luận văn bất đẳng thức hardy và mở rộng

Danh mục các kí hiệu 2Danh mục các kí hiệu µ∗I độ đo ngoài Lebesgue của I LpI gian các hàm có lũy thừa bậc p của modun khả tích trong I LplocI không gian các hàm có lũy thừa bậc p của mo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS ĐẶNG ANH TUẤN

Hà Nội - Năm 2012

Danh mục các kí hiệu 2

Danh mục các kí hiệu

µ∗(I) độ đo ngoài Lebesgue của I

Lp(I) gian các hàm có lũy thừa bậc p của modun khả tích trong I

Lploc(I) không gian các hàm có lũy thừa bậc p của modun khả tích địa phương trong I

V arIu biến phân của hàm u trong I

BP V (I) không gian các hàm có biến phân bị chặn trong I

BP Vloc(I) không gian các hàm có biến phân bị chặn địa phương trong I

AC(I) không gian các hàm liên tục tuyệt đối trong I

ACloc(I) không gian các hàm liên tục tuyệt đối địa phương trong I

b

R

x

f (t)dtW(I) tập các hàm trọng trong I

M+(I) tập các hàm đo được không âm h.k.n trong I

Mục lục

Lời cảm ơn 1

Danh mục các kí hiệu 2

Lời nói đầu 4

1 Các kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Nhắc lại một vài kết quả trong độ đo và tích phân Lebesgue 5

1.2 Hàm đơn điệu 14

1.3 Hàm có biến phân bị chặn 25

1.4 Hàm liên tục tuyệt đối 27

2 Các bất đẳng thức kiểu Hardy một chiều 59 2.1 Bất đẳng thức Hardy gốc trong không gian một chiều 59

2.2 Các bất đẳng thức kiểu Hardy một chiều 70

2.3 Một số ví dụ 91

Kết luận 97

Tài liệu tham khảo 98

3

Lời nói đầu 4

Lời nói đầu

Bất đẳng thức liên quan đến tích phân của một hàm và đạo hàm của hàm đó xuấthiện thường xuyên trong các ngành khác nhau của toán học và đó có thể coi là mộtcông cụ hữu ích trong toán học, ví dụ trong lý thuyết và bài tập của phương trình viphân, trong lý thuyết xấp xỉ, trong xác suất, Trong những thập kỷ qua, chủ đề nàytiếp tục được mở rộng Một trong những bất đẳng thức liên quan đến tích phân quantrọng đó là: Bất đẳng thức Hardy

Năm 1920, G.H.Hardy đã chứng minh được bất đẳng thức Hardy ở dạng cơ bảntrong không gian một chiều Nhưng chứng minh của ông chưa được đầy đủ vì chưa tìm

ra được hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức Năm 1926, E.Landau đã chỉ ra được giátrị tốt nhất của hằng số trong bất đẳng thức

Những năm sau đó nhiều nhà toán học đã nghiên cứu độc lập và tìm cách mở rộngbất đẳng thức Hardy cổ điển Trong các hướng mở rộng có hướng mở rộng lớp hàmtrọng, nghĩa là các hàm đo được và dương hầu khắp nơi Luận văn của tôi tìm hiểu vềbất đẳng thức Hardy trong không gian một chiều và một số bất đẳng thức kiểu Hardykhi mở rộng theo hướng thêm các “hàm trọng” Luận văn được chia làm hai chương.Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Trong chương này, tôi trình bày các kết quả liên quan đến sự khả vi, khả tích Lebesguecủa các hàm đơn điệu dựa trên tài liệu tham khảo [1] của Hoàng Tụy, Định lý Funini

về việc chuyển dấu đạo hàm qua dấu tổng dựa trên tài liệu [2] của Ralph Howard, hàm

có biến phân bị chặn và hàm liên tục tuyệt đối dựa trên tài liệu tham khảo [3] củaGiovanni Leoni Phần cuối của chương này đã chứng minh được kết quả quan trọng,

