Bài tập vật lý đại cương

Bài giải : Để giúp các bạn có thể hiểu rõ việc áp dụng các định luật động lực học Niu-tơn trong các hệ qui chiếu khác nhau cũng như vai trò của lực quán tính chúng ta sẽ giải bài toán nà

BÀI TẬP VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG

Bài 1: Cho phương trình chuyển động của chất điểm là :

x = Acosω t

y = Bsinω t

z = 0Trong A, B, ω là các hằng số.Hãy tìm phương trình quĩ đạo, vận tốc và gia tốc của chất điểm

HD : quĩ đạo là một ellip có các bán trục là A và B nằm trong mặt phẳng xOy :

z = 0

= - Aω sinω t + Bω cosω t

= - Aω 2cosω t - Bω 2sinω t = -ω 2 : gia tốc hướng vào tâm ellip và tỉ lệ với bán kính

Bài 2 Từ độ cao h = 25m một vật được ném theo phương nằm ngang với vận tốc ban đầu vo = 15m/s Hãy xác định :

a) Quĩ đạo của vật

b) Thời gian chuyển động của vật từ khi ném cho tới khi chạm đất

c) Gia tốc toàn phần, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến của vật khi chạm đất

d) Bán kính cong của quĩ đạo khi vật chạm đất

HD : quĩ đạo parapol

a) y = b) t = = 2,26s

c) a=g=9,8m/s2 ; at= =8,112m/s2 ; an= = 5,6m/s2

Bài 4 Một cầu thủ bóng rổ bị phạm lỗi khi cố gắng ném bóng vào rổ của đội bạn và được hưởng hai

quả ném phạt Theo phương nằm ngang từ tâm của rổ đến điểm ném phạt là 4,21m và độ cao của rổ là 3,05m tính từ mặt sân Trong lần ném phạt thứ nhất cầu thủ ném quả bóng theo một góc 35o so với phương nằm ngang với vận tốc ban đầu vo=4,88m/s2 Khi bắt đầu rời khỏi tay cầu thủ thì quả bóng ở

độ cao 1,83m so với mặt sân Lần ném này quả bóng không lọt vào rổ Giả sử bỏ qua sức cản của không khí

a) Hỏi độ cao cực đại mà quả bóng đạt được.

b) Độ xa quả bóng đạt được theo phương nằm ngang khi rơi chạm đất

c) Trong lần ném phạt thứ hai độ cao ban đầu và góc nghiêng của quả bóng khi ném cũng vẫn giữ nguyên như trong lần ném đầu tiên tức là 1,83m và 35o Lần này quả bóng đi vào tâm rổ Hỏi vận tốc ban đầu của quả bóng lần này là bao nhiêu?

d) Độ cao cực đại của quả bóng đạt được trong lần ném thứ hai

(ĐS : a) 2,32m; b) 3,84m; c) 8,65m/s; d) 3,09m )

Bài 5 Một chất điểm chuyển động trên quĩ đạo tròn bán kính bằng 50m quãng đường đi được trên quĩ

đạo được cho bởi công thức : s = -0,5t2+10t+10 (m)

Tìm gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của chất

điểm lúc t = 5(s)

(ĐS : at = -1m/s2; an = 0,5m/s2; a = 1,12m/s2)

Bài 6 Một vật A được đặt trên một mặt bàn nằm ngang Dùng một sợi

dây, một đầu buộc vào A cho vòng qua ròng rọc và đầu kia của sợi dây

buộc vào vật B sao cho vật B rơi không ma sát thẳng đứng từ trên xuống

Cho biết mA= 2kg, hệ số ma sát giữa A và mặt bàn là k=0,25; gia tốc

chuyển động của hệ là a= 4,9m/s2 Hãy xác định :

a) Khối lượng mB

b) Lực căng của dây

( ĐS : a/ mB= 3kg; b/ T=14,7N)

Bài 7 Một vật trượt từ đỉnh một mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng

nằm ngang một góc α Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k,

vận tốc ban đầu của vật bằng 0 Vật trượt hết mặt phẳng nghiêng sau thời

gian t Tính chiều dài l của mặt phẳng nghiêng

(ĐS : l =1/2.g(sinα -kcosα )t2 )

Bài 8 Cho hai vật A và B được mắc như hình dưới Vật A được đặt nằm trên

mặt phẳng nghiêng có hệ số ma sát k=0,2 Bỏ qua khối lượng của ròng rọc và

dây Cho biết mA=1kg, lực căng của sợi dây T=9,91N; g = 9,8m/s2; α = 30o

Hãy tính gia tốc của hệ

( ĐS : a=3,24m/s2)

Bài 9 Cho hai vật m1 và m2 như được mắc ở hình bên với

m1=m2=1kg Bỏ qua ma sát, khối lượng của các ròng rọc và dây

Xác định gia tốc của các vật m1, m2 và lực căng của sợi dây

Cho g = 9,8m/s2

( ĐS : a1= = g = 3,92m/s2; a2 = g =1,96m/s2

T= m2g ≅ 5,9N )

Bài 10 Trên một toa tàu khối lượng M có hai vật m1 và m2 được mắc như ở hình dưới Cho biết hệ số

ma sát giữa vật m1 và mui tàu là k Bỏ qua khối lượng của dây và ròng rọc cũng như ma sát giữa chúng Tác dụng một lực đẩy theo phương nằm ngang làm cho toa tàu chuyển động trên đường ray Bỏ qua lực ma sát lăn giữa toa tàu và đường ray Hỏi lực đẩy phải có độ lớn bằng bao nhiêu để cho khi toa tàu chạy mà hai vật m1 và m2 vẫn đứng yên so với toa tàu?

Bài giải :

Để giúp các bạn có thể hiểu rõ việc áp dụng các định luật động lực học Niu-tơn trong các hệ qui chiếu khác nhau cũng như vai trò của lực quán tính chúng ta sẽ giải bài toán này trong hai hệ qui chiếu khác nhau :

- Hệ qui chiếu đứng yên (chẳng hạn như sân ga)

- Hệ qui chiếu chuyển động (toa tàu)

1- Giải bài toán trong hệ qui chiếu đứng yên :(sân ga)

Đây là một hệ qui chiếu quán tính (gần đúng), ta nhìn thấy vật

m1 chuyển động với gia tốc (là gia tốc của con tàu) còn vật m2

đứng yên không chuyển động theo phương thẳng đứng (trong

thực tế m2 chuyển động theo phương nằm ngang vớigia tốc

nhưng ta không quan tâm đến chuyển động này của m2 mà chỉ

quan tâm chuyển động của m2 theo phương thẳng đứng!) Ta qui

ước chọn chiều dương của trục tọa độ nằm ngang hướng từ trái

qua phải

*Xét vật m1 :

Có hai lực tác dụng lên m1 : lực căng của sợi dây hướng từ trái qua phải, lực Fms = km1g hướng từ phải qua trái Hiệu của hai lực này gây ra chuyển động có gia tốc của vật m1 nên theo định luật II Niu-tơn ta có: T-km1g = m1a (1)

*Xét vật m2 :

Theo phương thẳng đứng vật m2 chịu tác dụng của hai lực : lực căng của sợi dây hướng thẳng đứng lên trên và trọng lượng của nó 2 hướng thẳng đứng xuống dưới Vì theo đầu bài thì m2 đứng yên theo phương này nên theo định luật II Niu-tơn ta có:

T-P2 = 0 hay T= P2 = m2g

Thay giá trị T= m2g vào (1), ta tìm được

a =Lực đẩy tác dụng lên hệ gồm toa tàu và hai vật m1, m2 và gây cho hệ gia tốc nên :

= (m1+m2+M)

Từ đó, độ lớn của lực đẩy là :

F = (m1+m2+M) (2)2- Giải bài toán trong hệ qui chiếu chuyển động : (toa tàu)

Vì toa tàu chuyển động thẳng với gia tốc là nên đây là một hệ qui chiếu không quán tính Trong hệ qui chiếu này về hình thức ta cũng có thể áp dụng định luật II Niu-tơn nhưng khi đó trong các lực tác dụng lên vật ta phải kể thêm cả lực quán tính

*Xét vật m1 :

Trong hệ qui chiếu này vật m1 đứng yên Các lực tác dụng lên vật m1 gồm :

- Lực căng của sợi dây hướng sang phải

- Lực ma sát Fms=km1g hướng sang trái

- Lực quán tính qt= -m1 hướng sang trái

Vì vật đứng yên nên tổng của các lực này phải bằng 0, tức là ;

T= P2 = m2g

Thay giá trị này của T vào (3) ta tìm được :

a =

*Xét hệ gồm toa tàu khối lượng M và các vật m1, m2 Lực tác dụng lên hệ gồm :

- Lực đẩy tác dụng lên toa tàu

- Lực quán tính -(m1+m2+M)a tác dụng lên tất cả các vật của hệ

Vì trong hệ qui chiếu này các vật của hệ đều đứng yên nên theo định II Niu-tơn ta phải có :

Bài 11 Trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặt phẳng nằm ngang một

góc α có hai vật có khối lượng m1 và m2 (m2>m1) được nối với nhau bằng

một sợi dây không co dãn Hệ số ma sát giữa m1 và m2 với mặt phẳng

nghiêng là k1 và k2 (k1< k2) Hãy xác định :

a) góc α tối thiểu của mặt phẳng ngiêng để cho hệ hai vật có thể bắt đầu

chuyển động xuống phía duới

b) gia tốc a của hai vật và sức căng T của sợi dây nối khi hệ chuyển động trên mặt phẳng nghiêng có

α = 45o

Áp dụng với m1=2kg; m2 = 8kg; k1= 0,2; k2 = 0,4; g =10m/s2

(ĐS: a) tanα gh = ≈ 0,36 ⇒ α ≈ 19o8

b) a = gsinα -gcosα ( ) = 4,525m/s2 )

Bài 12 Một hệ gồm hai vật có khối lượng mA và mB được nối với nhau bằng

một sợi dây không co dãn vắt qua một ròng rọc như ở hình bên Mặt phẳng

nghiêng có góc nghiêng là α Hệ số ma sát giữa mA và mặt phẳng nghiêng là

k

a) Hãy tìm điều kiện để cho mA chuyển động xuống phía dưới

b) Tìm điều kiện cho mA chuyển động lên phía trên

c) Tìm điều kiện để cho hệ đứng yên

(ĐS : a) < sinα -kcosα ;

b) > sinα +kcosα ;

c) sinα -kcosα < < sinα +kcosα )

Bài 13 Trên mặt đất một người đứng lên một cái cân thì chỉ số của cân là 50 (50kg).

a) Khi ở trong thang máy đang đi lên với gia tốc a=1m/s2 cái cân đó chỉ bao nhiêu?

b) Khi thang máy đi xuống với gia tốc bằng bao nhiêu thì chỉ số của cái cân là 0 (tình trạng không trọng lực)

(ĐS: a) 54; b) a= g = 9,8m/s2 )

Bài 14 Một vật có khối lượng m được kéo trên một mặt phẳng nghiêng có

góc nghiêng là α , với vận tốc không đổi bởi một sợi dây nối Hệ số ma sát

giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k Hãy xác định góc β hợp bởi sợi dây và

mặt phẳng nghiêng để lực căng dây là nhỏ nhất Tính giá trị lực căng dây lúc

đó

(ĐS: β = arctgk; Tmin= (sinα +kcosα ) )

Bài 15 Một vật khối lượng m1 chuyển động tới va chạm với vật thứ hai đứng yên có khối lượng

m2=1kg Biết rằng sau va chạm vật thứ nhất đã truyền cho vật thứ hai một lượng x=36% động năng ban đầu của mình Coi va chạm là hoàn toàn đàn hồi Hãy tính m1

(ĐS: m1= 9kg hay m1= 1/9 kg)

Bài 16.Một con lắc đơn có trọng lượng P được kéo ra khỏi phương thẳng

đứng một góc α =90o sau đó con lắc được thả rơi Hãy tính sức căng T của

dây khi con lắc đi qua vị trí cân bằng

(ĐS: T= 3P )

Bài 17 Từ đỉnh của một bán cầu bán kính là R người ta buông tay cho một

vật trượt xuống phía dưới theo bề mặt của bán cầu Hỏi ở độ cao nào so với so

với mặt đất vật bắt đầu rời khỏi bề mặt của bán cầu

Bài giảiXét một vị trí bất kỳ của vật khi nó còn tiếp xúc với mặt bán cầu như

ở hình trên Khi đó vật chịu tác dụng của hai lực :

- Phản lực của mặt bán cầu Lực này hướng theo phương nối tâm O của bán cầu với vật và có chiều hướng từ trong ra ngoài bán cầu

- Trọng lượng mg của vật hướng theo phương thẳng đứng từ trên xuống dưới Lực này có thể phân tích thành hai lực thành phần:

+ Thành phần pháp tuyến mgcosα

+ Thành phần tiếp tuyến mgsinα là thành phần lực trực tiếp làm cho vật chuyển động trượt xuống dưới theo bề mặt bán cầu Trong đó α là góc lực pháp tuyến làm với phương thẳng đứng

Do theo phương pháp tuyến của quĩ đạo hai lực mgcosα và ngược chiều nhau nên khi tổng hợp lại

ta có lực (mgcosα -N) Chính lực này đóng vai trò là lực hướng tâm làm cho vật chuyển động theo quĩ đạo tròn Do vậy, ta có :

mgcosα -N = mvới v là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm mà ta đang xét

Khi vật bắt đầu rời khỏi bán cầu, ta có :

mgcosα = m ⇒ gcosα = ⇒ cosα = (2)Muốn tính được góc α khi vật bắt đầu rời khỏi bán cầu ta phải tính được vận tốc tức thời v của vật khi

đó Muốn vậy, ta có thể áp dụng định luật bảo toàn cơ năng vì vật chuyển động trong trường trọng lực

là một trường thế Gọi h là khoảng cách tính theo phương thẳng đứng từ đỉnh của bán cầu đến vị trí mà vật bắt đầu rời khỏi bán cầu Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có :

1/2 mv2= mgh ⇒ v2= 2gh Thay giá trị này vào (2) ta tìm được :

cosα = (3)Mặt khác, từ hình vẽ ta tính được :

cosα = (4)

Từ (3) và (4) ta có :

= ⇒ 2h = R-h ⇒ h = R/3Cuối cùng, vật bắt đầu rời khỏi bán cầu ở độ cao :

H = R – h = R – R/3 = 2R/3

Bài 18 Một khúc gỗ có khối lượng 1,5 kg tiếp xúc với một lò xo bị

nén đặt ở chân một mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng 30o (điểm A)

Khi lò xo được thả lỏng cho bung ra nó đẩy khúc gỗ chuyển động

dọc mặt phẳng nghiêng Ở điểm B cách A 6m dọc theo mặt phẳng nghiêng thì khúc gỗ có vận tốc 7m/s

và không liên kết với lò xo nữa Cho biết hệ số ma sát động giữa khúc gỗ và mặt phẳng nghiêng là

k = 0,5 Bỏ qua khối lượng của lò xo Hãy tính thế năng biến dạng dự trữ

trong lò xo lúc ban đầu Cho g = 9,8m/s2

(ĐS: U =119J )

Bài 19 Một hệ gồm hai vật có khối lượng m1= 12kg và m2 = 4kg được nối

với nhau bằng một sợi dây và được vắt qua một ròng rọc như hình bên Ban

đầu vật m2 nằm ở sàn nhà còn m1 nằm ở độ cao 2m buông tay cho m1 rơi

xuống dưới Hãy xác định vận tốc của m1 khi nó chạm nền nhà Bỏ qua ma

sát và khối lượng của dây và ròng rọc

(ĐS: 4,4m/s )

Bài 20 Một thang máy có khối lượng 1 tấn, đi lên nhanh dần đều với vận

tốc ban đầu bằng không và gia tốc là 2 m/s2 Tính:

a) Công của thang máy thực hiện được trong 5 giây đầu tiên

b) Công suất trung bình và công suất cực đại sau 10 giây đầu tiên

(ĐS: a) 50kW=J b) CS t.bình=Công toàn bộ/thời gian=20kW; CSmax=F.vmax=40kW)

Bài 21 Một động cơ có công suất là 3 mã lực (HP) (1HP=736W) Hiệu suất của máy là 75% Ðộng cơ

dùng để nâng một vật lên cao với vận tốc không đổi là 3m/phút Tính khối lượng tối đa của vật được nâng (ĐS: 3380kg)

Bài 22.Vận động viên chạy xe đạp trên đường vòng xiếc là một đường tròn tâm O và bán kính R Tìm

vận tốc tối thiểu v0 để người đó đi qua điểm cao nhất của đường tròn mà không bị rơi xuống

Bài giải:

Tại điểm cao nhất, gắn hệ quy chiếu với xe (hqc là phi quán tính), ta có các lực tác dụng: trọng lực mg

và lực ly tâm FL

Để xe không rơi: FL = m.v2/R >= mg (1)

với v có thể tính được từ định luật bảo toàn cơ năng:

m.v02/2 = m.v2/2 +2mgR Suy ra: v2=v02 - 4gR Thế vào (1), ta có: v02 >= 5gR

Bài 23 Một quả cầu có khối lượng là 1 kg treo vào đầu một sợi dây buộc cố định vào trần nhà Ðưa

quả cầu lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 600 rồi buông ra không vận tốc đầu Tính vận tốc của quả cầu khi nó ở vị trí tạo với vị trí cân bằng một góc 300 Tính lực căng của dây cũng tại vị trí đó Cho biết chiều dài của dây là 1m

