8 MOƠT VAØI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYÊN
8.2Toơng cụa hai sô chính phương
Trong phaăn này chúng ta sẽ trạ lời cho cađu hỏi: các sô nguyeđn nào là toơng cụa hai sô chính phương?
8.2. TOƠNG CỤA HAI SÔ CHÍNH PHƯƠNG 127
Định lý 8.2. Nêuplà sô nguyeđn tô khođng có dáng4k+ 3thì có các sô nguyeđn
x, y sao cho x2+y2 =p.
Chứng minh. Khi p= 2,ta có 2 = 12+ 12.
Giạ sửplà sô nguyeđn tô có dáng4k+1.Do(−1)là thaịng dư bình phương modulopneđn có sô nguyeđnx,0< x < pđeơx2+ 12 =pvới sô nguyeđnnào đó. Gĩimlà sô nguyeđn dương nhỏ nhât sao cho phương trìnhx2+y2 =mpcó nghieơm nguyeđnx, y.Hieơn nhieđn làm < p,vìp=x2+12 ≤(p−1)2+1< p2.
Chúng ta sẽ chứng tỏ raỉng m= 1.
Giạ sử là m >1. Gĩi a, b là các sô nguyeđn −m/2< a≤m/2, −m/2<
b≤m/2 với a ≡x (mod m) và b≡y (mod m), ta có
a2+b2 ≡x2+y2 =mp≡0 (mod m).
Thê thì có sô nguyeđn k sao cho a2+b2 =km. Suy ra
(a2+b2)(x2+y2) = (km)(mp) = km2p.
Từ đẳng thức
(a2+b2)(x2+y2) = (ax+by)2 + (ay−bx)2
vàa ≡x (modm), b≡y (modm), ta có
ax+by ≡x2+y2 ≡0 (mod m) ay−bx≡xy−yx≡0 (modm).
Như vaơy (ax+by)/m và (ay−bx)/m là các sô nguyeđn và
ax+by m 2 + ay−bx m 2 = km 2p m2 =kp. Chúng ta còn phại chứng tỏ 0< k < m. Ta có 0≤km=a2 +b2 ≤2(m2/4) =m2/2,
kéo theo 0≤ k ≤ m/2. Vaơy k < m. Nêu k = 0, thì a2+b2 =km = 0, kéo
theo a = b = 0. Thê thì x ≡ y ≡ 0 (mod m). Nhưng x2 +y2 = mp, neđn
Định lý 8.3. Sô nguyeđn dương n là toơng cụa hai sô chính phương khi và chư khi moêi thừa sô nguyeđn tô dáng 4k+ 3cụa n xuât hieơn với sô mũ chẵn trong khai trieơn n thành tích các luỹ thừa nguyeđn tô.
Chứng minh. ⇒.Giạ sử ngược lái là có thừa sô nguyeđn tôp≡3 (mod 4)
cụa n có sô mũ lẹ 2j + 1 và n = x2 +y2. Đaịt d = (x, y), a = x/d, b =
y/d, m=n/d2, thì (a, b) = 1 và
a2+b2 =m.
Giạ sử pk là luỹ thừa lớn nhât cụa p chia hêt d. Thê thì m chia hêt cho
p2j−2k+1 với 2j−2k+ 1 là sô nguyeđn dương, vaơy p|m. Nhưng pa vì nêu
p|a thì p|b=m−a2, và đieău này vođ lý với (a, b) = 1.
Gĩi z là sô nguyeđn mà az ≡b (modp). Thê thì
m=a2+b2 ≡a2+ (az)2 =a2(1 +z2) (modp).
Vì p | m neđn p | a2(1 +z2). Nhưng (a, p) = 1 neđn p | 1 +z2, hay z2 ≡ −1 (modp) và đieău này khođng xạy ra khi p≡3 (mod 4).
⇐ . Giạ sử phađn tích cụa n khođng có thừa sô nguyeđn tô dáng 4k+ 3
với sô mũ lẹ. Khi đó ta có n = t2u trong đó u khođng có thừa sô nguyeđn tô dáng 4k+ 3. Vì moêi thừa sô nguyeđn tô khođng có dáng 4k+ 3, theo định lý 8.2 đeău là toơng cụa hai sô chính phương và heơ thức (r2+s2)(v2+w2) = (rv+sw)2+ (rw−sv)2 ta suy ra u là toơng cụa hai sô chính phương. Giạ sử
u=x2 +y2, ta có n = (tx)2+ (ty)2.