Vai trò của Toán học đối với sự phát triển của Triết học

Giới thiệuNếu triết học nghiên cứu về sự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì toán học nghiên cứu về những đối tượng và các tính chất bất biến của nó.. Nếu triết học nghiê

MỤC LỤC

I Giới thiệu 2

II Mối liên hệ giữa triết học và toán học 2

1 Tác động của triết học đến sự phát triển của toán học 2

2 Triết học là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận của toán học 3

2.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến 3

2.2 Nguyên lý về sự phát triển 3

2.3 Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập 4

2.4 Quy luật phủ định c ủa phủ định 4

2.5 Cặp phạm trù bản chất - hiện tượng 5

2.6 Cặp phạm trù lý luận – thực tiễn 6

3 Vai trò của Toán học đối với sự phát triển của Triết học 7

3.1 Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học 7

3.2 Vai trò của toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật 8

3.3 Toán học thúc đẩy triết học tiến lên 10

III Kết Luận 11

IV Tài Liệu Tham Khảo 11

I Giới thiệu

Nếu triết học nghiên cứu về sự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì toán học nghiên cứu về những đối tượng và các tính chất bất biến của nó

Điều đó cho thấy rằng toán học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau

“Vật chất dùng để chỉ thực tại khách quan được đem lại cho con người trong cảm giác, được cảm giác của chúng ta chép lại, chụp lại, phản ánh và tồn tại không lệ thuộc vào cảm giác” Các đối tượng toán học đều có đặc điểm như vậy

Thế giới toán học như thể một thế giới vật chất thu nhỏ mà trong có các đối tượng toán học như thể vật chất, còn các tính chất trong toán học như thể các hiện tượng Nếu triết học nghiên cứu về sự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì toán học nghiên cứu về những đối tượng và các tính chất bất biến của nó Với mục đích làm sáng tỏ thêm mối quan hệ giữa toán học và triết học, rút ra phương pháp luận để áp dụng trong việc học tập và nghiên cứu hiện nay là vấn đề thiết thực mà chúng ta cần thiết phải thực hiện

II Mối liên hệ giữa triết học và toán học

1 Tác động của triết học đến sự phát triển của toán học

Sự hình thành, phát triển của triết học không thể tách rời sự hình thành, phát triển

của khoa học cụ thể Einstein đã nhận xét: “Cái khái quát của triết học cần phải dựa trên các kết quả khoa học Tuy nhiên, mỗi khi đã xuất hiện và được truyền

bá rộng rãi, chúng thường ảnh hưởng đến sự phát triển của tư tưởng khoa học khi chúng chỉ ra rất nhiều phương hướng phát triển có thể có”

Thật vậy, triết học đã tác động tích cực đến sự phát triển của toán học, trước hết

nó dẫn đến một số khuynh hướng toán học Chẳng hạn, những tư tưởng triết học

từ lâu đã khẳng định tính phức tạp trong giới tự nhiên Điều này dẫn đến toán học sau này có khuynh hướng đi sâu vào nghiên cứu hệ thống phức tạp đó Đặc biệt

kể từ giai đoạn toán học hiện đại với tư tưởng về cấu trúc và sự phát triển của xác suất thống kê, người ta càng thấy rõ những lĩnh vực trong đó không thể khẳng định “đúng, sai” mà chỉ có thể nói đến một xác suất đúng hay sai nào đó

xạ, hệ nhị phân mà hầu như mọi sự vật đều có những tọa độ diễn tả ra bằng những dãy 0 và 1 Đó là lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu về các tập hợp mờ tức là những tập hợp không có ranh giới rõ rệt vì không thể khẳng định được một phần tử nào đó là thuộc tập hợp hay không mà chỉ có thể nói đến một xác suất p

để phần tử thuộc tập hợp

2 Triết học là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận của toán học

2.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến

Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến giúp cho các nhà toán học thấy rõ mối liên hệ, tác động qua lại của tất cả các khái niệm, định lý, công thức toán học Chúng không tồn tại một cách độc lập mà liên hệ chặt chẽ, thống nhất, bổ sung cho nhau

Toán học càng phát triển, tất cả các chuyên ngành của toán học càng gắn bó khăng khít, liên thông với nhau đến mức thật khó phân biệt ranh giới giữa chúng

Ví dụ như sự xuất hiện ngành tôpô đại số - hình học, hình học vi phân là sự liên thông của hình học với các ngành giải tích, đại số…

Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến đòi hỏi chúng ta phải có một quan điểm toàn diện khi nghiên cứu toán học Khi xét một bài toán có thể dùng tất cả các phương pháp của đại số, hình học, lượng giác trong mối liên hệ thống nhất để tìm ra lời giải tổng hợp…

