de thi HSG lop 10 thpt my duc a

TRƯỜNG THPT MỸ ĐỨC A HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27 – 3 – 2011 (Đề gồm: 01 trang) Câu I: (5 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 2 2 1 4 2 2 7 x y xy y y x y x y  + + + =   + − − =   Câu II: (4 điểm) Giải phương trình: 4 1 5 2x x x x x x + − = + − Câu III: (6 điểm) 1. Cho tam giác ABC nhọn có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Các đường cao của tam giác là AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: AH.AA’+ BH.BB’ + CH.CC’ = 2 2 2 2 a b c + + 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi AA’, BB’, CC’ là ba đường trung tuyến của tam giác ABC, ba đường trung tuyến này lần lượt cắt đường tròn (O; R) tại A 1 , B 1 , C 1 . Chứng minh: 1 1 1 AA ' ' ' 9 AA 4 BB CC BB CC + + ≤ . Câu IV: (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 1 a b b c c a ab a b bc b c ca c a + + + + + ≥ + + + Câu V: (2 điểm) Cho các số thực a, b, c sao cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thuộc đoạn [ ] 0;1 . (a ≠ 0) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 2a b a b P a a b c − − = − + . Cho tam giác ABC nhọn có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Các đường cao c a tam giác là AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: AH.AA’+ BH.BB’ + CH.CC’ = 2 2 2 2 a b c + + 2. Cho tam. 1 AA ' ' ' 9 AA 4 BB CC BB CC + + ≤ . Câu IV: (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương th a mãn: ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 1 a. c a ab a b bc b c ca c a + + + + + ≥ + + + Câu V: (2 điểm) Cho các số thực a, b, c sao cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thuộc đoạn [ ] 0;1 . (a ≠ 0) Tìm giá trị lớn nhất của