Đề Thi HSG Toán 8 + Đ/án

UBND huyện Đông Hng Đề kiểm tra chọn nguồn HSG Môn Toán lớp 8 Phòng Giáo dục năm học 2005-2006 (Thời gian làm bài 90 phút) Đề bài Câu 1( 5điểm ) : Cho = A [ ] 9 7 :) 3 9 )( 81 5 1881 7 ( 9 7 2 22 + + + + + + + + + + x x x x x x xx x x x a. Rút gọn A. b. Tìm các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên. Câu 2 (6điểm) Chứng minh rằng : a. Nếu ( ) 2 cba ++ = 3.(ab + bc +ca) thì a = b = c b. Nếu c zyx b yxz a xzy + = + = + 222222 và (a ; b ; c ; 2b + 2c a ; 2c +2a b ; 2a + 2b c đều khác 0) Thì cba z bac y acb x + = + = + 222222 Câu 3( 3điểm) Giải phơng trình : 120062005 20062005 =+ xx Câu 4( 4điểm ) : Cho ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE . Gọi O là trọng tâm của ADE, EO cắt AB tại K, I là trung điểm của CD . a. Chứng minh : AOB KOI. b. Tính các góc của OIB. Câu 5( 2điểm) : Cho hình thang ABCD(AB//CD) , Giao điểm hai đờng chéo là O. Đờng thẳng qua O song song với AB, cắt AD và BC lần lợt tại M và N. Chứng minh : MNCDAB 211 =+ đáp án , biểu điểm môn toán lớp 8 chọn nguồn HSG Câu 1 (5điểm) a.(2,5điểm) Rút gọn A. = ( ) ( ) ( ) ( ) 9 7 : 3 9 9 5 3 9 )9( 7 9 7 2 2 222 2 2 + + + + + + + + + + x x x x x x x x x x x x ( 0,5diểm) = ( ) ( )( ) ( )( ) 9 7 : 39 95 3 7 9 7 22 + + ++ + + + + + + + x x xx xx x x x x (0,5điểm) = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 9 7 : 39 959737 2 2 + + ++ +++++++ x x xx xxxxxx (0,25điểm) = ( )( ) ( )( ) 9 7 : 39 454631637 2 22 2 + + ++ ++++++ x x xx xxxxxx (0,5điểm) = ( )( ) ( ) ( )( ) 9 7 : 39 3237 2 22 + + ++ ++++ x x xx xxx (0,25điểm) = ( ) ( ) ( )( ) 7 9 39 93 2 2 + + ++ ++ x x xx xx (0,25điểm) = 7 9 + + x x (0,25điểm) b.(2,5 điểm) Tìm các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên. ĐK : 9x ; 3x ; 7x (0,5điểm) A = 7 9 + + x x = 1 + 7 2 +x (0,5điểm) Để A nguyên thì 7 2 +x nguyên => Do x là số nguyên => x + 7 là ớc của 2 ; 2 = ( 1 ; 2 ) (0,5điểm) (0,5điểm) x = -9 (loại) . Vậy với x { 5 ; -6 ; -8 } thì A có giá trị là số nguyên. (0,5điểm) Câu 2 (6điểm) a.(2,5 điểm) Chứng minh rằng : Nếu ( ) 2 cba ++ = 3.(ab + bc +ca) Thì a = b = c ( ) 2 cba ++ = 3.(ab + bc +ca) (0,5điểm) => 2(a + b + c) 2 = 6(ab + bc +ca) (0,5điểm) => 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 + 4ab + 4bc + 4ca = 6ab + 6bc + 6ca (0,5điểm) => 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab 2bc 2ca = 0 (0,5điểm) => (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 = 0 (0,25điểm) Lập luận đợc a =b = c . (0,25điểm) b.(3,5 điểm) Chứng minh rằng nếu c zyx b yxz a xzy + = + = + 222222 Và a ; b ; c ; 2b + 2c a ; 2c +2a b ; 2a + 2b c đều khác 0 Thì cba z bac y acb x + = + = + 222222 Đặt : c zyx b yxz a xzy + = + = + 222222 = k (0,1điểm) => k c zyx b yxz a xzy = + = + = + 22 2 244 2 244 (0,25điểm) x +7 - 2 - 1 1 2 x -9 -8 -6 -5 A ED K O I B C => k cba zyxyxzxzy = + ++++ 22 22244244 (0,25điểm) => k cba z = + 22 9 => 922 k cba z = + (*) (0,25điểm) Tơng tự : Đặt k b yxz a xzy c zyx = + = + = + 222222 (0,25điểm) => k b yxz a xzy c zyx = + = + = + 22 2 244 2 244 (0,25điểm) => k bac yxzxzyzyx = + ++++ 22 22244244 (0,25điểm) => k bac y = + 22 9 => 922 k bac y = + (**) (0,25điểm) Tơng tự ta có : 922 k acb x = + (***) (0,25điểm) Từ (*) ; (**) ; (***) => cba z bac y acb x + = + = + 222222 (0,5điểm) Câu 3( 3đ) : Giải phơng trình 120062005 20062005 =+ xx x = 2005 ; x = 2006 Giá trị vế trái bằng giá trị vế phải và bằng 1. Vậy nghiệm của phơng trình là x 1 = 2005 ; x 2 = 2006. (0,5điểm) Ta xét các trờng hợp sau : * Nếu x < 2005 thì 2005x > 0 và 2006x > 1 do đó 20062005 20062005 + xx > 1 (0,5điểm) * Nếu x > 2006 thì 2005x > 1và 2006x > 0 do đó 2006 2005 20062005 + xx > 1 (0,5điểm) * Nếu 2005 < x < 2006 thì 0 < x 2005 < 1 -1 < x 2006 < 0 => 2005 2005x < 2005x = x 2005 2006 2006x < 2006x = 2006 - x (0,5điểm) => 20062005 20062005 + xx < x 2005 + 2006 x = 1 . => PT vô nghiệm. (0,5điểm) Vậy Phơng trình chỉ có hai nghiệm là x 1 = 2005 ; x 2 = 2006. (0,5điểm) Câu 4( 4đ ) : Cho ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE . Gọi O là trọng tâm của ADE, EO cắt AB tại K, I là trung điểm của CD . a. Chứng minh : AOB KOI. b. Tính các góc của OIB ABC (AB = BC = CD) D AB ; E AC BD = CE ; O trọng tâm của ADE EO x A = K ; ID = IC a. Chứng minh : AOB KOI. b. Tính các góc của OIB (Vẽ hình , ghi GT + KL đúng cho 0,5 điểm) a ) Chứng minh : AOB KOI(2 điểm) Chứng minh KI là đờng trung bình của tam giác ADC => KI//AC (0,5 điểm) => . 30 0 KAOAEKEKI === (3) và KI= 2 1 AC= 2 1 AB (4). (0,5 điểm) CM tam giác AOK vuông ở K và có 0 30 = KAO => OK= 2 1 OA. (5) (0,5 điểm) Từ (3), (4), (5) có OAB đồng dạng với OKI (c,g,c) (0,5 điểm) b). Tính các góc của OIB(1,5 điểm) Từ OAB đồng dạng với OKI=> IOKBOA = và OB OI OA OK = (0,25 điểm) Từ đó chứng minh đợc: IOBAOK = và OB OA OI OK = (0,25 điểm) => KOA đồng dạng với IOB (c,g,c) (0,5 điểm) => Tính đợc 000 60 ;30 ;90 === IOBIBOBIO . (0,5 điểm) Câu 5(2điểm) ABCD(AB//CD) A B GT AC x BD = O M N MN // AB ; MN x AC = O O KL MNCDAB 211 =+ D C (Vẽ hình, ghi GT + KL đúng cho 0, 5 điiểm) Chứng minh : MNCDAB 211 =+ MN // AB //CD = > Theo Đ/Lý TaLét ta có : AD AM CD MO = ; DA DM AB MO = => 1== + =+=+ AD AD AD DMAM AD DM AD AM AB MO CD MO (0,5 điểm) Tơng tự : 1=+ AB NO CD NO (0,25 điểm) Vậy CD NOMO + + AB NOMO + = 2 <=> 2=+ AB MN CD MN (0,5 điểm) Chia cả 2 vế cho MN => MNCDAB 211 =+ Điều phải chứng minh. (0,25 điểm) . ) 9 7 : 39 454631637 2 22 2 + + ++ ++ ++ + + x x xx xxxxxx (0,5điểm) = ( )( ) ( ) ( )( ) 9 7 : 39 3237 2 22 + + ++ ++ ++ x x xx xxx (0,25điểm) = ( ) ( ) ( )( ) 7 9 39 93 2 2 + + ++ ++ x x xx xx (0,25điểm) = 7 9 + + x x (0,25điểm) b.(2,5. )( ) ( )( ) 9 7 : 39 95 3 7 9 7 22 + + ++ + + + + + + + x x xx xx x x x x (0,5điểm) = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 9 7 : 39 959737 2 2 + + ++ ++ ++ + ++ x x xx xxxxxx (0,25điểm) = ( )(. : MNCDAB 211 =+ đáp án , biểu điểm môn toán lớp 8 chọn nguồn HSG Câu 1 (5điểm) a.(2,5điểm) Rút gọn A. = ( ) ( ) ( ) ( ) 9 7 : 3 9 9 5 3 9 )9( 7 9 7 2 2 222 2 2 + + + + + + + + + + x x x x x x x x x x x x