Phương trình và hệ phương trình lớp 10

Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai 1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1) • x 0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x 0 ) = g(x 0 )" là một mệnh đề đúng. • Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. • Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x 1 ( ) thì cần điều kiện P(x) ≠ 0. – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x( ) thì cần điều kiện P(x) ≥ 0. + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x). 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f 1 (x) = g 1 (x) (1) có tập nghiệm S1 và f 2 (x) = g 2 (x) (2) có tập nghiệm S 2 . • (1) ⇔ (2) khi và chỉ khi S 1 = S 2 . • (1) ⇒ (2) khi và chỉ khi S 1 ⊂ S 2 . 3. Phép biến đổi tương đương • Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0. • Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x 5 5 3 12 4 4 + = + − − b) x x x 1 1 5 15 3 3 + = + + + c) x x x 2 1 1 9 1 1 − = − − − d) x x x 2 2 3 15 5 5 + = + − − Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x1 1 2+ − = − b) x x1 2+ = − c) x x1 1+ = + d) x x1 1− = − e) x x x 3 1 1 = − − f) x x x 2 1 2 3− − = − + Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x 2 3( 3 2) 0− − + = b) x x x 2 1( 2) 0+ − − = c) x x x x 1 2 2 2 = − − − − d) x x x x x 2 4 3 1 1 1 − + = + + + + Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: Trang 14 WWW.ToanCapBa.Net CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai a) x x2 1− = + b) x x1 2+ = − c) x x2 1 2− = + d) x x2 2 1− = − Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x x1 1 = − − b) x x x x 2 2 1 1 − − = − − c) x x x x2 2 = − − d) x x x x 1 1 2 2 − − = − − Bài 6. a) ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a ≠ 0 (1) có nghiệm duy nhất b x a = − a = 0 b ≠ 0 (1) vô nghiệm b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x Chú ý: Khi a ≠ 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn. Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) m x m x 2 ( 2) 2 3+ − = − b) m x m x m( ) 2− = + − b) m x m m x( 3) ( 2) 6− + = − + d) m x m x m 2 ( 1) (3 2)− + = − e) m m x x m 2 2 ( ) 2 1− = + − f) m x m x m 2 ( 1) (2 5) 2+ = + + + Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c: a) x a x b b a a b a b ( , 0) − − − = − ≠ b) ab x a b b x( 2) 2 ( 2a)+ + = + + c) x ab x bc x b b a b c a c b 2 3 ( , , 1) 1 1 1 + + + + + = ≠ − + + + d) x b c x c a x a b a b c a b c 3 ( , , 0) − − − − − − + + = ≠ Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x ∈ R. a) m x n( 2) 1− = − b) m m x m 2 ( 2 3) 1+ − = − c) mx x mx m x 2 ( 2)( 1) ( )+ + = + d) m m x x m 2 2 ( ) 2 1− = + − Bài 4. a) Trang 15 WWW.ToanCapBa.Net II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0 II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0 III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai 1. Cách giải ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) b ac 2 4 ∆ = − Kết luận ∆ > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt b x a 1,2 2 ∆ − ± = ∆ = 0 (1) có nghiệm kép b x a2 = − ∆ < 0 (1) vô nghiệm Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = c a . – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = c a − . – Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b b 2 ′ = . 2. Định lí Vi–et Hai số x x 1 2 , là các nghiệm của phương trình bậc hai ax bx c 2 0+ + = khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức b S x x a 1 2 = + = − và c P x x a 1 2 = = . VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax bx c 2 0+ + = Để giải và biện luận phương trình ax bx c 2 0+ + = ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a: – Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx c 0+ = . – Nếu a ≠ 0 thì mới xét các trường hợp của ∆ như trên. Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) x x m 2 5 3 1 0+ + − = b) x x m 2 2 12 15 0+ − = c) x m x m 2 2 2( 1) 0− − + = d) m x m x m 2 ( 1) 2( 1) 2 0+ − − + − = e) m x m x 2 ( 1) (2 ) 1 0− + − − = f) mx m x m 2 2( 3) 1 0− + + + = Bài 2. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại: a) x mx m x 2 3 1 0; 2 − + + = = − b) x m x m x 2 2 2 3 0; 1− + = = c) m x m x m x 2 ( 1) 2( 1) 2 0; 2+ − − + − = = d) x m x m m x 2 2 2( 1) 3 0; 0− − + − = = Bài 3. a) VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax bx c a 2 0 ( 0)+ + = ≠ (1) Trang 16 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai • (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 • (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ P 0 0 ∆  ≥  >  • (1) có hai nghiệm dương ⇔ P S 0 0 0 ∆  ≥  >   >  • (1) có hai nghiệm âm ⇔ P S 0 0 0 ∆  ≥  >   <  Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0. Bài 1. Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt iii) có hai nghiệm dương phân biệt a) x x m 2 5 3 1 0+ + − = b) x x m 2 2 12 15 0+ − = c) x m x m 2 2 2( 1) 0− − + = d) m x m x m 2 ( 1) 2( 1) 2 0+ − − + − = e) m x m x 2 ( 1) (2 ) 1 0− + − − = f) mx m x m 2 2( 3) 1 0− + + + = g) x x m 2 4 1 0− + + = h) m x m x m 2 ( 1) 2( 4) 1 0+ + + + + = Bài 2. a) VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et 1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số Ta sử dụng công thức b c S x x P x x a a 1 2 1 2 ;= + = − = = để biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm x 1 , x 2 theo S và P. Ví dụ: x x x x x x S P 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 2+ = + − = − x x x x x x x x S S P 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 3 ( 3 )   + = + + − = −   2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm: b c S x x P x x a a 1 2 1 2 ;= + = − = = (S, P có chứa tham số m). Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x 1 và x 2 . 3. Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng: x Sx P 2 0− + = , trong đó S = u + v, P = uv. Bài 1. Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: A = x x 2 2 1 2 + ; B = x x 3 3 1 2 + ; C = x x 4 4 1 2 + ; D = x x 1 2 − ; E = x x x x 1 2 2 1 (2 )(2 )+ + a) x x 2 5 0− − = b) x x 2 2 3 7 0− − = c) x x 2 3 10 3 0+ + = d) x x 2 2 15 0− − = e) x x 2 2 5 2 0− + = f) x x 2 3 5 2 0+ − = Bài 2. Cho phương trình: m x m x m 2 ( 1) 2( 1) 2 0+ − − + − = (*). Xác định m để: Trang 17 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai a) (*) có hai nghiệm phân biệt. b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2. Bài 3. Cho phương trình: x m x m 2 2(2 1) 3 4 0− + + + = (*). a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 . b) Tìm hệ thức giữa x 1 , x 2 độc lập đối với m. c) Tính theo m, biểu thức A = x x 3 3 1 2 + . d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x x 2 2 1 2 , . HD: a) m 2 2 ≥ b) x x x x 1 2 1 2 1+ − = − c) A = m m m 2 (2 4 )(16 4 5)+ + − d) m 1 2 7 6 ± = e) x m m x m 2 2 2 2(8 8 1) (3 4 ) 0− + − + + = Bài 4. Cho phương trình: x m x m m 2 2 2( 1) 3 0− − + − = (*). a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. b) Khi (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 . Tìm hệ thức giữa x 1 , x 2 độc lập đối với m. c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả: x x 2 2 1 2 8+ = . HD: a) m = 3; m = 4 b) x x x x x x 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2( ) 4 8 0+ − + − − = c) m = –1; m = 2. Bài 5. Cho phương trình: x m m x m 2 2 3 ( 3 ) 0− − + = . a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. HD: a) m = 0; m = 1 b) x x x 2 2 2 1; 5 2 7; 5 2 7= = − = − − . Bài 6. (nâng cao) Cho phương trình: x x x 2 2 2 2 sin 2 cos α α + = + (α là tham số). a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi α. b) Tìm α để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN. Bài 7. Cho phương trình: a) Trang 18 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai 1. Định nghĩa và tính chất • A khi A A A khi A 0 0  ≥ =  − <  • A A0,≥ ∀ • A B A B. .= • A A 2 2 = • A B A B A B. 0+ = + ⇔ ≥ • A B A B A B. 0− = + ⇔ ≤ • A B A B A B. 0+ = − ⇔ ≤ • A B A B A B. 0− = − ⇔ ≥ 2. Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ. • Dạng 1: f x g x( ) ( )= C f x f x g x f x f x g x 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )   ≥   =  ⇔   <    − =   C g x f x g x f x g x 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )  ≥  ⇔  =    = −   • Dạng 2: f x g x( ) ( )= [ ] [ ] C f x g x 1 2 2 ( ) ( )⇔ = C f x g x f x g x 2 ( ) ( ) ( ) ( )  = ⇔  = −  • Dạng 3: a f x b g x h x( ) ( ) ( )+ = Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 1 3− = + b) x x4 7 2 5+ = + c) x x 2 3 2 0− + = d) x x x 2 6 9 2 1+ + = − e) x x x 2 4 5 4 17− − = − f) x x x 2 4 17 4 5− = − − g) x x x x1 2 3 2 4− − + + = + h) x x x1 2 3 14− + + + − = i) x x x1 2 2− + − = Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x x4 7 4 7+ = + b) x x2 3 3 2− = − c) x x x1 2 1 3− + + = d) x x x x 2 2 2 3 2 3− − = + + e) x x x 2 2 5 2 7 5 0− + − + = f) x x3 7 10+ + − = Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x x 2 2 1 1 0− + − − = b) x x x 2 2 5 1 7 0− − − + = c) x x x 2 2 5 1 5 0− − − − = d) x x x 2 4 3 2 0+ + + = e) x x x 2 4 4 2 1 1 0− − − − = f) x x x 2 6 3 10 0+ + + + = Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx 1 5− = b) mx x x1 2− + = + c) mx x x2 1+ − = d) x m x m3 2 2+ = − e) x m x m 2+ = − + f) x m x 1− = + Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) mx x2 4− = + b) Bài 6. a) Trang 19 WWW.ToanCapBa.Net IV. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI IV. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. Dạng 1: f x g x( ) ( )= ⇔ [ ] f x g x g x 2 ( ) ( ) ( ) 0   =  ≥   Dạng 2: f x g x f x g x f x hay g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ( ) 0)  = = ⇔  ≥ ≥  Dạng 3: af x b f x c( ) ( ) 0+ + = ⇔ t f x t at bt c 2 ( ), 0 0   = ≥  + + =   Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )+ = • Đặt u f x v g x( ), ( )= = với u, v ≥ 0. • Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. Dạng 5: f x g x f x g x h x( ) ( ) ( ). ( ) ( )+ + = Đặt t f x g x t( ) ( ), 0= + ≥ . Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 3 3− = − b) x x5 10 8+ = − c) x x2 5 4− − = d) x x x 2 12 8+ − = − e) x x x 2 2 4 2+ + = − f) x x x 2 3 9 1 2− + = − g) x x x 2 3 9 1 2− + = − h) x x x 2 3 10 2− − = − i) x x x 2 2 ( 3) 4 9− + = − Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x x x x 2 2 6 9 4 6 6− + = − + b) x x x x 2 ( 3)(8 ) 26 11− − + = − + c) x x x x 2 ( 4)( 1) 3 5 2 6+ + − + + = d) x x x x 2 ( 5)(2 ) 3 3+ − = + e) x x 2 2 11 31+ + = f) x x x x 2 2 8 4 (4 )( 2) 0− + − − + = Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x1 1 1+ − − = b) x x3 7 1 2+ − + = c) x x 2 2 9 7 2+ − − = d) x x x x 2 2 3 5 8 3 5 1 1+ + − + + = e) x x 3 3 1 1 2+ + − = f) x x x x 2 2 5 8 4 5+ − + + − = g) x x 3 3 5 7 5 13 1+ − − = h) x x 3 3 9 1 7 1 4− + + + + = Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x x3 6 3 ( 3)(6 )+ + − = + + − b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16+ + + = + + + − c) x x x x1 3 ( 1)(3 ) 1− + − − − − = d) x x x x7 2 (7 )(2 ) 3− + + − − + = e) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5+ + − + + − = f) x x x x x 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2− + − = − + − + g) x x x x 2 2 1 1 3 + − = + − h) x x x x 2 9 9 9+ − = − + + Bài 5. Giải các phương trình sau: Trang 20 WWW.ToanCapBa.Net V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai a) x x x x2 4 2 2 5 2 4 6 2 5 14− + − + + + − = b) x x x x5 4 1 2 2 1 1+ − + + + − + = c) x x x x x x2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4− − − + − − + + − − = Bài 6. Giải các phương trình sau: a) Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của phương trình (mẫu thức khác 0). Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x x x 2 10 50 1 2 3 (2 )( 3) + = − − + − + b) x x x x x x 1 1 2 1 2 2 1 + − + + = + − + c) x x x x 2 1 1 3 2 2 + + = + − d) x x x 2 2 3 5 1 4 − + = − − e) x x x x x x 2 2 2 5 2 2 15 1 3 − + + + = − − f) x x x x 2 2 3 4 2 ( 1) (2 1) + − = + − Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx m x 1 3 2 − + = + b) mx m x m 2 3 + − = − c) x m x x x m 1 2 1 − − + = − − d) x m x x x 3 1 2 + + = − − e) m x m m x ( 1) 2 3 + + − = + f) x x x m x 1 = + + Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau: a) Trang 21 WWW.ToanCapBa.Net VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai 1. Cách giải: t x t ax bx c at bt c 2 4 2 2 , 0 0 (1) 0 (2)   = ≥ + + = ⇔  + + =   2. Số nghiệm của phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng. • (1) vơ nghiệm ⇔ vô nghiệm có nghiệm kép âm có nghiệm âm (2) (2) (2) 2     • (1) có 1 nghiệm ⇔ có nghiệm kép bằng có nghiệm bằng nghiệm còn lại âm (2) 0 (2) 1 0,    • (1) có 2 nghiệm ⇔ có nghiệm kép dương có nghiệm dương và nghiệm âm (2) (2) 1 1    • (1) có 3 nghiệm ⇔ có nghiệm bằng nghiệm còn lại dương(2) 1 0, • (1) có 4 nghiệm ⇔ có nghiệm dương phân biệt(2) 2 3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn • Dạng 1: x a x b x c x d K với a b c d( )( )( )( ) ,+ + + + = + = + – Đặt t x a x b x c x d t ab cd( )( ) ( )( )= + + ⇒ + + = − + – PT trở thành: t cd ab t K 2 ( ) 0+ − − = • Dạng 2: x a x b K 4 4 ( ) ( )+ + + = – Đặt a b t x 2 + = + ⇒ a b b a x a t x b t, 2 2 − − + = + + = + – PT trở thành: a b t t K với 4 2 2 4 2 12 2 0 2 α α α   − + + − = =  ÷   • Dạng 3: ax bx cx bx a a 4 3 2 0 ( 0)+ + ± + = ≠ (phương trình đối xứng) – Vì x = 0 khơng là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x 2 , ta được: PT ⇔ a x b x c x x 2 2 1 1 0     + + ± + =  ÷  ÷     (2) – Đặt t x hoặc t x x x 1 1   = + = −  ÷   với t 2≥ . – PT (2) trở thành: at bt c a t 2 2 0 ( 2)+ + − = ≥ . Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x 4 2 3 4 0− − = b) x x 4 2 5 4 0− + = c) x x 4 2 5 6 0+ + = d) x x 4 2 3 5 2 0+ − = e) x x 4 2 30 0+ − = f) x x 4 2 7 8 0+ − = Bài 2. Tìm m để phương trình: i) Vơ nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm a) x m x m 4 2 2 (1 2 ) 1 0+ − + − = b) x m x m 4 2 2 (3 4) 0− + + = c) x mx m 4 2 8 16 0+ − = Trang 22 WWW.ToanCapBa.Net VII. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) VII. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x x x( 1)( 3)( 5)( 7) 297− − + + = b) x x x x( 2)( 3)( 1)( 6) 36+ − + + = − c) x x 4 4 ( 1) 97+ − = d) x x 4 4 ( 4) ( 6) 2+ + + = e) x x 4 4 ( 3) ( 5) 16+ + + = f) x x x x 4 3 2 6 35 62 35 6 0− + − + = g) x x x x 4 3 2 4 1 0+ − + + = Bài 4. Giải các phương trình sau: a) 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a x b y c a b a b a x b y c 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( 0, 0)  + = + ≠ + ≠  + =  Giải và biện luận: – Tính các định thức: a b D a b 1 1 2 2 = , x c b D c b 1 1 2 2 = , y a c D a c 1 1 2 2 = . Xét D Kết quả D ≠ 0 Hệ có nghiệm duy nhất y x D D x y D D ;   = =  ÷   D = 0 D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0 Hệ vô nghiệm D x = D y = 0 Hệ có vô số nghiệm Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 5 4 3 7 9 8  − =  − =  b) x y x y 2 11 5 4 8  + =  − =  c) x y x y 3 1 6 2 5  − =  − =  d) ( ) ( ) x y x y 2 1 2 1 2 2 1 2 2   + + = −  − − =   e) x y x y 3 2 16 4 3 5 3 11 2 5  + =    − =  f) x y y 3 1 5x 2 3   − =  + =   Bài 8. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 1 8 18 5 4 51  − =     + =   b) x y x y 10 1 1 1 2 25 3 2 1 2  + =   − +   + =  − +  c) x y x y x y x y 27 32 7 2 3 45 48 1 2 3  + =   − +   − = −  − +  d) x y x y 2 6 3 1 5 5 6 4 1 1  − + + =  − − + =  e) x y x y x y x y 2 9 3 2 17  + − − =  + + − =  f) x y x y x y x y 4 3 8 3 5 6  + + − =  + − − =  Bài 9. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: Trang 23 WWW.ToanCapBa.Net VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN [...]... WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai IX HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN IX HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 1 Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai • Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia • Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn • Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này 2 Hệ đối xứng loại 1  f ( x, y) = 0 Hệ có dạng:... (I)  (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x))  g( x , y ) = 0 (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi) • Đặt S = x + y, P = xy • Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P • Giải hệ (II) ta tìm được S và P • Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X 2 − SX + P = 0 3 Hệ đối xứng loại 2  f ( x, y) = 0 (1) Hệ có dạng: (I)  (2)  f ( y,... hai  a x 2 + b xy + c y 2 = d  1 1 Hệ có dạng: (I)  1 2 1 a2 x + b2 xy + c2 y 2 = d2   • Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0) • Khi x ≠ 0, đặt y = kx Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y) Trang 25 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng Chú ý: WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai – Ngoài các... WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để giải (sẽ học ở lớp 12) – Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghiệm của hệ Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0 Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:  x 2 + 4y2 = 8  x 2 − xy = 24 a)  b)   x + 2y = 4 2 x − 3 y = 1  x 2 − 3 xy... 2 + 2(m + 4) x + m + 1 = 0 f) x 2 − 4 x + m + 1 = 0 Bài 6 Trong các phương trình sau, hãy: i) Giải và biện luận phương trình ii) Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 , tìm hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m a) x 2 + (m − 1) x − m = 0 b) x 2 − 2(m − 2) x + m(m − 3) = 0 c) (m + 2) x 2 − 2(m − 1) x + m − 2 = 0 Bài 7 Giải các phương trình sau: a) x 2 + x 2 − 6 = 12 c) 16 x + 17 = 8x − 23 d) x 2 − 2(m... WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai 3 x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38  x 2 − 2 xy + 3y 2 = 9   d)  2 e)  2 2 2 5 x − 9 xy − 3y = 15  x − 4 xy + 5y = 5   Bài 8 Giải và biện luận các hệ phương trình sau:    x 2 + mxy + y 2 = m  xy − y 2 = 12 a)  2 b)  2 2  x + (m − 1) xy + my = m  x − xy = m + 26   Bài 9 Giải các hệ phương trình sau: a) 3 x 2 − 8 xy + 4 y 2... g) 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 Bài 9 Giải các phương trình sau: a) c) 4 e) x 2 + 2 x 2 − 3 x + 1 = 3 x + 4 x +3 2 f) 2 x 2 + 3 2 x 2 + x + 1 = 9 − x g) x 2 − x 2 − 2 x + 4 = 2 x − 2 h) 2 x 2 + 5 x 2 + 3 x + 5 = 23 − 6 x Bài 10 Trong các hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m  mx + 2 y = m... hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại) • Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:  f ( x , y ) − f ( y, x ) = 0 (3) (I) ⇔  (1)  f ( x, y) = 0 • Biến đổi (3) về phương trình tích: x = y (3) ⇔ ( x − y ).g( x , y ) = 0 ⇔   g( x , y ) = 0  f ( x, y) = 0  x = y  • Như vậy, (I) ⇔   f ( x, y) = 0  g( x , y ) = 0   • Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I) 4 Hệ đẳng cấp... CHƯƠNG III Giải và biện luận các phương trình sau: a) m 2 x + 4m − 3 = x + m 2 b) (a + b)2 x + 2a2 = 2a(a + b) + (a2 + b2 ) x Bài 1 c) a2 x + 2ab = b2 x + a2 + b2 d) a(ax + b) = 4ax + b2 − 5 Bài 2 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 2x + m x + m −1 m2 x a) b) − =1 − m x = 2m + 1 x −1 x x −1 2mx − 1 m +1 − 2 x −1 = c) d) x − 1 + 2 x − 3 = m x −1 x −1 Bài 3 Giải và biện luận các phương trình sau: a)... xy  1 y x e)   xy + xy + x + y = 4  Bài 13 Giải các hệ phương trình sau: Trang 28 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng  x 2 = 3x + 2 y  a)  2  y = 3y + 2 x  WWW.ToanCapBa.Net  x3 = 2 x + y  b)  3 y = 2y + x   2 x + y =  e)  2 y + x =   Bài 14 Giải các hệ phương trình sau: a)  2 1 2 x = y + y  d)  2 y 2 = 1 + x  x  Phương trình bậc nhất – bậc hai 3 x2 3 y2 Trang 29 WWW.ToanCapBa.Net . của mỗi phương trình và giải phương trình đó: Trang 14 WWW.ToanCapBa.Net CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I WWW.ToanCapBa.Net Phương trình bậc nhất – bậc hai 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai • Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. • Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương. phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình