Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
12
Dung lượng
829,04 KB
Nội dung
0 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN – TIN Lớp: Toán-VB2 khóa 2 TỐI ƯU PHI TUYẾN Đề tài môn: TẬP LỒI TRONG R n Người thực hiện: 1. Lưu Thị Hảo 2. Nguyễn Thị Hồng Tiên 3. Đặng Lê Xuân Ánh Nguyệt 1 Chương 3: TẬP LỒI TRONG R n I. Tập lồi và tính chất của tập lồi 1. Đường thẳng Cho x , y n R Các đường thẳng qua x và y được định nghĩa là tập 1,x x x y R hay 1 2 1 2 1 2 y, , , 1x x p x p p p R p p hay ,x x x y x R 2. Đoạn thẳng Cho , n x y R a. Đoạn thẳng đóng 1 2 1 2 , 1 , 0 1 x x x x x x b. Đoạn thẳng mở 1 2 1 2 , 1 , 0 1x x x x x x c. Đoạn thẳng đóng, mở 1 2 1 2 , 1 , 0 1 x x x x x x d. Đoạn thẳng mở, đóng 1 2 1 2 , 1 , 0 1 x x x x x x 3. Tập lồi Tập n AR là một tập lồi nếu ,x y A và [0,1] ta có (1 )a b A . Hình 3.1 Tập lồi a. Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi b. Co A={x: x là tổ hợp lồi của các vecto thuộc A} c. C là tập lồi khi và chỉ khi C=coC d. Nếu A và B là các tập lồi và R thì các tập A+B, A cũng lồi. 4. Nửa không gian Cho ,0 n c R c và R . Khi đó: Tập , n x x R cx là một nửa không gian mở trong n R Tập , n x x R cx là một nửa không gian đóng trong n R . (Cả hai nửa không gian đều là các tập lồi) 2 5. Mặt phẳng Cho ,0 n c R c và R . Khi đó tập , n x x R cx được gọi là một mặt phẳng trong n R . (Mỗi mặt phẳng trong n R là một tập lồi) 6. Không gian con Một tập n AR là 1 không gian con nếu 12 12 , , p p R p x p y A x y A Mỗi không gian con của n R chứa gốc và là một tập lồi. VD: Các không gian con của 3 R bao gồm 3 , R , gốc, và tất cả các đường thẳng và mặt phẳng đi qua gốc. 7. Bài toán Chứng minh rằng mỗi một quả cầu mở hoặc đóng , n B x x x R x x , n B x x x R x x bao quanh một điểm n xR là một tập lồi. Chứng minh rằng phần trong của một tập lồi là tập lồi 8. Đỉnh Cho A là 1 tập lồi trong n R . Mọi aA mà ở đó không tồn tại 2 điểm khác biệt ,x y A khác a sao cho ,yxx , được gọi là đỉnh của A (hoặc là 1 điểm cực trị của A) . VD: Một tập lồi n AR có thể không có đỉnh (ví dụ như mặt phẳng , n x x R cx và quả cầu mở Bx không có đỉnh), có hữu hạn đỉnh. VD: Tập , 0, ex 1 n x x R x , trong đó e là một n -vector đơn vị, có n đỉnh , 1, . . . , i e i n , trong đó i e là một n -vector với 1 i i e và 0, i j e i j ), hoặc có vô số đỉnh (ví dụ quả cầu đóng có vô số đỉnh được cho bởi , n x x R x x 9. Định lý Nếu i iI A là một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) các tập lồi trong n R , khi đó phần giao i iI A là một tập lồi. Chứng minh: Cho ,y i iI xA Lấy 01 . Khi đó với mỗi iI : ,y i xA 3 vì i A lồi nên 1 i x y A 10. Đa diện và khối đa diện Định nghĩa: Một tập hợp trong n R là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng trong n R gọi là một đa diện. Một đa diện bị chặn (nghĩa là, với mỗi x thuộc đa diện, x với R cố định), được gọi là một khối đa diện. Đa diện và khối đa diện là các tập lồi.( 4 và định lý 9) 11. Tổ hợp lồi Một điểm n bR được gọi là một tổ hợp lồi của các vectơ 1 , , mn a a R nếu tồn tại m số thực 1 , , m pp sao cho: 1 1 1 1 , , , 0, 1 m m m m b p a p a p p p p 12. Đơn hình Cho 01 , , , m x x x là 1m điểm phân biệt trong n R , với mn . Nếu các vector 1 0 0 , , m x x x x là độc lập tuyến tính, thì tập tất cả các tổ hợp lồi của 01 , , , m x x x 00 , , 0, 0, . . . , , 1 mm i i i i i ii S z z p x p R p i m p được gọi là một m -đơn hình trong n R với đỉnh 01 , , . . . , m x x x . VD: 0-đơn hình là một điểm, 1-đơn hình là một đoạn thẳng đóng, 2-đơn hình là một tam giác, và 3- đơn hình là một tứ diện) 13. Định lý Tập n AR là tập lồi khi và chỉ khi với mỗi số nguyên 1m , mỗi tổ hợp lồi của bất kỳ m điểm của A thì nằm trong A. 14. 