(ĐS: 2,7m/s; 16N)

Bài 24 Tính khối tâm của vật hình tròn có khoét một hình tròn nhỏ phía trong có bán kính bằng nửa

hình tròn lớn và của hình vuông cạnh là đường kính hình tròn lớn và cũng khoét một hình tròn nhỏ phía trong (theo hình vẽ)

OR

v0

mg

FLv

Bài 25.Một viên đạn khối lượng m=10g bay với vận tốc 600 m/s Sau khi xuyên thủng một bức tường,

vận tốc chỉ còn 200 m/s Tìm độ biến thiên xung lượng và độ biến thiên động lượng của viên đạn Tính lực cản trung bình mà bức tường tác dụng vào viên đạn cho biết thời gian mà viên đạn xuyên qua tường là 1/1000 s

Bài 26.Sau va chạm đàn hồi của hai quả cầu có khối lượng bằng nhau, cả hai có cùng vận tốc sau là

10 m/s Cho biết trước va chạm quả cầu thứ hai đứng yên Tính góc tạo bởi phương chuyển động của quả cầu thứ hai so với phương chuyển động của quả cầu thứ nhất trước khi va chạm Tính vận tốc của quả cầu thứ nhất trước va chạm

Bài 27 Một người đứng giữa ghế Giukốpski cầm trong tay hai quả tạ, mỗi quả khối lượng m=10kg

Khoảng cách từ quả tạ đến trục quay là 0,2m Giả sử ban đầu ghế quay với vận tốc w 1 = 4,1vòng/s Hỏi vận tốc góc của ghế thay đổi như thế nào nếu người đó dang tay ra để khoảng cách từ mỗi quả tạ đến trục là 0,75m Cho biết mômen quán tính cùa người và ghế (không kể quả tạ) đối với trục quay là

IO = 2,5kgm2

(ĐS : w 2 = 0,984 » 1vòng/s.)

Bài 28 Một ròng rọc bán kính R, khối lượng M Trên ròng rọc có quấn một sợi dây một

đầu treo một vật nặng khối lượng m Hãy tính :

a/ Gia tốc rơi của vật nặng

b/ Sức căng T của sợi dây

c/ Vận tốc của vật nặng khi nó rơi được một đoạn s

(ĐS : a/ a = 2mg/(2m+M) ; b/ T = mMg/(2m+M) ;

Bài 29 Một hệ gồm hai vật m1 và m2 được mắc như ở hình bên

Khối lượng của ròng rọc là M và bán kính R Hệ số ma sát giữa m1

và mặt bàn là k Hãy xác định gia tốc chuyển động của hệ và các lực

căng T1, T2 của các đoạn dây Cho m1=1kg; m2 =2kg; M = 2kg; k =

0,1; g =10m/s2

( ĐS :

T1 = m1(kg+a) = 5,75NT2 = m2(g-a) = 10,5N )

Bài 30 Cho hai ròng rọc giống hệt nhau có khối lượng m và bán kính R Hai vật

m1 và m2 được mắc như hình vẽ Sợi dây nối không co dãn và bỏ qua khối lượng

của dây

a/ Giả sử ban đầu các vật đứng yên Hãy xác định gia tốc chuyển động của các vật

m1, m2

b/ Tìm điểu kiện để cho m1 rơi từ trên xuống và kéo m2 lên

c/ Tìm các sức căng T1, T2, T3 của các đoạn dây

Bài giải

Chọn hệ trục tọa độ Ox có chiều dương hướng thẳng đứng từ trên xuống dưới như

hình trên Gọi tọa độ của ròng rọc thứ nhất là xo Ta có nhận xét là xo không đổi

trong quá trình hệ chuyển động Gọi tọa độ của ròng rọc thứ hai là x2 Ta cũng có nhận xét là chuyển động của m2 giống hệt như chuyển động của ròng rọc thứ hai vì chúng được nối với nhau bằng một đoạn dây không co dãn Gọi tọa độ m1 là x1

Ta lần lượt viết phương trình chuyển động của các vật trong hệ

* Xét chuyển động quay của ròng rọc thứ nhất :

Ròng rọc chịu tác dụng của hai mômen lực : T1R và T2R ngược chiều nhau, do đó phương trình chuyển động của ròng rọc thứ nhất là :

(T1-T2)R = Iβ 1= I(a1/R) = mR2(a1/R) = ma1R

hay : T1-T2 = ma1 (2)

* Xét chuyển động quay của ròng rọc thứ hai (lưu ý ròng rọc 2 bao giờ cũng quay ngược chiều với ròng rọc 1)

Tương tự ròng rọc 1, ta có phương trình chuyển động :

(T3-T2)R = Iβ 2 = I(a2 /R) = mR2(a2 /R) = ma2R

Hay : T3-T2 = ma2 (3)

* Lưu ý là ròng rọc thứ hai vừa tham gia cả chuyển động quay và cả chuyển động tịnh tiến Vì vật m2 nối với ròng rọc thứ hai bằng một sợi dây không co dãn nên ta có thể coi ròng rọc thứ hai và vật m2 như

là một vật với khối lượng là (m+m2) cùng tham gia chuyển động tịnh tiến

Lực tác dụng lên (m+m2) gồm (m+m2)g hướng xuống dưới và (T2+T3) hướng lên trên Vậy phương trình chuyển động là :

lấy đạo hàm bậc hai theo thời gian và để ý rằng xo, R, l là hằng số, ta đi đến phương trình :

- T2 = -(m+2m1) a2 – m1g (*)(3) + (4) ⇒ (m+m2)g – 2T2 = (3m+2m2)a2 (**)

Thay –2T2 từ (*) vào (**), ta có :

(m+m2)g – 2(m+2m1)a2 – 2m1g = (3m+2m2)a2hay (m+m2-2m1)g = (3m+2m2)a2+2(m+2m1)a2

Bài 31.Một khối trục đặc có khối lượng là M và có bán kính R có thể quay

không ma sát chung quanh trục của nó theo phương nằm ngang Người ta

treo hai vật có khối lượng bằng nhau và bằng m nhờ hai sợi dây nhẹ quấn

quanh khối trụ và thả cho chúng rơi không vận tốc ban đầu Hãy xác định :

a/ Gia tốc của các vật

b/ Lực căng của mỗi sợi dây

c/ Vận tốc góc của khối trụ khi hai vật rơi được một đoạn h

(ĐS : a/ a = 4mg/(M+4m) ; b/ T = Mmg/(M+4m) ; c/ ω =

)

Bài 32 Cho một hệ như hình vẽ Ròng rọc là một ròng rọc kép

đồng tâm có bán kính lần lượt là R và R/2 Cho biết mômen quán

tính của ròng rọc là I Tìm điều kiện để cho m1 chuyển động đi

xuống Với điều kiện đó hãy tính gia tốc góc của ròng rọc và lực

căng trên các đoanï dây

(ĐS : m1>2m2

Bài 33.Một thanh mảnh khối lượng m có chiều dài là L có thể quay không ma sát

quanh trục O nằm ngang đi qua đầu thanh Trên trục O còn treo một sợi dây chiều dài l

không co dãn Đầu kia của sợi dây có vật nặng khối lượng m Bỏ qua khối lượng của

dây treo

Kéo quả cầu sao cho dây lệch một góc nào đó so với thanh (dây vẫn phải căng)

rồi thả tay Hỏi chiều dài l của dây treo quả cầu phải bằng bao nhiêu để sau khi

va chạm với thanh thì quả cầu dừng lại Coi va chạm giữa quả cầu với thanh là

hoàn toàn đàn hồi

(ĐS : l= )

Bài 34 Ở độ cao h trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặt phẳng nằm ngang một góc α , người ta thả cho một hình xuyến, có khối lượng M có các bán kính ngoài và trong lần lượt là R1 và R2, lăn không trượt với vận tốc ban đầu bằng không Cho hệ số ma sát lăn của hình xuyến với mặt phẳng nghiêng và mặt phẳng ngang là µ Hãy tính vận tốc của hình xuyến khi nó lăn đến mặt phẳng nằm ngang và quãng đường BC mà nó tiếp tục lăn trên mặt phẳng nằm ngang cho đến khi dừng lại

Bài 35 Một thanh đồng chất có chiều dài l đang ở vị trí thẳng đứng thì bị đổ xuống

Hãy xác định :

a/ Vận tốc dài của đỉnh thanh khi nó chạm đất

b/ Vị trí của điểm M trên thanh sao cho khi M chạm đất thì vận tốc của nó đúng

bằng vận tốc chạm đất của một vật rơi tự do từ vị trí M

Bài giải

a/ Khi thanh đổ xuống có thể xem thanh quay quanh điểm O với vận tốc góc ω

Khi thanh ở vị trí thẳng đứng thì thanh có thế năng (thay thanh bằng chất điểm nằm

tại khối tâm G cách O một đoạn l/2)

U = mglKhi chạm đất thì thế năng của thanh biến hoàn toàn thành động năng quay của thanh :

Kquay= Iω 2 = ( ml2) ω 2 = ml2 ω 2 = mgl

Từ đĩ :

ω = Vận tốc dài của đỉnh thanh được tính theo cơng thức v =ω l :

v = ω l = b/ Ta biết rằng vật rơi tự do ở độ cao h khi chạm đất thì cĩ vận tốc là v= Aùp dụng cơng thức này với điểm M cĩ độ cao xM ;

vM =Theo đầu bài :

= xMω = xM

Từ đĩ tìm được :

xM = l

Bài 36 Từ đỉnh một bán cầu bán kính R người ta buơng tay cho một viên bi lăn khơng trượt trên bề

mặt bán cầu Hỏi viên bi rời khỏi mặt cầu ở độ cao nào so với mặt đất Bỏ qua ảnh hưởng của ma sát

gt t v

2.sin

.cos

2 0

g

V t va

t g t V

y

H

H H

2

sin.sin

2

sin

2 2 0 max 0

2 0

max

αα

2 0

0

2 0

2 0

2 0

2 2

)sin2sin()cos(

)sin

()cos(

v v v

v v

gt v

v v

v v v

=

−+

=+

=

⇒+

=

αα

α

αα

2 0

2

Ax A

Ay Ax

2 0 0

max = cosα = 2 sinα.cosα = sin2α ⇒ sin2α =1 ⇒ α =45

g

v g

v t v

g Phương trình quỹ đạo của vật

x tg x v

g v

x g v

x v

t g t v

y

v

x t

t v

x

cos.2cos

2cos

.sin2

sin

cos

cos

2 2 2 0 2

2 0

2

0 0 2 0

0 0

αα

αα

αα

αα

2 0

0

2 0

2 0

0

)sin

()cos(

cos

.cos

)sin

()cos(

.sin

.sin

A A

x A n

A

A A

y A t

t g v

v

v g

v

v g g

a

t g v

v

t g v

g v

v g g

a

−+

=

=

=

−+

αϕ

αα

αϕ

π

ων

)sin

(cos

0

2 / 3 2 0

2 0

2 2

v g

t g v

v a

v R R

v

n n

−+

V

M

mg x P

r P

r M P

r

.sin.cos

.cos

2

sin 2

θθ

sin

0

2 2 0

max

V m g V

V m y mV

r L V

m r

mg x P

.cos

2sin

θ

θπ

cos

.cos

2 0

0

0 0

0

0 0

0 0

A A

t t

t t A

t t

L L

t mg V

L L

dt t mg V

dt t mg V

L L dt

M dL M

dt

α

αα

b Độ cao từ đó vật bắt đầu rơi.

