Chuyên đề phương trình hệ phương trình hay

[...]... x+3 x+4 x+6 27 XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ Bên cạnh việc xây dựng phương trình từ hệ phương trình, việc xây dựng phương trình từ những đẳng thức đại số có điều kiện là một trong những phương pháp giúp ta tạo ra những dạng phương trình hay và lạ Dưới đây là một số đẳng thức đơn giản 4.1 Từ đẳng thức “(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) (1) ”: Ví dụ: Giải phương trình: (x − 2)3 + (2x... khi m ∈ [8; 19] 2 Nhận xét: Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên Bài 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 72x+ √ x+1 √ − 72+... Qua các dạng phương trình trên, ta thấy phương trình hữu tỉ thường được giải bằng một trong các phương pháp: [1.] Đưa về phương trình tích [2.] Đặt ẩn phụ hoàn toàn [3.] Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình [4.] Đưa về lũy thừa đồng bậc (thường là dạng A2 = B 2 ) [5.] Chia tử và mẫu cho cùng một số [6.] Thêm bớt để tạo thành bình phương đúng Tuy nhiên, có một số dạng phương trình có những phương pháp... CƯƠNG V H UT PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Một số phương pháp giải phương trình bậc ba Phương pháp phân tích nhân tử: Nếu phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x − r) do đó có thể phân tích ax3 + bx2 + cx + d = (x − r)[ax2 + (b + ar)x + c + br + ar2 ] Từ đó ta đưa về giải một phương trình bậc hai, có nghiệm là √ −b − ra ± b2 − 4ac − 2abr − 3a2 r2 2a Phương pháp... chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y| bằng cách đặt 3 √ 7 1 y= (t + ) giống như bài 3, từ đó dẫn tới một phương trình trùng phương vô nghiệm 3 t −p 1 t+ (∗) như sau: Tổng kết lại, ta dùng phép đặt ẩn phụ y = 3 t −p Nếu phương trình có 1 nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y| < 2 , 3 trường hợp còn lại dùng (∗) để đưa về phương trình trùng phương theo t −p Nếu phương trình có 3 nghiệm... 4 3−5 3+ 4 3−5 Phương trình (5.1) có tập nghiệm: S = ; 2 2 Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1 x4 − 19x2 − 10x + 8 = 0 2 x4 = 4x + 1 3 x4 = 8x + 7 4 2x4 + 3x2 − 10x + 3 = 0 5 (x2 − 16)2 = 16x + 1 6 3x4 − 2x2 − 16x − 5 = 0 Nhận xét: Phương trình dạng x4 = ax + b được giải theo cách tương tự Phương trình ∆ = 0 là phương trình bậc ba với cách giải đã được trình bày trước Phương trình này có thể... = x2 Giải phương trình bậc hai theo y để tìm x x+a Ví dụ: Giải phương trình: x2 + 9x2 = 7 (2.1) (x + 3)2 Điều kiện: x = −3 (2.1) ⇔ ⇔ x− 3x x+3 x2 x+3 2 2 + 6 + 6 x2 =7 x+3 x2 =7 x+3 x2 Đặt y = Ta có phương trình x+3 y 2 + 6y − 7 = 0 ⇔ y=1 y = −7 √ 13 Nếu y = 1: Ta có phương trình x = x + 3 ⇔ x = 2 Nếu y = −7: Ta có phương trình x2 + 7x + 21 = 0 (vô nghiệm) √ √ 1 + 13 1 − 13 Vậy phương trình (2.1)... phương trình có 3 nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y| 2 3 −p bằng phép đặt (∗) (đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo t) Khi |y| 2 thì 3 |y| đặt = cos α, từ đó tìm α, suy ra 3 nghiệm y −p 2 3 Còn khi p > 0 không khó chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất: Bài 5: Giải phương trình x3 + 6x + 4 = 0 Giải 1 để đưa về phương trình trùng phương Để ý t phép đặt này không cần điều... (x2 − x − 3)7 6 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Nhà toán học Abel đã chứng minh rằng không có công thức nghiệm tổng quát cho phương trình bậc cao (> 4) Đây cũng không phải là dạng toán quen thuộc ở phổ thông Vì thế bài viết này chỉ đề cập đến một số phương trình bậc cao đặc biệt, có thể giải bằng biến đổi sơ cấp Bài 1: Giải phương trình x5 − x4 − x3 − 11x2 + 25x − 14 = 0 Giải Phương trình đã cho tương đương... + 3x + 6) + 1 = 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {2} 2 Bài 2: Giải phương trình x6 − 7x2 + √ 6 = 0 (∗) Giải Rõ ràng ta không thể đoán nghiệm của phương trình này vì bậc cao và hệ số xấu Một cách tự √ nhiên ta đặt 6 = a Lưu ý rằng ta hi vọng có thể đưa (*) về phương trình bậc hai theo a, do đó ta phân tích 7 = a2 + 1 Công việc còn lại là giải phương trình này: √ Đặt 6 = a, khi đó (∗)