đó là định lý cơ bản của phép tính vi tích phân đối với tích phân Lebesgue

Chương 2: Các bất đẳng thức kiểu Hardy một chiều

Trong chương này, tôi trình bày chứng minh bất đẳng thức Hardy gốc dựa trên tài liệutham khảo [5] của D.T.Shum Sau đó trình bày sự mở rộng của bất đẳng thức Hardykhi bổ sung thêm các hàm trọng, và đã chứng minh được các điều kiện ràng buộc đểcác kiểu mở rộng là đúng dựa trên tài liệu tham khảo [4] của B Opic and A Kufner

Vì trình độ còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những sai sót, tác giả

hy vọng sẽ nhận được nhiều ý kiến đóng góp từ các thầy cô giáo và bạn đọc để luậnvăn được hoàn chỉnh hơn

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tôi sẽ đề cập đến một số tính chất của các hàm đơn điệu, cáchàm có biến phân bị chặn và các hàm liên tục tuyệt đối Các hàm này có vai trò quantrọng để chúng ta nghiên cứu về bất đẳng thức Hardy cũng như các bất đẳng thứckiểu Hardy

1.1 Nhắc lại một vài kết quả trong độ đo và tích

Hàm tập µ∗ là một độ đo ngoài trên R như vậy ta có thể áp dụng định lýCaratheodory để xây dựng một độ đo trên R, đó chính là độ đo Lebesgue

Định nghĩa 1.1.2 [1](Độ đo Lebesgue) Cho hàm µ∗ : L → [0,∞] trong đó L là lớptất cả các tập con A của R sao cho

µ∗(E) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E\A) với mọi E ⊂ R,

là độ đo Lebesgue trên R, ký hiệu là µ và A được gọi là tập đo được Lebesgue

Theo định lí Caratheodory thì lớp các tập đo được Lebesgue L là một σ- đại số Chú ý 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 có thể thay bằng

1.1 Nhắc lại một vài kết quả trong độ đo và tích phân Lebesgue 6Khi đó với mọi ε > 0 thì tồn tại các khoảng mở ∆i, i = 1, 2, sao cho

Định nghĩa 1.1.3 [1](Tập mở) Một tập hợp G trong không gian mêtric X được gọi

là tập hợp mở nếu mỗi điểm a ∈ G đều có một lân cận V của điểm a sao cho V ⊂ G,điều này tương đương với điều kiện: với mọi a ∈ G tồn tại r > 0 sao cho hình cầu mởB(a, r) ⊂ G

Định nghĩa 1.1.4 [1](Tập đóng) Tập F trong không gian mêtric X được gọi là tậpđóng nếu Fc = X\F là tập mở

Định nghĩa 1.1.5 [1](Phần trong) Cho một tập hợp A trong không gian mêtric X.Điểm x ∈ X được gọi là điểm trong của tập của tập hợp A nếu tồn tại một lân cận Vcủa x sao cho x ∈ V ⊂ A; điều này tương đương với điều kiện tồn tại một số r > 0 saocho hình cầu B(x, r) ⊂ A Tập hợp tất cả các điểm trong của A ký hiệu A0 hoặc intA

Định nghĩa 1.1.6 [1](Tập compact): Một tập hợp A ⊂ Rn gọi là tập compact nếumọi dãy điểm {xk}k ⊂ A đều có một dãy con {xkl}l hội tụ đến một giới hạn thuộc A

Định nghĩa 1.1.7 [1](Tập Borel) σ−đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trongkhông gian R được gọi là σ−đại số Borel của không gian R và những tập thuộc σ−đại

số này được gọi là tập Borel trong không gian R Tập Borel là những tập xuất phát từtập mở và thực hiện một số hữu hạn hay đếm được phép toán hợp, giao trên các tậpđó

Mệnh đề 1.1.1 [1]Mọi tập Borel đều đo được Lebesgue

Chứng minh: xem [1]

1.1 Nhắc lại một vài kết quả trong độ đo và tích phân Lebesgue 7Định lý 1.1.1 [1]Cho µ : L → [0,∞] là độ đo, Ai, i = 1, 2, là các tập đo được,

Định lý 1.1.2 [1]Đối với một tập A trên R ba điều kiện sau là tương đương :

i) A đo được Lebesgue

ii) Với mỗi ε > 0 có thể tìm được tập mở G ⊃ A sao cho µ∗(G\A) < ε

iii) Với mỗi ε > 0 có thể tìm được tập đóng F ⊂ A sao cho µ∗(A\F ) < ε

1.1 Nhắc lại một vài kết quả trong độ đo và tích phân Lebesgue 8Trong trường hợp đặc biệt A là các gian thì E0 = ∅ và ta có thể viết như sau: Cho

b − a2n

,

,

[a, +∞) = [

n∈N n>a

n∈N n>−b

[−n, b]

