Tích phân tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế, kinh doan...
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa 2 22 ,a bx ta có thể tìm cách giải theo một trong hai hướng sau: • Hướng thứ nhất. Đặt sin ; ; 22 a x tt b lúc đó cos , a dx tdt b 2 22 cos .a bx a t • Hướng thứ hai. Đặt 2 22 .t a bx Thí dụ 1. (Đổi biến số theo sin t ) Tính 1 22 0 4 3. Ix x Lời giải. Đặt 2 sin ; 3 xt ; 22 t thì 2 cos ; 3 dx tdt 22 4 3 4 4 sin 2 co s ;x tt 0 0;xt 1. 3 xt Lúc đó 3 33 22 2 0 00 4 4 2 21 4 sin . os sin 2 (1 cos 4 ) sin 4 3 4 33 33 33 33 0 I t c tdt tdt t dt t t Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng 2 22 1 () ; () n fx a bx 1, 2, n thì để lấy tích phân hàm ()fx ta đặt . tan ; a xt b ;. 22 t Thí dụ 2. (Đổi biến số theo tan t ) Tính 1 22 0 . (1 3 ) dx I x Lời giải. Đặt 1 tan , 3 xt ; 22 t thì 2 1 (1 tan ) ; 3 dx t dt 22 1 3 1 tan .xt 0 0;xt 1. 3 xt Ta có 3 33 2 2 0 00 1 1 1 11 cos (1 cos 2 ) ( sin 2 ) . 3 2 1 tan 3 3 23 23 0 dt I tdt t dt t t t Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng , x ae b ta có thể tìm cách giải theo hướng đặt . x t ae b Thí dụ 3. Tính ln 12 ln 4 3. x I e dx Lời giải. Đặt 2 3 3; xx t e et 2 22 2; 3 x x tdt tdt e dx tdt dx et ln 4 1; ln 12 3.x tx t 3 33 2 1 22 1 11 21 2 6 4 6. 33 t dt I dt dt I tt Tính 3 1 2 1 . 3 dt I t (Đặt 3 tan ;tu ;. 22 u Nếu tích phân có dạng , , , , mr ns ax b ax b R x dx cx d cx d trong đó , , , ,mn rs là các số nguyên dương và ,,,abcd là các hằng số, ta đặt , k ax b t cx d với k là bội chung nhỏ nhất của các mẫu số , , .ns Thí dụ 4. Tính tích phân 0 3 1 11 . 11 x I dx x Lời giải. Để ý rằng BCNN (2,3) = 6. Đặt 6 1tx thì 5 6.dx t dt Khi 1, 0.xt Khi 0, 1.xt Vậy 11 58 6432 22 00 1 66 1 11 tt t I dt t t t t t dt tt 11 1 75432 2 2 22 2 00 0 11 ( 1) 199 199 3 6 3 6 3 ln( 1) 6 3 ln 2 . 00 7 5 4 3 2 70 70 2 11 1 t t t t t d t dt dt tt tt t Nếu tích phân có dạng 2 (, ) ,R x ax bx c dx trong đó ,,abc là các hằng số, 0a thì có thể giải theo một trong hai hướng sau • Hướng thứ nhất. (Lượng giác hóa). Xét tam thức: 2 2 2 2 4 . 2 4 b b ac ax bx c a x a a Đặt 2 b tx a thì .dt dx Tùy theo dấu của biệt thức mà ta có thể đưa dấu tích phân trên về một trong ba tích phân sau 22 1 ,;R t t dt 22 2 ,;R t t dt 22 3 ,.R t t dt Để tính các tích phân này ta thường đặt các biến phụ tương ứng tan ,tu sin ,tu . cos t u • Hướng thứ hai. (Hữu tỉ hóa). Sử dụng các phép biến đổi Euler. Cụ thể là *) Với 0a thì đặt 2 .ax bx c t ax *) Với 0c thì đặt 2 .ax bx c tx c Nếu 2 ax bx c có nghiệm 1 x và 2 x thì đặt 2 1 ()ax bx c t x x hoặc 2 2 ( ).ax bx c t x x Thí dụ 5. Tính tích phân 3 2 1 . 25 dx I xx Lời giải. Đặt 2 1 ( 1) 4tx x thì 2 22 1 1. ( 1) 4 ( 1) 4 ( 1) 4 x tdx dx dt dt dx t x xx Khi 1, 2( 2 1) ;xt khi 1, 2.xt Từ đó 2 2( 2 1) ln( 2 1). dt I t Lưu ý. 1) Ta cũng có thể đặt 1 2 tan .xt 2) Để tính tích phân dạng 2 , dx ax bx c ta thường tách bình phương đủ trong tam thức bậc hai rồi đưa về tính các tích phân cơ bản dạng 22 arcsin dx x C a ax hoặc dạng 2 2 ln . dx xx C x Thí dụ 6. Tính tích phân 3 2 0 ( 4) . 45 x dx I xx Lời giải. Ta có 11 1 1 2 22 2 2 00 0 0 ( 2) 1 ( 4 5) 3 10 2 2 10 5 2 ln . 2 25 45 45 45 (2)1 x dx dx d x x dx I xx xx xx x Lưu ý. Để tính tích phân 2 ()mx n dx I ax bx c ta biến đổi tích phân đó về dạng 22 (2 ) . 22 m ax b dx mb dx In aa ax bx c ax bx c Thí dụ 7. Tính tích phân 1 2 2 1 2 . (2 3) 4 12 5 dx I x xx Lời giải. Ta có 1 2 2 1 2 1 (2 3) . 2 (2 3) (2 3) 4 dx I xx Đặt 1 23x t thì 2 (2 3) . dt dx t Khi 11 ,. 22 xt Khi 11 ,. 24 xt Lúc đó 11 42 2 11 2 24 11 . 22 1 14 4 dt dt I t t t Đặt 1 sin , ; 2 62 t uu thì 1 cos . 2 dt udu Khi 1 ,. 46 tu Khi 1 ,. 22 tu Từ đó 22 66 1 cos 1 . 