1 1 11 1 , . . . , , . . . , 0 . . . . . . 1 m m mm m x x A p p p x p x A pp 1 1 m m p x p x A Chứng minh: Điều kiện đủ của 14 là hiển nhiên; Lấy 2m , khi đó A là tập lồi bởi 1.3. Ta chứng minh điều kiện cần của 14 bằng quy nạp. Với 1m , 14 , hiển nhiên đúng. Với 2m , 14 xem như là kết quả của 3. Giả sử 14 đúng với mọi m , chúng ta sẽ chứng minh rằng nó cũng đúng cho 1m Cho 4 1 2 1 11 11 , , . . . , , . . . , p 0 . . . 1 m m m x x x A p pp Nếu 1 0 m p thì 1 1 m m p x p x A , từ đó 14 đúng với mọi m . Nếu 1 1 m p thì 1 1 1 11 mm m p x p x x A . Nếu 1 01 m p thì chúng ta có thể viết 1 11 1 1 11 11 mm i m m m i i m mm ii ii ii p p p x p x x p x A pp 15. Định lý Carathéodory (Carathéodory 07) Cho n AR Nếu x là tổ hợp lồi của những điểm của A, thì x là 1 tổ hợp lồi của 1n hoặc 1 vài điểm của A. Chứng minh: Cho 1 1 , , , 0, . . . 1 m ii i i i m i x p x x p R p p p . nếu 1mn thì x có thể được viết dưới dạng tổ hợp lồi của 1m điểm trong A. Nếu bất kỳ i p nào trong biểu thức trên bằng 0, thì x là một tổ hợp lồi của 1m hoặc 1 vài điểm của A. Giả sử 0 i p . Vì 1mn , tồn tại 11 , , m r r R , không đồng thời bằng 0 sao cho: 11 11 . . . 0 m m m m r x x r x x (do A.1.3) Đặt 11 mm r r r . Khi đó 11 00 mm i ii ii r r x Đặt i i i q p r với 1, . . . ,im ( Với >0 : 0 i qi , ít nhất k q bằng 0) chọn sao cho 1 m ax ik i ik rr pp 5 Hình 3.1.4 Một tập A và bao lồi của nó A Khi đó 1 1 1 1 1 0, 1, . . . , , 0 1 ik m m m m m i i i i i i i i i i ik q i m q q q p r p Và 1 1 1 1 m m m m i i i i i i i i i i i i ik x p x q x r x q x Do đó x là một tổ hợp lồi của 1m điểm trong A 16. Bao lồi Cho n AR . Bao lồi của A, ký hiệu là A , là giao của các tập lồi trong n R chứa A. VD: Hình 3.1.4 : 1 tập không lồi trong 2 R được chứa trong một bao lồi 17. Định lý Bao lồi A của 1 tập n AR bằng tập tất cả các tổ hợp lồi của các điểm của A. Chứng minh: Giả sử B là tập xác định bởi: Đặt 11 , , , 0, 1, 1 kk ii i i i i ii B x x p a p R a A p p k Ta sẽ chứng minh B là tập lồi. Lấy 12 ,x x B , 0,1 Do 1 xB nên dịnh nghĩa của B sẽ có 1 , , a k aB và 1 , , k p p R sao cho: 1 0, 1 k ii i pp 1 1 k ii i x p a Do 2 xB nên dịnh nghĩa của B sẽ có 1 , , a k aB và 1 , , k p p R sao cho: 1 0, 1 k ii i pp 6 2 1 k ii i x p a Ta có: 12 11 11 km ii ii ii z x x p a q b 11 1 km i i i i ii p a q b Ta thấy: 0 ( 0,1 , 0) 1 0 ( 0,1 , 0) ii ii p do p q d o p 1 1 1 1 11 k m k m i i i i i i i i i i i i p a q b p a q b Vì vậy z là một tổ hợp lồi của hầu hết phần tử thuộc về B nghĩa là zB (do định nghĩa của B) Ta chứng minh BA Ta sẽ chứng minh BA nghĩa là j jI BC , j C là tập lồi chứa A với mọi jI Thật vậy, ta sẽ chứng minh j BC với j C là tập lồi bất kỳ chứa A Lấy xB . Theo định nghĩa của B có , 1, , i a A i m có 1 0, 1, m ii i p i m sao cho p 1 m ii i x p a , chú ý rằng 1, , j A C i m Theo định lý 13, x là tổ hợp lồi của 1 , , a mj aC nên j xC Chứng minh tren suy ra xA Vậy BA 18. Tổng của 2 tập Lấy A , B n R . Tổng của AB được định nghĩa bởi ,,A B z z x y x A y B 19. Tích của một tập hợp với một số thực Cho n AR và R . Tích ,A z z x x A nếu 1 và A, thì B A B A . 