Định nghĩa 1.1.8 [1](Hàm đo được Lebesgue) Hàm số f : A → [-∞, +∞] được gọi

là đo được trên A với một tập đo được Lebesgue nếu

∀a ∈ R, E1 = {x ∈ A:f(x)<a} ∈ L

Định nghĩa 1.1.9 [1](Hội tụ hầu khắp nơi) Dãy hàm {fn} được gọi là hội tụ h.k.n

về hàm số f (x) trên A ∈ L nếu tồn tại một tập B ⊂ A, B ∈ L, µ(B) = 0 sao cholim

n→∞fn(x) = f (x) với mọi x ∈ A\B

Định nghĩa 1.1.10 [1](Sự hội tụ theo độ đo) Cho A ∈ L và f1, f2, f3, là nhữnghàm đo được hữu hạn h.k.n trên A Dãy {fn} được gọi là hội tụ theo độ đo đến f (x)

và ký hiệu là fn −→ f trên A nếuµ

∀ε > 0 lim

n→+∞µ({x ∈ A: |fn(x) − f (x)| ≥ ε}) = 0

Nói cách khác với mọi ε > 0, với mọi δ > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho

∀n ∈ N : n > n0 thì µ({x ∈ A: |fn(x) − f (x)| ≥ ε}) < δ

Định nghĩa 1.1.11 [1](Tích phân của hàm đơn giản) Cho hàm A là tập đo được,

f : A → [-∞, +∞] là hàm đơn giản, đo được trên A Gọi f1, f2, fn là các giá trị khácnhau đôi một của f (x)

1.1 Nhắc lại một vài kết quả trong độ đo và tích phân Lebesgue 9Định nghĩa 1.1.12 [1](Tích phân của hàm không âm) Cho A là tập đo được Lebesgue,hàm f : A → [0,+∞] là hàm đo được Khi đó tồn tại dãy đơn điệu tăng các hàm đơngiản đo được fn(x) ≥ 0 hội tụ h.k.n về f (x) trên A Tích phân của hàm f (x) trên Ađối với độ đo µ là

Định lý 1.1.5 [1](Hội tụ chặn Lebesgue) Nếu |fn(x)| ≤ g(x), g(x) khả tích và fn(x) →

f (x) (h.k.n hay theo độ đo) trên A thì

1.1 Nhắc lại một vài kết quả trong độ đo và tích phân Lebesgue 10Định nghĩa 1.1.14 [1](Không gian Lp(E), (1 ≤ p < ∞))Cho không gian R, E là tập

đo được Lebesgue và một độ đo µ Họ các hàm số f (x) có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < ∞)của modun khả tích trên E, tức là sao cho

Z

E

|f (x)|pdµ < ∞

gọi là không gian Lp(E)

Hàm số f (x) đo được trên E gọi là bị chặn cốt yếu nếu tồn tại một tập hợp P có

độ đo 0, sao cho f (x) bị chặn trên tập hợp E\P , tức là tồn tại số K sao cho

|f (x)| ≤ K với mọi x ∈ E\P Cận dưới đúng của tập hợp tất cả các số K thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là cậntrên đúng cốt yếu của hàm f (x), được kí hiệu là esssup

1.1 Nhắc lại một vài kết quả trong độ đo và tích phân Lebesgue 11Chứng minh: xem [1].

Chú ý 1.1.3.Bất đẳng thức Minkowski còn có thể viết dưới dạng:

1.1 Nhắc lại một vài kết quả trong độ đo và tích phân Lebesgue 12Kết hợp (1.1.1), (1.1.2) và (1.1.3) ta có

(equi-Trước tiên ta chứng minh với p = 1 Ta có v ∈ L1(E)

Giả sử v không khả tích đều, nghĩa là: Tồn tại ε > 0 để với mọi n > 0, tồn tại tập đođược Lebesgue Fn⊂ E mà µ (Fn) ≤ 21n và R

