Chuyên đề số phức

Chuyên đề số phức

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1 (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Gửi tặng: www.Vnmath.com Bỉm sơn. 05.04.2011 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 2 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 1. Một số phức là một biểu thức có dạng a bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn 21i   . Ký hiệu số phức đó là z và viết z a bi  (dạng đại số) i được gọi là đơn vị ảo a được gọi là phần thực. Ký hiệu  Re z a b được gọi là phần ảo của số phức z a bi , ký hiệu  Im z b Tập hợp các số phức ký hiệu là C. Chú ý: - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. - Số phức z a bi  có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. - Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z a bi  và ’ ’ ’z a b i . '’'a az zb b  3. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z a bi . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z a bi  và’ ’ ’z a b i . Ta định nghĩa: ' ( ') ( ')' ( ') ( ')z z a a b b iz z a a b b i         5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z a bi  và’ ’ ’z a b i . Ta định nghĩa: ' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i    6. Số phức liên hợp. Cho số phức z a bi . Số phức – z a bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. Vậy z a bi a bi    Chú ý: 1) z z  z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 2) z. z = a2 + b2 - Tính chất của số phức liên hợp: (1): z z (2): ' 'z z z z   (3): . ' . 'z z z z (4): z. z = 2 2a b (z a bi ) 7. Môđun của số phức. www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 23 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2z z z x yi x yi x yi x yi yi                  22 2 202 1 4 4 2 02xx y y x xx         Vậy tập hợp các điểm cần tìm là 2 đường thẳng Bài 12: Trên mp phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z: 1. 1z  2. 2z  3. 1 2 3.z z i    Giải: Đặt   ,z x yi x y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Ta có:2 2 2 21 1 1z x y x y       . Vậy: Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O(0;0) bán kính R = 1. 2. Đặt   ,z x yi x y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Ta có: 2 2 2 2z x y 2 x y 4        . Vậy: Tập hợp các điểm M là hình tròn tâm O(0;0) bán kính R = 2. 3. Biểu diễn số phức   ,z x yi x y    bởi điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:      2 221 2 3 1 2 1 3 1 2 2 3 1 2 1 2z z i y i y y y                  Tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là hai đường thẳng song song với trục hoành 1 2y   . Bài 13: Trên mp phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z: 1. 1 1z   2. 1z i  Giải: Đặt   ,z x yi x y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Ta có:     2 22 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1z x yi x yi x y x y                  . Vậy: Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(1;0) bán kính R = 1. Đặt   ,z x yi x y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Ta có:     2 22 21 1 1 1 1 1 1 1z i x yi i x y i x y x y                  . Vậy: Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0;1) bán kính R = 1. Bài 14: Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện: 1. 2z là số ảo 2.  22z z 3. 2 2z i z z i    Giải: 1. Đặt   ,z x yi x y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.  22 2 22z x yi x y xyi     Do 2z là số ảo   2 200 00x y y xx y x y x yx y y x               Vậy: Tập hợp điểm là hai đường phân giác: , .y x y x   2. Đặt   ,z x yi x y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 66 - Nếu a  (0;2 )  sin2a > 0  z2 = 2sin2a(cos(2- 2a) + i sin (2-2a)) - Nếu a = 0  không tồn tại số phức dưới dạng lượng giác. Bài : Tìm một acgumen của các số phức sau: a. i.322  b. 4 4i c. 1 - i.3 d. 4sin.4cosi e. 8cos.8sini f. )1)(3.1( ii  Đs: a. 32 b. 43 c. 3 d.4 e.85 f. 12 Dạng toán về tính toán: Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a.  ;313sin3cos75iii  b.   91031ii; c. 200020001zz  biết rằng .11zz Bài 2: Chứng minh rằng: 1231ii     là số thực Đs: Sử dụng công thức Moavrơ : 123641ii       Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau a.  109(1 i)3 i. b.  75cos sin 1 33 3i i i     . HD: Sử dụng công thức Moivre. Đáp số: a. Phần thực 116 , phần ảo bằng 0 b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128 Bài 5: Áp dụng công thức Moivre để tính a. 5(cos15 sin15 )o oi b.  72 cos30 sin30o oi c. 16(1 )i d. 121 32 2i    Bài 6: Hãy tính tổng 2 3 11 .nS z z z z     biết rằng 2 2cos sinz in n   Bài 7: Thực hiện các phép tính a. 3 cos120 sin120o oi (cos45 sin45 )o oi b.  2 cos18 sin18o oi (cos72 sin72 )o oi c. 5(cos sin )3(cos sin )6 6 4 4i i     d. cos85 sin85cos40 sin40ii   www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 5 Ta có   2010 2 3 20091– 1– 1i i i i i i     Mà 20101 2i  . Nên 2 3 200921 .11i i i iii       b. Đặt 1 1 1 2 2 2; z a b i z a b i    . Từ giả thiết ta có 2 2 2 21 1 2 22 21 2 1 21( ) ( ) 3a b a ba a b b       Suy ra 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 22( ) 1 ( ) ( ) 1 1a b a b a a b b z z          Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: a. 5 7 9 200924 6 7 2010 .( 1) .i i i iP ii i i i        b. 2 4 101 (1 ) (1 ) . (1 )M i i i        c.  1001N i  Giải: a. Ta có   100325 7 9 2009 5 2 4 200421 . 1 . .1ii i i i i i i i i ii              4 5 6 2010 2 3 4 5 6 2010 2 32011 . 1 . 11 1 1(1 1 ) 11 1 2 2i i i i i i i i i i i ii ii i P ii i                        b. M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu tiên 11u  , công bội 2(1 ) 2q i i   Ta có : 10 10 1011 1 (2 ) 1 2 1025(1 2 ). 1. 205 4101 1 2 1 2 5q i iM u iq i i           c.   50100250 50 50 501 ( 2 ) ( 2) ( ) 21 i i iN i            Bài 4: a. Cho số phức 11izi . Tính giá trị của2010z . b. Chứng minh      2010 2008 20063 1 4 1 4 1i i i i     Giải: a. Ta có : 21 (1 )1 2i iz ii    nên 2010 2010 4 502 2 4 502 2. 1.( 1) 1z i i i i         b. Tacó:            2010 2008 2006 4 2 43 1 4 1 4 1 3 1 4 1 4 1 4i i i i i i i i              24 4i    (đpcm). Bài 5: Tính số phức sau: a. 16 81 11 1i izi i             b.  151z i  www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 6 Giải: a. Ta có: 1 (1 )(1 ) 2 11 2 2 1i i i i ii ii i          Vậy  16 88161 121 1i ii ii i                b. Ta có:      2 14 771 1 2 –1 2 1 2 128. 128.i i i i i i i                  15 141 1 1 128 1 128 1 128 –128 .z i i i i i i i             Bài 6: Tính: 105 23 20 34 –i i i i  Giải: Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau: Ta có: 2 3 4 3 5 61; ; . 1; ; 1i i i i i i i i i          Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: 4 4 1 4 2 4 3 *1; ; 1; ; n n n ni i i i i i n N          Vậy  1;1; ; , .ni i i n N     Nếu n nguyên âm,   11nnnni i ii      . Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được: 105 23 20 34 4.26 1 4.5 3 4.5 4.8 2 – – – 1 1 2i i i i i i i i i i           Bài 7: a. Tính : 11 32 2i b. (TN – 2008) Tìm giá trị của biểu thức: 2 2(1 3 ) (1 3 )P i i    Giải: a. Ta có: 1 3 1 31 32 2 2 21 2 21 3 1 32 2 2 211 32 2i iii ii           b. 4P   Dạng 2: Số phức và thuộc tính của nó Loại 1: Tìm phần thực và phần ảo Phương pháp: Biến đổi số phức về dạng z a bi , suy ra phần thực là a, phần ảo là b Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 7 a.   2 4 3 2z i i i     b. 3 3( 1 ) (2 )z i i    c. 2010(1 )1izi Giải: a.    0 2 3 1 4 2 1 .z i i         Vậy số phức đã cho có phần thực là − 1, phần ảo là − 1. b. Kết quả: 2 + 10i c. 2010 10051004 1004 1004(1 ) (2 ) (1 )2 (1 ) 2 21 2i i iz i i ii        Bài 2: a. Tìm phần thực, phần ảo của số phức    2 – 4 – 3 – 2i i i b. (TN – 2010) Cho hai số phức:1 21 2 , 2 3z i z i    . Xác định phần thực và phần ảo của số phức1 22z z . c. (TN – 2010) Cho hai số phức:1 22 5 , 3 4z i z i    . Xác định phần thực và phần ảo của số phức1 2.z z . d. Cho số phức z thỏa mãn 12zizz  . Tìm số phức liên hợp của z Giải: a. Ta có:              2 – 4 – 3 – 2 0 2 1 4 3 2 2 – 3 3 2 1–i i i i i i i              Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1. b. Phần thực – 3 ; Phần ảo 8 c. Phần thực 26 ; Phần ảo 7 d. Theo giả thiết   2 2222 22 21122 1 411a baba b aba b         . 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2z i z iz i z i                Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo của số phức a.    3 31 2i i   b.        2 3 201 1 1 1 1z i i i i         c.  20091 i Giải: a. Ta có:         3 3 22 333 31 1 3 1 3 1 2 22 2 8i i i i ii i i              www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 8    3 31 2 2 10i i i      Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10. b. Ta có2120(1 ) 11 (1 ) . (1 )iP i ii        1021 2 10 10(1 ) (1 ) .(1 ) (2 ) (1 ) 2 (1 )i i i i i i            1010 102 (1 ) 12 2 1iP ii       Vậy: phần thực 102 , phần ảo: 102 1 c. Ta có     10042009 21004 1004 1004 10041 1 (1 ) ( 2 ) (1 ) 2 (1 ) 2 2i i i i i i i           Vậy phần thực của số phức trên là 10042 và ảo là 10042 Bài 4: (ĐH – A 2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết    22 1 2z i i   Giải: Ta có:       222 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 4 5 2z i i i i i i i i            5 2z i   Phần ảo của số phức z bằng 2. Bài 5: (CD – 2010) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện      22 3 4 1 3i z i z i      . Tìm phần thực và phần ảo của z. Giải: Gọi z a bi  ,a R b R z a bi   Đẳng thức đã cho trở thành        22 3 4 1 1 3 6 4 2( ) 8 6i a bi a bi i a b a b i i              (coi đây là một phươn trình bậc nhất theo i) Đồng nhất theo i hệ số hai vế ta được 6 4 8 22 2 6 5a b aa b b          Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2 , phần ảo là 5 Bài 5: (CD – A 2009) Cho số phức z thỏa mãn      21 2 8 1 2i i z i i z      . Tìm phần thực và phần ảo của z. Giải: Ta có:      21 2 8 1 2i i z i i z             21 2 1 2 8 2 2 1 2 8z i i i i z i i i i                   8 1 28 8 15 2 10 152 32 1 5 5 5i ii i iz ii           Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3 Bài 8: Tìm phần thực của số phức 1nz i  , biết rằng n  N thỏa mãn phương trình www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 9    4 4log – 3 log 9 3n n   Giải: Điều kiện: 3n Nn Phương trình       4 4 4log – 3 log 9 3 log – 3 9 3n n n n       (n – 3)(n + 9) = 43  n2 + 6n – 91 = 0 713nn  Vậy n = 7. Khi đó          37 231 1 1 . 1 1 .(2 ) (1 ).( 8 ) 8 8nz i i i i i i i i i                Vậy phần thực của số phức z là 8. Loại 2: Biếu diễn hình học của số phức Phương pháp: - Sử dụng điểm  ;M a b biếu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy Chú ý: Với câu hỏi ngược lại “ Xác định số phức được biểu diễn bởi điểm  ;M a b ” khi đó ta có z a bi  … đang cập nhật Loại 3: Tính modun của số phức Phương pháp: Biến đổi số phức về dạng z a bi , suy ra modun là 2 2z a b  Bài 1: a. Tìm môđun của số phức 31 4 (1 )z i i    b. (ĐH – A 2010) Cho số phức z thỏa mãn 2(1 3 )1izi. Tìm môđun của số phức z iz c. Cho số phức z thỏa mãn 11 81 2.1 1i ii zi i           . Tìm môđun của số phúcw z iz . d. Tính mô đun của số phức:  31 4 1–Z i i   Giải: a. Vì 3 3 2 3(1 ) 1 3 3 1 3 3 2 2i i i i i i i            . Suy ra : 3 2 21 4 (1 ) 1 2 ( 1) 2 5z i i i z            b. 3(1 3i)z1 i . Cách 1: (dành cho ban cơ bản) Ta có      3 23 2 31 3 1 3.1 3 3.1. 3 3 3 8i i i i         (thoả mãn) (không thoả mãn) www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 10 Do đó  8 184 4 4 41 2iz i z ii          4 4 4 4 8 8z iz i i i i           Vậy 8 2.z iz  Cách 2: (Dành cho ban nâng cao) Biếu diễn dưới dạng lượng giác Ta có  3(1 3 ) 2 cos sin (1 3 ) 8 cos( ) sin( ) 83 3i i i i                           8 8(1 )4 41 2iz ii        z iz 4 4i i( 4 4i) 8(1 i) z iz 8 2              c. Ta có    118211 81 2 11 2. .1 1 2 2i i ii ii z i zi i                          11 81 16 1 16 1 16iz i i i z i z i              Do đó  1 16 1 16 17 17w z iz i i i i           Vậy2 217 17 17 2w    d.  32 3 1 4 1– 1 4 1 3 3 1 2Z i i i i i i i           221 2 5Z     Bài 2: Tìm mô đun của số phức (1 )(2 )1 2i izi  Giải: Ta có : 5 115 5iz i   Vậy, mô đun của z bằng: 21 2615 5z      Loại 4: Tìm số đối của số phức z Phương pháp: Biến đổi số phức về dạng z a bi , suy ra số đối z a bi   …đang cập nhật Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z Phương pháp: Biến đổi số phức về dạng z a bi , suy ra số phức liên hợp là z a bi  Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình 2z z , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z . www.VNMATH.com [...]