2.2 Nguyên lý về sự phát triển

Nguyên lý về sự phát triển cho chúng ta thấy rằng sự phát triển một lý thuyết toán học hay cả lĩnh vực toán học nói chung là một tiến trình khách quan, không phụ thuộc ý muốn cá nhân nào Đó là quá trình giải quyết những mâu thuẫn nảy sinh trong bản thân nội bộ toán học và giải quyết những nhu cầu của thực tiễn Nguyên lý về sự phát triển đòi hỏi chúng ta phải có quan điểm lịch sử cụ thể trước các vấn đề toán học Chẳng hạn, nhiều học sinh sau khi được đọc nội dung

và cách chứng minh định lý Pythagore, định lý về tổng ba góc trong của một tam giác thì thấy quá đơn giản và coi thường nó

2.3 Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập

Mâu thuẫn giữa lý luận toán học và thực tiễn cuộc sống là động lực thúc đẩy toán học phát triển để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống Ví dụ, nhu cầu phân chia lại ruộng đất sau mỗi trận lũ của sông Nil (Ai Cập) đã thúc đẩy hình học phát triển; nhu cầu so sánh các tập hợp như tập hợp người lao động với tập hợp các công cụ lao động đã làm nảy sinh ra phép đếm …

Trong một số trường hợp, động lực thúc đẩy cho lý luận toán học phát triển là mâu thuẫn trong nội bộ lý luận Cụ thể như sự ra đời của hình học Lobasepxki xuất phát từ băn khoăn của Lobasepxki về việc tại sao loài người trải qua hơn

2000 năm đeo đuổi việc chứng minh tiên đề V của Euclide mà vẫn thất bại nên

ông có nghi vấn: “Hay là tiên đề Euclide không phải là hệ quả logic của các tiên

đề khác?” Nghiên cứu của ông trước hết là nhằm sáng tỏ nghi vấn trên

Như vậy, quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập được coi là hạt nhân của phép biện chứng Nó vạch rõ nguồn gốc, động lực của sự phát triển toán học

2.4 Quy luật phủ định của phủ định

Đây là quy luật phát triển vô cùng phổ biến của tự nhiên, lịch sử và tư duy Nó vạch ra xu hướng tất yếu đi lên của mọi sự vận động, phát triển cũng như vạch ra

xu hướng phát triển toán học

Engen đã đánh giá tầm quan trọng của quy luật phủ định của phủ định đối với

khoa học tự nhiên: “Vậy phủ định của phủ định là cái gì? Là quy luật phát triển của tự nhiên, của lịch sử và của tư duy vô cùng phổ biến và chính vì vậy mà có một tầm quan trọng và một ý nghĩa vô cùng lớn, một quy luật có giá trị đối với động vật và thực vật, đối với địa chất học, toán học, lịch sử…”

Engen đã mô tả quy luật phủ định của phủ định trong toán học: “Hãy lấy một số đại số nào đó, ví dụ a chẳng hạn, phủ định nó đi thì ta có a Phủ định cái phủ định này đi bằng cách nhân a với a thì ta sẽ có a , tức là số dương như trước 2 nhưng ở bậc cao hơn, ở lũy thừa bậc hai Bởi vì cái phủ định bị phủ định đã gắn

rất chặt trong a khiến cho 2 a trong mọi trường hợp đều có 2 số căn bậc hai tức 2

là a và a và việc không thể gạt bỏ cái phủ định bị phủ định, không thể gạt bỏ

số căn âm chứa trong bình phương ấy có một ý nghĩa rất rõ rệt trong các phương trình bậc hai”

Quy luật phủ định của phủ định chỉ rõ xu hướng phát triển của toán học Toán học trải qua những lần phủ định liên tiếp trong đó quá trình phủ định biện chứng xảy ra khách quan trên cơ sở kế thừa những nền toán học đã có từ trước và những phát minh toán học ra đời không phải là sự phủ định sạch trơn mà trên cơ sở những phát minh, những kết quả đã có từ lâu của các nhà toán học tiền bối

2.5 Cặp phạm trù bản chất - hiện tượng

Bản chất là phần cơ bản nhất, sâu xa nhất, bền vững nhất trong nội dung Bản chất có ý nghĩa quyết định đối với sự vật nghĩa là bản chất không còn thì sự vật không còn là nó nữa mà thành một sự vật khác

Ví dụ khi nói về nội dung của hình học thì những tính từ đi theo hai chữ “hình học” như “Ơclit”, “Lobasepki” nói lên bản chất của hình học mà ta đang đề cập đến Cái làm nên bản chất đó là tiên đề Ơclit hay là tiên đề Lobasepki Nếu bỏ tiên đề Ơclit đi thì hình học Ơclit ko còn nữa