1.1 Nhắc lại một vài kết quả trong độ đo và tích phân Lebesgue 13

Khi đó ta phải chứng minh với 1 < p ≤ ∞

Nếu v(x) = 0 h.k.n trên E Khi đó điều phải chứng minh luôn đúng

Vậy có điều phải chứng minh v là khả tích đều với p = ∞.

b) Nếu v ∈ L1loc(E) thì kết quả không còn đúng

Lấy v(x) = x1 và E = (0, 1) thì ta có v ∈ L1loc(E)

Đặt Fn=n1,2n ta có

µ(Fn) = µ 1

n,

2n



= 1

n.Khi đó tồn tại ε = 12 để với mọi n > 0, tồn tại tập đo được Lebesgue Fn =1n,n2 ⊂ E

Z

1 n

1x

dx = ln 2 > 1

2.Vậy v không là khả tích đều

1.2 Hàm đơn điệu

Trong giải tích thì lý thuyết về các hàm đơn điệu được nghiên cứu từ rất lâu và cáctính chất của nó khá nhiều và quan trọng trong giải tích Sau đây tôi xin đưa ra một

số các tính chất liên quan đến tính khả vi và khả tích Lebesgue của các hàm đơn điệu

Ở đây tôi chỉ xét với các hàm đơn điệu tăng còn với các hàm đơn điệu giảm tương tự

1.2 Hàm đơn điệu 15

Định nghĩa 1.2.1 [1]Cho E ⊂ R Một hàm u : E → R được gọi là

i) tăng nếu u(x) ≥ u(y), ∀x, y ∈ E với x > y,

ii) tăng chặt nếu u(x) > u(y), ∀x, y ∈ E với x > y,

iii) giảm nếu u(x) ≤ u(y), ∀x, y ∈ E với x > y,

iv) giảm chặt nếu u(x) < u(y), ∀x, y ∈ E với x > y,

v) đơn điệu nếu bất kỳ một tính chất ở trên đúng

Định lý 1.2.1 [1]Hàm số u(x) đơn điệu tăng trong [a, b] thì có đạo hàm hầu khắp nơitrên đoạn ấy

Để chứng minh Định lý 1.2.1 ta đi chứng minh các bổ đề sau

Bổ đề 1.2.1 [1]Cho tập bất kì A ⊂ (a, b), Ω là một lớp khoảng, sao cho mỗi điểm

x ∈ A đều là đầu mút trái của ít nhất một khoảng ∆ = (x, x+hx) ∈ Ω Khi đó cho trước

ε > 0 tùy ý thì ta xây dựng được một số hữu hạn khoảng rời nhau ∆1, ∆2, , ∆s ∈ Ωphủ lên một tập con A0 của A, với µ∗(A0) > µ∗(A) − ε

0 Do đó x ∈ An0.Khi đó x ∈

Do Gp là các tập mở nên Gp là các tập đo được với p = n, n + 1,

Do đó En là các tập đo được, E đo được

Vì a1 là cận dưới đúng của An nên có x1 ∈ An với a ≤ x1 < a1 + δ, và một khoảng

∆1 = (x1, x1+ h1) ∈ Ω có h1 > n1 (khoảng này tồn tại theo định nghĩa An )

Đặt B1 = {x ∈ An: x1+ h1 < x}

Nếu B1 = ∅ thì dừng lại Nếu B1 6= ∅ thì gọi a2 = inf B1

Vì a2 là cận dưới đúng của B1 nên có x2 ∈ B1 ⊂ An sao cho a2 ≤ x2 < a2+ δ Khi đó

có một khoảng ∆2 = (x2, x2+ h2) ∈ Ω có độ dài h2 > 1

n Cứ thế tiếp tục mãi thì ta sẽđạt tới b1 sau một số s bước với s < nl + 1, vì đoạn [a1, b1] có độ dài là l mà mỗi bước

ta nhích lại gần b1 một khoảng lớn hơn n1 nên sau s bước thì tập Bs = ∅ và khi đó tadừng lại Khi đó ta có được các khoảng ∆1, , ∆s