c Nếu từ độ cao này người ta ném thẳng đứng một vật khác thì phải ném với vận tốc bằng bao nhiêu

và phải theo hướng nào để vật rơi xuống tới mặt đất chậm hơn (và nhanh hơn ) vật rơi tự do một

khoảng t2= 1s

22

2 2

d

t g t g t V h

t g S h

t d −t B =t1 =0,25s → t B =t d −0,25 (3)

Từ (1) và (2) ta có : (4)

22

2 2

S gt

=

=

=

⇒+

=+

=

=

02 2

2 2 2 02 2

01 1

2 1 1 01 1

)1(

2

)1(

2

V t

t

gt t V h y

V t

t

gt t V h y

d d

d d d

d d

d d d

Bài 39 : Một vô lăng sau khi quay được một phút thì thu được vận tốc 700 vòng/phút Tính gia tốc góc

của vô lăng và số vòng mà vô lăng quay được trong một phút ấy nếu chuyển động của vô lăng là nhanh dần đều

Vận tốc góc của vô lăng đạt ω = 700ṿng/phút = 700.2π/60 (rad/s), sau thời gian t = 1phút = 60s

3600

140060

60/1400

s rad

.2

n

2

π

βπ

θ = t

Bài 40 Một bánh xe có bán kính R = 10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung quanh trục của nó với gia

tốc góc bằng 3,14 rad/s2 Hỏi sau giây thứ nhất:

a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh?

b) Gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên vành bánh?

c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một điểm trên vành bánh?)

/

/

n

2 t

sm986010143R

a

sm314010143R

a

/ ,

, ,

/ ,

, ,

( 2)

2 n

3140a

at

,

, sinα = = ⇒ α = 17046’

Bài 41 Chu kỳ quay của một bánh xe có bán kính 50cm là 0,1 giây Tìm:

a) Vận tốc dài và vận tốc góc của một điểm vành bánh;

b) Gia tốc pháp tuyến của một điểm nằm giữa một bán kính

R v

/8,625,0

4,31

/4,311

,0

5,0.22

b Gia tốc pháp tuyến (gia tốc hướng tâm) của một điểm nằm giữa một bán kính:

n r R 2 628 05 2 986 m s

Bài 42 : Cho ba quả cầu nhỏ khối lượng bằng nhau m = 0,1 kg được nối bởi các sợi dây không dăn,

khối lượng không đáng kể có cùng chiều dài l = 0,5m, dây quay đều trong mặt phẳng nằm ngang xung quanh trục quay đi qua 0 với vận tốc góc ω =100 rad/s Tính sức căng của từng đoạn dây.( bán kính của quả cầu không đáng kể )

Viết phương tŕnh chuyển động cho từng vật

3 3

3

2 2

2

2

1 1

1

1

a m T

P

a m T

T

P

a m T

3

2 2

2

2

2 1

1

1

.3

.2

ωωω

l m ma

T

l m ma

T

T

ml ma

T

T

n

n n

2

2

2 2

2

6.5

ω

ωω

ω

ωω

m l

m

T

m l l

m ml

T

=

=+

=

=+

=

Bài 43 : Một ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ban đầu V0= 54 km/h , trên đoạn đường có dạng cung tròn bán kính R = 800m Khi đi được đoạn đường S = 800 m thì vận tốc của nó là V= 18 km/h

a Tính thời gian chuyển động của ôtô khi đi hết đoạn đường đó

b Trị số và phương gia tốc toàn phần của ôtô tại thời điểm đầu và thời điểm cuối của quãng

đường

c Gia tốc góc, vận tốc góc của ôtô tại thời điểm t = 2s kể từ lúc bắt đầu chuyển động vào đoạn đường đó

Bài 44 : Cho một chất điểm chuyển động tròn tâm 0 bán kính R ngược chiều (cùng chiều ) kim đồng

hồ Hãy biểu diễn các véctơ: Vận tốc, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến, gia tốc toàn phần, vận tốc

1

P  T 2 P T  22′ T 3P 3 1

T  T 1′

0

a Thời gian từ lúc ngắt mạch đến khi dừng hẳn

b Trị số gia tốc toàn phần tại một điểm nằm cách trục quay một khoảng r = 10cm tại thời điểm t1= 5s kể từ lúc ngắt mạch

Bài 46 : Một vật ném ngang đập vào bức tường thẳng đứng cách điểm ném S = 6,75 m Điểm cao của

điểm va chạm thấp hơn so với điểm ném một đoạn h = 1m,

cho g = 9,8m/s2 Tính :

a Vận tốc ban đầu của vật

b Bán kính cong quỹ đạo tại thời điểm t =0,3s kể từ lúc ném

c Trị số và phương của vận tốc tại điểm va chạm

d Mômen ngoại lực đối với điểm ném tại thời điểm vật vừa chạm tường

e Mômen động lượng đối với điểm ném tại thời điểm vật chạm tường

Bài 47 : Cho một hệ cơ học như hình vẽ : Cho m1 = 1 kg , m2 = 3 kg Ròng rọc là

một đĩa tròn có khối lượng m3 =2 kg, góc α = 300, hệ số ma sát giữa vật m1 và mặt

phẳng nghiêng k = 0,1 Cho dây không dãn khối lượng không đáng kể Hãy tính gia

tốc chuyển động của hệ và sức căng của dây

Bài 48 Cho một hệ cơ học như hình vẽ Hình trụ đặc có khối lượng m1 = 300 g

m2 = 400 g Nối với nhau bởi sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể , xem

dây không trượt trên ròng rọc Lấy g = 10 m/s2.Hãy xác định gia tốc của hệ và sức

căng của dây

Bài 49 Cho ròng rọc là một đĩa tròn có khối lượng m1 = 100 g, quay xung quanh một

trục nằm ngang đi qua tâm O Trên ròng rọc có cuốn một sợi dây không dãn, khối lượng

không đáng kể , đầu kia của dây treo một vật nặng có khối lượng m2 = 50 g Để vật nặng

tự do chuyển động Tìm gia tốc của vật nặng và sức căng của dây Lấy g = 10 m/s2

a m T P

T =

=+ 2 2 2

2

Chiếu lên phương chuyển động:

22

2 1 2

2 1

2 2 2 2

a m T r

a r m I rT

a m T P

Thay vào trên ta có :

N T

s m m

m

g m a

a a

m m g m

25,02

5.1,0

)/(52

2)

2

1 2

2 2

2

1 2 2

=

=

⇒

=+

=

=

⇒+

=

Bài 50 Trên một trụ rỗng khối lượng m = 1kg, người ta cuộn một sợi dây không giăn có khối

lượng và đường kính nhỏ không đáng kể Đầu tự do của dây được gắn trên một giá cố định

Để trụ rơi dưới tác dụng của trọng lượng tính gia tốc của trụ và sức căng của dây treo

Trụ chuyển động tịnh tiến vừa chuyển động quay Gọi T là sức căng dây Viết các phương tŕnh chuyển động cho vật ta có:

(**)

I TR I

ma T mg a

m T P

β β

s m

g a ma

mg

9,42

8,9.12

/9,42

8,92

Bài 51 Một đĩa tròn, trụ rỗng, quả cầu đặc, có khối lượng m , bán kính R, quay quanh trục đi qua tâm

với vận tốc góc ω0vòng/phút Tác dụng lên vật một lực hãm tiếp tuyến với vành đĩa ( trụ, quả cầu) và

vuông góc với trục quay Sau t phút thì vật dừng lại Tìm giá trị của mômen lực hãm đối với trục quay

60

2

Nm t

I t

I t

I M

M t

- Mômen quán tính của trụ rỗng: I =mR2

- Mômen quán tính của quả cầu đặc: 2

5

2

mR

I =

Bài 52 Một đĩa tròn có khối lượng m = 3kg , bán kính R = 0,6m , quay quanh trục đi qua tâm đĩa với

vận tốc góc ω0 =600vòng/phút Tác dụng lên đĩa một lực hãm tiếp tuyến với vành đĩa và vuông góc với trục quay Sau 2 phút thì đĩa dừng lại, tìm độ lớn của lực hãm tiếp tuyến

N t

R m F t

mR t

I M

R

M

h h

h

h h h

h

60.120.2

14,3.2.600.6,0.3

2

2

.0

0 0

b Thời gian chuyển động của vật khi đi hết mặt phẳng nghiêng đó

(coi vận tốc ban đầu của các vật đều bằng không)

c Tìm giá trị của lực ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng

d Nếu góc nghiêng thay đổi, hệ số ma sát không đổi thì góc nghiêng phải bằng bao nhiêu để các hình lăn không trượt

e Tìm giá của hệ số ma sát sao cho sự lăn không xẩy ra

R mgh V

R

V I mV mgh I

mV mgR R

=

⇒+

+

=

.2

.22

2

ω

.42

11

- Quả cầu đặc: 7

.105

21

25

mR

.22

* Gia tốc khối tâm của các vật :

h

V S

V a

h S V

S a V

V

.2

sin.2

;sin,

0

;2

2 2 0

2 0

.3

sin.43

h

gh a

.7

sin.107

.10

g h

gh a

sin

h

gh a gh

b Thời gian chuyển động của vật :

a

V t V

at at V

3 3

sin 2

; 3

4

g

h t

g a gh

.14sin

7

5

;7

.10

g

h t

g a

.42

sin

;

g

h t

g a gh

c Lực ma sát giữa hình trụ và mặt phẳng nghiêng

I mR

mg I R

I mR

mg R

I F R

I m

mg a R

I m a P

R

a I F R

a I I

F

R

ma F

P

ms

ms ms

2 2 2

2

2

sin sin

.sin

sin

αα

2 2

mg F

2

mg F

F mR

sin.72

- Đĩa tròn, trụ đặc : F ms mg.sin k.mg.cos tg 3k

3

bất đẳng thức cho ta xác định giới hạn trên của góc nghiêng α0 =tg3k → α ≤α0

Vật lăn không trượt

- Vành trũn, trụ rỗng: F ms = mg.sin ≤k.mg.cos → tg ≤2k →

2

e Giỏ trị của hệ số ma sỏt sao cho sự lăn khụng xẩy ra:

Điều kiện để vật khụng lăn: F ms =Fmsnghỉ ≥Fmstrượt =k.N

Bài 54 Cú hai hỡnh trụ, một bằng nhụm (đặc), một bằng chỡ (rỗng) cựng được thả từ đỉnh một mặt

phẳng nghiờng Chỳng cú cựng bỏn kớnh R = 6cm và cựng khối lượng m = 0,5kg Mặt cỏc hỡnh trụ được quột sơn giống nhau Hỏi:

a) Vận tốc tịnh tiến của cỏc hỡnh trụ ở cuối mặt phẳng nghiờng cú khỏc nhau khụng?

b) Mụmen quỏn tớnh của mỗi hỡnh trụ;

Bài 55 : Một bao cỏt cú khối lượng M, được treo bởi sợi dõy khụng dón chiều dài l, khối

lượng khụng đỏng kể Một viờn đạn cú khối lượng m bay theo phương ngang (h.vẽ) Hỏi tại

vị trớ thấp của bao cỏt thỡ vận tốc bộ nhất của viờn đạn phải bằng bao nhiờu để khi viờn đạn

cắm vào bao cỏt, thỡ cả bao cỏt và viờn đạn chuyển động quay trũn trong mặt phẳng thẳng

