Bộ đề toán tham khảo thi Đại học

BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC ĐỀ 1 I. PHẦN CHUNG Câu 1: ( 2 điểm) Cho hàm số ( ) m Cmmxmxy 55)2(2 224 +−+−+= 1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2, Với những giá trị nào của m thì đồ thị ( C m ) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. Câu 2: ( 2 điểm) 1, Giải phương trình: ( ) 2 1 )3cos1)(2cos1(cos1 =+++ xxx 2, Giải hệ phương trình:      =+−+ =+−+++−− +− +− 1)4(log)5(log 6)12(log)22(log2 21 2 21 xy xxyxxy yx yx Câu 3: ( 2 điểm ) 1, Tính tích phân: ( ) ∫ − = 1 3 1 4 3 1 3 dx x xx I . 2, Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abccabcab =++ . Chứng minh rằng: ( ) 1 )()( 33 44 33 44 33 44 ≥ + + + + + + + + acca ac cbbc cb baab ba Câu 4: ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: 012 =−++ zyx và đường thẳng ( d) có phương trình:    =++ =−− 022 022 zy yx 1, Tìm toạ độ giao điểm A của ( d) và (P). Tính số đo góc tạo bởi ( d) và (P). 2, Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ đi qua A, ( ) ∆ nằm trong (P) sao cho góc tạo bởi hai đường thẳng ( ) ∆ và ( d) bằng 45 0 . II. PHẦN RIÊNG ( Thí sinh chỉ làm một trong hai phần) Câu 5A: ( 2 điểm ) ( Dành cho THPT không phân ban) 1, Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A( 2;5 ), B9 4; 1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: 093 =+− yx . 2, Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức: ( ) ( ) ( ) n n n nnn C n CnCC 2 22 2 2 1 2 2 =+++ Câu 5B: ( 2 điểm) ( Dành cho THPT phân ban) 1, Giải phương trình: ( ) xxx 4log1log 4 1 )3(log 2 1 2 8 4 2 =−++ . 2, Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao cũng bằng a. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. EBK. ĐÁP ÁN ĐỀ 1 I. PHẦN CHUNG Câu 1: ( 2 điểm) Cho hàm số ( ) m Cmmxmxy 55)2(2 224 +−+−+= 1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2, Với những giá trị nào của m thì đồ thị ( C m ) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. Đk để ( C m ) có 3 điểm cực trị là m < 2. Các điểm cực trị của ( C m ) là ( ) ( ) ( ) mmCmmBmmA −−−−−+− 1;2;1;2;55;0 2 Đáp số: 3 32 −=m 1 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC Câu 2: ( 2 điểm) 1, Giải phương trình: ( ) 2 1 )3cos1)(2cos1(cos1 =+++ xxx Đưa phương trình về dạng: 16 1 2 3 cos.cos. 2 cos 2 =       x x x Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng giải hai phương trình: 4 1 2 3 cos.cos. 2 cos = x x x và 4 1 2 3 cos.cos. 2 cos −= x x x Ta được các họ nghiệm của phương trình đã cho là: ( ) Zmkmx k x ∈+±=+= ,2 3 2 ; 24 π πππ 2, Giải hệ phương trình:      =+−+ =+−+++−− +− +− 1)4(log)5(log 6)12(log)22(log2 21 2 21 xy xxyxxy yx yx ĐK    −≠−> ≠<<− 1;2 0,14 yy xx Đưa phương trình thứ nhất của hệ về dạng: ( ) 21log)2(log 21 =−++ +− xy yx Đặt )2(log 1 yt x += − , tìm được t = 1, kết hợp với phương trình thứ hai của hệ,đối chiếu với điều kiện trên, tìm được nghiệm ( ) ( ) 1;2; −=yx . Câu 3: ( 2 điểm ) 1, Tính tích phân: ( ) ∫ − = 1 3 1 4 3 1 3 dx x xx I . Đưa I về dạng: ∫       −= 1 3 1 3 3 1 2 1 .1 1 dx xx I . Dùng phương pháp đổi biến số, đặt 1 1 2 −= x t Đáp số: I = 6. 2, Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abccabcab =++ . Chứng minh rằng: ( ) 1 )()( 33 44 33 44 33 44 ≥ + + + + + + + + acca ac cbbc cb baab ba Từ ( ) ( ) ( ) babaabbbaabaabbaba ++=+++≥+⇒+≥+ 333434443344 2 . Vậy ( )       += + ≥ + + baab ba baab ba 11 2 1 2 33 44 . Tương tự cho các bất đẳng thức còn lại, suy ra đpcm. Câu 4: ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: 012 =−++ zyx và đường thẳng ( d) có phương trình:    =++ =−− 022 022 zy yx 1, Tìm toạ độ giao điểm A của ( d) và (P). Tính số đo góc tạo bởi ( d) và (P). Đáp số. 1) ( ) ( ) 0 30)(,;1;0;1 =∠− PdA . 2, Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ đi qua A, ( ) ∆ nằm trong (P) sao cho góc tạo bởi hai đường thẳng ( ) ∆ và ( d) bằng 45 0 . Hai đường thẳng thoả mãn đề bài có phương trình: ( ) ( ) 335 1 3132 1 :; 335 1 3132 1 : 21 + + = −− = −− − ∆ − + = +− = +− − ∆ zyxzyx 2 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC II. PHẦN RIÊNG ( Thí sinh chỉ làm một trong hai phần) Câu 5A: ( 2 điểm ) ( Dành cho THPT không phân ban) 1. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A( 2;5 ), B(4; 1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: 093 =+− yx . Hai đường tròn thoả mãn đề bài có phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2501017:;1021: 22 2 22 1 =−+−=−+− yxCyxC 2, Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức: ( ) ( ) ( ) n n n nnn C n CnCC 2 22 2 2 1 2 2 =+++ Đặt S là vế trái hệ thức cần chứng minh, lưu ý 1 0 == n nn CC và kn n k n CC − = ta thấy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 22 1 2 2 2 1 n n n nnn CnCnCnCnS ++++= − Từ ( ) ( ) ( ) Rxxxx nnn ∈∀+=++ ,111 2 . So sánh hệ số của n x trong khai triển nhị thức Newton của ( ) ( ) nn xx ++ 11 và ( ) n x 2 1+ ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 1 n n n nnn CCCC =+++ Từ (1) và (2) có đpcm. Câu 5B: ( 2 điểm) ( Dành cho THPT phân ban) 1, Giải phương trình: ( ) xxx 4log1log 4 1 )3(log 2 1 2 8 4 2 =−++ . Đk x > 0 và 1≠x . Đưa phương trình về dạng ( ) xxx 4log1log)3(log 222 =−++ . Xét hai khả năng 0 < x < 1 và x > 1, đối chiếu với điều kiện ta tìm được hai nghiệm của phương trình là: 323 +−=x và x = 3. 2, Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao cũng bằng a. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. EBK. Đáp số: 8 29a R = . ĐỀ 2 Câu 1: Cho hàm số y = 2 3 2 x x − − có đồ thị là (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, b sao cho AB ngắn nhất Câu 2: 1/.Giải phương trình: 2 2 sin( ).cos 1 12 x x π − = 2/.Giải hệ phương trình: 3 3 3 2 2 8 27 18 (1) 4 6 (2) x y y x y x y + =   + =  Câu 3: 1) Tính tích phân I = 2 2 6 1 sin sin 2 x x dx π π × + ∫ 2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực: (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1) 3 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 1 8 1 8 1 8 1 a b c c a b + + ≥ + + + Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =60 0 , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). Phần riêng: 1.Theo chương trình chuẩn: Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0; khoảng cách từ C đến (∆ ) bằng 2 lần khoảng cách từ B đến (∆). Tìm A, C biết C thuộc trục tung. Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai đường thẳng : (d 1 ) 3 2 1 1 1 2 y z x − + + = = ; (d 2 ) 1 2 2 ( ) 1 x t y t t z t = +   = + ∈   = +  ¡ . Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mp(P) và cắt cả 2 đường thẳng (d 1 ) , (d 2 ) 2.Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Cho ∆ ABC có diện tích bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0. tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ∆ ABC. Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 +4x –6y +m =0. Tìm tất cả các giá trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN= 8. ĐÁP ÁN ĐỀ 2 Câu 1: Cho hàm số y = 2 3 2 x x − − có đồ thị là (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất Gọi M(x o ; 0 0 2 3 2 x x − − )∈ (C) . Phương trình tiếp tuyến tại M: (∆) y = 2 0 0 2 2 0 0 2 6 6 ( 2) ( 2) x x x x x − + − + − − (∆ ) ∩ TCĐ = A (2; 0 0 2 2 2 x x − − ) (∆ ) ∩ TCN = B (2x 0 –2; 2) 0 0 2 (2 4; ) 2 AB x x − = − − uuur ⇒ AB = 2 0 2 0 4 4( 2) 2 2 ( 2) cauchy x x − + − ≥ ⇒ AB min = 2 2 ⇔ 0 3 (3;3) 1 (1;1) o x M x M = →   = →  Câu 2: 1) Giải phương trình: 2 2 sin( ).cos 1 12 x x π − = 4 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC phương trình ⇔ 2(cosx–sinx)(sinx– 3 cosx)=0 ⇔ 3 ( ) 4 x k k x k π π π π  = +  ∈  = +   ¢ 2).Giải hệ phương trình: 3 3 3 2 2 8 27 18 (1) 4 6 (2) x y y x y x y + =   + =  (1) ⇒ y ≠ 0 Hệ ⇔ 3 3 3 3 2 2 27 3 8 18 (2 ) 18 4 6 3 3 1 2 . 2 3 x x y y x x x x y y y y     + = + =   ÷      ⇔       + = + =  ÷       Đặt a = 2x; b = 3 y . Ta có hệ: 3 3 3 18 1 ( ) 3 a b a b ab ab a b + = + =   ⇔   = + =   → Hệ đã cho có 2 nghiệm 3 5 6 3 5 6 ; , ; 4 4 3 5 3 5     − +  ÷  ÷     + − Câu 3: 1) Tính tích phân I = 2 2 6 1 sin sin 2 x x dx π π × + ∫ I = 2 2 6 3 cos (cos ) 2 π π − − × ∫ x d x . Đặt 3 cos cos 2 x u= × ⇒ I ∫ ⋅= 2 4 2 sin 2 3 π π udu = ( ) 3 2 16 π + 2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực: (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1) Đk x ≥ 0. đặt t = x ; t ≥ 0 (1) trở thành (m–3)t+(2-m)t 2 +3-m = 0 ⇔ 2 2 2 3 3 1 t t m t t − + = − + (2) Xét hàm số f(t) = 2 2 2 3 3 1 t t t t − + − + (t ≥ 0) Lập bảng biến thiên (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ≥ 0 ⇔ 5 3 3 m≤ ≤ Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 1 8 1 8 1 8 1 a b c c a b + + ≥ + + + 3 2 2 8 1 (2 1)(4 2 1) 2 1 cauchy c c c c c+ = + − + ≤ + ⇒ 2 3 2 1 8 1 a a c c ≥ + + 5 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC Tương tự, 2 2 3 3 ; 2 1 2 1 8 1 8 1 b b c c a b a b ≥ ≥ + + + + Ta sẽ chứng minh: 2 2 2 1 (1) 2 1 2 1 2 1 a b c c a b + + ≥ + + + Bđt(1) ⇔ 4(a 3 b 2 +b 3 a 2 +c 3 a 2 ) +2(a 3 +b 3 +c 3 )+2(ab 2 +bc 2 +ca 2 )+( a+b+c) ≥ ≥ 8a 2 b 2 c 2 +4(a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 ) +2 (a 2 +b 2 +c 2 )+1 (2) Ta có: 2a 3 b 2 +2ab 2 ≥ 4a 2 b 2 ; …. (3) 2(a 3 b 2 +b 3 a 2 +c 3 a 2 ) ≥ 2.3. 3 5 5 5 a b c =6 (do abc =1)(4) a 3 +b 3 +c 3 ≥ 3abc =3 = 1 +2 a 2 b 2 c 2 (5) a 3 +a ≥ 2a 2 ; …. (6) Công các vế của (3), (4), (5), (6), ta được (2). Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =60 0 , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). Gọi M là trung điểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM. Suy ra: SM =AM = 3 2 a ; · 0 60AMS = và SO ⊥ mp(ABC) ⇒ d(S; BAC) = SO = 3 4 a ⇒ V(S.ABC) = 3 3 1 ( ). 