On thi TN 12 giải tich

Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 Chương III/ NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN   Phần 1: NGUYÊN HÀM §1. CÁC KHÁI NIÊM VỀ NGUYÊN HÀM: 1). Định nghĩa : Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên ( ) ,a b nếu '( ) ( ),F x f x x K= " Î . Ghi nhớ : Nếu F(x) là nguyên hàm của ( ) f x thì mọi hàm số có dạng F(x) +C (C là hằng số) cũng là nguyên hàm của f(x) và chỉ những hàm số có dạng F(x) +C mới là nguyên hàm của f(x). Ta gọi F(x) +C là họ nguyên hàm của hàm số f(x) và ký hiệu là ( )f x dx ò . Như vậy: ( )f x dx ò = F(x) +C 2). Tính chất: a.Tính Chất 1: ( ) ( ) ( ) ; 0kf x dx k f x dx k = ≠ ∫ ∫ b. Tính Chất 2: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx ± = ±    ∫ ∫ ∫ c. Tính Chất 3 Nếu ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ thì ( ) ( ) f u du F u C = + ∫ . 3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ ( ) a,b a 0∈ & ≠¡ : ( ) 1 , 1 1 x x dx C + = + ≠− + ∫ α α α α ( ) 1 1 ( ) ( ) , 1 1 ax b ax b dx C a + + + = + ≠ − + ∫ α α α α ( ) ln , 0 dx x C x x = + ≠ ∫ 1 ln dx ax b C ax b a = + + + ∫ x x e dx e C = + ∫ 1 ax ax e dx e C a = + ∫ sin cosxdx x C =− + ∫ 1 sin cosaxdx ax C a =− + ∫ cos sinxdx x C = + ∫ 1 cos sinaxdx ax C a = + ∫ 2 tan , cos 2 dx x C x k x = + ≠ + ∫ π π 2 1 tan , cos 2 dx x C x k ax a = + ≠ + ∫ π π 2 cot , sin dx x C x k x =− + ≠ ∫ π 2 1 cot , sin dx ax C x k ax a =− + ≠ ∫ π Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số f(x) Trường THPT Chu văn An Tổ Tự nhiên - Nhóm Toán 1 Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 • Biểu diễn hàm số f(x) dưới dạng f(x) = a.g(x) + b.k(x) + … trong đó ta đã biết nguyên hàm của các hàm số g(x) , k(x) , … là G(x) , K(x) • Khi đó F(x) = a.G(x) + b.K(x) + …+ C 4). Bài tập: Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: 1. 5 2 1 ( ) 3 5f x x x x = + - - 2. 4 3 2 1 1 1 ( )f x x x x = + + 3. 3 ( )f x x= - 3 x x 4. ( ) 2 3 ( ) 2 1f x x x= − 5. ( ) 3 2 ( ) 2 1f x x x= − 6. ( ) ( ) ( ) 1 1f x x x x= + - + 7. 5 2 3 5 3 ( ) x x x f x x + - - = 8. 2 3 3 5 3 ( ) x x f x x - - = 9. ( ) 3 2 3 ( ) x f x x - = 10. 2 1 ( ) 4 f x x = − Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: 1. ( ) ( ) 1 x x f x e e= - 2. f(x) = ( ) 3 2 2 5 x x e e+ 3. ( ) 2 2 ( ) x x e f x e + = 4. 2 ( ) 2 cos x x e f x e x - æ ö ÷ ç = + ÷ ç ÷ ç è ø 5. f(x) = 2 x + 3 x 6. f(x) = ( 2 x + 3 x ) 2 Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1. f(x) = sin7x + 2cos5x 2. f(x) = sinx .cosx 3. f(x) = sin3x .cos4x 4. f(x) = cos3x .cos4x 5. f(x) = sin3x .sin4x 6. f(x) = cos 2 x 7. f(x) = sin 2 x 8. 2 ( ) tanf x x= 9. 2 ( ) tanf x x= 10. 2 2 1 ( ) sin .cos f x x x = 11. 2 2 cos2 ( ) sin .cos x f x x x = 12. ( ) 2 ( ) tan 3cotf x x x= + Bài 4 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số sau: 1. 2 1 ( ) 3 4 x f x x e x = − + , biết F(1) = 1 2. 2 ( ) sin 2 .cos3 3tanf x x x x= + , biết ( ) 0F π = 3. 