đứng quanh điểm treo

Bài giải:

ỏp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang:

m

V m M v

m

V M m v V

()

)(

2)(

2

)

l g m M V

m M

T

n

2)(

l g m M

.)(

gl

Bài 56 : Cho một hệ cơ học như hỡnh vẽ m1 = 400g , m2 = 200g , rũng rọc là một đĩa

trũn cú khối lượng m3 = 100g Giữ m2 chạm đất thỡ m1 cỏch mặt đất một khoảng

h1 = 2m Cho dõy khụng dón , khối lượng khụng đỏng kể

a Hóy xỏc định gia tốc chuyển động của hệ và sức căng của cỏc đoạn dõy

b Tớnh độ cao cực đại mà m2 cú thể đạt được

Bài 57 : Một vật nhỏ trượt khụng ma sỏt từ đỉnh một mặt cầu cú bỏn kớnh R = 1,2m Mặt cầu đặt trờn

mặt đất, lấy g = 9,8m/s2 Xỏc định :

a Vị trớ vật bắt đầu rời khỏi mặt cầu so với mặt đất

b Vận tốc của vật khi chạm đất

BÀI GIẢI:

a Vị trớ vật bắt đầu rời khỏi mặt cầu so với mặt đất

Giả sử tại B vật bắt đầu rời khỏi mặt cầu

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:

Độ giảm thế năng của vật bằng độ tăng động năng của vật nờn ta cú

(*)

22

2 2

g

V h

N

n

2cos

α − = = Tại B vật rời khỏi mặt cầu nên mặt cầu không còn tác dụng lên vật (N=0)

(**))(

)

2

h R g V R

mV R

2

R h R

V gR

mV mV

R

22.3

23

52

Bài 58 Một đĩa tṛòn đồng chất khối lượng m1 =100kg, bán kính R = 1,5m, quay không ma sát quanh một trục thẳng đứng đi qua tâm với vận tốc góc 10 vòng/phút Một người có khối lượng m2= 50kg đứng ở mép đĩa và đi dần vào tâm đĩa dọc theo phương bán kính Xác định:

a Vận tốc góc của đĩa khi người đứng ở tâm đĩa

b Công mà người đã thực hiện khi người đi từ mép đĩa vào tâm đĩa (Coi người là một chất điểm)

Bài giải:

a Vận tốc góc của đĩa khi người vào tâm đĩa:

áp dụng định luật bảo toàn mômen động lượng cho hệ người – đĩa:

2

2 1 2 2

2

1

2 2

2 1 1 1

1

2

.2

ωω

ωω

R m I

L

R m R m I

2 1

1 2

1

2 2

2 1 1

2

1 2

m

m2mR

m50

RmRm50I

⇒

,

,

2210100

602100

(4

22

.22

22

2

2 1 2

2 1 1

2 2 1 2

2 1

2 2

2 1

2 2

2 1

2 1 1

2 2 2 1 2

ωω

ω

ωω

ωω

m m

m

R

A

A R

m R

m R

m I

I W W

Bài 59 : Một thanh đồng chất thiết diện mảnh, chiều dài l (m), quay xung quanh trục nằm ngang đi qua

một đầu của thanh Lúc đầu thanh ở vị trí nằm ngang , thả thanh chuyển động tự do Tìm gia tốc góc và vận tốc góc của thanh khi thanh đi qua vị trí hợp với phương thẳng đứng một góc α và khi

thanh đi qua vị trí cân bằng Lấy g = 9,8m/s2

* Tìm gia tốc góc của thanh:

Mômen quán tính đối với trục quay C đi qua đầu thanh:

34

12

2 2

m

m R 0 m

.2

2

2

s rad l

g

ml P

l I

P

r

αβ

βα

áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, chọn gốc thế năng tại D (WtD =0 )

Cơ năng bảo toàn : (WA = WB )

)/(cos3

2

cos.2

cos16

2

.32

cos.2

2

2

2 2 2

s rad l

g

mgl mgl

mgl ml

ml l

l mg I

mgh

αω

αα

ω

ωα

=

Bài 60 : Cho một hệ cơ học được gắn vào thang máy như hình vẽ Thang máy

chuyển động đi lên với gia tốc a0 = 2m/s2 Cho :

m1 = 2kg, m2 = 1kg, m3 = 1,5kg, m4 = 5kg Dây không dãn khối lượng không đáng

kể, xem dây không trượt trên ròng rọc Tính :

a Gia tốc chuyển động của các vật đối với mặt đất

b Sức căng của các đoạn dây

c áp lực của m2 lên m1

Bài 61 : Cho một hệ cơ học được gắn vào thang máy (hình vẽ) Thang máy chuyển động đi lên (hoặc đi

xuống) với gia tốc a0 (m/s2) Cho : m1 (kg) > m2 (kg), Dây không dãn khối lượng không đáng kể, xem dây không trượt trên ròng rọc, lấy g =10m/s2

a Tính gia tốc chuyển động của các vật đối với thang máy

b Tính sức căng của sợi dây

* Thang máy chuyển động đi lên:

- Gọi gia tốc của vật đối với thang máy là: a’

Viết phương trình chuyển động cho từng vật:

1

1

a a

m

P

T

a a

Theo điều kiện của đầu bài : T1 =T2 =T

Thay vào và cộng hai vế ta có : +

0 2 2 2

0 1 1 1

a m a m P T

a m a m T P

2 1

0 2

m m

a g m m

* Thang máy chuyển động đi xuống:

Gọi gia tốc của vật đối với thang máy là: a’

Viết phương trình chuyển động cho từng vật: