Chuyên đề đại số, số phức tổng hợp

Chuyên đề đại số, số phức tổng hợp

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 1 Chuyên đề SỐ PHỨCĐẠI SỐ TỔ HỢP I. SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ) II. Dạng lượng giác của số phức  cos sinz r i (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b  R, z  0) * 22r a b là môđun của z. *  là một acgumen của z thỏa cossinarbr 1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu  cos sinz r i,  ' ' cos ' sin 'z r ithì: *    . ' . ' cos ' sin 'z z r r i       *    cos ' sin '''zrizr       2. Công thức Moivre: *nN thì    cos sin cos sinnnr i r n i n      3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Căn bậc hai của số phức  cos sinz r i (r > 0) là cos sin22ri và cos sin22ri B. BÀI TẬP 1. (ĐH_Khối A 2009) Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức 2221zzA . ĐS: A=20 2. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 22 4 11 0zz  . Tính giá trị của biểu thức  2212212zzAzz. ĐS: A=11/4 3. (CĐ_Khối A 2009) a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z. b. Giải phương trình sau trên tập số phức: iziziz2734. ĐS: a. a=2, b=3 b. z=1+2i, z=3+i 4. Tìm số phức z thoả mãn: 22zi  . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. ĐS:    2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i       . 5. (ĐH_Khối B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn  102  iz và 25. zz. ĐS: z=3+4i hoặc z=5 6. Tìm số phức z thỏa mãn:   111312zzizizi. HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 2 ĐS: z=1+i. 7. Giải phương trình: 41zizi. ĐS: z{0;1;1} 8. Giải phương trình: 20zz. HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z{0;i;i} 9. Giải phương trình: 20zz. HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z=0, z=1, 1322zi 10. Giải phương trình: 243 1 02zz z z    . HD: Chia hai vế phương trình cho z2. ĐS: z=1±i, 1122zi  . 11. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung ĐS:1 3 1 31, ,2 2 2 2z z i z i      . 12. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. 13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: a.  = 25i b.  = 2i3 c.  = 3 - 2i 14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0. 15. (ĐH_Khối D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện  243  iz. ĐS: (x3)2+(y+4)2=4 16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 22z i z z i   . ĐS: 24xy . 17. Trong các số phức thỏa mãn 3232zi  . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. HD: *Gọi z=x+yi. 3232zi   …    229234xy   . * Vẽ hình |z|min z. ĐS: 26 3 13 78 9 1313 26zi. 18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: a.  109(1 i)3i. b.  75cos sin 1 333i i i. HD: Sử dụng công thức Moivre. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 3 ĐS: a. Phần thực 116, phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. 19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20. HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1. II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT 1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1, n≥0. 2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:  !!knnAkn, n≥k>0. 3. Số tổ hợp chập k của n phần tử:  !!!knknCkn, n≥k≥0. 4. Quy ước n!=0!=1. 5. Nhị thức Newton  nnnnnnnnnnnnnnnnbCabCbaCbaCbaCaCba  11222222110. Công thức số hạng tổng quát: kknknkbaCT1, 0≤k≤n. B. BÀI TẬP 1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18512xx, (x>0). ĐS: 6528 2. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7431xx với x>0. ĐS: 35 3. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của nxx531, biết rằng  37314nCCnnnn, (n nguyên dương, x>0, (knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495 4. (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức  !13341nAAMnn, biết rằng 1492224232221 nnnnCCCC (n là số nguyên dương, knA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và knC là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS: 43M 5. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của nxx741, biết rằng 122012212112nnnnCCC , (n nguyên dương và knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 210 6. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 20481223212nnnnCCC . (knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=6 7. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 4 ĐS: 3320 8. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. ĐS: n=5 9. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 22 4 2 243nnn n n nC C C C    . ĐS: n=5 10. (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng knknknCCCnn 11121111 (n, k là các số nguyên dương, k≤n, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 11. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: 3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 22 12. (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất. ĐS: k=9 13. (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng nnnnnnCnCCC112312212123120, (knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 12311nnn 14. (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An, tìm n. ĐS: n=8 15. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức 40962210nnaaa . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an. ĐS: a8=126720 16. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng 21 3 5 2 12 2 2 21 1 1 1 2 12 4 6 2 2 1nnn n n nC C C Cnn    , (knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 17. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho  20052.122.42.32.21212241233122212112nnnnnnnCnCCCC , (knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 18. (ĐH_Khối A 2004) Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 5 Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. ĐS: 238 19. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức nxnnnxxnnxnxnnxnnxxCCCC3132113121121032122222222  (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 135nnCC  và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. ĐS: n=7, x=4 20. Cho số phức z=1+i. a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n. b. Tính các tổng S1=1Cn2+Cn4Cn6+… S2=Cn1Cn3+Cn5… 21. Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100=–250. o0o . Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 1 Chuyên đề SỐ PHỨCĐẠI SỐ TỔ HỢP I. SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ) II. Dạng lượng giác của số. 20052.122.42.32.21212241233122212112nnnnnnnCnCCCC , (knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 18. (ĐH_Khối A 2004) Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 5 Tìm hệ số của x8 trong khai