Chuyên đề lượng giác hoá

Phơng pháp lợng giác hóa giải các dạng toán =========================================================================== Sử dụng tính chất nghiệm pt đại số. CMR: 1. tan 2 10 0 + tan 2 50 0 + tan 2 70 0 = 9 2. tan 6 20 0 + tan 6 40 0 + tan 6 80 0 = 33273 3. 4 2 4 2 tan 10 tan 5 tan 5 tan . 5 tan 10 tan 1 a a a a a a + = + 4. 6 4 2 cos 7 cos (64 cos 112cos 56cos 7)a a a a= + 5. 4 4 4 4 4 4 3 5 cos cos cos 14 14 14 3 5 4cos .cos .cos 14 14 14 S + + = 6. 1 1 1 4 3 5 cos cos cos 7 7 7 S = + + = 7. 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 tan tan tan 1 2 2 2 4 2 2 sin 3 4 4 sin 2 n n n n n n a a a S a a = + + + = ữ ữ ữ ữ 8. 1 2 2 2 2 2sin 2 n + + + + = ( trong đó có n -1 dấu căn ) I.Chứng minh đẳng thức , bất đẳng thức: VD1: CMR : ( ) ( ) 3 3 2 2 4 1 3 1 2a a a a Giải: ĐK: 2 1 0 1a a . Đặt : a = cos với [ ] 0; Khi đó bđt trở thành: cos3 sin 3 2 cos 3 1 4 + ữ luôn đúng VD2:Cho các số a, b thoả mãn: |b| |a|. CMR : 2 2 2 2 |a+b| + |a-b| = a+ a b a a b + (1) Giải: Xét a = 0 b = 0 có (1) luôn đúng Xét a 0 biến đổi (1) về dạng : 2 2 2 2 b b |1+ | + |1- | = 1+ 1 1 1 a a b b a a + | 6a+12b| Đặt b a = cos với [ ] 0; có đpcm VD3: CMR: 2 1 3 2a a + Đặt a = 1 cos với 0; 2 ữ VD4: Cho a,b,c,d thỏa mãn a 2 + b 2 = 1 và c 2 + d 2 = 1. CMR: | ac + bd | 1 Đặt : [ ) [ ) sin cos 0;2 sin cos 0;2 a b c d = = = = VD5: CMR: 2 2 1 1. 1ab a b+ + + Đặt ; ; 2 2 a tg b tg = = ữ VD6: Nếu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 . : 4 a b c a b c a b c abc ab bc ac CMR a b c abc + + = + + = ================================================================ G.V: Phạm Ngọc Lâm Trờng THPT Vĩnh Chân 1 Phơng pháp lợng giác hóa giải các dạng toán =========================================================================== Giải Đặt tan tan tan ; ; ; 2 2 a b c = = = ữ Từ giả thiết ta có tan tan tan tan .tan .tan 1 tan .tan tan .tan tan tan + + = */ Ta xét 2 trờng hợp: TH1: 1 tan .tan tan .tan tan tan = 0 ta có đợc: tan .tan tan .tan tan tan 1 tan tan tan tan .tan .tan + + = + + = 2 k l + + = + + + = mâu thuẫn TH2: 1 tan .tan tan .tan tan tan 0 ta có đợc: tan tan tan tan .tan .tan 1 tan .tan tan .tan tan tan + + = + + tan( ) 1 4 k + + = + + = + 2 2 2 2 2 k + + = + tan 2 .tan 2 tan 2 .tan 2 tan 2 tan 2 1 + + = cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 .cot 2 .cot 2 + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 a b c a b c a b c abc + + = đpcm VD7: Cho |a| 1. CMR: (1-a) n +(1+a) n 2 n , n 2. Giải: Đặt a = cos 2 , 0; 2 . VT = (1-cos2 ) n +(1+cos2 ) n = 2 n .sin n +2 n .cos n =2 n (sin n +cos n ) 2 n (sin 2 +cos 2 ) 2 n = VF VD8: CMR: 2 2 2 2 1 1 3 (1 )(1 ) 2a b b a ab a b + + Đặt [ ] sin ; sin ; 0;a b = = VD9: Cho a 2 +b 2 +c 2 +2abc = 1 và 0 < a; b; c < 1. CMR: 2 2 2 2 2 2 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )abc c a b b c a b c+ = + + VD10: Cho ab+bc+ca = 1. CMR: 4abc = a(1-b 2 )(1-c 2 ) +b(1-a 2 )(1-c 2 ) +c(1-b 2 )(1-a 2 ) VD11: Cho a+b+c = abc . CMR: 2abc = a(1-b 2 )(1-c 2 ) +b(1-a 2 )(1-c 2 ) +c(1-b 2 )(1-a 2 ) VD12: Cho a+b+c = abc và ab+bc+ca 1 . CMR: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 a b c b c a c b a abc ab bc ca + + + + + = + + VD13: CMR: . . 1 1 1 1 1 1 a b b c c a a b b c c a ab bc ac ab bc ac + + = + + + + + + với đk: ab,bc,ca 1 VD14: Cho a+b+c=abc. CMR: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 . . 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 a a b b c c a a b b c c a b c a b c + + = VD15. Cho x 2 +y 2 = 1. CMR: a. |x+y| 2 b. 1 2 3 x y + c. 6 6 1 1 4 x y + VD16:Cho 4a 2 +9b 2 =25. CMR: 6a+12b 25 VD17: CMR a;b;c ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 1. 1 1. 1 1. 1 a b b c c a a b b c c a + + + + + + + VD18: Cho ab+bc+ca = 1. CMR: a+b+c 3abc = a(b 2 +c 2 )+b(c 2 +a 2 )+c(a 2 +b 2 ) ================================================================ G.V: Phạm Ngọc Lâm Trờng THPT Vĩnh Chân 2 Phơng pháp lợng giác hóa giải các dạng toán =========================================================================== VD19:CMR: 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 + + = + + VD20: Cho a;b;c là 3 cạnh của một tam giácvà hai số x;y thoả mãn : ax+by = c. CMR: 2 2 2 2 2 c x y a b + + II. Giải ph ơng trình và bất ph ơng trình: VD1: Giải bất phơng trình: 1 1x x x+ đặt x = cost với [ ] 0;t VD2: Giải phơng trình: ( ) 2 2 1 1 1 2 1x x x+ = + đặt x = sint với ; 2 2 t VD3: Giải phơng trình: 2 2 2 1 x x x + = đặt x = 1 cost với 0; 2 t ữ VD4: Với a 0 giải bpt : 2 2 2 2 2 2a x a x x a + + + đặt x = |a|.tant với ; 2 2 t ữ VD5: Giải bpt: 4x 3 3x = ẵ VD6: Biện luận số nghiệm của phơng trình theo m: 2 12 3x x m = đặt x = 2sint với ; 2 2 t VD7: PT: 3 2 4 3 1x x x = có bao nhiêu nghiệm đặt x = cost với [ ] 0;t VD8:Giải pt: 2 2 1 1 3 x x x x+ = + đặt x=cos 2 t với 0; 2 t VD9: Cho pt: 2 1 1 1 m x x = . a. Giải pt khi m = 2 2 3 b. Biện luận nghiệm pt theo m III. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất VD1: Tìm GTLN của hàm số: y = (1+x) 2008 +(1-x) 2008 đặt x = cost với [ ] 0;t VD2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: ( ) 4 2 2 1 1 x y x + = + đặt x = tant với ; 2 2 t ữ VD3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: ( ; ) 2 3 2u x y x y= + + với 4x 2 +9y 2 = 16 VD4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số ( ; ) 1 1u x y x y y x= + + + với x 2 +y 2 =1 VD5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 2 2 ( )(1 ) ( ; ) (1 )(1 ) x y xy u x y x y + = + + VD6:Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )(1 ) ( ; ) (1 ) (1 ) x y x y u x y x y = + + VD7: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: ================================================================ G.V: Phạm Ngọc Lâm Trờng THPT Vĩnh Chân 3 Phơng pháp lợng giác hóa giải các dạng toán =========================================================================== a. 2 4 1 x y x = + b. ( ) 6 2 2 1 1 x y x + = + c. ( ) 6 3 2 1 1 x y x + = + VD8: Cho hai số thực x,y thay đổi và thoả mãn hệ thức: x 2 +y 2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của: 2 2 2( 6 ) 1 2 2 x xy P xy y + = + + ================================================================ G.V: Phạm Ngọc Lâm Trờng THPT Vĩnh Chân 4 . lợng giác hóa giải các dạng toán =========================================================================== VD19:CMR: 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 + + = + + VD20: Cho a;b;c là 3 cạnh của một tam giácvà. ================================================================ G.V: Phạm Ngọc Lâm Trờng THPT Vĩnh Chân 1 Phơng pháp lợng giác hóa giải các dạng toán =========================================================================== . Phơng pháp lợng giác hóa giải các dạng toán =========================================================================== Sử