Bài SỐ PHỨC 1.Số i: 1 2 −=i 2.Định nghĩa số phức: *Biểu thức dạng a + bi , 1;, 2 −=∈ iRba được gọi là một số phức. Đơn vị số phức z = a +bi:Ta nói a là phần số thực,b là phần số ảo Tập hợp các số phức kí hiệu là C: Ví dụ :z = 2 + 3i z = 1+ (- 3 i) = 1 - 3 i Chú ý: z =a+bi=a+ib 3:Số phức bằng nhau: Định nghĩa:( SGK) a +bi = c +di ⇔ = = db ca Ví dụ:tìm số thực x,y sao cho: 2x+1 + (3y-2)i=x+2+(y+4)i = = ⇔ = = ⇔ +=− +=+ 3 1 62 1 423 212 y x y x yy xx *Các trường hợp đặc biệt của số phức: +Số a là số phức có phần ảo bằng 0, a=a+0i +Số thực cũng là số phức +Sồ phức 0+bi được gọi là số thuần ảo:bi=0+bi;i=0+i M ath Composer 1.1.5 http:/ /www.mathcom poser.com M a b -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 4.Biểu diển hình học của số phức Định nghĩa : (SGK) Ví dụ : +Điểm A (3;-1): được biểu diển số phức 3-i +Điểm B(-2;2): được biểu diển số phức-2+2i . 5. Mô đun của hai số phức : Định nghĩa: (SGK) Cho z = a+bi. 22 babiaz +=+= Ví dụ: 13)2(323 22 =−+=− i 6. Số phức liên hợp: Cho z = a+bi. Số phức liên hợp của z là: biaz −= Ví dụ : 1. iziz +=⇒−= 44 2. iziz 7575 −−=⇒+−= Nhận xét: * zz = * zz = PHÉP CHIA SỐ PHỨC 1/Tổng và tích của 2 số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi và z = a – bi . Ta có z + z = 2a và z. z = a 2 + b 2 Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực 2/ Phép chia hai số phức. a/ Ví dụ Tìm phần thực và phần ảo của các số phức z 1 = 3 1 i i + − và z 2 = 3 5 1 1 ( ) 2 i i i + Giải * z 1 = 2 ( 3 )(1 ) 1 i i i + + − = ( 3 1) ( 3 1) 2 i+ + + => a = b = 3 1 2 + b/ Phép chia hai số phức (SGK) Chú ý Tính thương c di a bi + + Ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp c/ Ví dụ 1/ Tính 2 3 5 i i + − 2/ Tính 1 3 2i+ 3/ Tính 1 3 1 3 i i + − 4/ 2 3 2 i i − + Bài tập làm thêm Cho số phức z = a+ bi , a,b ∈ R . Tìm phần thực và ảo các số phức sau a/ z 2 – 2z +4i b/ 1 z i iz + − c) Thực hiện phép tính 2 2i + 1 2 i+ d) Thực hiện phép tính 1 z z ÷ biết z = 4+3i và z 1 = 2i – 3 e) Tìm phần thực và ảo các số phức sau 1 3 2 z iz + + với z = 3+i f) Thực hiện phép tính 3 (1 )(1 2 ) i i i + + − Bài 1: a/ 2 3 2 i i + − = 4 7 13 13 i+ b/ 1 2 2 3 i i + + = 2 6 2 2 3 7 7 i + − + c/ 5 2 3 i i− = 15 10 13 13 i− + Bài 2: a/ 1 1 2i+ = 1 2 5 5 i− b/ 1 2 3 2 9 2 3 i i + = + − = 2 3 11 11 i+ c/ 1 1 i i i − = = − d/ 1 5 3 25 3 5 3 i i − = + + = 5 3 28 28 i− Bài 3: a/ 2i(3+i)(2+4i) = 2i(2+14i) = - 28 +4i b/ 2 3 (1 ) (2 ) 2 ( 8 ) 2 2 i i i i i i + − = − + − + = 16( 2 ) 32 16 5 5 5 i i − − = − − c/ 3+2i+(6+i)(5+i) = 3+2i +29+11i = 32+13i d/ 4-3i+ 5 4 3 6 i i + + = 4-3i + (5 4 )(3 6 ) 45 i i+ − = 4-3i + 39 18 219 153 45 45 45 45 i i− = − Bài 4 : a/(3-2i)z +(4+5i)=7+3i (3-2i)z=3 – 2i z = 3 2 3 2 i i − − =1 b/ (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z (-1+2i)z=(2+5i) z= 2 5 8 9 1 2 5 5 i i i + = − − + c/ (2 3 ) 5 2 3 (3 )(4 3 ) 15 5 4 3 4 3 z z i i i z i i z i i i + − = − ⇔ = + ⇔ = + − ⇔ = − − − Bài 