2 1 ( ) sin cos f x x x = + ,biết rằng 2 4 2   =  ÷   F π . Trường THPT Chu văn An Tổ Tự nhiên - Nhóm Toán 2 Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 4. 3 2 2 3 3 1 ( ) 2 1 x x x f x x x + + + = + + , biết rằng ( ) 1 1 3 F = . (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2003) §1. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM: I/ Phương pháp đổi biến số 1). Định lý Nếu ( ) ( )f t dt F t C= + ∫ và t = u(x) có đạo hàm liên tục thì ( ) ( ) . '( )f u x u x dx F u x C  =   +     ∫ 2). Các dạng thường gặp 1 ( )f x x dx α α − ∫ , đặt t = x α 1 (ln )f x dx x ∫ , đặt t = lnx (cos )sinf x xdx ∫ , đặt t = cosx (s )cosf inx xdx ∫ , đặt t = sinx 2 1 (tan ) cos f x dx x ∫ , đặt t =tanx 2 1 (cot ) s f x dx in x ∫ , đặt t =cotx 1 (ln )f x dx x ∫ , đặt t = lnx 2 1 1 f dx x x    ÷   ∫ , đặt t = 1 x 3). Bài tập Bài 1: Tìm 1. ( ) 5 2 4x x dx+ ∫ 2. 3 4 3 1x x dx+ ∫ 3. ( ) 3 3 2x dx + ∫ 4. ( ) 5 2x x dx+ ∫ 5. 3 1x x dx+ ∫ 6. 2 2x dx x 3+ ∫ 7. 2 x 1 dx x 2x 3 + + + ∫ 8. 2 2 3 1 x x dx x + + + ∫ 9. 3 x dx x 2+ ∫ Bài 2: Tìm 1. − ∫ 3x 2 e dx 2. − ∫ 3 2x 2 dx 3. 3 x x e dx e + ∫ 4. x x dx e e 2 − + + ∫ 5. x x x x e e dx e e − − − + ∫ 6. 3 2.3 x x dx+ ∫ 7. 3ln 2x dx x + ∫ 8. ( ) dx x ln x ln x 1+ ∫ Bài 3: Tìm 1. cos 2x dx 3 π   −  ÷   ∫ 2. 2 cos ( ) 2 dx x π + ∫ 3. 3 sin x cos xdx ∫ 4. 5 cos xsin xdx ∫ 5. tan xdx ∫ 6. cot xdx ∫ 7. 3 sin xdx ∫ 8. 3 5 sin x cos xdx ∫ Trường THPT Chu văn An Tổ Tự nhiên - Nhóm Toán 3 Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 9. 3sin 2 cosx xdx+ ∫ 10. cosx sin x dx sin x cos x + − ∫ 11. 2 sin x cos x dx (sin x cos x) − + ∫ 12. 2 cos2x dx (sin x cos x)+ ∫ 13. sin x e cos xdx ∫ 14. 2 sin x e sin 2xdx ∫ 15. tan x 2 e dx cos x ∫ 16. 2 1 cot x dx sin x + ∫ 17. sin(ln x) dx x ∫ 18. 2 dx x cos x ∫ 19. 2 1 1 tan dx x x    ÷   ∫ II/ I/ Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần 1). Định lý Nếu hàm số u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ' . ' .u x v x dx u x v x u x v x dx= − ∫ ∫ 2). Các dạng thường gặp * ( ). x P x e dx ∫ , đặt u(x) = P(x) , v’(x) = e x * ( ).sinP x xdx ∫ , đặt u(x) = P(x) , v’(x) = sinx * ( ).cosP x xdx ∫ , đặt u(x) = P(x) , v’(x) = cosx * ( ).lnP x xdx ∫ , đặt u(x) = lnx , v’(x) =P(x) 3). Bài tập Bài 1: Tìm 1. . x x e dx − ∫ 2. 2 x (x 2x 1)e dx+ − ∫ 3. (2x 1)sin xdx+ ∫ 4. (1 x)cos xdx− ∫ 5. ln x dx ∫ 6. 3 x ln xdx ∫ Bài 2: Tìm 1. 2 x cos xdx ∫ 2. 2 xcos xdx ∫ 3. 2 2 1 cos x dx x − ∫ 4. xln(1 x)dx+ ∫ 5. 2 ln xdx ∫ Phần 2: TÍCH PHÂN I/TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Lý thuyết Trường THPT Chu văn An Tổ Tự nhiên - Nhóm Toán 4 Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 1. nh ngh a: Đị ĩ Cho hàm s f(x) liên t c trên [a ; b] và có nguyên hàm là F(x)ố ụ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = − ∫ ( Công th c NewTon - Leiptnitz)ứ 2. Các tính ch tấ : a/ ( ) 0 a a f x dx = ∫ b/ ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫ c/ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ d/ . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx= ∫ ∫ e/ ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + ∫ ∫ ∫ f/ ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f t dt f u du= = = ∫ ∫ ∫ Bài tập Bài 1: Tính 1) ( ) 1 0 2 1x x dx+ ∫ 2) ( ) 2 3 1 2 1x x dx+ ∫ 3) 4 1 1 2 x dx x x   + −  ÷   ∫ 4) 2 2 3 1 2x x dx x − ∫ 5) ( ) 2 2 1 2x dx x − ∫ 6) ( ) ( ) 3 1 3 2 1x x dx x − − ∫ 7) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 dx x x − − + ∫ 8) 0 2 1 3 2 dx x x − − + ∫ Bài 2: Tính 1) 3 3 x 1dx − − ∫ 12= 2) 4 2 1 x 3x 2dx − − + ∫ 3) 5 3 ( x 2 x 2)dx − + − − ∫ 4) 2 2 2 1 2 1 x 2 dx x + − ∫ 5) 3 x 0 2 4dx− ∫ 6) 0 1 cos 2x dx π + ∫ Bài 3: Tính Trường THPT Chu văn An Tổ Tự nhiên - Nhóm Toán 5 Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 1) ln 2 x x 2 0 e (1 e ) dx − − ∫ 2) ( ) 1 3 2 0 2 x x e e dx− ∫ 3) ln 5 3 0 1 x x e dx e + ∫ 4) /3 x x 2 0 e e 3 dx cos x π −   −  ÷   ∫ 5) ( ) 1 2 3 0 3 2 x x dx − − ∫ 6) ( ) 2 2 log 3 0 2 3 4 x x dx − ∫ Bài 4: Tính 1) /2 0 sin cosx xdx π ∫ 2) /2 /2 sin 2 cos7x x dx π π − ∫ 3) /3 0 sin 2 sin 7x xdx π ∫ 4) /3 0 cos2 cos7x x dx π ∫ 5) /2 2 0 cos xdx π ∫ 6) /2 2 0 sin x dx π ∫ 7) /2 2 0 cos .s n2x i xdx π ∫ 8) ( ) /4 2 /6 tan 2cotx x dx π π − ∫ Bài 5: Tính 1) Tìm A, B c a hàm s ủ ố f (x) Asin x B= π + thỏa ' f (1) 2= và 2 0 f(x)dx 4= ∫ 2) Tìm A sao cho : 2 2 3 0 [a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + = ∫ II. TÍNH TÍCH PHÂN B NG PH NG PHÁP I BI NẰ ƯƠ ĐỔ Ế : Tính I = b ' a f[u(x)].u (x)dx ∫ B c 1ướ t Đặ dxxudtxut )()( ' =⇒= B c 2ướ : Ñoåi caän : )( )( aut but ax bx = = ⇒ = = B c 3ướ : Tính [ ] ∫ = ∫ = )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxufI = ( ) ( ) ( ) F t F F b a b a= - Bài 1: Tính: 1) ( ) 1 4 2 0 2x x dx- ò 2) ( ) 1 4 3 2 0 2x x dx- ò 3) ( ) 1 4 2 0 2x x dx- ò 4) 1 2 3 0 1x x- ò dx 5) 1 3 2 0 x 1 x dx− ∫ 6) 1 2 0 1x x dx- ò 7) ∫ −+ 2 1 11 dx x x 8) 1 2 0 2 1 x dx x + ò 9) 1 2 0 1 2 2 x dx x x + + + ò 10) 1 2 0 2 2 1 x x dx x + + + ò 11) 1 0 3 2 1 x dx x + + ò 12) ( ) 0 3 1 2 1x x dx - + ò Trường THPT Chu văn An Tổ Tự nhiên - Nhóm Toán 6 Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 Bài 2: Tính: 1) 2 1 0 . x xe dx ò 2) 1 1 2 0 1 . x e dx x ò 3) 1 0 3 2 x x e e dx- ò 4) ln3 0 2 x x dx e e - + + ò 5) 4 1 2 x dx x ò 6) e 2 1 1 ln x dx x + ∫ 7) e 1 1 ln x dx x + ∫ 8) 3 ln (ln 1) e e dx x x x + ò Bài 3: Tính: 1) / 3 0 cos 2 3 x dx p p æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ è ø ò 2) 6/ 2 2/ 1 1 sin dx x x p p æö ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø ò 3) ( ) / 2 2 0 sin 4 dx x p p - ò 4) / 4 0 tanxdx p ò 5) / 2 / 4 cotxdx p p ò 6) / 2 3 0 sin .cosx xdx p ò 7) / 2 3 0 sin xdx p ò 8) / 2 3 0 sin .cosx xdx p ò 9) / 2 2 0 sin2 sin 1x x dx p + ò 10) ( ) / 4 2 0 tan 3 tan cos x x dx x p - ò 11) / 4 cot 2 / 6 sin x e dx x p p ò 12) / 2 0 sin cos cos sin x x dx x x p - + ò 13) ∫ + − 2 4 2sin1 cossin π π dx x xx 14) 2 sin 0 ( sin )cos x e x xdx p + ò 15) ∫ + 2 0 cos1 cos2sin