1.2 Hàm đơn điệu 17

Do đó

µ∗(An) ≤ µ∗(A0) + µ∗(An\A0) < µ∗(A0) + ε

2,hay

µ∗(A0) ≥ µ∗(An) − ε

Kết hợp (1.2.1) và (1.2.2) ta có

µ∗(A0) ≥ µ∗(A) − ε

Bổ đề 1.2.2 [1]Cho tập bất kì A ⊂ (a, b) và Ω là một lớp khoảng sao cho với mọi

số η > 0 nhỏ tùy ý, mỗi điểm x ∈ A đều là đầu mút trái của ít nhất một khoảng

∆ = (x, x + hx) ∈ Ω với hx < η Khi ấy với một tập mở bất kỳ G ⊃ A và ε > 0 tùy

ý cho trước, ta có thể chọn được một số hữu hạn khoảng rời nhau ∆1, ∆2, , ∆s nằmtrọn trong G, và phủ lên một tập con A0 ⊂ A với µ∗(A0) > µ∗(A) − ε

Áp dụng Bổ đề 1.2.1 cho lớp Ω1 thì ta có điều phải chứng minh

Tương tự như Bổ đề 1.2.2 ta cũng có bổ đề sau

Bổ đề 1.2.3 [1]Cho tập bất kì A ⊂ (a, b) và Ω là một lớp khoảng sao cho với mọi

số η > 0 nhỏ tùy ý, mỗi điểm x ∈ A đều là đầu mút phải của ít nhất một khoảng

∆ = (x − hx, x) ∈ Ω với hx < η Khi ấy với một tập mở bất kỳ G ⊃ A và ε > 0 tùy

ý cho trước, ta có thể chọn được một số hữu hạn khoảng rời nhau ∆1, ∆2, , ∆s nằmtrọn trong G, và phủ lên một tập con A0 ⊂ A với µ∗(A0) > µ∗(A) − ε

Chứng minh Định lý 1.2.1

1.2 Hàm đơn điệu 18Chứng minh Đặt

tồn tại khi và chỉ khi D−(x) = D−(x)

Điều kiện cần và đủ để có đạo hàm u0(x) tại điểm x là

D+(x) = D+(x) = D−(x) = D−(x)

Đặt A = {x ∈ [a, b] : D+(x) < D+(x)}, ta chứng minh µ∗(A) = 0

Cho p, q là hai số hữu tỉ (p < q) và đặt

Apq, nghĩa là với bất kỳ x ∈ A thì cần chứng minh là tồn

tại p0, q0 ∈ Q sao cho D+(x) < p0 < q0 < D+(x)

Do x ∈ A nên D+(x) < D+(x)

1.2 Hàm đơn điệu 19

Do tính trù mật của tập Q nên tồn tại p0 ∈ Q để D+(x) < p0 < D+(x)

Lại có p0 < D+(x) nên tồn tại q0 ∈ Q để p0 < q0 < D+(x)

Khi đó tồn tại p0, q0 ∈ Q để D+(x) < p0 < q0 < D+(x) nên x ∈ Ap0q0

Apq là hợp đếm được của các tập Apq nên để chứng minh µ∗(A) = 0 ta sẽ

chứng minh µ∗(Apq) = 0 với mỗi p, q ∈ Q

Giả sử ngược lại rằng có một tập Apq có µ∗(Apq) = α > 0

Lấy một số ε > 0 bất kỳ Khi đó theo Chú ý 1.1.1 sẽ tồn tại một tập mở G ⊃ Apq saocho

1.2 Hàm đơn điệu 20Lấy x ∈ A0 ⊂ Apq thì ta có q < D+(x), hay

Khi đó với mỗi h > 0 đều có l = l(x, h) ∈ (0, h) để

q < u(x + l) − u(x)

lhay

1.2 Hàm đơn điệu 21Lại có

α(q − p) < ε(p + 2q)

Chọn ε = |p|+2|q|α(q−p) > 0

Ta có

ε(p + 2q) ≤ ε(|p| + 2 |q|) = α(q − p)