20. Định lý Tổng AB của hai tập lồi A và B trong n R là một tập lồi. Chứng minh: Cho 12 ,z z A B 7 thì 1 1 1 z x y 2 2 2 z x y ( 12 ,x x A và 12 ,y y B ) Cho 01 1 2 1 2 1 2 1 1 1z z x x y y A B Do đó A+B là tập lồi 21. Định lý Tích A của một tập lồi A trong n R và số thực là một tập lồi Chứng minh: Lấy 12 ,z z A thì 1 1 2 2 ,z x z x ( 12 ,x x A ). Cho 01 1 2 1 2 11z z x x A 22. Hệ quả Nếu A và B là 2 tập lồi trong n R , thì AB là 1 tập lồi Chứng minh: Cho 12 ,z z A B thì 1 1 1 z x y 2 2 2 z x y ( 12 ,x x A và 12 ,y y B ) Cho 01 1 2 1 2 1 2 1 [ 1 ] [ 1 ]z z x x y y A B Do đó A-B là tập lồi II. Định lý tách tập lồi 1. Siêu phẳng tách Siêu phẳng , , 0 n x x R cx c được gọi là tách (tách ngặt) hai tập A và B khác rỗng trong n R nếu x A cx cx x B cx cx 8 Hình 3.2.1: Tách nhưng các tập không rời nhau. 2. Bổ đề Cho A là một tập lồi khác rỗng trong n R , không chứa gốc 0. Khi đó, tồn tại một siêu phẳng , 0 , 0 n x x R cx c , tách A và 0. Do đó: 0x A cx Chứng minh: Với mỗi xA chúng ta kết hợp các tập đóng khác rỗng , 1, 0 n x B y y R yy xy Cho 1 , . . . , m xx là tập hữu hạn các điểm trong A . Ta có 11 0, 1, 0, 1, . . . , mm i i i i ii x p p p i m không có nghiệm m pR Hình 3.2.2 Tập rời nhau nhưng không tách nhau. Hoặc tương đương 1 0, 0 m i i i x p p không có nghiệm m pR Từ định lý 2.4.5 của Gordan 0, 1, . . . , i x y i m có nghiệm m yR 9 Với 0y , lấy y sao cho 1yy . Khi đó: 11 , 1, 0 i mm ni x ii y y y R yy x y C Do đó 1 i m x i C Các tập x xA C là tập đóng liên quan đến tập compact ,1 n y y R yy ta có x xA C . Lấy điểm c bất kỳ với 1cc và 0cx xA . Do đó ,0 n x x R cx là siêu phẳng tách được cần tìm. 3. Định lý tách Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau trong n R . Khi đó tồn tại một siêu phẳng , , 0 n x x R cx c , ngăn cách hai tập trên, đó là, x A cx x B cx Chứng minh: ,,B A x x y z y B z A là lồi (hệ quả 3.1.22 ) và không chứa gốc 0. tồn tại , 0 , 0 n x x R cx c sao cho 0x B A cx hoặc ,0y B z A c y z (bổ đề 2) Do đó inf cy sup yB zA cz Đặt 2 thì z A cz y B cy 4. Hệ quả Cho A là một tập lồi không rỗng trong n R . Nếu gốc 0 không là một điểm của bao đóng A ( hoặc gốc không nằm trong bao đóng A của A), thì tồn tại một siêu phẳng , , 0, 0 n x x R cx c , tách ngặt A và 0. Nói cách khác 0, 0 : 0 c A x A cx Chứng minh Giả sử: tồn tại 0, 0c sao cho cx với mọi xA . Nếu 0 thì tồn tại một xA sao cho 2xc [...]... tồn tại một siêu phẳng x B A cx 0 Hoặc y B, z A c y z 0 Do đó 10 x là lồi và đóng x R , cx , c , 0 n sao cho in f c y s u p c z s u p c z y B Đặt z A z A 2 thì z A cz y B cy Hình 3.2.5 Giải thích hình học của Bổ đề 5 7 Bài toán Thiết lập định lý Farkas 2.4.6 bằng cách sử dụng định lý 6 ở trên (quan sát có nghiệm . PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN – TIN Lớp: Toán-VB2 khóa 2 TỐI ƯU PHI TUYẾN Đề tài môn: TẬP LỒI TRONG R n Người thực hiện: 1. Lưu Thị Hảo 2. Nguyễn Thị Hồng Tiên 3. Đặng Lê Xuân. gian con của 3 R bao gồm 3 , R , gốc, và tất cả các đường thẳng và mặt phẳng đi qua gốc. 7. Bài toán Chứng minh rằng mỗi một quả cầu mở hoặc đóng , n B x x x. Lấy 01 . Khi đó với mỗi iI : ,y i xA 3 vì i A lồi nên 1 i x y A 10. Đa diện và khối đa diện Định nghĩa: Một tập hợp trong n R là giao của một số hữu hạn các