SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011 Môn thi: TOÁN, Khối A và B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số − = + 2 1 1 x y x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm các giá trị của m để phương trình 2 1 1x m x− = + có 2 nghiệm phân biệt. Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2cos (sin3 cos3 ) 1x x x− = 2) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 0 x y y x x x y y m − + − − = + − − − + = có nghiệm. Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 1 2 2 0 ( 1) 1 2x x dx+ − ∫ Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt SBC vuông góc với đáy, các cạnh SB = SC = 1 và các góc · · · 0 ASB BSC CSA 60= = = . Tính thể tích của hình chóp S.ABC. Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau a b c c a a b b c b c a c b a c b a + + + + + ≥ + + + + + . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc B) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ sao cho ∆ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 15 2 và chu vi bằng 15. 2) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( 1;0;2), B(2;1;4), C(1; 1;2)− − . Tìm tọa độ điểm M sao cho MA MB MC = = và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC) bằng 5 . Câu VII.a (1,0 điểm) Giả sử n là số nguyên dương và 2 0 1 2 (1 ) n n n x a a x a x a x+ = + + + + . Biết rằng tồn tại số nguyên dương (1 1)k k n≤ ≤ − sao cho 1 1 2 9 24 k k k a a a − + = = , hãy tính n. B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1 2 :3 5 0, : 2 3 0x y x y∆ + + = ∆ − − = và đường tròn (C): 2 2 ( 3) ( 5) 25x y− + + = . Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc 1 ∆ sao cho M và N đối xứng qua 2 ∆ . 2) Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 2;1;3)− . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác ABC có trực tâm là M. Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn 4z = và một acgumen của 3 i z + bằng 6 π − …………………………Hết………………………… Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:………………………………… Chữ kí của giám thị 1:……………………………………Chữ kí của giám thị 2:………………………… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm 2 2 Hệ phương trình 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 (1) 1 3 2 0 (2) x y y x x x y y m − + − − = + − − − + = có nghiệm Điều kiện. 1 1, 0 2x y− ≤ ≤ ≤ ≤ (1) 3 3 3 ( 1) 3( 1)x x y y⇔ − = − − − Hàm số 3 ( ) 3f t t t= − nghịch biến trên đoạn [ 1;1]− [ ] , 1 1;1x y − ∈ − nên ( ) ( 1) 1 1f x f y x y y x= − ⇔ = − ⇔ = + Thế vào pt (2) ta được 2 2 2 1 (3)x x m− − = − Hệ có nghiệm ⇔ Pt (3) có nghiệm [ ] 1;1x ∈ − Xét [ ] 2 2 2 1 ( ) 2 1 , 1;1 , '( ) 2 1 1 g x x x x g x x x = − − ∈ − = + ÷ − '( ) 0 0g x x= ⇔ = . (0) 2, ( 1) 1g g= − ± = Pt (3) có nghiệm [ ] 1;1 2 1 1 2x m m∈ − ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ 3 Tính tích phân 1 2 2 0 ( 1) 1 2x x dx+ − ∫ 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ( 1) 1 2 1 2 1 2x x dx x x dx x dx+ − = − + − ∫ ∫ ∫ Xét I ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 2 1 2 1 2 4 x x dx x d x= − = − − − ∫ ∫ ( ) 1 2 2 2 0 1 1 2 1 2 1 2 6 6 24 x x= − − − = − Xét J = 1 2 2 0 1 2 2 x dx− ∫ . Đặt 1 1 sin cos 2 2 x t