Theo quan điểm triết học, bản chất là tổng hợp những mặt, những mối liên hệ tất nhiên, tương đối ổn định bên trong sự vật, quy định sự vận động và phát triển của

sự vật còn hiện tượng là biểu hiện ra bên ngoài của bản chất Sự thống nhất giữa bản chất và hiện tượng còn thể hiện ở chỗ bản chất và hiện tượng về căn bản là phù hợp với nhau Như vậy, quan điểm đúng đắn này cũng được thể hiện rõ trong toán học

Về mặt phương pháp luận, cặp phạm trù này cho chúng ta nhận thức rằng, muốn nhận thức bản chất các khái niệm, định lý trong toán học phải xuất phát từ các hiện tượng, phân tích, tổng hợp sự biến đổi của nhiếu hiện tượng, nhất là hiện tượng điển hình Tuy vậy, không thể dựa hoàn toàn các hiện tượng mà kết luận

về bản chất của sự vật Không thể dựa vào một mệnh đề đúng với n  1, 2, 3

thậm chí đến n  1000 mà quy nạp mệnh đề đúng  n, không thể thử một vài giá trị và thấy hàm số gần số 0 mà kết luận hàm số có giới hạn là 0

2.6 Cặp phạm trù lý luận – thực tiễn

Lịch sử toán học cho chúng ta thấy rằng mâu thuẫn giữa lý luận và thực tiễn là động lực cơ bản của sự phát triển toán học

Trong giai đoạn đầu, do nhu cầu sản xuất và thực tiễn đời sống mà toán học đã khai sinh với tính cách là toán học kinh nghiệm: nhu cầu đo đạc lại đất đai sau mỗi trận lụt, tính diện tích, thể tích các hình làm nảy sinh ra hình học; nhu cầu cân, đong, đo, đếm, so sánh, ước lượng nảy sinh các số tự nhiên rồi phân số Trong đại số xuất hiện các phương trình tìm ẩn số Điều này lại làm xuất hiện mâu thuẫn: sự bất lực trước các phương trình 2

x 2 0, x   đòi hỏi bổ sung

số âm, số vô tỉ rồi số thực ra đời …Toán học bước lên trình độ lý luận mới Nhu cầu nghiên cứu những lĩnh vực không thể khẳng định “đúng, sai” làm toán học mờ ra đời Những bài toán cực trị trong cuộc sống không thể giải quyết bằng toán học liên tục hình thành lĩnh vực “toán học rời rạc” Xuất phát từ thực tế không thể tính chính xác, ngành “toán học tính toán” ra đời

Như vậy là, mặc dù sự trừu tượng hóa trong toán học diễn ra rất cao nhưng không vì thế mà toán học xa rời thực tiễn Trong quá trình thỏa mãn nhu cầu của thực tiễn, toán học có thể sáng tạo ra những khái niệm, công cụ không phản ánh trực tiếp thế giới khách quan nhưng điều đó chỉ để toán học tiến lên phía trước đáp ứng nhu cầu đặt ra

Với vai trò là thế giới quan và phương pháp luận chung nhất cho các khoa học trong đó có toán học, triết học đã đi trước toán học trên nhiều lĩnh vực và bằng những tư tưởng chỉ đạo đúng đắn, bằng những dự kiến thiên tài, triết học đã không ngừng vạch đường cho toán học tiến lên và giúp cho toán học phương hướng và công cụ nhận thức để khắc phục những khó khăn, trở ngại vấp phải trên đường đi của mình, thay vì phải tự tìm đường đi một cách mò mẫm, không tự giác

3 Vai trò của Toán học đối với sự phát triển của Triết học

3.1 Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học

Ngày nay, chúng ta đã có đầy đủ căn cứ để khẳng định rằng, các ký hiệu toán học không những chỉ là phương tiện thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa học nói chung và toán học nói riêng, mà chúng còn có một giá trị nhận thức luận to lớn

Sở dĩ các ký hiệu toán học có vai trò quan trọng như vậy là do nội dung khách quan của chúng quy định

Nhiều nhà triết học duy tâm thường khẳng định tư duy của con người không có khả năng đưa ra các chân lý khách quan Từ đó, họ coi toán học chỉ là một hệ thống ký hiệu đã được lựa chọn từ trước một cách thích hợp và căn cứ vào đó để minh chứng cho học thuyết của mình