5: Tìm a,b ∈ R sao cho (a – 2bi) (2a+bi) = 2+ 3 2 i Bài 6 : Cho z 1 = 9y 2 – 4 – 10xi 3 và z 2 = 8y 2 +20i 19 . Tìm x,y ∈ R sao cho z 1 = z 2 1.Căn bậc 2 của số thực âm Với a < 0 có 2 căn bậc 2 của a là ± i Ví dụ :-4 có 2 căn bậc 2 là ±2i II.Phương trình bậc 2 + Δ>0:pt có 2 nghiệm phân biệt x 1,2 = + Δ = 0: pt có nghiệm kép x 1 = x 2 = + Δ<0: pt không có nghiệm thực. Tuy nhiên trong tập hợp số phức, pt có 2 nghiệm phân biệt x 1,2 = Giải các pt sau trong tập hợp số phức a).x² + 4 = 0 b) x² + 2x – 5 = 0 c). x 4 – 3x 2 – 4 = 0 d). x 4 – 9 = 0 Bài tập 2 a/ -3z² + 2z – 1 = 0 Δ΄= -2 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt. z 1,2 = b/ 7z² + 3z + 2 = 0: Δ= - 47 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt. z 1,2 = c/ 5z² - 7z + 11 = 0 Δ = -171 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt. z 1,2 = 3a/ z 4 + z² - 6 = 0 z² = -3 → z = ±i z² = 2→ z = ± 3b/ z 4 + 7z 2 + 10 = 0 z 2 = -5 → z = ±i z² = - 2 → z = ± i BT 1: Giải pt sau trên tập số phức: a/ z 2 – z + 5 = 0 b/ z 4 – 1 = 0 c/ z 4 – z 2 – 6 = 0 1 thực hiện các phép tính a) (3-+5i) +(2+4i) = 5 +9i b) ( -2-3i) +(-1-7i) = -3-10i c) (4+3i) -(5-7i) = -1+10i d) ( 2-3i) -(5-4i) = -3 + i 2.Tính α+β, α-β với a)α = 3,β = 2i b)α = 1-2i,β = 6i c)α = 5i,β =- 7i d)α = 15,β =4-2i giải a)α+β = 3+2i α-β = 3-2i b)α+β = 1+4i α-β = 1-8i c)α+β =-2i α-β = 12i d)α+β = 19-2i α-β = 11+2i 3.thực hiện các phép tính a) (3-2i) .(2-3i) = -13i b) ( 1-i) +(3+7i) = 10+4i c) 5(4+3i) = 20+15i d) ( -2-5i) 4i = -8 + 20i 4.Tính i 3 , i 4 i 5 Nêu cách tính i n với n là số tự nhiên tuỳ ý giải i 3 =i 2 .i =-i, i 4 =i 2 .i 2 =-1, i 5 =i 4 .i =i Nếu n = 4q +r, 0 ≤ r < 4 thì i n = i r 5.Tính a) (2+3i) 2 =-5+12i, b) (2+3i) 3 =-46+9i Thực hiện phép tính a. (58-i)+(2-17i) b. (6+3i)(10+8i) c. (4+2i)(4-2i) Bài giải a. (58-i)+(2-17i)=58-i+2-17i=60-18i b. (6+3i)(10+8i)=60+48i+30i+24i 2 =60+78i+24(-1)=36+78i c. (4+2i)(4-2i)=16-(2i)=16+4 2 =20 . Thực hiện phép tính BÀI TẬP 1. Tìm các số thực ,x y , biết rằng : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 3 4 15 5 6x y x y i x y x y i− + + + − = − + + + − − + . 2. Thực hiện các phép tính sau đây : a. ( ) ( ) 1 2 3 5i i− + ; b. 3 2 3 4 i i − − ; c. ( ) ( ) 4 3 2 5 1 i i i i + − + + − ; d. ( ) ( ) 2 2 1 2 3i i+ + − ; e. ( ) 10 1 i+ ; f. 45 1 1 i i + ÷ − ; g. ( ) 20 1 z− . 3. Tìm modun của số phức ( ) ( ) 2 3 1z i i= + − . 4. Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức sau : 3 4 2 1 i i i i − + − + . 5. Tìm số phức liên hợp của số phức sau đây : ( ) ( ) 2 2 3 1i i+ + . 6. Chứng minh rằng số phức sau đây là một số thực : ( ) 3 3 2 i i i − + + + 7. Chứng minh rằng số phức sau đây là một số ảo : ( ) ( ) 2 3 2 5 6i i− − − . 8. Chứng minh rằng số sau đây là số thực : 2 2 1 z z zz + + . 9. Cho số phức 2 3z i= + . Tìm phần thực, phần ảo của số phức 7 5 z i iz + + 10. Giải các phương trình sau : a. ( ) 3 3 2 6 7x i i+ − = + ; b. ( ) ( ) 5 2 2 7 3i x i i+ + − + = − . c. ( ) 2 4 2 1 0i i z− − − = . 