dx tdt= ⇒ = 1 1 1 0 sin 0, sin 2 4 2 2 π = = J = 4 4 2 2 0 0 1 1 1 1 2 sin cos cos 2 2 2 2 t tdt tdt π π − = ∫ ∫ 4 4 0 0 1 1 sin 2 ( 2) 2 (1 cos2 ) 2 16 2 2 2 2 t t dt t π π π + = + = + = ÷ ∫ Vậy 1 2 2 0 1 2 ( 2) 2 1 2 2 ( 1) 1 2 6 24 16 6 12 16 x x dx π π + + − = − + = + + ∫ 5 Chứng minh a b c c a a b b c b c a c b a c b a + + + + + ≥ + + + + + BDT 1 1 1 1 1 1 a b c a b c c a b b c a b c a c a b + + + ⇔ + + ≥ + + + + + Đặt , , , , 0 a b c x y z x y z b c a = = = ⇒ > và 1xyz = BDT trở thành 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y x z x y z y z x + + + + + ≥ + + + + + 1 1 1 1 1 1 yx zy xz x y z y z x + + + ⇔ + + ≥ + + + + + (do 1xyz = ) 1 1 1 1 1 1 x x yx y y zy z z xz x y z y z x − + + − + + − + + ⇔ + + ≥ + + + + + 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z y z x − − − ⇔ + + ≥ + + + + + + + + 1 1 1 0 1 1 1 x y z y z x − − − ⇔ + + ≤ + + + 2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 0x z y x z y⇔ − + + − + + − + ≤ 2 2 2 2 2 2 3x y z x z y x z y x y z⇔ + + + + + ≥ + + + BDT cuối cùng đúng do 2 2 2 x y z x y z+ + ≥ + + và 2 2 2 3 3 3 3 3 3x z y x z y x y z+ + ≥ = M và N đối xứng qua 2 ∆ nên phép đối xứng trục 2 ∆ biến M thành N M ∈ (C) N (C')⇒ ∈ với (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục 2 ∆ Theo giả thiết N 1 ∈∆ nên N là giao của (C') và 1 ∆ (C) có tâm I(3; -5) và bán kính R = 5 nên (C') có tâm I’(-1 ; 3) và bán kính R = 5. Pt (C') là 2 2 ( 1) ( 3) 25x y+ + − = Giải hệ 2 2 ( 1) ( 3) 25 3 5 0 x y x y + + − = + + = ta được N(-1 ; -2) và N(-4 ; 7) N(-1 ; -2) ta tìm được M(-1 ; -2) N(-4 ; 7) ta tìm được M 22 49 ; 5 5 − ÷ Giả sử (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a ; 0 ; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Nếu (P) đi qua gốc O thì A B C≡ ≡ nên không tồn tại tam giác ABC. Nếu (P) không đí qua O thì 0abc ≠ nên Pt (P) là 1 x y z a b c + + = . (P) đi qua M nên 2 1 3 1 a b c − + + = (1) M là trực tâm tam giác ABC 3 . 0 3 . 0 2 b c MA BC MA BC MB AC a c MB AC = ⊥ = ⇒ ⇔ ⇔ ⊥ = − = uuur uuur uuur uuur Thế vào (1) ta được 4 1 3 14 1 7, 14 3 3 3 c a b c c c + + = ⇔ = ⇒ = − = Vậy pt (P) là 3 1 2 3 14 0 7 14 14 x y z x y z+ + = ⇔ − + + − = − Cách khác. Chứng minh được OM ⊥ (ABC) Vậy (P) là mặt phẳng qua M và có vecto pháp tuyến ( 2;1;3)OM = − uuuur PT (P) là 2( 2) ( 1) 3( 3) 0 2 3 14 0x y z x y z− + + − + − = ⇔ − + + − = 4 4(cos sin ) 4(cos( ) sin( ))z z i z i ϕ ϕ ϕ ϕ = ⇒ = + ⇒ = − + − 3 2(cos sin ) 6 6 i i π π + = + 3 1 cos sin 2 6 6 i i z π π ϕ ϕ + ⇒ = + + + ÷ ÷ ÷ Theo giả thiết 6 6 3 π π π ϕ ϕ + = − ⇔ = − Vậy 4 cos sin 2 2 3 3 3 z i i π π = − + − = − ÷ ÷ ÷ . ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011 Môn thi: TOÁN, Khối A và B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số − = + 2 1 1 x y x 1). ABC có trực tâm là M. Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn 4z = và một acgumen của 3 i z + bằng 6 π − …………………………Hết………………………… Họ và tên thí sinh:……………………………………… Số báo danh:………………………………… Chữ. từ M đến mặt phẳng (ABC) bằng 5 . Câu VII.a (1,0 điểm) Giả sử n là số nguyên dương và 2 0 1 2 (1 ) n n n x a a x a x a x+ = + + + + . Biết rằng tồn tại số nguyên dương (1 1)k k n≤ ≤ − sao