Bác bỏ quan niệm đó, các nhà triết học duy vật đã dựa vào toàn bộ quá trình phát triển của tri thức khoa học để chỉ ra sai lầm của chủ nghĩa duy tâm về đối tượng của toán học và phân tích một cách đúng đắn nội dung, ý nghĩa của các ký hiệu toán học Theo quan điểm duy vật biện chứng, các ký hiệu toán học, trước hết được sử dụng để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề toán học Chẳng hạn, trong số học các số tự nhiên, các ký hiệu 1,2,3, biểu thị đặc điểm về lượng của nhóm đối tượng chứa một, hai, ba,… đối tượng Các ký hiệu >, = , < biểu diễn những sự tương quan, chẳng hạn 1< 2 (1 bé hơn 2) Đồng thời, người ta còn sử dụng đấu hiệu các phép tính số học như: +, , , : để biểu thị những mối liên hệ

có thể có giữa các số tự nhiên

Như vậy, có thể nói, các ký hiệu toán học cho phép ta ghi lại một cách cô đọng

và dưới dạng dễ nhận thức những mệnh đề rất rườm rà trong ngôn ngữ thông thường Đồng thời, các ký hiệu này còn được sử dụng một cách có hiệu quả trong toán học để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề, mỗi khi chúng phản ánh được những tương quan về lượng và những hình dạng không gian nhất định của thế giới hiện thực Tuy nhiên, không phải lúc nào các ký hiệu toán học cũng có thể biểu diễn một cách ngắn gọn nội dung toán học và các khoa học khác Các ký hiệu toán học sẽ không thực hiện được nhiệm vụ chủ yếu này của chúng, nếu

chúng chỉ là những biểu hiện ngắn gọn của những dạng ngôn ngữ dài dòng hơn Chẳng hạn, việc xây dựng cơ học cổ điển đã diễn ra với việc sử dụng các vectơ

để diễn tả chuyển động

3.2 Vai trò của toán học trong sự hình thành và phát tri ển thế giới quan duy vật

Ở thời kì cổ đại, toán học mới chỉ ở giai đoạn toán học sơ cấp mộc mạc và cùng với nó là triết học duy vật thô sơ, chất phác Những kiến thức toán học mới chỉ là những phát kiến rời rạc, hầu như chưa có hệ thống đang hòa lẫn trong kho tàng các kiến thức triết học Đó là hình học của Euclide, là những kiến thức về đại số (số thực, số phức, cách giải phương trình bậc 3, bậc 4, dùng công cụ logarit để tính toán gần đúng), về số học (số nguyên tố, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, phương trình Diophante), lượng giác Lúc này triết học và toán học gắn bó tới mức khó phân biệt ranh giới giữa chúng Các nhà triết gia cũng đồng thời là các nhà toán học: Thales, Pythagore, Zenon…Những tư tưởng, quan niệm toán học đã ảnh hưởng đến thế giới quan triết học của các ông, dù còn nhiều hạn chế nhưng ít nhiều chứa đựng những quan điểm duy vật biện chứng khá sâu sắc Khi nghiên cứu toán học, Pythagore cho rằng con số là khởi nguyên của thế giới Đối với ông, mọi cái trên thế giới đều là hiện thân của những con số, một vật tương ứng với một con số nhất định Thậm chí linh hồn con người cũng đươc tạo thành từ các con số Chúng đóng vai trò quyết định tính đa dạng của các hiện tượng tự nhiên và đẳng cấp trong xã hội Quan niệm ấy của các ông đã thể hiện lập trường duy tâm khi thần thánh hóa các con số nhưng nó lại có điểm hợp lí ở chỗ nhấn mạnh vai trò quan trọng của các con số và nhận thức toán học Hơn nữa, ông còn có nhiều quan điểm biện chứng sâu sắc về mối quan hệ giữa số chẵn và số lẻ, số hữu hạn và số vô hạn, giữa tính thống nhất và tính nhiều vẻ, vân động và đứng yên

Toán học từ chỗ “toán học kinh nghiệm” tức là mới dừng lại ở đong, đo trực tiếp hoặc ước lượng bằng kinh nghiệm đã tiến lên trình độ lý luận Hình học xuất hiện

lý luận về so sánh hình dựa trên sự so sánh một số đoạn thẳng hay góc nào đó,

quy tắc tính diện tích, thể tích một số hình đơn giản Đại số xuất hiện các công thức, phương trình để tìm các ẩn số theo các số đã biết Tuy những lý luận này mới chỉ han chế ở chỗ phát hiện ra những mối liên hệ có tính quy luật (được phát biểu bằng các định lí, các công thức) trong những sự vật, hiện tượng tĩnh tại, riêng lẻ nhưng đây cũng là bước tiến rất lớn từ cái đơn nhất, ngẫu nhiên lên cái phổ biến, tất nhiên Toán học đã thông qua cơ học và thiên văn học góp phần vào cuộc cách mạng của Copecnic thay hệ địa tâm bằng hệ nhật tâm Sự phát triển của thế giới quan mới gắn liền với cuộc cách mạng mà Copecnic đòi hỏi phải có một nền toán học mang những tư tưởng mới về chất ra đời

