Lý thuyết số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT F 7 G GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT SỐ VŨ VĂN THÔNG Z Z ϕ(n). σ(n) τ(n). ¨o µ(n). [...]... 1, hay 1955 và 2003 là các số nguyên tố cùng nhau 2.3 17 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA SỐ HỌC 2.3 Đònh lý cơ bản của số học Đònh lý 2.6 Đònh lý cơ bản của số học Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều viết được một cách duy nhất thành tích của các thừa số nguyên tố theo thứ tự không giảm Trước khi chứng minh đònh lý cơ bản, chúng ta chưâng minh hai bổ đề sau đây Bổ đềù 2.6.1 Nếu a, b, c là các số nguyên dương sao cho (a,... có vô số số nguyên tố 16 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n đều tồn tại n số tự nhiên liên tiếp là hợp số 17 Chứng minh rằng nếu a, n là các số nguyên dương sao cho a n − 1 là số nguyên tố thì a = 2 và n là số nguyên tố 18 Chứng minh rằng nếu n là hợp số thì nó có ước nguyên tố không vượt √ quá n 19 Chứng minh√ ng nếu ước nguyên tố nhỏ nhất p của số nguyên dương rằ n vượt quá n thì n/p là số nguyên... đổi số thập lục phân ABCDEF sang hệä hệ nhò phân, hệ tứ phân và hệ bát phân 12 Hãy phát biểu việc chuyển đổi số từ hệ đếm cơ số r sang hệ đếm cơ số rn và ngược lại ? khi r, n > 1 là các số nguyên dương 13 Chứng minh rằng nếu b < −1 là một số nguyên thì mọi số nguyên n = 0 đều viết được một cách duy nhất dưới dạng n = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0 trong đó k là số nguyên không âm, các aj là số. .. aj ≤ và hệ số đầu tiên ak = 0 Hãy biểu diễn các số thập phân −7, −17, 61 trong hệ cơ số −2 |b| − 1 11 1.4 BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN 14 Chứng minh rằng mọi số nguyên nhất dưới dạng n=0 đều viết được một cách duy n = ak 3k + ak−1 3k−1 + · · · + a1 3 + a0 trong đó k là số nguyên không âm, các aj bằng −1, 0, hoặc 1 và hệ số ak = 0.(Khai triển thăng bằng cánh én) Hãy khai triển thăng bằng cánh én các số thập phân:...  ·  4  =  −20  ≡  1  −10 1 24 3 (mod 7) (mod 7) 34 3 ĐỒNG DƯ 3.5 Đònh lý Wilson và đònh lý Euler Đònh lý 3.11 Đònh lý Wilson Nếu p là số nguyên tố thì (p − 1)! ≡ −1 (mod p) Chứng minh Đònh lý là đúng trong trường hợp p = 2, 3 Ta xét trường hợp p > 3 Đối với mỗi số nguyên a, 2 ≤ a ≤ p − 2, do (a, p) = 1 nên từ đònh lý 3.6 suy ra a có nghòch đảo duy nhất a modulo m : 1 ≤ a ≤ p − 1 Mặt khác, a... dụ, 17 mod 5 = 2; −8 mod 7 = 6 Tập các số nguyên được gọi là hệ thặng dư đầy đủ modulo m nếuu mọi số nguyên đều đồng dư modulo m với đúng một số nguyên của hệ Dễ dàng thấy rằng: một hệ các số nguyên là thặng dư đầy đủ modulo m khi và chỉ khi hệ này có đúng m số đôi một không đồng dư với nhau modulo m 35 3.5 ĐỊNH LÝ WILSON VÀ ĐỊNH LÝ EULER Ví dụ 3.5.1 Nếu m là số nguyên dương thì: 1 Hệ 0, 1, , m − 1... trong phép chia cho các số: a) − 8 b) − 88 c) − 888 d) − 8888 17 và cho −17 của e) − 88888 7 Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là các số nguyên với a và c khác 0 sao cho a | b và c | d thì ac | bd 8 Giả sử a, b, c là các số nguyên và c = 0 Chứng minh rằng a | b khi và chỉ khi ac | bc 9 Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên và a | b thì an | bn với mọi số số tự nhiên n 10 Hãy đổi các số thập phân 1955,... trừ một số hữu hạn các giá trò của k Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên a = 0 và b = 0, ký hiệu là [a, b], được hiểu là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a và b Dễ dàng thấy rằng [a, b] = [b, a] và [a, b] = [|a|, |b|] Bội chung nhỏ nhất của các số nguyên khác không a1 , a2 , , ak , ký hiệu [a1 , a2 , , ak ], là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho tất cả các số aj , 1 ≤ j ≤ k Đònh lý 2.7 Nếu... cùng lẻ và a > b Áp dụng để tìm (2106, 8318) 9 Giả sử a, m, n là các số nguyên (a − 1, an − 1) = a(m,n) − 1 m dương và a > 1 Chứng minh rằng 10 Chứng tỏ rằng nếu m, n là các số nguyên dương thì (fm , fn ) = f(m,n) , trong đó fk là số Fibonacci thứ k 11 Phân tích các số 111111, 4849845 ra thừa số nguyên tố Giả sử p là số nguyên tố và n là số nguyên dương Nếu pα | n, nhưng pα+1 n, ta nói pα chia hết đúng... tố hoặc bằng 1 3 12 1 SỐ NGUYÊN 2 ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT SỰ PHÂN TÍCH RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ 2.1 Ước chung lớn nhất Nếu a, b là các số nguyên không đồng thời bằng không, thì tập các ước chung của a và b là hữu hạn và chứa các số +1 và −1 Chúng ta sẽ quan tâm đến số nguyên lớn nhất nằm trong các ước chung này Ước chung lớn nhất của hai số nguyên không đồng thời bằng không a và b là số nguyên lớn nhất chia . TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT F 7 G GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT SỐ VŨ VĂN THÔNG Z Z ϕ(n). σ(n) τ(n). ¨o µ(n).