Phơng Trình Lợng Giác A. Phơng Pháp Giải. 1. PP chung: B1: Tìm điều kiện. B2: Sử dụng các phơng pháp biến đổi, đa phơng trình về PT cơ bản; các dạng cơ bản; phơng trình đại số B3: So sánh với điều kiện, kết hợp suy ra nghiệm 2. Các phơng pháp a. Ph ơng pháp phân tích: VD: Giải phơng trình: (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sinx x x x x + = (ĐH KD-2004) b. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ: VD: Giải phơng trình: 4 2 4sin 12cos 7x x+ = c. Ph ơng pháp khác: PP hàm số, PP đánh giá VD: Giải các phơng trình: tan (1)x x= 3 sin 2 sin 1 (2)x x+ = 2 2 sin cos 8 8 10 cos2 (3) x x y + = + 3. Chú ý: Cần nắm vững các công thức biến đổi LG, quan hệ của các góc đặc biệt, các ph - ơng trình cơ bản, dạng cơ bản. Khi gặp một phơng trình LG, đầu tiên ta phải nghĩ đến cách: đa phơng trình về phơng trình chỉ chứa một hàm lợng giác đối với một góc lợng giác ( VD chỉ chứa sinx) rồi dùng PP đặt ẩn phụ (t=sinx). Nếu đặt t= sin (hoặc cos) thì đk: 1t Một bài toán có thể giải theo nhiều cách VD: Giải phơng trình: cos3 cos2 cos 1 0x x x+ = (ĐH KD-2006) 4. Các phơng trình cơ bản: sin ; cos ; tan ; cotx a x a x a x a= = = = B. Các Dạng Phơng Trình Lợng Giác Cơ Bản: Có thể thay x bởi ( )f x Dạng 1: Phơng trình đối sứng theo sin và cos: là PT chứa (sinx cosx) và (sinx.cosx). PP: Đặt sin cos 2 s in( ), 2 4 t x x x t = = 2 1 sin cos 2 t x x = VD: Giải phơng trình: 1 1 10 sin cos sin cos 3 x x x x + + + = Dạng 2: Phơng trình bậc nhất theo sin và cos: sin cos (1)a x b x c+ = PP: Chia cả hai vế cho 2 2 a b+ , tồn tại [0;2 ) sao cho: 2 2 2 2 cos sin a a b b a b = + = + Khi đó (1) 2 2 sin( ) c x a b + = + ( Là phơng trình LG cơ bản) Chú ý: PT(1) có nghiệm 2 2 a b c + Phạm Thanh Bình- Vụ Bản- Nam Định Phơng Trình Lợng Giác VD1: Giải phơng trình: sin 3 cos 1x x+ = VD2: Cho phơng trình: 2 2sin (2 2)sin 2 ( 1)(1 cos2 ) 2x m x m x m+ + + = (1). Xác định m để pt(1) có nghiệm. Dạng 3: Phơng trình thuần nhất đối với sin và cos: Bậc 2: 2 2 sin sin cos cos 0a x b x x c x d+ + + = Bậc 3: 3 2 2 3 sin sin cos sin cos cos 0a x b x x c x x d x e+ + + + = PP: Nếu cos 0 2 2 x x k = = + thay vào PT nếu t/m thì là nghiệm. Nếu cos 0x chia cả hai vế cho cos n x ( n là bậc của PT), đặt tant x= Chú ý: Có thể xét sin thay cho cos, khi đó đặt cott x= VD1: Giải phơng trình: 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x+ = VD2: Giải phơng trình: 3 2 2 sin 3sin cos 4sin cos 0x x x x x + = Dạng 4: Khi đặt ẩn phụ, PTLG đợc đa về PT đại số, khi đó xuất hiện các dạng nh PT đại số đã học. VD1: Giải phơng trình: 1 sin 1 sin 2 cos 0x x x + + = VD2: Giải phơng trình: 2 3 2 3 tan tan tan 2cot 4cot 8cot 1x x x x x x+ + + = Bài 1: Giải các phơng trình sau: 1. cos3 4cos2 3cos 4 0x x x + = 2. cos3 cos2 cos 0x x x+ + = 3. 