11. Tìm số phức z , biết rằng : a. 2 2z i= ; b. 2 6 2z z i+ = + . c. 3 7 5iz z i+ = + ; d. 3 2 5 2z z i+ = + . 12. Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây : a. 2z i= + ; b. ( ) ( ) 4 2 3z i i= + − . 13. Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau : a. 3 4i− ; b. 5 12i− − . 14. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức : a. 2 9 0x + = ; b. 2 4 5 0x x+ + = ; c. 2 2 5 4 0x x− + = ; d. 2 2 3 5 0x z− + − = ; e. 4 2 5 4 0x x+ + = ; f. 3 2 2 10 0x x x− + = ; g. 3 1 0x + = ; h. ( ) ( ) 2 2 4 2 5 0x x x − + + = . 15. Giải các phương trình sau : a. 2 2 0z iz+ + = ; b. ( ) ( ) 2 3 2 1 0z i z i− + + + = . 16. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau : a. 2 2 3i− ; b. 1 i+ ; c. 3 i+ . 17. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau : a. 3i ; b. 5 ; c. 5− ; d. 2i− . 18 . Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau đây : 3 i+ ; b. 2 2 2 2 i− + ; c. cos sin 8 8 i π π − . 19. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau : a. ( ) 2 cos sini ϕ ϕ − + ; b. ( ) 3 cos sini ϕ ϕ − − . 20. Tìm dạng lượng giác của số phức : 1 cos sin 8 8 z i π π = + + . 21. Cho số phức 11 11 cos sin 12 12 z i π π = − . a. Viết dạng lượng giác của z . b. Tính 6 z . 22. Cho số phức 1z i= + . a. Viết dạng lượng giác của z . b. Tìm các căn bậc hai của z . 23. Cho số phức 1 3 2 2 z i= − . a. Viết dạng lượng giác của z . b. Tìm các căn bậc hai của z . 24. Cho số phức ( ) ( ) cos sin 0z r i r ϕ ϕ = + > . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau đây : a. iz ; b. i z ; c. z z . Dạng 1: Các phép toán về số phức Câu1: Thực hiện các phép toán sau: a. (2 - i) + 1 2i 3 ữ b. ( ) 2 5 2 3i i 3 4 ữ c. 1 3 1 3 i 2i i 3 2 2 + + ữ ữ d. 3 1 5 3 4 i i 3 i 4 5 4 5 5 + + + ữ ữ ữ Câu2: Thực hiện các phép tính sau: a. (2 - 3i)(3 + i) b. (3 + 4i) 2 c. 3 1 3i 2 ữ Câu3: Thực hiện các phép tính sau: a. 1 i 2 i + b. 2 3i 4 5i + c. 3 5 i d. ( ) ( ) 2 3i 4 i 2 2i + + Câu4: Giải phơng trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức a. ( ) 4 5i z 2 i = + b. ( ) ( ) 2 3 2i z i 3i + = b. 1 1 z 3 i 3 i 2 2 = + ữ d. 3 5i 2 4i z + = Câu5: Cho hai số phức z, w. chứng minh: z.w = 0 z 0 w 0 = = Câu6: Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dới dạng x i x i + với x là số thực mà ta phải xác định Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trớc Câu1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: a. z 3 1+ = b. z i z 2 3i+ = Câu2: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: a. z + 2i là số thực b. z - 2 + i là số thuần ảo c. z z 9. = d. z 3i 1 z i = + là số thực căn bậc hai của Số phức. ph ơng trình bậc hai Dạng 1: tính căn bậc hai của số Câu1: Tính căn bậc hai của các số phức sau: a. -5 b. 2i c. -18i d. 4 5 i 3 2 Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai Câu1: Giải các phơng trình sau trên tập số phức