3 16 a dt ABC SO = Mặt khác, V(S.ABC) = 1 ( ). ( ; ) 3 dt SAC d B SAC ∆SAC cân tại C có CS =CA =a; SA = 3 2 a ⇒ dt(SAC) = 2 13 3 16 a Vậy d(B; SAC) = 3 3 ( ) 13 V a dt SAC = Phần riêng: 1.Theo chương trình chuẩn: Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0; khoảng cách từ C đến (∆ ) bằng 2 lần khoảng cách từ B đến (∆). Tìm A, C biết C thuộc trục tung. Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của B, C lên (∆). M là đối xứng của B qua ∆ ⇒ M ∈ AC và M là trung điểm của AC. (BH): x –2y + 3 =0 → H ( ) 7 1 ; 5 5 − → M ( ) 7 4 ; 5 5 − BH = 3 5 5 ⇒CI = 6 5 5 ; C∈ Oy ⇒ C(0; y 0 ) ⇒ 0 7 5 o y y =   = −  C(0; 7) ⇒ A ( ) 27 14 ; 5 5 − − ∉ (∆)→loại (0; –5) ⇒ A ( ) 33 14 ; 5 5 − ∈ (∆)→ nhận. Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai đường thẳng : (d 1 ) 3 2 1 1 1 2 y z x − + + = = ; (d 2 ) 1 2 2 ( ) 1 x t y t t z t = +   = + ∈   = +  ¡ . Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mp(P) và cắt cả 2 đường thẳng (d 1 ) , (d 2 ) 6 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC (P) ∩ (d 1 ) = A(1;1;2); (P) ∩ (d 2 ) = B(3;3;2)→ (∆) 1 2 1 2 ( ) 2 x t y t t z = −   = − ∈   =  ¡ 2.Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Cho ∆ ABC có diện tích bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0. tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ∆ ABC. C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) = 5 2 2 ABC a b S AB ∆ − − = ⇒ 8(1) 5 3 2(2) a b a b a b − =  − − = ⇔  − =  Trọng tâm G ( ) 5 5 ; 3 3 a b+ − ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3) (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = 3 2 65 89 S p = + + (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ 3 2 2 5 S r p = = + Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 +4x –6y +m =0. Tìm tất cả các giá trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN= 8. (S) tâm I(-2;3;0), bán kính R= 13 ( 13)m IM m− = < Gọi H là trung điểm của MN ⇒ MH= 4 ⇒ IH = d(I; d) = 3m− − (d) qua A(0;1;-1), VTCP (2;1;2)u = r ⇒ d(I; d) = ; 3 u AI u     = r uur r Vậy : 3m− − =3 ⇔ m = –12( thỏa đk) ĐỀ 3 A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số mxxmxy −++−= 9)1(3 23 , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1=m . 2. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 21 , xx sao cho 2 21 ≤− xx . Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: ) 2 sin(2 cossin 2sin cot 2 1 π += + + x xx x x . 2. Giải phương trình: )12(log1)13(log2 3 5 5 +=+− xx . Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân ∫ + + = 5 1 2 13 1 dx xx x I . Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều '''. CBAABC có ).0(',1 >== mmCCAB Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng 'AB và 'BC bằng 0 60 . Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm zyx ,, thoả mãn 3 222 =++ zyx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 7 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC zyx zxyzxyA ++ +++= 5 . B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b). a. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa. (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Oxy cho tam giác ABC có )6;4(A , phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là 0132 =+− yx và 029136 =+− yx . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2. Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho hình vuông MNPQ có )4;3;2(),1;3;5( −− PM . Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng .06:)( =−−+ zyx γ Câu VIIa. (1,0 điểm) Cho tập { } 6,5,4,3,2,1,0=E . Từ các chữ số của tập E lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? b. Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb. 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Oxy xét elíp )(E đi qua điểm )3;2( −−M và có phương trình một đường chuẩn là .08 =+x Viết phương trình chính tắc của ).(E 2. Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho các điểm )2;3;0(),0;1;0(),0;0;1( CBA và mặt phẳng .022:)( =++ yx α Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm CBA ,, và mặt phẳng ).( α Câu VIIb. (1,0 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức n xnxx )1( )1(21 2 −++−+− thu được đa thức n n xaxaaxP +++= )( 10 . Tính hệ số 8 a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn n CC nn 171 32 =+ . ĐÁP ÁN ĐỀ 3 A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số mxxmxy −++−= 9)1(3 23 , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1 = m . Với 1 = m ta có 196 23 −+−= xxxy . * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên • Chiều biến thiên: )34(39123' 22 +−=+−= xxxxy Ta có    < > ⇔> 1 3 0' x x y , 310' <<⇔< xy . Do đó: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )1,(−∞ và ),3( ∞+ . + Hàm số nghịch biến trên khoảng ).3,1( 8 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC • Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1=x và 3)1( == yy CD ; đạt cực tiểu tại 3=x và 1)3( −== yy CT . • Giới hạn: +∞=−∞= +∞→−∞→ yy xx lim;lim . • Bảng biến thiên: • Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm )1,0( − . 2.Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 21 , xx sao cho 2 21 ≤− xx . Ta có .9)1(63' 2 ++−= xmxy +) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 21 , xx ⇔ phương trình 0'=y có hai nghiệm pb là 21 , xx ⇔ Pt 03)1(2 2 =++− xmx có hai nghiệm phân biệt là 21 , xx .     −−< +−> ⇔>−+=∆⇔ 31 31 03)1(' 2 m m m )1( +) Theo định lý Viet ta có .3);1(2 2121 =+=+ xxmxx Khi đó ( ) ( ) 41214442 2 21 2 2121 ≤−+⇔≤−+⇔≤− mxxxxxx )2(134)1( 2 ≤≤−⇔≤+⇔ mm Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là 313 −−<≤− m và .131 ≤<+− m Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: ) 2 sin(2 cossin 2sin cot 2 1 π += + + x xx x x . Điều kiện: .0cossin,0sin ≠+≠ xxx Pt đã cho trở thành 0cos2 cossin cossin2 sin2 cos =− + + x xx xx x x 02sin) 4 sin(cos 0 cossin cos2 sin2 cos 2 =       −+⇔ = + −⇔ xxx xx x x x π +) ., 2 0cos ∈+=⇔= kkxx π π +) ∈       += += ⇔       +−−= ++= ⇔+= nm n x mx nxx mxx xx , 3 2 4 2 4 2 4 2 2 4 2 ) 4 sin(2sin ππ π π π π π π π π ., 3 2 4 ∈+=⇔ t t x ππ Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là π π kx += 2 ; .,, 3 2 4 ∈+= tk t x ππ 2.Giải phương trình: )12(log1)13(log2 3 5 5 +=+− xx . 9 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC Điều kiện . 