Điều này mâu thuẫn với α(q − p) < ε(p + 2q) đúng với mọi ε > 0 bất kỳ

Do đó điều giả sử là sai, nghĩa là µ∗(Apq) = 0 hay µ(A) = 0

Vậy D+(x) = D+(x) hầu khắp nơi

Bằng cách lập luận tương tự và dùng Bổ đề 1.2.3 ta cũng chứng minh được D−(x) =

D−(x) hầu khắp nơi

Mặt khác trong lập luận trên có thể thay D+(x) bằng D−(x): mỗi điểm x ∈ A0 sẽ làđầu mút phải của những khoảng nhỏ tùy ý (x − l, x) với u(x) − u(x − l) > lq, và cũngtheo cách trên ta có D+(x) ≥ D−(x) hầu khắp nơi Tương tự thế D−(x) ≥ D+(x).Vậy D+(x) = D+(x) = D−(x) = D−(x), tức là u0(x) tồn tại hầu khắp nơi trên đoạn[a, b]

Định lý 1.2.2 [1]Nếu u(x) là hàm đơn điệu tăng trong [a, b] thì u0(x) là khả tíchLebegues trên [a, b] và

1.2 Hàm đơn điệu 22

và

u(x + h) − u(x)

h → u0(x) h.k.n khi h → 0Theo bổ đề Fatou có

Vậy u0(x) là khả tích Lebesgue trong [a, b]

Định lý 1.2.3 [2](Định lý Fubini trên từng số hạng khả vi của chuỗi với các số hạngđơn điệu) Cho uk : [a, b] → R là các hàm đơn điệu tăng, k = 1, 2, và cho chuỗi

1.2 Hàm đơn điệu 23Chứng minh Đặt

E={ x ∈ [a, b] : u không khả vi tại x}

Ek={ x ∈ [a, b] : uk không khả vi tại x} , k = 1, 2,

Do uk là các hàm đơn điệu tăng trong [a, b] nên uk khả vi hầu khắp nơi trong [a, b] Do

Tương tự như chứng minh với hàm u ta cũng có Rn là hàm đơn điệu tăng

Lấy bất kì x ∈ [a, b] \A, có

1.3 Hàm có biến phân bị chặn 25

1.3 Hàm có biến phân bị chặn

Cho một gian I ⊂ R Tập tất cả các hàm đơn điệu u : I → R không là một khônggian vectơ, bởi vì nói chung hiệu của các hàm đơn điệu không đơn điệu Trong phầnnày chúng ta mô tả đặc điểm của không gian vectơ bé hơn của các hàm u : I → R cóchứa tất cả các hàm đơn điệu

Định nghĩa 1.3.1 [3]Cho hàm u(x) xác định trên đoạn [a, b] Khi đó biến phân củahàm u(x) trên đoạn [a, b] kí hiệu V ar[a,b]u hoặc Vb

a(u) là cận trên đúng của các số

n

X

i=1

|u(xi) − u(xi−1)|

lấy theo tất cả các cách chia đoạn [a, b] bởi những điểm a = x0 < x1 < < xn= b (n

là số tự nhiên tùy ý), hay

Không gian tất cả hàm có biến phân bị chặn trong đoạn [a, b] kí hiệu là BP V ([a, b]).Cho khoảng I ⊂ R, và một hàm u : I → R được gọi là có có biến phân bị chặn địaphương nếu V ar[a,b]u < ∞ với mọi [a, b] ⊂ I Không gian tất cả các hàm u : I → R cóbiến phân bị chặn địa phương kí hiệu là BP Vloc(I)

Chú ý: BP Vloc((a, b)) = BP V ((a, b))

Ví dụ 1.3.1 Cho u(x) là hàm xác định và đơn điệu trong [a, b] Thì ta có u(x) ∈

BP V ([a, b])

Thật vậy

Lấy bất kỳ cách chia đoạn [a, b] bởi những điểm chia a = x0 < x1 < < xn = b

Do u(x) là hàm xác định và đơn điệu trong [a, b] nên ta có

Tính chất 1: Cho u, v ∈ BP V ([a, b]) Thì ta có u ± v ∈ BP V ([a, b])

Tính chất 2: Cho u : [a, b] → R, với a < b Khi đó với mọi c ∈ [a, b] thì

V ar[a,c]u + V ar[c,b]u = V ar[a,b]u

1.3 Hàm có biến phân bị chặn 26Định lý 1.3.1 [3]Hàm số u(x) có biến phân bị chặn trong đoạn [a, b] khi và chỉ khi

nó là hiệu của hai hàm số đơn điệu tăng

Chứng minh a Điều kiện cần Giả sử hàm u(x) có biến phân bị chặn trong [a, b].Đặt V (x) = V ar[a,x]u ≤ V ar[a,b]u < ∞ với x ∈ [a, b] và