4 cos 4 12 udu I du u Lưu ý. Với tích phân dạng 22 2 ( ) 0, () dx am n mx n ax bx c ngoài cách giải chung bằng phép đặt thế lượng giác, ta còn có thể giải bằng phép thế đại số: Đặt 2 ;t a x bx c hoặc 2 1 ;ax bx c t hoặc ;t mx n hoặc 1 .mx n t Thí dụ 8. Tính tích phân 1 2 0 16 3 .I x x dx Lời giải. Ta có 1 2 0 4 3( 1) .I x dx Đặt 2 1 sin , 3 xt ; 22 t thì 2 cos . 3 dx tdt Khi 0, . 3 xt Khi 1, 0.xt Ta có 00 2 33 4 2 21 cos (1 cos 2 ) . 2 3 3 33 I tdt t dt (A-2003) 23 2 5 . 4 dx I xx (A-2004) 2 1 . 11 x I dx x (A-2005) 2 0 sin 2 sin . 1 3 cos xx I dx x (A-2006) 2 22 0 sin 2 . cos 4 sin x I dx xx (A-2008) 2 4 0 tan . cos 2 x I dx x (A-2009) 2 32 0 (cos 1)cos .I x xdx (A-2010) 1 22 0 2 . 12 xx x x e xe I dx e (A-2011) 4 0 sin ( 1)cos . sin cos xxx x I dx xx x B-2003) 4 2 0 1 2 sin . 1 sin 2 x I dx x (B-2004) 1 1 3 ln .ln . e xx I dx x (B-2005) 2 0 sin 2 . cos . 1 cos xx I dx x (B-2006) ln 5 ln 3 . 23 xx dx I ee (B-2008) 4 0 sin 4 . sin 2 2(1 sin cos ) x dx I x xx (B-2010) 2 1 ln . (2 ln ) e x I dx xx (B-2011) 3 2 0 1 sin . cos xx I dx x (D-2005) 2 sin 0 cos cos . x I e x xdx (D-2009) 3 1 . 1 x dx I e (D-2011) 4 0 41 . 2 12 x I dx x II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng ().()px f x trong đó ()px là một đa thức, ()fx là một hàm lượng giác thì cách giải chung là đặt () () . () () du p x dx u px dv f x dx v f x dx Thí dụ 9. Tính 2 0 sin cos 2 .I x x xdx Lời giải. 2 0 1 (sin 3 sin ) . 2 I x x x dx Đặt 2 2 1 (sin 3 sin ) cos 3 cos 3 dx x du u dv x x dx v xx 2 0 1 11 1 1 5 cos 3 cos cos 3 cos 0 sin 3 sin . 22 2 3 2 3 18 2 9 00 x I xx xxdx x x Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng ( ). ( ) x px f e trong đó ()px là một đa thức thì cách giải chung là đặt ()px là một đa thức thì cách giải chung là đặt () () . () () x x du p x dx u px dv f e dx v f e dx Thí dụ 10. Tính 1 0 (2 1) . x I x e dx Lời giải. Đặt 21 2 . xx u x du dx dv e dx v e 1 0 11 (2 1) 2 1 2 3. 00 xx x I x e e dx e e e Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng ( ). ln( ( ))px f x trong đó ()px là một đa thức hoặc hàm số lượng giác, thì cách giải chung là Đặt () ln( ( )) () . () () fx du dx u fx fx dv p x dx v p x dx Thí dụ 6. Tính 1 2 0 ln( 1) . ( 2) x dx I x 2 ln( 1) 1 . 1 ( 2) 2 dx ux du x dx dv v x x 1 1 0 1 11 ln( 1) ln 2 . 0 2 ( 1)( 2) 3 dx Ix I x xx Với 1 11 1 0 00 1 14 ln ln . 0 ( 1)( 2) 1 2 2 3 dx dx dx x I xx x x x (B-2009) 3 2 1 3 ln . ( 1) x I dx x (D-2004) 3 2 2 ln( ) .I x x dx (D-2006) 1 2 0 ( 2) . x I x e dx (D-2007) 32 1 ln . e I x xdx (D-2008) 2 3 1 ln . x I dx x (D-2010) 1 3 2 ln . e I x xdx x III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH (A-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 4 3 , 3.y x x yx=−+ =+ 109 6 (A-2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( 1) ,ye x= + (1 ) . x y ex= + (B-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 4 4 x y và 2 . 42 x y (B-2007) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: ln ,y xx 0,y .xe Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H xung quanh trục .Ox (D-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 (2 1) 1 m xm y x và hai trục tọa độ. 1) 2 0 . 1 sin 2 xdx x 2) ln 8 ln 3 . 1 x x xe dx e 3) l 2 0 . 1 dx xx 4) 22 2 3 . 1 dx xx 5) (D-2003) 2 2 0 .I x x dx . mà ta có thể đưa dấu tích phân trên về một trong ba tích phân sau 22 1 ,;R t t dt 22 2 ,;R t t dt 22 3 ,.R t t dt Để tính các tích phân này ta thường đặt các. tính tích phân 2 ()mx n dx I ax bx c ta biến đổi tích phân đó về dạng 22 (2 ) . 22 m ax b dx mb dx In aa ax bx c ax bx c Thí dụ 7. Tính tích phân. III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH (A-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 4 3 , 3.y x x yx=−+ =+ 109 6 (A-2007) Tính diện tích hình phẳng