8 MOƠT VAØI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYÊN
8.4 Phương trình Pell
Suy ra X = (ax+by+cz+dw)/m Y = (bx−ay+dz−cw)/m Z = (cx−dy−az+bw)/m W = (dx+cy−bz−aw)/m là các sô nguyeđn. Ta có X2+Y2+Z2+W2 =m2kp/m2 =kp,
và đieău này vođ lý với giạ thiêt veă tính nhỏ nhât cụa m.
Định lý 8.6. Mĩi sô nguyeđn dương đeău là toơng cụa bôn sô chính phương. Chứng minh. Khi n = 1 là hieơn nhieđn. Khi n > 1 thì n là tích cụa các sô nguyeđn tô. Theo các định lý 8.4 và 8.5 ta suy ra đieău phại chứng minh.
8.4 Phương trình Pell
Phaăn này chúng ta sẽ nghieđn cứu các phương trình Diophantus dáng
x2−dy2 =n,
trong đó d và n là các sô nguyeđn cô định. Khi d < 0 và n < 0 thì phương trình vođ nghieơm. Khi d <0 và n >0 thì phương trình nêu có thì chư có hữu
hán nghieơm. Cũng chú ý raỉng khi d = D2 là sô chính phương thì phương
trình được đưa veă heơ
x+Dy =a x−Dy =b
trong đóa, b là các sô nguyeđn vớiab=n,do đó nêu phương trình có nghieơm thì nó cũng chư có hữu hán nghieơm vì chư có hữu hán các sô nguyeđn a, b.
Như vaơy, chúng ta chư quan tađm đên phương trình x2−dy2 =n, trong đó
d và n là các sô nguyeđn với d khođng là sô chính phương. Định lý sau đađy chư ra raỉng phađn sô lieđn túc đơn giạn cụa √d được sử dúng đeơ nghieđn cứu phương trình này.
Định lý 8.7. Giạ sử d và n là các sô nguyeđn với d > 0 khođng là sô chính phương và |n|<√
d.Khi đó nêu các sô dương x, y thoạ x2−dy2 =n thì x/y
là giạn phađn cụa phađn sô lieđn túc đơn giạn cụa √d.
Chứng minh. Trước tieđn ta xét trường hợp n >0.Vì x2−dy2 =n neđn
(x+y√
d)(x−y√
d) =n.
Từ phương trình tređn ta suy ra x > y√
d, hay x y −√d >0. Vì 0< n <√ d neđn x y −√d= x−y√ d y = x2−dy2 y(x+y√ d) < n y(2y√ d) < √ d y(2y√ d) = 1 2y2.
Do 0 < x/y−√d và định lý 7.14 ta suy ra x/y là giạn phađn cụa phađn sô lieđn túc đơn giạn cụa √d.
Khi n < 0. Chia hai vê cụa phương trình x2−dy2 =n cho (−d) ta được
y2−(1/d)x2 =−n/d.
Do (−n/d) > 0, neđn lý luaơn như tređn ta suy ra y/x là giạn phađn cụa phađn sô lieđn túc đơn giạn cụa 1/d= 1/√
d. Nhưng do giạn phađn thứ k cụa 1/α
chính là nghịch đạo cụa giạn phađn thứ (k−1) cụa α, nêu α >1 neđn ta suy
ra x/y là giạn phađn cụa phađn sô lieđn túc đơn giạn cụa √d.
Nhớ lái định lý 7.16 : Giạ sửdkhođng là sô chính phương. ĐaịtP0 = 0, Q0 = 1, αk= (Pk+√
d)/Qk, ak= [αk], Pk+1 =akQk−Pk, Qk+1 = (n−Pk2+1)/Qk
vớik = 0,1,2, ... . Khi đó nêupk/qklà giạn phađn thứ kcụa√dthìp2k−nqk2 = (−1)k−1Qk+1. Định lý này sẽ giúp chúng ta xác định tât cạ các nghieơm cụa phương trình Pell: x2−dy2 = 1, cũng như cụa phương trình: x2−dy2 =−1.
Định lý 8.8. Giạ sửd >0 khođng là sô chính phương, pk/qk là giạn phađn thứ
k và n là đoơ dài chu kỳ cụa phađn sô lieđn túc đơn giạn cụa √d. Khi đó, nêu
n chẵn thì các nghieơm dương cụa phương trình Diophantus x2 −dy2 = 1 là
x=pjn−1, y=qjn−1, j = 1,2,3, ...và phương trình Diophantusx2−dy2 =−1
vođ nghieơm. Nêu n lẹ thì các nghieơm dương cụa phương trình Diophantus
x2 −dy2 = 1 là x = p2jn−1, y = q2jn−1, j = 1,2,3, ... và các nghieơm cụa phương trình Diophantusx2−dy2 =−1làx=p(2j−1)n−1, y =q(2j−1)n−1, j = 1,2,3, ... .
8.4. PHƯƠNG TRÌNH PELL 133 Chứng minh. Theo định lý 8.7, nêu x0, y0 là nghieơm cụa phương trình x2 −
dy2 =±1 thì x0 =pk, y0 =qk, với pk/qk là giạn phađn cụa phađn sô lieđn túc đơn giạn cụa √d. Vì phađn sô lieđn túc cụa √d có dáng √d = [a0;a1, ..., an ]
neđn Qjn=Q0 = 1 với j = 1,2,3, ... , trong đó Pj, Qj, αj, aj được xác định trong định lý 7.16. Ta có
p2k−nqk2 = (−1)k−1Qk+1;
suy ra, trong trường hợp n chẵn thì
p2jn−1−dqjn2 −1 = (−1)jnQjn= 1.
Cũng vaơy, nêu n lẹ thì
p22jn−1−dq22jn−1 = (−1)2jnQ2jn= 1
và
p2(2j−1)n−1−dq2(2j−1)n−1 = (−1)(2j−1)nQ(2j−1)n=−1.
Đeơ chứng tỏ các Diophantus x2 − dy2 = 1 và x2 −dy2 = −1 khođng còn các nghieơm khác, ta chư caăn chứng tỏ raỉng Qk+1 = 1 sẽ kéo theo n | k và
Qj =−1 với j = 1,2,3, ... .
VìQk+1 = 1thì αk+1 =Pk+1+√
dvàαk+1 = [ak+1;ak+2, ...]có bieêu dieên phađn sô lieđn túc tuaăn hoàn thuaăn chụng. Từ đó −1< α = Pk+1−√d < 0.
Suy ra Pk+1 = [√
d], cũng vaơy αk =α0 vàn |k.
Giạ sửQj =−1với j ≥1nào đó. Thê thì αj =−Pj−√d.Vìαj có bieêu dieên phađn sô lieđn túc tuaăn hoàn thuaăn chụng neđn −1< αj =−Pj +√
d <0
vàαj >1.Suy ra √d < Pj <−1−√d, và đieău này khođng theơ xạy ra.
Ví dú 8.4.1. Vì phađn sô lieđn túc đơn giạn cụa√13là[3; 1,1,1,1,6 ]neđn các nghieơm dương cụa phương trình Diophantus x2−13y2 = 1 làx=p10j−1, y=
q10j−1, với p10j−1/q10j−1 là giạn phađn thứ (10j−1) cụa phađn sô lieđn túc cụa
√
13, j = 1,2,3, ... .Nghieơm dương nhỏ nhât cụa phương trình x2−13y2 = 1
là x1 = p9 = 649, y1 = q9 = 180. Các nghieơm dương cụa phương trình Diophantus x2 −13y2 = −1 là x = p10j−6, y = q10j−6, với j = 1,2,3, ... .
Nghieơm dương nhỏ nhât cụa phương trìnhx2−13y2 =−1làp4 = 18, q4 = 5.
Ví dú 8.4.2. Vì phađn sô lieđn túc đơn giạn cụa 14là [3; 1,2,1,6 ] neđn các nghieơm dương cụa phương trình Diophantus x2−14y2 = 1 là x=p4j−1, y =
q4j−1, với p4j−1/q4j−1 là giạn phađn thứ (4j −1) cụa phađn sô lieđn túc cụa
√
14, j = 1,2,3, ... .Nghieơm dương nhỏ nhât cụa phương trình x2−13y2 = 1
là x1 = p3 = 15, y1 = q3 = 4. Phương trình Diophantus x2−14y2 = −1 vođ nghieơm.