1 cos3 cos2 cos 2 x x x+ + = 4. 2 2 sin 2si n cos 3cos 3 0x x x x+ + = 5. 1 3 sin cos cos x x x + = 6. 2 2 sin 2sin cos 3cos 0x x x x = Phạm Thanh Bình- Vụ Bản- Nam Định Ph¬ng Tr×nh Lîng Gi¸c 7. 1 cos5 cos 4 cos3 cos 2 cos 2 x x x x x+ + + + = − 8. 2 2 2sin (3 3)sin cos ( 3 1)cos 1x x x x+ + + − = − 9. 3 3 2 cos 4sin 3cos sin sin 0x x x x x− − + = Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1. sin 3 cos3 2cos 0x x x+ + = 2. 3 2cos 2 sin 6x x= 3. 4 4 1 sin (1 sin ) 8 x x+ + = 4. 3 3 cos sin sin cosx x x x− = − 5. 3 sin cos 4sin 0x x x+ − = 6. 3 sin .sin 2 sin3 6cosx x x x+ = 7. 4 4 1 cos (1 cos ) 8 x x+ + = 8. 3 2 cos 3cos sin sin 0x x x x− + = 9. 3 3 2 3cos 4sin cos sin 3sin 0x x x x x+ − − = Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1. 3 sin cos 1x x+ = 2. 2(sin cos ) 3sin cos 2 0x x x x+ − + = 3. sin 2 3 cos 2 1x x+ = 4. sin( 2 ) 3 cos(2 2 ) 2x xΠ − + Π − = 5. 3 sin cos 2x x− = 6. 5 2(sin cos ) 5sin cos 0 2 x x x x− − + = Bµi 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1. (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tanx x x− + = + 2. sin 4 cos4 1 4(sin cos )x x x x− = + − 3. 4 4 1 sin cos ( ) 4 4 x x Π + + = 4. 4 4 4 9 sin sin ( ) sin ( ) 4 4 8 x x x Π Π + + + − = 5. 2 3 4 1 2cos 3cos 5 5 x x + = 6. 2 2 2 cos cos 2 cos 3 1x x x+ + = 7. sin 3 sin 5 3 5 x x = 8. 2 2 2 2 cos cos 2 cos 3 cos 4 1x x x x+ + + = 9. 3 3 3 3 (cos cos 2 cos3 ) cos cos 2 cos 3x x x x x x+ + = + + 10. 3 3 3 3 (sin sin 2 sin 3 ) sin s in 2 sin 3x x x x x x+ + = + + Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1. sin sin 2 sin 3 3 cos cos 2 cos3 x x x x x x + + = + + 2. 2 cos 2sin cos 3 2cos sin 1 x x x x x − = + − 3. 2 1 2sin 3 2 sin sin 2 1 2sin cos 1 x x x x x + − + = − 4. 3 1 8sin cos sin x x x = + Ph¹m Thanh B×nh- Vô B¶n- Nam §Þnh Phơng Trình Lợng Giác 5. 1 2tan cot 2 2sin 2 sin 2 x x x x + = + 6. 2 3tan 6 2tan 2 cot 4 sin8 x x x x = 7. 6 tan 5cot 3 tan 2x x x+ = 8. 1 cos3 cos 2 cos 2 x x x + = 9. tan 2 tan3 tan 5 t an 2 tan 3 tan5x x x x x x = 10. 2 3 2 3 tan tan tan cot cot cot 6x x x x x x+ + + + + = Bài 6: Giải phơng trình: 1. 2 2 cos 3 cos2 cos 0x x x = (ĐH KA-2003) 2. 2 5s in 2 3(1 sin )tanx x x = (ĐH KB-2004) 3. 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x + + = ữ (ĐH KD-2007) 4. 2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cosx x x x+ + = + (ĐH KD-2008) 5. (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sinx x x x x + = ( ĐH KA-2004) 6. 2 2sin sin 7 1 sinx x x+ = ( ĐH KB-2007) 7. 2 2 (1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2x x x x x+ + + = + (ĐH KA-2007) 8. 1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x+ + + + = ( ĐH KB-2005) 9. 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x = ( ĐH KB-2008) 10. 