vô nghiệm. IV. Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai 1. Định nghĩa. Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai là hệ có dạng 2 2 2 2 ' ' ' ' ax bxy cy d a x b xy c y d  + + =   + + =   2. Cách giải - Bước 1. Cân bằng hệ số tự do ta được 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ad x bd xy cd y dd da x db xy dc y dd  + + =   + + =   - Bước 2. Trừ vế hai phương trình ta được 2 2 0 Ax Bxy Cy + + = (*) - Bước 3. Giải phương trình (*) ta sẽ biểu diễn được x theo y - Bước 4. Thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp Phan Ngoc Việt THPT Kim Xuyên Sơn Dương Tuyên Quang 4 * Chú ý - Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn. - Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt , 0 y tx x = ≠ hoặc đặt , 0 x ty y = ≠ . - Ta cũng có thể cân bằng số hạng chứa 2 x (hoặc chứa 2 y ) rồi trừ vế và dùng phép thế. B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I .Hệ sử dụng phương pháp biến đổi tương đương Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kỹ năng phân tích nhằm đưa hệ về dạng đơn giản (có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ 1. Phương pháp thế * Cơ sở phương pháp. Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại. * Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó. Loại 1 : Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với x và y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 ( 1)( 1) 3 4 1 (1) 1 (2) x y x y x x xy x x  + + + = − +   + + =   Giải: Dễ thầy x=0 không thỏa mãn (2) nên từ (2 ) ta có 2 1 1 x y x − + = Thay vào (1) ta được 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 1 . ( ) 3 4 1 ( 1)(2 1) ( 1)(3 1) 1 ( 1)(2 2 1) ( 1)(3 1) ( 1)(2 2 4 ) 0 0( ) 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x loai x − − + = − + ⇔ − − = − − =   ⇔ − + − − = − − ⇔ − + − = ⇔ =   = −  Từ đó ta được các nghiệm của hệ là : (1;-1) , 5 ( 2; ) 2 − − Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 3 5 (1) 3 2 4 (2) x y x y y + =   − + =  Lời giải. Từ (1) ta có 5 3 2 y x − = thế vào (2) ta được 2 2 5 3 3 2 4 0 2 y y y −   − + − =     2 2 2 59 3(25 30 9 ) 4 8 16 23 82 59 0 1, 23 y y y y y y y y⇔ − + − + − ⇔ − + = ⇔ = = Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là ( ) 31 59 1;1 ; ; 23 23     −         Phan Ngoc Việt THPT Kim Xuyên Sơn Dương Tuyên Quang 5 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 4 3 2 2 2 2 2 9 (1) 2 6 6 (2) x x y x y x x xy x  + + = +   + = +   Phân tích. Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế. Lời giải. x = 0 không thỏa mãn (2) 2 6 6 0, (2) 2 x x x y x + − ≠ ⇔ = thế vào (1) ta được 2 2 2 4 3 2 6 6 6 6 2 2 9 2 2 x x x x x x x x x x     + − + − + + = +         2 2 4 2 2 3 0 (6 6 ) (6 6 ) 2 9 ( 4) 0 4 4 x x x x x x x x x x x =  + − ⇔ + + − + = + ⇔ + = ⇔  = −  Do 0 x ≠ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 17 4; 4   −     Chú ý. + Hệ phương trình này có thể thế theo phương pháp sau: Hệ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 2 9 2 9 2 6 6 6 6 2 2 x x x xy x x x x x xy x x x xy    + +  + = + = +        ⇔ ⇔   + +   + = + + + =    + Phương pháp thế thường là công đoạn cuối cùng khi ta sử dụng các phương pháp khác Loại II: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn * Cơ sở phương pháp. Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử. Đôi khi cần tổ hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích. * Cách thành lập hệ dạng này ( ) ( ; ) 0 ( ; ) 0 ax by c f x y g x y + + =   =  trong đó ( ; ) f x y được chọn sao cho ( ; ) 0 ( ; ) 0 f x y g x y =   =  vô nghiệm hoặc ( ; ) 0 ( ; ) 0 f x y g x y =   =  giải được; ( ; ) g x y được chọn sao cho 0 ( ; ) 0 ax by c g x y + + =   =  giải được và thỏa mãn kết hợp được với ( ; ) f x y Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 2 2 2 (1) 2 1 2 2 (2) xy x y x y x y y x x y + + = −    − − = −   Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1). Lời giải. Phan Ngoc Việt THPT Kim Xuyên Sơn Dương Tuyên Quang 6 ĐK: 1, 0 x y ≥ ≥ (1) 2 2 ( ) ( ) ( )( 1 ) 0 y x y x y x y x y y x y ⇔ + + + = − ⇔ + + − + = TH 1. 0 x y + = (loại do 1, 0 x y ≥ ≥ ) TH 2. 2 1 0 2 1 y x x y + − = ⇔ = + thế vào pt (2) ta được (2 1) 2 2 4 2 2 ( 1) 2 2( 1) y y y y y y y y y + − = + − ⇔ + = + 1 0 1 2 2 2 y y y y + =  = −  ⇔ ⇔   = =    . Do 0 2 y y ≥ ⇒ = . Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (5;2) x y = Chú ý. Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có thể giải pt (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x). Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 3 1 1 (1) 2 1 (2) x y x y y x  − = −    = +  ( Khối A 2003) Phân tích. Từ cấu trúc của pt (1) ta thấy có thể đưa (1) về dạng tích. Lời giải. ĐK: 0 xy ≠ . (1) 1 1 1 0 0 ( ) 1 0 x y x y x y x y x y xy xy   − ⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔ − + =     TH 1. x y = thế vào (2) ta được 3 2 1 0 1 x x x − + = ⇔ = hoặc 1 5 2 x − ± = (TM) TH 2. 1 1 1 0 y xy x + = ⇔ = − thế vào (2) ta được 4 2 2 2 1 1 3 2 0 ( ) ( ) 0 2 2 2 x x x x + + = ⇔ − + + + = . Pt này vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của hệ là S = 1 5 1 5 1 5 1 5 (1;1); ; ; ; 2 2 2 2       − + − + − − − −                 Ví dụ 6. Giải hệ phương trình 3 3 1 1 (1) ( 4 )(2 4) 36 (2) x y x y x y x y  − = −    − − + = −  Lời giải. 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 ( )( ) ( ) 1 x y y x y xy x x y x y y xy x x y x y x y =  − + +  − = − ⇔ − = ⇔ + +  = −   TH 1. x y = thế vào pt thứ hai ta được 2 6 4 12 0 2 x x x x = −  + − = ⇔  =  TH 2. 2 2 3 3 1 0 y xy x xy x y + + = − ⇒ < . (2) 2 2 2 2 2 4 9 4 16 36 2( 1) 4( 2) 9 18 x y xy x y x y xy ⇔ + − + − = − ⇔ + + − − = − Phan Ngoc Việt THPT Kim Xuyên Sơn Dương Tuyên Quang 7 Trường hợp này không xảy ra do 2 2 0 2( 1) 4( 2) 9 0 xy x y xy < ⇒ + + − − > Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = { } (2;2); ( 6; 6) − − Ví dụ 7. Giải hệ phương trình 2 2 2 8 16 (1) (2) xy x y x y x y x y  + + =  +   + = −  Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1) Lời giải. ĐK: 0 x y + > . (1) 2 2 ( )( ) 8 16( ) x y x y xy x y ⇔ + + + = + 2 ( ) 2 ( ) 8 16( ) x y xy x y xy x y ⇔ + − + + = +     2 ( ) ( ) 16 2 ( 4) 0 x y x y xy x y ⇔ + + − − + − =     [ ] ( 4) ( )( 4) 2 0 x y x y x y xy ⇔ + − + + + − = TH 1. 4 0 x y + − = thế vào (2) ta được 2 3 7 6 0 2 2 x y x x x y = − ⇒ =  + − = ⇔  = ⇒ =  TH 2. 