Định lý 8.9. Nêux1, y1 là nghieơm dương nhỏ nhât cụa phương trình Diophan- tus x2−dy2 = 1 và sô nguyeđn dương d khođng là sô chính phương thì tât cạ các nghieơm dươngxk, yk được cho bởi
xk+yk√
d = (x1+y1√
d)k , với k= 1,2,3, ... .
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng tỏ raỉng xk, yk là nghieơm cụa phương trình và moêi nghieơm dương cụa phương trình đeău có dáng này.
Vì xk+yk√ d= (x1+y1√ d)k neđn xk−yk√ d= (x1−y1√ d)k. Suy ra x2k−dyk2 = (xk+yk√ d)(xk−yk√ d) = (x1+y1√ d)k(x1−y1√ d)k = (x21−dy12)k= 1.
Bađy giờ ta giạ sửX, Y là nghieơm dương cụa phương trình nhưng khođng baỉng moơt xk, yk nào cạ. Thê thì có sô nguyeđn dương n sao cho
(x1 +y1√ d)n< X +Y√ d <(x1+y1√ d)n+1. Suy ra 1<(x1+y1√ d)−n(X+Y√ d) = (x1−y1√ d)n(X+Y√ d)<(x1 +y1√ d). Đaịt r+s√ d= (x1−y1√ d)n(X+Y√ d). Ta có r2−ds2 = (r−s√ d)(r+s√ d) = (x1+y1√ d)n(X−Y√ d)(x1−y1√ d)n(X+Y√ d) = (x21−dy12)n(X2−dY2) = 1.
8.4. PHƯƠNG TRÌNH PELL 135 Vì r, slà nghieơm cụa phương trình Diophantus x2−dy2 = 1 và1< r+s√
d ta suy ra 0<(r+s√ d)−1 = (r−s√ d)<1. Do đó r= 1 2 (r+s√ d) + (r−s√ d) >0 và s= 1 2 (r+s√ d)−(r−s√ d) >0.
Như vaơy thìr, slà nghieơm dương cụa phương trình mà r+s√
d < x1+y1√
d
và đieău này vođ lý giạ thiêt veă x1, y1.
Ví dú 8.4.3. Chúng ta đã biêt x1 = 649, y1 = 180 là nghieơm dương nhỏ nhât cụa phương trình x2−13y2 = 1,vaơy phương trình có tât cạ các nghieơm dương xk, yk mà xk+yk√ 13 = (x1+y1√ 13)k. Chẳng hán x2+y2√ 13 = (x1+y1√ 13)2 = 842401 + 233640√ 13
neđn x2 = 842401, y2 = 233640 là nghieơm dương nhỏ nhât cụa phương trình
x2−13y2 = 1, khác x1 = 649, y1 = 180.
BAØI TAƠP CHƯƠNG VIII
1. Chứng minh raỉng nêu x, y, z là boơ ba Pythagoras nguyeđn thuỷ thì hoaịc
x hoaịc y là boơi cụa 3.
2. Chứng minh raỉng nêu x, y, z là boơ ba Pythagoras nguyeđn thuỷ thì có đúng moơt trong ba sô x, y, z là boơi cụa 5.
3. Chứng minh raỉng nêu x, y, z là boơ ba Pythagoras nguyeđn thuỷ thì có moơt trong ba sô x, y, z là boơi cụa 4.
4. Chứng minh raỉng moêi sô nguyeđn dương lớn hơn 2 đeău là moơt thành phaăn cụa ít nhât moơt boơ ba Pythagoras.
5. Đaịt x1 = 3, y1 = 4, z1 = 5 và với n= 2,3,4, ... đaịt
xn+1 = 3xn+ 2zn+ 1
yn+1 = 3xn+ 2zn+ 2
zn+1 = 4xn+ 3zn+ 2.
Hãy chứng tỏ raỉng xn, yn, zn là boơ ba Pythagoras với mĩi n.
6. Chứng tỏ raỉng nêu x, y, z là boơ ba Pythagoras với y =x+ 1 thì x, y, z
là boơ ba Pythagoras trong bài taơp 5.
7. Tìm tât cạ các nghieơm dương cụa phương trình Diophantusx2+2y2 =z2.
8. Tìm tât cạ các nghieơm dương cụa phương trình Diophantusx2+3y2 =z2.
9. Tìm tât cạ các nghieơm dương cụa phương trình Diophantus:
w2+x2 +y2 =z2.
10. Tìm tât cạ các boơ ba Pythagoras chứa sô 12.
11. Tìm tât cạ các boơ ba Pythagoras x, y, z với z =y+ 1.
12. Tìm tât cạ các boơ ba Pythagoras x, y, z với z =y+ 2.
13. Chứng minh raỉng sô các boơ ba Pythagoras x2+y2 =z2 với xcô định, baỉng (τ(x2)−1)/2 nêu x lẹ, và baỉng (τ(x2/4)−1)/2 nêu x chẵn. 14. Tìm tât cạ các nghieơm dương cụa phương trình Diophantusx2+py2 =z2,
trong đó plà sô nguyeđn tô.
15. Tìm tât cạ các nghieơm dương cụa phương trình Diophantus:
1/x2+ 1/y2 = 1/z2.
16. Hãy viêt các sô sau thành toơng cụa hai sô chính phương:
8.4. PHƯƠNG TRÌNH PELL 137 17. Xác định xem sô nào trong các sô sau viêt được thành toơng cụa hai
bình phương:
19, 25, 29, 45, 65, 80, 99, 999, 1000.
18. Chứng minh raỉng sô nguyeđn duơng là hieơu cụa hai sô chính phương khi và chư khi nó khođng có dáng 4k+ 2.
19. Chứng minh raỉng sô nguyeđn duơng khođng là toơng cụa ba sô chính
phương khi nó có dáng 8k+ 7.
20. Chứng minh raỉng sô nguyeđn duơng khođng là toơng cụa ba sô chính phương khi nó có dáng 4m(8k+ 7), với m≥0.
21. Hãy viêt các sô sau thành toơng cụa bôn sô chính phương:
7, 15, 34, 105, 510, 238, 3570.
22. Chứng minh raỉng mĩi sô nguyeđn n ≥170đeău là toơng các bình phương cụa naím sô nguyeđn dương.
23. Chứng minh raỉng sô 2m khođng là toơng các bình phương cụa bôn sô
nguyeđn dương, với mĩi sô lẹ m.
24. Chứng minh raỉng nêu p nguyeđn tô và a khođng chia hêt cho p thì có các sô nguyeđn x, y sao cho ax≡y (modp) và 0<|x|,|y|<√
p.
25. Tìm tât cạ các nghieơm cụa các phương trình Diophantus sau: a) x2+ 3y2 = 4
b) x2+ 5y2 = 7
c) 2x2+ 7y2 = 30
26. Tìm tât cạ các nghieơm cụa các phương trình Diophantus sau: a) x2−y2 = 8
b) x2−4y2 = 40
c) 4x2−9y2 = 100
27. Phương trình Diophantus x2 −31y2 = n có nghieơm với những giá trị nào cụa n cho sau đađy:
28. Tìm nghieơm dương nhỏ nhât cụa các phương trình Diophantus sau:
a) x2−29y2 =−1, b) x2−29y2 = 1
29. Tìm ba nghieơm dương nhỏ nhât cụa phương trình Diophantusx2−37y2 = 1.
30. Phương trình Diophantus x2 −dy2 = −1 có nghieơm với những giá trị nào cụa d cho sau đađy:
a) 2, b) 3, c) 6, d) 13, e) 17, f) 31, g) 41, h) 50.
31. Chứng minh raỉng nêu d là sô nguyeđn dương chia hêt cho sô nguyeđn
tô dáng 4k+ 3 thì phương trình Diophantus x2−dy2 = −1 khođng có nghieơm.
32. Cho d, n là các sô nguyeđn dương.
a) Chứng tỏ raỉng nêur, slà nghieơm cụa phương trình Diophantus x2−
dy2 = 1 vàX, Y là nghieơm cụa phương trình Diophantus x2−dy2 =n
thì Xr±dY s, Xs±Y r cũng là nghieơm cụa phương trình Diophantus
x2−dy2 =n.
b) Chứng tỏ raỉng phương trình Diophantusx2−dy2 =nhoaịc vođ nghieơm, hoaịc có vođ sô nghieơm.
33. Chứng minh raỉng các phương trình Diophantus sau đađy khođng có nghieơm khođng taăm thường:a) x4−2y4 = 1, b) x4−2y2 =−1.