a. x 2 + 7 = 0 b. x 2 - 3x + 3 = 0 c. x 2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0 d. x 2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e. ix 2 + 4x + 4 - i = 0 g. x 2 + (2 - 3i)x = 0 Câu2: Giải các phơng trình sau trên tập số phức a. ( ) ( ) 2 z 3i z 2z 5 0+ + = b. ( ) ( ) 2 2 z 9 z z 1 0+ + = c. 3 2 2z 3z 5z 3i 3 0 + + = Câu3: Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lợt là: a. 2 + 3i và -1 + 3i b. 2i và -4 + 4i Câu4: Tìm phơng trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm: a. = 3 + 4i b. = 7 i 3 Câu5: Tìm tham số m để mỗi phơng trình sau đây có hai nghiệm z 1 , z 2 thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra: a. z 2 - mz + m + 1 = 0 điều kiện: 2 2 1 2 1 2 z z z z 1+ = + b. z 2 - 3mz + 5i = 0 điều kiện: 3 3 1 2 z z 18+ = Bài tập: Câu1: Tính căn bậc hai của các số phức sau: a. 7 - 24i b. -40 + 42i c. 11 + 4 3 i d. 1 2 i 4 2 + Câu2: Chứng minh rằng: a. Nếu x + iy là căn bậc hai của hai số phức a + bi thì x - yi là căn bậc hai của số phức a - bi b. Nếu x + iy là căn bậc hai của số phức a + bi thì x y i k k + là căn bậc hia của số phức 2 2 a b i k k + (k 0) Câu3: Giải phơng trình sau trên tập số phức: a. z 2 + 5 = 0 b. z 2 + 2z + 2 = 0 c. z 2 + 4z + 10 = 0 d. z 2 - 5z + 9 = 0 e. -2z 2 + 3z - 1 = 0 g. 3z 2 - 2z + 3 = 0 Câu4: Giải phơng trình sau trên tập số phức: a. (z + i)(z 2 - 2z + 2) = 0 b. (z 2 + 2z) - 6(z 2 + 2z) - 16 = 0 c. (z + 5i)(z - 3)(z 2 + z + 3) = 0 d. z 3 - (1 + i)z 2 + (3 + i)z - 3i = 0 Câu5: Giải phơng trình sau trên tập số phức: a. (z + 2i) 2 + 2(z + 2i) - 3 = 0 b. 2 4z i 4z i 5 6 0 z i z i + + + = ữ Câu6: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết: a) = 2 - 5i b. = -2 - i 3 c. = 3 i 2 Câu7: Chứng minh rằng nếu phơng trình az 2 + bz + c = 0 (a, b, c R) có nghiệm phức R thì cũng là nghiệm của phơng trình đó. Câu8: Cho phơng trình: (z + i)(z 2 - 2mz + m 2 - 2m) = 0 Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phơng trình a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực c) Có ba nghiệm phức Câu9: Giải phơng trình sau trên tập số phức: a. z 2 + z + 2 = 0 b. z 2 = z + 2 c. (z + z )(z - z ) = 0 d. 2z + 3 z = 2 + 3i Câu10: Giải phơng trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo a. z 3 - iz 2 - 2iz - 2 = 0 b. z 3 + (i - 3)z 2 + (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0 Câu11: Giải các hệ phơng trình sau trên tập số phức: a. x 2y 1 2i x y 3 i + = + = b. 2 2 1 1 1 1 i x y 2 2 x y 1 2i + = + = c. 2 2 x y 5 i x y 8 8i + = + = d. x y 4 xy 7 4i + = = + e. 2 2 x y 5 i x y 1 2i + = + = + f. 3 3 x y 1 x y 2 3i + = + = g. 2 2 x y 6 1 1 2 x y 5 + = + = h. x y 3 2i 1 1 17 1 i x y 26 26 + = + + = + BI TP S PHC T SCH NGUYN HU NGC 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun số phức z a) ( ) 3 2 3 2z i= + − − b) 3 os2007 sin 2007z c i π π = − c) ( ) ( ) 3 2 2 3z i i= + − d) ( ) 2 1 1 z i = − e) 2 1 3 1 3 i z i − = ÷ ÷ + f) ( ) ( ) 2 2 1 2z i i i= + + 2. Tính: a) i 2005 , i 2006 , i 2007 b) 2 3 4 2 3 4 i i i i i i i i + + + − + + c) A = i 2000 + i 2001 + i 2002 + i 2003 + i 2004 d) B = i n – 2 + i n – 1 + i n + i n +1 + i n + 2 e) C = 1 + i + i 2 + …+ i n 3. Thực hiện phép tính a) Cho 1 3 2z i= + và 2 2 3z i= − . Tính 1 2 .z z z= và 1 2 z w z = b) Cho 2 số phức 1 3 2 1 i z i + = − và 2 1 3 2 i z i − = − . Tính 1 1 2 1 2 1 2 2 , , , . , z z z z z z z z + c) Cho số phức 1 3 2 2 z i= − . Tính ( ) 3 2 2 ; ; ; ; 1z z z z z z+ + 4. Số phức liên hợp a) Cho số phức 6 2 6 2 4 4 z i = − = + .Tính ; ; . ; ; z z z z z z z z z + − b) Cho số phức z = 1 + i . Tính ( ) 1 1 ; ; ;z z z − − 5. Tìm căn bậc hai của số phức đã cho a) Tìm căn của số phức w = - 8 + 6i b) Tìm căn bậc hai của số phức w + 1 với 3 1 3 i w i − = + c) 8 6z i= − d) 3 4z i= + e) 3 1 3 i i − + d) 1 1 1 1 z i i = + + − f) 2 1 1 i z i + = ÷ − g) 2 1 3 3 i z i − = ÷ ÷ − h) 5 12w i= + h) Gọi u 1 , u 2 là hai căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i; và v 1, v 2 là hai căn bậc hai của số phức w = 3 – 4i. Tính u 1 + u 2 + v 1 + v 2 6. Giải phương trình bậc hai số phức sau: a) ( ) 2 2 2 3 3 0iz i z i− − − − = b) 2 4 6 0z iz− + = c) z 2 + 2z + 1 + 2i = 0 d) ( 1 + 2i) z = 3z – i e) 1 2z i z − = f) z 2 – z + 1 = 0 g) z 2 – 2iz – (1 – 2i) = 0 h) z 2 – (5 – 14i)z – 2(12 + 5i) = 0 i) z 2 – 80z + 4099 – 100i = 0 Dạng lượng giác của số phức 7.Viết các số sau dưới dạng lượng giác của nó a) 1 3z i= + b) z 2 = 1 – i c) 3 1 3z i= − − d) z 4 = 2 e) z 5 = - 2i f) z = 1 + i 8. Viết các số sau dưới dạng đại số a) 1 3 cos sin 3 3 z i π π = + ÷ b) 2 5 5 cos sin 6 6 z i π π = − + − ÷ ÷ c) 3 3 3 2 cos sin 4 4 z i π π = − − ÷ d) 4 cos sinz i π π = − BÀI TẬP SỐ PHỨC LÂM THỊ HỒNG LIÊN – VÂN ANH 1. Tính z + z’ ; z – z’ và z.z’ a) z = 3 + 2i ; z’ = 4 + 3i. b) z = 2 – 3i ; z’ = 5 + 4i 2. Thực hiện phép tính a) (1 – i) 2 b) (2 + 4i) 2 c) (1 + i) 3 + 13i 3. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) ( ) ( ) 1 1 4 3 A i i = + − 5 6 4 3 i B i − + = + 7 2 8 6 i C i − = − 1 2 5 D i = − 1 1 3 2 2 E i = − 3 2i F i − = 3 4 4 i G i − = − 4. Tìm nghịch đảo của các số phức sau: a) z = 3 + 5i b) Z = - 3 – 5i . Bài SỐ PHỨC 1 .Số i: 1 2 −=i 2.Định nghĩa số phức: *Biểu thức dạng a + bi , 1;, 2 −=∈ iRba được gọi là một số phức. Đơn vị số phức z = a +bi:Ta nói a là phần số thực,b là phần số ảo Tập. (3y-2)i=x+2+(y+4)i = = ⇔ = = ⇔ +=− +=+ 3 1 62 1 423 212 y x y x yy xx *Các trường hợp đặc biệt của số phức: +Số a là số phức có phần ảo bằng 0, a=a+0i +Số thực cũng là số phức +Sồ phức 0+bi được gọi là số thuần ảo:bi=0+bi;i=0+i M ath Composer 1.1.5 http:/. poser.com M a b -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 4.Biểu diển hình học của số phức Định nghĩa : (SGK) Ví dụ : +Điểm A (3;-1): được biểu diển số phức 3-i +Điểm B(-2;2): được biểu diển số phức- 2+2i . 5. Mô đun của hai số phức : Định nghĩa: (SGK)