Như vậy là, toán học đã có những đóng góp nhất định vào sự hình thành và phát triển một số yếu tố biện chứng, tuy chỉ dừng lại ở việc góp phần hình thành và củng cố thế giới quan duy vật siêu hình máy móc

Toán học cũng đã giáng một đòn mạnh mẽ vào thế giới quan siêu hình “mà điểm trung tâm là quan niệm về tính bất di bất dịch tuyệt đối của tự nhiên” Nó đã tạo

cho các nhà khoa học một phương tiện mới trong nhận thức về các hiện tượng, sự vật Toán học đã góp phần phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn ở thế kỷ XVII, quy luật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII, thuyết tương đối của Einstein cũng là nhờ sự phát triển từ trước của hình học phi Euclide Vậy là, một cách gián tiếp, toán học đã thông qua vật lý học đóng góp vào cuộc cách mạng thế giới quan thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc dựa trên cơ học Newton bằng chủ nghĩa duy vật biện

Như vậy, toán học hiện đại đóng vai trò nền tảng trong quá trình nhất thể hóa khoa học Nó góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp luận sâu sắc Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất vật chất của thế giới

Vậy ta có thể mạnh dạn khẳng định từ khi mới hình thành và trong quá trình phát triển của mình, toán học luôn tạo ra cơ sở thế giới quan duy vật biện chứng bằng cách trực tiếp hay gián tiếp Toán học hiện đại hoàn thiện sâu sắc thế giới quan

duy vật biện chứng trong các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy Nó góp phần củng cố, hoàn thiện và phát triển thế giới quan duy vật biện chứng

3.3 Toán học thúc đẩy triết học tiến lên

Trước hết, toán học hiện đại đã làm rõ thêm, sâu sắc thêm về quan điểm tính thống nhất của thế giới, không chỉ thể hiện ở khía cạnh định tính mà còn ở khía cạnh định lượng Ở khía cạnh định tính thì khoa học càng tiến lên, loài người càng thấy rõ rằng đâu đâu trong vũ trụ thì vật chất cũng được cấu tạo từ các hạt

cơ bản và các hạt này ở đâu cũng tuân theo cùng những quy luật biến đổi, tương tác như nhau Ở khía cạnh quan hệ về số lượng thì ngay trước khi loài người khám phá ra các cấu trúc toán học, các nhà khoa học đã rất chú ý đến hiện tượng cùng một dạng phương trình đại số hay phương trình vi phân lại diễn tả được quan hệ số lượng trong những hiện tượng rất đa dạng của thế giới khách quan Ví

dụ, phương trình dạng y  a x  b diễn tả mối quan hệ giữa hai đại lượng biến thiên xvà y khi mà chúng có các số gia tỉ lệ thuận với nhau như thời gian và đoạn đường đi được, như chi phí bỏ ra mua sắm và số lượng hàng hóa cần mua Đối với mối liên hệ phổ biến, toán học làm rõ tính khách quan và tính phổ biến của các mối liên hệ ngay trong nội bộ toán học Toán học càng phát triển, ranh giới giữa các chuyên ngành toán học cũng khó được xác định rạch ròi

Đối với nguyên lý về sự phát triển, toán học đã làm rõ ràng rằng sự phát triển toán học là kết quả của quá trình thay đổi dần về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất, là quá trình diễn ra theo đường xoắn ốc Giai đoạn toán học sơ cấp, vận động chưa vào trong toán học vì cơ học, vật lý chưa phát triển nhưng sự biến thiên đã tiềm ẩn trong cái tĩnh tại Khi người xưa tính chu vi, diện tích hình tròn bằng cách nội tiếp đa giác đều rồi cứ gấp đôi mãi số cạnh của đa giác thì chính là

đã thay đổi sự biến thiên liên tục bằng một dãy những đột biến: khi đi trên một cạnh của đa giác đều nội tiếp thì phương không thay đổi, khi đã đến một đỉnh rồi tiếp tục đi trên cạnh tiếp theo thì phương thay đổi đột ngột

Tóm lại, toán học trong quá trình phát triển đã góp phần rất quan trọng vào sự phát triển tiến lên của triết học Đó là toán học đã cung cấp cho triết học những