3 1 >x (*) Với đk trên, pt đã cho )12(log31)13(log 5 2 5 +=+−⇔ xx 32 3 5 2 5 )12()13(5 )12(log)13(5log +=−⇔ +=−⇔ xx xx     = = ⇔ =−−⇔ =−+−⇔ 8 1 2 0)18()2( 0436338 2 23 x x xx xxx Đối chiếu điều kiện (*), ta có nghiệm của pt là .2 = x Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân ∫ + + = 5 1 2 13 1 dx xx x I . Đặt 3 2 132 3 13 tdt dx x dx dtxt =⇒ + =⇒+= . Khi 1=x thì t = 2, và khi x = 5 thì t = 4. Suy ra ∫ − +         − = 4 2 2 2 2 3 2 . . 3 1 1 3 1 tdt t t t I ∫∫ − +−= 4 2 2 4 2 2 1 2)1( 9 2 t dt dtt . 5 9 ln 27 100 2 4 1 1 ln 2 4 3 1 9 2 3 += + − +       −= t t tt Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều '''. CBAABC có ).0(',1 >== mmCCAB Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng 'AB và 'BC bằng 0 60 . - Kẻ )''('// BADABBD ∈ 0 60)',()','( ==⇒ BCBDBCAB 0 60'=∠⇒ DBC hoặc .120' 0 =∠DBC - Nếu 0 60'=∠DBC Vì lăng trụ đều nên ).'''(' CBABB ⊥ áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta có 1' 2 +== mBCBD và .3'=DC Kết hợp 0 60'=∠DBC ta suy ra 'BDC ∆ đều. Do đó .231 2 =⇔=+ mm - Nếu 0 120'=∠DBC áp dụng định lý cosin cho 'BDC∆ suy ra 0=m (loại). Vậy .2=m 10 A C C’ B’ B A’ m D 3 1 1 0 120 [...]... 2 ⇒ ( a + b) ( a + c) BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC ≥ ( ab + ac ) a a a ≤ = a + (a + b)(a + c) a + ab + ac a+ b+ c CM t2 rồi cộng vế với vế ta được dpcm ⇒ ĐỀ 7 A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7.0 điểm) Câu I :( 2, 0 điểm) Cho hàm số y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx − 5 , m là tham số 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0 2 Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị... với parabol y = x2 +5 33 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC  Câu VIIb :(1,0 điểm) Cho khai triển  2log 2 3 9x −1 + 7  +2 ( 8 ) 1 − log 2 3x −1 +1 5 ÷ Hãy tìm các giá trị của x biết  rằng số hạng thứ 6 trong khai triển này là 224 ĐÁP ÁN ĐỀ 7 A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7.0 điểm) Câu I :( 2, 0 điểm) Cho hàm số y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx − 5 , m là tham số 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C )... 1 + 3 = 2 Cn Cn n 13 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC n ≥ 3 1 7 1  7.3! 1 Ta có 2 + 3 = ⇔  2 Cn Cn n  n(n − 1) + n( n − 1)(n − 2) = n  n ≥ 3 ⇔ 2 ⇔ n = 9 n − 5n − 36 = 0  Suy ra a8 là hệ số của x8 trong biểu thức 8(1 − x)8 + 9(1 − x)9 8 8 Đó là 8.C8 + 9.C 9 = 89 ĐỀ 4 I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm)Cho hàm số y = x+2 (C) x −1 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm... d: x −1 y +1 z = = Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, 2 1 −1 cắt và vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ của điểm M’ đối xứng với M qua d 14 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC Câu VII.a (1 điểm) Một lớp học có 40 học sinh, cần cử ra một ban cán sự gồm một lớp trưởng, một lớp phó và 3 ủy viên (Biết rằng không phân biệt các chức danh là ủy viên) Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một ban... ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d  x = 1 + 2t  d có phương trình tham số là:  y = −1 + t z = −t  uuuu r Vì H ∈ d nên tọa độ H (1 + 2t ; − 1 + t ; − t).Suy ra : MH = (2t − 1 ; − 2 + t ; − t) r Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là u = (2 ; 1 ; −1), nên : 18 C BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC uuuu r 1 4 2 2 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = Vì thế, MH =  3 ; −... ycbt : 2 2 2 14   1  11   ( S1 ) :  x − ÷ +  y + ÷ +  z − ÷ = 13 6  3  6  ( S2 ) :  x +   2 2 2 1  1  7 ÷ +  y + ÷ +  z − ÷ = 13 3  3  3 19 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC Câu VII.b (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị x2 + x −1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB x thuộc trục tung  Phương trình hoành độ giao... =1200.Trên đường thẳng vuông góc với mặt 22 B D A C BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA = a 3 Gọi I là trung điểm đoạn BC Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC) & tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC theo a +Gọi D là trung điểm BC ⇒ AD ⊥ BC (Vì ABC cân tại A) ⇒ AD ⊥ (SBC) +Gọi E trung điểm SB ⇒ AE ⊥ SB (Vì SAB đều) ⇒ DE ⊥ SB (Định lý 3 đường vuông góc) +SC//DE... = 0 1.a − 1.b + 1.(2a − b) 1 0 Yêu cầu bài toán cho ta: = sin 30 = 2 2 1 + (−1) 2 + 12 a 2 + b2 + (2a − b) 2 ⇔ 2 3a − 2b = 3(5a 2 − 4ab + 2b 2 ) ⇔ 21a 2 − 36ab + 10b 2 = 0  18 − 114 a = 21 Dễ thấy b ≠ 0 nên chọn b=1, suy ra:   18 + 114 a =  21 18 + 114 15 + 2 114 3 − 114 KL: Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn: x+ y+ z− =0 21 21 21 25 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC 18 − 114 15 − 2 114 3 + 114 x+ y+ z− = 0... : mx − y − 3m = 0 ( m là tham số) Gọi I là tâm của đường tròn Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B thoả mãn chu vi ∆ IAB bằng 5(2 + 2) x −1 y z +1 = = 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : (d1 ) : và −2 1 1 x y − 2 z +1 (d 2 ) : = = Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) và hợp với (d2) một góc 1 −1 1 300 26 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC Câu VII.a (1 điểm): Chứng... b ⇔ Do (α ) qua A, B nên:  nên −a + b + d = 0  d = a−b (α ) : ax + by + (2a − b) z + a − b = 0 Yêu cầu bài toán cho ta: 1.a − 1.b + 1.(2a − b) 1 = sin 300 = 2 12 + (−1) 2 + 12 a 2 + b2 + (2a − b) 2 ⇔ 2 3a − 2b = 3(5a 2 − 4ab + 2b 2 ) ⇔ 21a 2 − 36ab + 10b 2 = 0 30 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC  18 − 114 a = 21 Dễ thấy b ≠ 0 nên chọn b=1, suy ra:   18 + 114 a =  21 18 + 114 15 + 2 114 3 − 114 KL: . BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC ĐỀ 1 I. PHẦN CHUNG Câu 1: ( 2 điểm) Cho hàm số ( ) m Cmmxmxy 55)2(2 224 +−+−+= 1, Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số khi m =. khoảng ).3,1( 8 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC • Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1=x và 3)1( == yy CD ; đạt cực tiểu tại 3=x và 1)3( −== yy CT . • Giới hạn: +∞=−∞= +∞→−∞→ yy xx lim;lim . • Bảng biến thi n:. đường thẳng d và tìm toạ độ của điểm M’ đối xứng với M qua d 14 BỘ 1 TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC Câu VII.a (1 điểm) Một lớp học có 40 học sinh, cần cử ra một ban cán sự gồm một lớp trưởng, một lớp phó