π dx x xx II. TÍNH TÍCH PHÂN T NG PH NỪ Ầ Lý thuy tế 1.Công thức: Cho u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó . ' ' b b b a a a u v dx uv u vdx= − ∫ ∫ 2. Cách giải. B c 1ướ : t Đặ )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu = = ⇒ = = B c 2ướ : Thay vào công th c : ứ [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . B c 3ướ : Tính [ ] b a vu. và ∫ b a vdu 3. Bài t pậ : Tính Trường THPT Chu văn An Tổ Tự nhiên - Nhóm Toán 7 Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 1) 1 0 . x xe dx ò 2) / 2 0 .sinx xdx p ò 3) 1 .ln e x xdx ò 4) 1 0 (2 1). x x e dx - + ò 5) / 2 2 0 .sinx xdx p ò 6) 3 1 .ln e x xdx ò 7) / 2 2 0 .cosx xdx p ò 9) 1 0 ln( 1)x dx+ ò 10) 2 1 ln e xdx ò  Phần 3: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN I/ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. I Diện tích hình thang cong: Cho hình (H) giới hạn bởi ( ) : ( ) , c y f x Ox x a x b =     = =  Trong đó f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích (H) bằng S = | ( ) | b a f x dx ∫ . 2. Diện tích hình phẳng: Cho hình (H) giới hạn bởi 1 2 ( ) : ( ) ( ) : ( ) , c y f x c y g x x a x b =   =   = =  Trong đó f, g là hai hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích hình (H) là ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ . Chú ý nếu đã có đồ thị minh hoạ, khi trong đoạn [a; b], ta có đồ thị hàm f T nằm phía trên đồ thị hàm f D thì hình (H) giới hạn bởi 1 2 ( ) : ( ) ( ) : ( ) , T D c y f x c y f x x a x b =   =   = =  có diện tích ( ) ( ) ( ) b T D a S f x f x dx= − ∫ Trường THPT Chu văn An Tổ Tự nhiên - Nhóm Toán 8 Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 Bài 1 Tính diện tích của hình giới hạn bởi: 3 1 ( ) : 1 : 1, 2 C y x x S Ox x x  = + −    = =  2 2 ( ) : 3 : 0, 2 C y x x S Ox x x  = −    = =  2 3 ( ) : 2 : 0, 4 C y x x S Ox x x  = − −    = =  4 1 ( ) : 1 : 0, 2 x C y x S Ox x x −  =  +    = =   5 ( ) : sin 2 : 0, 4 x C y S Ox x x  =      = =  π 6 ( ) : ln : C y x S Ox x e =     =  7 3 ( ) : 3 : 0, log 4 x C y S Ox x x  =    = =  Bài 2 Tính diện tích của hình giới hạn bởi: 2 1 2 : y x S y x  = −  =  2 2 2 : 2 3 y x S y x  = −  = −  2 3 2 12 36 : 6 y x x S y x x  = − +   = −   4 : 6 y x S y x Ox  =  = −    3 5 : 2 y x S Ox x  =    =  6 2 1 : 1 , . x y S x Ox Oy +  =  −    Bài 3: Tính diện tích của hình giới hạn bởi: a) (P): y = x 2 và các tiếp tuyến của (P) đi qua 1 ; 2 2 A   −  ÷   b) ( ) :C y x= , trục hoành và tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hoành độ x = 1. *Bài 4. Cho (H) là hình giới hạn bởi (P): y = x 2 và d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và có hệ số góc k. a) Tính diện tích hình (H) khi k = -1. b) Tính k để diện tích hình (H) lớn nhất. II.THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY: Trường THPT Chu văn An Tổ Tự nhiên - Nhóm Toán 9 Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 Cho hình (H) giới hạn bởi ( ) : ( ) , C y f x Ox x a x b =     = =  . ( f liên tục trên đoạn [a; b]). Quay hình (H) quanh Ox ta được vật thể tròn xoay có thể tich [ ] 2 ( ) b a V f x dx π = ∫ . Bài tập Tính thể tích tròn xoay khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số 2 1y x= + , trục hoành và đường thẳng x = 0, x = 2. b) Đồ thị hàm số tany x= , trục hoành và đường thẳng x = 0, x = 4 p c) Đồ thị hàm số y = 2x – x 2 và đường thẳng y = 0. d) Đồ thị hàm số y = ln 1x - và trục Ox, x = e 2  Ch ng IV: S PH Cươ Ố Ứ §1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC Lý thuyết 1) Số i: i 2 - -1 2) S ph cố ứ : bi u th c z = a + bi (ể ứ ,a b RÎ ) g i là s ph c .Khi đó a g i là ph n th c, b g i làọ ố ứ ọ ầ ự ọ ph n oầ ả 3) S ph c liên h pố ứ ợ : s ph c liên h p c a s ph c z = a + bi là ố ứ ợ ủ ố ứ z = a – bi 4) Modul c a s ph củ ố ứ z = a + bi là s th c ố ự 2 2 z a b= + . Khi đó z z= 5) Hai s ph c b ng nhauố ứ ằ : a c a bi c di b d = ì ï ï + = + Û í = ï ï î 6) Các phép toán: cho z 1 = a 1 + b 1 i , và z 2 = a 2 + b 2 i a/ z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 ) i b/ z 1 – z 2 = (a 1 – a 2 ) + ( b 1 – b 2 ) i c/ z 1 . z 2 = (a 1 + b 1 i)( a 2 + b 2 i) (th c hi n t ng t nh nhân 2 nh th c)ự ệ ươ ự ư ị ứ d/ ( ) ( ) 1 2 2 2 a bi c di z z c d + - = + Bài t pậ Bài 1/ Tính : 1. (5 + 2i )– 3(-7+ 6i) 2. ( ) 5 2 (9 )i i − + − 3. ( ) 7 3 (8 2 )i i + − + 4. ( ) 7 3 .(6 4 )i i + − 5. ( ) 1 2 3 3 2 i i   − +  ÷   6. (4 – 5i) 2 7. (3i + 1) 3 8. 2 1 i i- 9. 3 2 4 3 i i - + Trường THPT Chu văn An Tổ Tự nhiên - Nhóm Toán 10 [...]...Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 (7 − 4i ) 10 (1 − 3i ).(8 + 7i ) Bài 2: Xác định phần thực phần ảo của các số phức sau a) z = (0 - i) –(2 – 3i) + (7 + 8i) b) z = (0 - i)(2+3i)(5+2i) c) z = (7 – 3i)2 – (2 - i)2 d) z = ( 2 - i ) + 2 - 3i 5 + 12i Bài 3: Cho số phức z = 4 – 3i.Tìm : z3 z a) z2 b) z3 c) z d) |z+z2+z3| Bài 4:... HỆ SỐ THỰC Lý thuyết 1) Phương trình bậc hai : ax2 + bx + c với a, b, c Î R 2) Cách giải 2 • Tính D =b - 4ac • Biện luận - b± D 2 a b b) Nếu D = 0 thì phương trình có 1 nghiệm thực x = 2 a - b±i D c) Nếu D < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phức x1,2 = 2 a a) Nếu D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm thực x1,2 = Bài 1: Giải phương trình: 1) x2 – 6x + 10 = 0; 2) x2 + x + 1 = 0 3/ x2 – 2x + 5 = 0 4) 3 x2 . Chu văn An Tổ Tự nhiên - Nhóm Toán 1 Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 • Biểu diễn hàm số f(x) dưới dạng f(x) = a.g(x) + b.k(x) + … trong đó ta đã biết nguyên hàm của các hàm số g(x). Tổ Tự nhiên - Nhóm Toán 2 Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 4. 3 2 2 3 3 1 ( ) 2 1 x x x f x x x + + + = + + , biết rằng ( ) 1 1 3 F = . (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2003) §1. CÁC. nhiên - Nhóm Toán 3 Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011 9. 3sin 2 cosx xdx+ ∫ 10. cosx sin x dx sin x cos x + − ∫ 11. 2 sin x cos x dx (sin x cos x) − + ∫ 12. 2 cos2x dx (sin x cos x)+ ∫ 13. sin