... 498 2 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 1. Một số phức là một biểu thức có dạng a bi , trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn 2 1i   . Ký hiệu số phức đó là z và viết z a bi  (dạng đại số) i được gọi là đơn vị ảo a được gọi là phần thực. Ký hiệu   Re z a b được gọi là phần ảo của số phức z a bi  , ký hiệu   Im z b Tập hợp các số phức ký hiệu... phức ký hiệu là C. Chú ý: - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. - Số phức z a bi  có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. - Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z a bi  và ’ ’ ’z a b i  . ' ’ ' a a z z b b        3. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b)... mơ đun của số phức (1 )(2 ) 1 2 i i z i     Giải: Ta có : 5 1 1 5 5 i z i     Vậy, mô đun của z bằng: 2 1 26 1 5 5 z          Loại 4: Tìm số đối của số phức z Phương pháp: Biến đổi số phức về dạng z a bi  , suy ra số đối z a bi   …đang cập nhật Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z Phương pháp: Biến đổi số phức về dạng z a bi  , suy ra số phức liên...  6. Số phức liên hợp. Cho số phức z a bi  . Số phức – z a bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. Vậy z a bi a bi    Chú ý: 1) z z  z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 2) z. z = a 2 + b 2 - Tính chất của số phức liên hợp: (1): z z (2): ' 'z z z z   (3): . ' . 'z z z z (4): z. z = 2 2 a b ( z a bi  ) 7. Môđun của số phức. www.VNMATH.com ... 1 z a z   .Tìm số phức có module lớn nhất , module nhỏ nhất Đáp số: Các số phức cần tìm là : 2 ( 4) 2 i z a a   và 2 ( 4) 2 i z a a   Bài 9: a. Trong các số z thoả mãn : 2 2 2 1z i   hãy tìm số z có moidule nhỏ nhất b. Trong các số z thoả mãn : 5 3z i  hãy tìm số z có acgumen dương nhỏ nhất Bài 10: Tìm số phức z thỏa mãn : 2 1 8z z i    Bài 11: Tìm số phức z thỏa mãn đồng... f. 1 Bài 3: Cho ba số phức x, y, z cùng có modun bằng 1. So sánh modun của các số x y z và xy yz zx    Đs: x y z xy yz zx     Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z Bài 1: Tìm số phức nghịch đảo của số phức z biết a. 3 4z i  b. 3 2z i   Đs: a. 1 3 4 25 25 i z   b. 1 3 2 13 13 i z   Loại 6: Sự bàng nhau của hai số phưc Bài 1: Tìm hai số thực x, y thỏa mãn... một số phức là z a bi  . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z a bi  và ’ ’ ’z a b i  . Ta định nghĩa: ' ( ') ( ') ' ( ') ( ') z z a a b b i z z a a b b i              5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z a bi  và ’ ’ ’z a b i  . Ta định nghĩa: ' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i    6. Số. .. biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y x  ; b. Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol 2 y x   ; c. Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất. Bài 2: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức 4 2 6 ; (1 )(1 2 ); 1 3 i i i i i i      . a. Chứng minh ABC là tam giác vng cân; b. Tìm số phức biểu diễn... c. a = b = 0 Dạng 3: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn 2 2 1z i   . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z Đáp số: max 4 2 4 2 2 2 1 2 2 z z i        ; min 4 2 4 2 2 2 1 2 2 z z i        Bài 2: Cho hai số phức 1 2 ,z z thỏa mãn 1 3z  ; 2 3z  ; 1 2 37z z  . Tìm số phức 1 2 z z z  Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: 20 1 3z... a. 1 và 0 Loại 2: Viết số phức dưới dạng đại số Bài 1: Viết các số phức dưới dạng đại số a.         3 3 2 2 1 2 1 3 2 2 i i z i i        b.    5 1 2 3 i z i i     b. 10 3 2z i i  d. 2007 2008 z i i  Đs: a. 44 5 318 318 z i  b. 12 5 3 13 z i  c. 2z i   d. 1z i  Loại 3: Hãy biểu diễn số phức z Bài 1: Cho số phức   3 , z m m i m R  . 013 498 2 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 1. Một số phức là một biểu thức có dạng a bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả . các số phức ký hiệu là C. Chú ý: - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. - Số phức z a bi  có a = 0 được gọi là số thuần