2 2 ( )( 4) 2 0 4( ) 0 x y x y xy x y x y + + + − = ⇔ + + + = vô nghiệm do ĐK Vậy tập nghiệm của hệ là S = { } ( 3;7); (2;2) − Loại III: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn ẩn còn lại coi là tham số Ví dụ 8: 2 2 2 (5 4)(4 ) (1) 5 4 16 8 16 0 (2) y x x y x xy x  = + −   − − + − + =   Giải : Biến đổi phương trình (2) về dạng 2 2 (4 8) 5 16 16 0 y x y x x − + − + + = Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có 2 ' 9 x ∆ = từ đó ta có nghiệm là 5 4 (3) 4 (4) y x y x = +   = −  Thay (3) vào (1) ta được : 2 4 0 (5 4) (5 4)(4 ) 5 0 4 x y x x x x y  = − ⇒ =  + = + − ⇔  = ⇒ =  Thay (4) vào (1 ) ta được : 2 4 0 (4 ) (5 4)(4 ) 0 4 x y x x x x y = ⇒ =  − = + − ⇔  = ⇒ =  Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (0;4) , (4;0) , (-4/5;0) Bài 1: Giải hệ phương trình 2 2 ( 1) 3 0 (1) 5 ( ) 1 0 (2) x x y x y x + + − =    + − + =   (Khối B 2009) Phan Ngoc Việt THPT Kim Xuyên Sơn Dương Tuyên Quang 8 Giải : ĐK 0 x ≠ chia hai vế cho x ta được 3 3 (1) 1 0 1 x y x y x x ⇔ + + − = ⇔ + = − (3) Thế vào (2 ) ta được 2 2 2 1 1 1 3 5 4 6 ( 1) 1 0 2 0 1 1 2 2 x x x x x x x x  =  =  − − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔   =   =   * x=1 thế vào (3) ta có y=1 * x= 2 thế vào (3) ta được y = 3 2 − Bài 2 : Giải hệ phương trình 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x  + + = +   + = +   (khối B 2008) Giải : 2 2 4 3 2 2 2 2 ( ) 2 9 (3) 2 2 9 6 6 2 6 6 (4) 2 x xy x x x y x y x x x x xy x xy  + = +  + + = +   ⇔   + − + = + =     Thay ( 4 ) vào 3 rồi rút gọn ta có phương trình 4 3 3 3 2 3 0 0 12 48 64 0 12 48 64 0 ( 4) 0 0 4 x x x x x x x x x x x x = =   + + + = ⇔ ⇔   + + + = + =   =  ⇔  = −  Rõ ràng x = 0 loại vì không thỏa mãn (4) còn khi x = - 4 thay vào (2) ta có 17 4 y = Vậy 17 ( 4; ) 4 − 2. Phương pháp cộng đại số : * Cơ sở phương pháp. Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau. * Nhận dạng. Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 2 3 y y x x x y  + =    +  =   ( Khối B 2003) Lời giải. ĐK: 0 xy ≠ Hệ 2 2 2 2 3 2 (1) 3 2 (2) x y y y x x  = +  ⇔  = +   . Trừ vế hai phương trình ta được Phan Ngoc Vi ệ t THPT Kim Xuyên S ơ n D ươ ng Tuyên Quang 9 2 2 2 2 0 3 3 3 ( ) ( )( ) 0 3 0 x y x y xy y x xy x y x y x y xy x y − =  − = − ⇔ − + − + = ⇔  + + =  TH 1. 0 x y y x − = ⇔ = thế vào (1) ta được 3 2 3 2 0 1 x x x − − = ⇔ = TH 2. 3 0 xy x y + + = . Từ 2 2 2 3 0 y y y x + = ⇒ > , 2 2 2 3 0 x x x y + = ⇒ > 3 0 xy x y ⇒ + + > . Do đó TH 2 không xảy ra. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1) Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 1 1 2 2 (1) 1 1 2 2 (2) y x x y  + − =     + − =   Lời giải. ĐK: 1 1 , 2 2 x y ≥ ≥ . Trừ vế hai pt ta được 1 1 1 1 2 2 0 y x x y − + − − − = ⇔ ( ) 1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 y x y x y x y x xy xy x y xy y x y x   − − −   − − −   + = ⇔ + =   + − + − − + −     TH 1. 0 y x y x − = ⇔ = thế vào (1) ta được 1 1 2 2 x x + − = Đặt 1 , 0 t t x = > ta được 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 1 2 4 4 2 1 0 t t t t t x t t t t t − ≥ ≤   − = − ⇔ ⇔ ⇔ = ⇒ =   − = − + − + =   và 1 y = TH 2. ( ) 1 1 0 1 1 2 2 xy x y xy y x + =   + − + −     . TH này vô nghiệm do ĐK. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1) Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3 5 4 38 5 9 3 15 x xy y x xy y  + − =   − − =   Phân tích. Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta sẽ cân bằng số hạng tự do và thực hiện phép trừ vế. Lời giải. Phan Ngoc Vi ệ t THPT Kim Xuyên S ơ n D ươ ng Tuyên Quang 10 Hệ 2 2 2 2 2 2 45 75 60 570 145 417 54 0 190 342 114 570 x xy y x xy y x xy y  + − =  ⇔ ⇒ − + + =  − − =   Giải phương trình này ta được 1 145 , 3 18 y x y x = = − thế vào một trong hai phương trình của hệ ta thu được kết quả. * Chú ý - Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn. - Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt , 0 y tx x = ≠ hoặc đặt , 0 x ty y = ≠ . Ví dụ 4. Tìm các giá trị m để hệ 2 2 2 2 3 2 11 2 3 17 x xy y x xy y m  + + =   + + = +   có nghiệm. Phân tích. Để có kết quả nhanh hơn ta sẽ đặt ngay , 0 y tx x = ≠ Lời giải. TH 1. 2 2 2 2 11 11 0 17 3 17 3 y y x m y y m  =  =   = ⇒ ⇔   + = = +     Vậy hệ có nghiệm 17 0 11 16 3 m x m + = ⇔ = ⇔ = TH 2. 0 x ≠ , Đặt y tx = . Hệ 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 11 2 3 17 x tx t x x tx t x m  + + =  ⇔  + + = +   2 2 2 2 2 2 2 2 11 (3 2 ) 11 3 2 11 (1 2 3 ) 17 (1 2 3 ). 17 3 2 x t t x t t t t x m t t m t t  =   + + =   + + ⇔ ⇔   + + = +    + + = +  + +  2 2 2 11 3 2 ( 16) 2( 6) 3 40 0 (*) x t t m t m t m  =  ⇔ + +   − + + + + =  Ta có 2 11 0, 3 2 t t t > ∀ + + nên hệ có nghiệm ⇔ pt (*) có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi 16 m = hoặc 2 16, ' ( 6) ( 16)(3 40) 0 m m m m ≠ ∆ = + − − + ≥ 5 363 5 363 m ⇔ − ≤ ≤ + Kết luận. 5 363 5 363 m − ≤ ≤ + Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 1 3 1 2 1 7 1 4 2 x x y y x y    + =    +        − =    +    [...]... Nhận xét.: Đây là hệ phương trình mà một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y), phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên đó hàm số f đơn điệu Trong trường hợp này ta đã hạn chế miền biến thiên của các biến để hàm số đơn điệu trên đoạn đó Bài tập tương tự Giải hệ phương trình :  x3 − 5 x = y 3 − 5 y   8 4 x + y = 1  2 y  x + x + 1 = 3 Ví dụ 2 Giải hệ phương trình  2 x y... ) = v( x; y ) giải được trên tập xác định của  g ( x; y ) = 0 Lấy g ( x; y ) sao cho hệ  chúng -  f (u ) = f (v)  g ( x; y ) = 0 Lập hệ phương trình   x3 − 3x = y 3 − 3 y Ví dụ 1 Giải hệ phương trình  2 2 x + y = 1 17 (1) (2) Phan Ngoc Việt THPT Kim Xuyên Sơn Dương Tuyên Quang Phân tích Ta có thể giải hệ trên bằng phương pháp đưa về dạng tích Tuy nhiên ta muốn giải hệ này bằng phương pháp sử... 1: Giải hệ phương trình  xy − 3 y + 1 = 0 (CĐ A 2013)  2 4 x − 10 y + xy = 0 Gợi ý : Sử dụng phương pháp thế Bài 2: Giải hệ phương trình  x3 − 3 x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y  (ĐH A 2012)  2 1 2 x + y − x + y =  2 Gợi ý : Đặt t = -x sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Bài 3: Giải hệ phương trình  xy + x + 1 = 7 y (ĐH B 2009)  2 2 x y + xy + 1 = 13 y 2  Gợi ý : Chia hai vế cho y sử dụng phương. .. hai vế cho y sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Bài 4: Giải hệ phương trình 4   x + 1 + 4 x −1 − y + 2 = y (ĐH A 2013)  2 2  x + 2 x( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0  Gợi ý ; Sử dụng phương pháp hàm số Bài 5: Giải hệ phương trình  xy + x − 2 = 0 ( ĐH D 2012)  3 2 2 2 2 x − x y + x + y − 2 xy − y = 0 Gợi ý : Sử dụng phương pháp thế Bài 6: Giải hệ phương trình ln(1 + x) − ln(1 + y ) = x − y  2 2  x −... Dương Tuyên Quang Bài 7: Giải hệ phương trình 2 x − 2 y = ( y − x)( xy + 2)  2 2 x + y = 2 Gợi ý ; Sử dụng phương pháp hàm số y  x e = 2007 −  y2 −1  Bài 8: Chứng minh hệ  có đúng 2 nghiệm x > 0, y > 0 x y e = 2007 −  x2 − 1  Gợi ý ; Sử dụng phương pháp hàm số Bài 9: Giải hệ phương trình  x + y − xy = 3  ( x, y ∈ R ) ( ĐH A 2006)   x +1 + y +1 = 4  Gợi ý : Sử dụng phương pháp thế 5 Kết... − 6 4 Vậy hệ có tập nghiệm là  5  9 3 9  5 ; ;  ;  − ; −1; −  , t ∈ R  4  13 4 11   6  S = (t ;0;0); (0; t ;0); (0;0; t );   Nhận xét Qua ví dụ trên ta thấy: từ một hệ phương trình đơn giản, bằng cách đổi biến số (ở trên là phép thay nghịch đảo) ta thu được một hệ phức tạp Vậy đối với một hệ phức tạp ta sẽ nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản II Hệ sử dụng phương pháp... tích cực tìm tòi, sáng tạo Từ đó mà gặp các dạng toán trên đa số các em đã giải quyết rất nhanh gọn và chính xác học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống về hệ phương trình đại số, từ đó có kĩ năng giải thành thạo các bài toán thuộc chủ đề này và hơn thế học sinh không còn cảm giác e sợ khi gặp hệ phương trình Sau khi áp dụng SKKN này vào một nhóm học sinh khá giỏi Kết quả trước và sau khi thực hiện... kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau: - Giáo viên trong nhóm sử dụng làm tài liệu tham khảo khá bổ ích -Khi chưa được học chuyên đề này khi cho các em giải một số hệ phương trình khác ngoài dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK lớp 10 các em rất lúng túng, băn khoăn không định hướng được đường đi, cách giải dạng bài tập trên; đa phần là các em không giải được Khi áp dụng... của phương trình (*) 4 2 3  5 − 4x2  Xét hàm số g ( x ) = 4 x +   + 2 3 − 4 x − 7, x ∈ (0; 4 ) ta có  2  2 4 4 3  5 − 4x  g '( x) = 8 x − 8 x  = 4 x(4 x 2 − 3) − < 0, x ∈ (0; ) − 4 3 − 4x 3 − 4x  2  2 Suy ra hàm số g(x) nghịch biến 1 2 1 2 Mặt khác g ( ) = 0 do đó (*) có nghiệm duy nhất x = ⇒ y = 2 1 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ; 2) Ví dụ 4 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình. .. trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a=f(x,y) ; b = g(x,y) có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia hết cho một biểu thức khác 0 12 Phan Ngoc Việt THPT Kim Xuyên Sơn Dương Tuyên Quang 5  2 x + y + x3 y + xy 2 + xy = −   4 Ví dụ 1 Giải hệ phương trình  ( Khối A 2008) 5 4 2  x + y + xy (1 + 2 x) = −   4 Giải: 5 5  2  . mục đích giúp học sinh phân biệt được các dạng hệ phương trình và cách giải một số hệ phương trình thường gặp. Kỹ năng giải một số hệ phương trình biết cách phân tích và tổng quát và đặc biệt. Nội dung đề tài: ”KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ” A .KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Định nghĩa. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng '. sở phương pháp. Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại. * Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình