PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Phương trình lượng giác cơ bản : α = β + k2π • sinα = sin β ⟺ ( k Z ) α = π – β + k2π • cosα = cos β ⟺ α = ± β + k2π • tanα = tanβ ⟺ α = β + kπ α , β ≠ + mπ • cotα = cotβ ⟺ α = β + kπ α , β ≠ mπ Ch ú ý : . cosα = 0 ⟺ α = + kπ . sinα = 0 ⟺ α = kπ . cosα = -1 ⟺ α = k2π . sinα = 1 ⟺ α = + k2π . cosα = 1 ⟺ α = π + k2π . sinα = -1 ⟺ α = - + k2π Phương trình bậc nhất đối với sin và cos : ( pt cổ điển ) Dạng : a.sinx + b.cosx = c (1). -Phương pháp giải : -Cách 1 : -Phương trình (1) có nghiệm ⟺ a 2 + b 2 – c 2 ≥ 0 Chia 2 vế cho : (1) ⟺ .sinx + .cosx = Đặt cosα = ; sinα = ( 1 ) ⟺ sinx.cosα + cosx.sinα = ⟺ sin(x + α) = Khi đó đặt = sinβ .Ta được : sin(x + α) = sinβ -Cách 2 : asinx + bcosx = c (1) . Nếu x = π + k2π .Thế x = π + k2π vào (1) nếu thỏa thì nhận làm nghiệm , không thì loại. . Nếu x ≠ π + k2π .Đặt : t = tan ⟹ sinx = , cosx = ( 1 )⟺ = c ⟺ (b + c)t 2 – 2at + c – b = 0 *TH1 : b + c = 0 ⟺ c = -b *TH2 : b + c ≠ 0 ⟺ b ≠ - c Pt ⟺ a.t = - b , Giải pt rồi ⟹ tan Pt có nghiệm ⟹ ’ 0 ⟺ a 2 + b 2 – c 2 0, Giải pt rồi ⟹ tan Phương trình bậc 2 đối với hàm số lượng giác : . a.sin 2 x + b.sinx + c = 0 . a.tan 2 x + b.tanx + c = 0 . a.cos 2 x + b.cosx + c = 0 . a.cot 2 x + b.cotx + c = 0 Phương pháp giải: Đặt t = sinx ( hay cosx ) ,-1 1 Pt ⟺ a.t 2 + bt + c = 0, giải pt bậc 2 rùi ⟹ n 0 x Phương trình thuần nhất đối với sin và cos : ( pt đẳng cấp bậc 2 ) - Dạng : a.sin 2 x + b.sinx.cosx + c.cos 2 x = d (1) - Xét xem : cosx = 0 ⟺ x = có phải là nghiệm của (1) không? (cosx = 0 ⟹ sin 2 x = 1) * cosx 0 chia 2 vế cho cos 2 x ( x ) (1) ⟺ a.tan 2 x + b.tanx + c – d = 0 Giải pt ⟹ n 0 x Phương trình đối xứng : . Dạng1: a.(sinx + cosx)+ b.sinx.cosx + c = 0 (1 ) Đặt t = sinx + cosx ⟹ t = cos = sin , t [-;] ⟹ t 2 = sin 2 x + cos 2 x + 2sinx.cosx ⟹ sinx.cosx = (1) ⟺ a.t + b. + c = 0 ⟺ b.t 2 + 2a.t +2c – b = 0 (2) Giải (2) tìm t, thay vào (1) tìm x . Dạng2 : a.(sinx - cosx)+ b.sinx.cosx + c = 0 (1 ) Đặt t = sinx - cosx ⟹ t = cos = sin , t [-;] ⟹ t 2 = sin 2 x + cos 2 x - 2sinx.cosx ⟹ sinx.cosx = Rồi giải như dạng 1 Truc cos Truc sin Truc tan Truc cotan - 3 2 - 2 2 -1 2 1 2 2 2 3 2 -1 2 - 2 2 - 3 2 2 2 3 2 1 2 - 3 -1 - 3 3 -1 - 3 3 - 3 3 3 3 3 3 3 1 3 π /2 π π /2 5 π /6 3 π /4 2 π /3 π /3 π /4 π /6 A(0;1) . nghiệm của (1 ) không? (cosx = 0 ⟹ sin 2 x = 1) * cosx 0 chia 2 vế cho cos 2 x ( x ) (1 ) ⟺ a.tan 2 x + b.tanx + c – d = 0 Giải pt ⟹ n 0 x Phương trình đối xứng : . Dạng1: a.(sinx + cosx)+ b.sinx.cosx. k2π . sinα = -1 ⟺ α = - + k2π Phương trình bậc nhất đối với sin và cos : ( pt cổ điển ) Dạng : a.sinx + b.cosx = c (1 ). -Phương pháp giải : -Cách 1 : -Phương trình (1 ) có nghiệm ⟺ a 2 + b 2 –. 2 vế cho : (1 ) ⟺ .sinx + .cosx = Đặt cosα = ; sinα = ( 1 ) ⟺ sinx.cosα + cosx.sinα = ⟺ sin(x + ) = Khi đó đặt = sinβ .Ta được : sin(x + ) = sinβ -Cách 2 : asinx + bcosx = c (1 ) . Nếu x =