SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Năm học: 2009 – 2010 MÔN TOÁN (VÒNG I) Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu 1 (7 điểm) a) Cho hàm số 3 3y x x m . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. b) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn 0 3 a b c a b c ab bc ca . Chứng minh rằng: ( 2) 2abc và ( 2) 1 1 2a b c c) Cho hàm số 2 2 16 4 1y x x x có đồ thị (C). Tìm các điểm trên trục Oy mà qua đó có thể kẻ tới (C) đúng một tiếp tuyến. Câu 2 (4 điểm) a) Giải hệ phương trình : 2 2 2 , (0 1). x y a y z a a z x a b) Trong một trại hè có 20 học sinh trường A, 25 học sinh trường B và 28 học sinh trường C. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 22 học sinh, sao cho mỗi trường có ít nhất một em? Câu 3 (2 điểm) Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức: 1 2 3 * 1 1 2 3 1 , n N 2 2 n n n u u u u (N * là tập hợp các số nguyên dương). Chứng minh rằng dãy số (u n ) có giới hạn và tìm giới hạn của dãy số. Câu 4 (5 điểm) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và S 1 , S 2 lần lượt là diện tích của các tam giác ABC, ABD; là số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC), (ABD). Gọi M là điểm thuộc cạnh CD và cách đều hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). a) Chứng minh rằng: 1 2 2 sin 3 S S V AB và 1 2 S CM DM S . b) Tính diện tích tam giác ABM theo V, S 1 , S 2 , . Câu 5 (2 điểm) Cho hàm số * * :f N N (N * là tập hợp các số nguyên dương) thỏa mãn: ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), f xy f x f y f x y f x f y Tính f(2), f(3), f(2009). HẾT Họ và tên thí sinh: ……………………………………………….Số báo danh:……………………… Giám thị 1: Họ và tên:……………………………………………Chữ kí:………………………………… Giám thị 1: Họ và tên:……………………………………………Chữ kí:………………………………… với mọi bộ các số nguyên tố x, y với mọi * x,y N và ( , ) 1x y ĐỀ THI CHÍNH THỨC . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Năm học: 2009 – 2010 MÔN TOÁN (VÒNG I) Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu. ABC, ABD; là số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC), (ABD). Gọi M là điểm thuộc cạnh CD và cách đều hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). a) Chứng minh rằng: 1 2 2 sin 3 S S V AB và 1 2 S CM DM. tên:……………………………………………Chữ kí:………………………………… với mọi bộ các số nguyên tố x, y với mọi * x,y N và ( , ) 1x y ĐỀ THI CHÍNH THỨC