4 4 3 cos sin cos( )sin(3 ) 0 4 4 2 x x x x + + = (ĐH KD-2002) Bài 7: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phơng trình: cos3 4cos2 3cos 4 0x x x + = ( ĐH KD-2002) Bài 8: Giải phơng trình: 1. 6 6 2(sin cos ) sin cos 0 2 2sin x x x x x + = ( ĐH KA-2006) 2. 1 1 7 4sin( ) 3 sin 2 sin( ) 2 x x x + = (ĐH KA-2008) Các Công Thức Biến Đổi Lợng Giác 1. Hệ Thức Cơ Bản: 2 2 sin cos 1a a+ = tan .cot 1a a = sin tan cos x x x = cos cot sin x x x = 2 2 1 1 tan 1 cos x x + = + 2 2 1 1 tan 1 cos x x + = + 2. Công Thức Cộng: Phạm Thanh Bình- Vụ Bản- Nam Định Phơng Trình Lợng Giác sin( ) sin cos sin cos cos( ) cos cos sin sin a b a b b a a b a b a b = = m tan tan tan( ) 1 tan tan x b a b a b = m 3. Công thức nhân +) Công thức nhân đôi: 2 2 2 2 cos2 cos sin 1 2sin 2cos 1 sin 2 2sin cos a a a a a a a a = = = = 2 2 tan tan 2 1 tan a a a = Công thức hạ bậc hai: 2 2 2 1 cos2 1 cos 2 1 cos2 cos ; sin ; tan 2 2 1 cos 2 a a a a a a a + = = = + +) Công thức nhân ba: 3 3 sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos a a a a a a = = 3 2 3tan tan tan 3 1 3tan a a a a = Công thức hạ bậc 3 4. Công thức biến đổi tổng thành tích: cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b a b a b a b + + = + = sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b a b a b a b + + = + = sin( ) sin( ) tan tan cot cot cos .cos sin .sin a b a b a b a b a b a b = = 5. Công thức biến đổi tích thành tổng: [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= + + [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= + [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b= + + [ ] 1 cos .sin sin( ) sin( ) 2 a b a b a b= + Chú ý: Các công thức khác đều đợc chứng minh dựa vào các hệ thức cơ bản (Phần1) và công thức cộng (Phần 2). Để làm tốt các bài liên quan đến LG cần nhớ các công thức trên cùng với quan hệ của các góc đặc biệt. 6. Cung Liên Quan Đặc Biệt: (cos đối- sin bù- phụ chéo- tan, cot ) +) Hai góc đối nhau: là hai góc có tổng bằng 0. cos( ) cosa a = ; sin( ) sina a = ; tan( ) tana a = ; cot( ) cota a = +) Hai góc bù nhau: là hai góc có tổng bằng 0 180 ( ) = sin( ) sina a = ; cos( ) cosa a = ; tan( ) tana a = ; cot( ) cota a = +) Hai góc phụ nhau: là hai góc có tổng bằng 0 90 ( ) 2 = Phạm Thanh Bình- Vụ Bản- Nam Định Phơng Trình Lợng Giác sin( ) cos 2 a a = ; cos( ) s 2 a ina = ; tan( ) cot 2 a a = ; cot( ) tan 2 a a = +) Hai góc hơn kém sin( ) sina a + = ; cos( ) cosa a + = ; tan( ) tana a + = ; cot( ) cota a + = +) Hai góc hơn kém 2 sin( ) cos 2 a a + = ; cos( ) sin 2 a a + = ; tan( ) cot 2 a a + = ; cot( ) tan 2 a a + = 7. Chú ý: Nếu tan 2 a t= ta có 2 2 2 2 1 2 2 cos ; sin ; tan 1 1 1 t t t a a a t t t = = = + + Trong tính toán, khi cần có thể nhân chia cùng sin hoặc cos của góc thích hợp. Phạm Thanh Bình- Vụ Bản- Nam Định