Lấy x0, x00 bất kì sao cho a ≤ x0 < x00≤ b

Lấy bất kì một cách chia đoạn [a, x0] bởi những điểm chia a = x0 < x1 < < xn= x0.Khi đó tập hợp {x0, x1, , xn, x00} là các điểm chia của [a, x00] nên

n

X

i=1

|u(xi) − u(xi−1)| + |u(x00) − u(x0)| ≤ V ar[a,x00 ]u = V (x00)

Do bất đẳng thức trên đúng với bất kì cách chia đoạn [a, x0] bởi những điểm chia

1.4 Hàm liên tục tuyệt đối 27trong [a, b] Cần chứng minh u(x) ∈ BP V ([a, b]).

Do u1(x), u2(x) là các hàm đơn điệu tăng trong [a, b] nên u1(x) ∈ BP V ([a, b]), u2(x) ∈

BP V ([a, b])

Vậy u(x) = u1(x) − u2(x) ∈ BP V ([a, b])

Hệ quả 1.3.1 Nếu một hàm u ∈ BP V ([a, b]) thì u có đạo hàm h.k.n và u0 khả tíchLebesgue trong [a, b]

Hệ quả 1.3.2 Nếu u ∈ BP Vloc((a, b)) thì u khả vi h.k.n trong (a, b) và u0 khả tíchLebesgue địa phương trong (a, b)

Chứng minh Theo Chú ý 1.1.2 ta có thể viết (a, b) =

∞

S

n=1

Kn, với Kn là các tậpcompact

Do u ∈ BP Vloc((a, b)) nên u ∈ BP V (Kn)

Do đó u khả vi h.k.n và u0(x) khả tích Lebesgue trong Kn, với n = 1, 2,

Vậy u khả vi h.k.n và u0(x) khả tích Lebesgue địa phương trong (a, b)

1.4 Hàm liên tục tuyệt đối

Hàm Cantor cho thấy rằng những hàm đơn điệu ở định lý cơ bản của phép tính vitích phân không đúng cho tính phân Lebesgue Thật vậy

Định nghĩa 1.4.1 [3]Cho đoạn I ⊂ R Một hàm số u : I → R được gọi là liên tụctuyệt đối trên I nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi hệ hữu hạn các khoảng(a1, b1) , , (al, bl) rời nhau, [ak, bk] ⊂ I, k = 1, , l và

1.4 Hàm liên tục tuyệt đối 28liên tục tuyệt đối trong mọi đoạn [a, b] ⊂ I Không gian của tất cả những hàm liên tụctuyệt đối địa phương u : I → R được kí hiệu là: ACloc(I).

Ví dụ 1.4.1 Các hàm u(x) khả vi mọi nơi trong [a, b] và có đạo hàm bị chặn trong[a, b] thì u(x) là hàm liên tục tuyệt đối trong [a, b]

Thật vậy:

Lấy ε > 0 bất kỳ, và lấy một hệ hữu hạn các khoảng (a1, b1) , , (al, bl) rời nhau,[ak, bk] ⊂ I, k = 1, , l

Do u0(x) bị chặn trong [a, b] nên tồn tại M > 0 để |u0(x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b]

Lại có u(x) khả vi trong [ak, bk] , k = 1, , l nên theo định lý Lagtange thì tồn tại

Mệnh đề 1.4.1 [3]Cho một khoảng I ⊂ R và hàm số u : I → R Khi đó u ∈ AC(I)khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi hệ hữu hạn các khoảng(a1, b1) , , (al, bl) rời nhau, [ak, bk] ⊂ I, k = 1, , l và

≤ ε

Chứng minh a Điều kiện cần: Giả sử hàm u : I → R là liên tục tuyệt đối

Lấy ε > 0 bất kỳ, theo định nghĩa của hàm liên tục tuyệt đối thì tồn tại δ > 0 sao chovới mọi hệ hữu hạn các khoảng (a1, b1) , , (al, bl) rời nhau, [ak, bk] ⊂ I, k = 1, , l và

1.4 Hàm liên tục tuyệt đối 29

Do đó tồn tại δ > 0 sao cho với mọi hệ hữu hạn các khoảng (a1, b1) , , (al, bl) rời nhau,[ak, bk] ⊂ I, k = 1, , l và

≤ ε

b Điều kiện đủ: Ngược lại giả sử hàm u : I → R có tính chất: với mỗi ε > 0tồn tại δ > 0 sao cho với mọi hữu hạn các hệ khoảng (a1, b1) , , (al, bl) rời nhau,[ak, bk] ⊂ I, k = 1, , l và

≤ ε

Ta cần chứng minh u ∈ AC(I), hay ta cần chứng minh với mỗi ε > 0 tồn tại δ0 > 0 saocho với mọi hệ hữu hạn các khoảng (a1, b1) , , (al, bl) rời nhau, [ak, bk] ⊂ I, k = 1, , lvà

≤ ε

2.Chọn δ0 = δ1, lấy bất kỳ hệ hữu hạn các khoảng rời nhau (a1, b1) , , (al, bl), [ak, bk] ⊂ I,

(u(bk) − u (ak))

= 1K

l

X

k=1

Vậy uv ∈ AC ([a, b])

Hệ quả 1.4.1 Cho u, v ∈ ACloc((a, b)) Khi đó:

(i) u ± v ∈ ACloc((a, b))

(ii) uv ∈ AC ((a, b))

(iii) Nếu v(x) > 0, ∀x ∈ (a, b) thì uv ∈ ACloc((a, b))

Chứng minh Lấy [c, d] ⊂ (a, b) bất kỳ

Do u, v ∈ ACloc((a, b)) nên u, v ∈ AC ([c, d])

Theo mệnh đề ở trên ta có u ± v ∈ AC ([c, d]), uv ∈ AC ([c, d]) và uv ∈ AC ([c, d])

Do đó ta có được các tính chất (i) – (iii)

Ta có hàm hằng là một một hàm liên tục tuyệt đối, do đó nếu v(x) = c = const

và u ∈ ACloc(a, b) thì cv ∈ ACloc(a, b) Như vậy ACloc(a, b) lập thành một không gianvectơ

Bổ đề 1.4.1 [3]Cho J ⊂ R là một khoảng con bị chặn và u : J → R là hàm số liêntục tuyệt đối trên J

i) Khi đó có thể mở rộng u thành một hàm u : ¯J → R

ii) Nếu u ∈ AC(J ) thì hàm mở rộng của nó thuộc AC( ¯J )

Chứng minh i) Đặt J = (a, b), hàm số u : J → R là hàm số liên tục tuyệt đối trên Jnên u là liên tục đều trên (a, b) Ta chứng minh tồn tại hữu hạn các giới hạn:

1.4 Hàm liên tục tuyệt đối 35Lấy ε > 0 bất kì Do u(x) liên tục đều trên khoảng (a, b) nên tồn tại δ1 > 0 để với mọi

Khi đó từ (1.4.13) ta có |u(x1) − u(x2)| < ε

Theo nguyên lí hội tụ Cauchy thì điều đó chứng tỏ rằng tồn tại hữu hạn giới hạnlim

x→a +u(x) = u(a) = u(ak2) nên tồn tại ¯ak2 ∈ (ak2, bk2) để

|u(ak2) − u(¯ak2)| < ε

27.

1.4 Hàm liên tục tuyệt đối 36

Cứ tiếp tục quá trình như vậy ta sẽ được một dãy {¯aki} thỏa mãn điều kiện

¯ki ∈ (aki, bki) , |u(aki) − u(¯aki)| < ε

3i+1.Khi đó

¯

bki ∈ (aki, bki) , u(¯bki) − u(bki) < ε

3i+1,và

X

k∈K 2

u(¯bk) − u(bk) < ε

¯bk− ak

|u(bk) − u(¯ak)| < ε

9,X

l≥k≥1 k∈K 2

|u(bk) − u(ak)|+

l≥k≥1 k∈K 2

|u(¯ak) − u(ak)| + X

l≥k≥1 k∈K 2

... u(x0)| ≤ V ar[a,x00 ]u = V (x00)

Do bất đẳng thức với cách chia đoạn [a, x0] điểm chia