1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 10

12 1,1K 1

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 12
Dung lượng 829,04 KB

Nội dung

0 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN – TIN Lớp: Toán-VB2 khóa 2 TỐI ƯU PHI TUYẾN Đề tài môn: TẬP LỒI TRONG R n Người thực hiện: 1. Lưu Thị Hảo 2. Nguyễn Thị Hồng Tiên 3. Đặng Lê Xuân Ánh Nguyệt 1 Chương 3: TẬP LỒI TRONG R n I. Tập lồi và tính chất của tập lồi 1. Đường thẳng Cho x , y n R Các đường thẳng qua x và y được định nghĩa là tập     1,x x x y R        hay   1 2 1 2 1 2 y, , , 1x x p x p p p R p p     hay     ,x x x y x R      2. Đoạn thẳng Cho , n x y R a. Đoạn thẳng đóng     1 2 1 2 , 1 , 0 1         x x x x x x    b. Đoạn thẳng mở       1 2 1 2 , 1 , 0 1x x x x x x          c. Đoạn thẳng đóng, mở      1 2 1 2 , 1 , 0 1         x x x x x x    d. Đoạn thẳng mở, đóng      1 2 1 2 , 1 , 0 1         x x x x x x    3. Tập lồi Tập n AR là một tập lồi nếu ,x y A và [0,1]   ta có (1 )a b A     . Hình 3.1 Tập lồi a. Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi b. Co A={x: x là tổ hợp lồi của các vecto thuộc A} c. C là tập lồi khi và chỉ khi C=coC d. Nếu A và B là các tập lồi và R   thì các tập A+B, A  cũng lồi. 4. Nửa không gian Cho ,0 n c R c và  R  . Khi đó: Tập   , n x x R cx  là một nửa không gian mở trong n R Tập   , n x x R cx  là một nửa không gian đóng trong n R . (Cả hai nửa không gian đều là các tập lồi) 2 5. Mặt phẳng Cho ,0 n c R c và  R  . Khi đó tập   , n x x R cx  được gọi là một mặt phẳng trong n R . (Mỗi mặt phẳng trong n R là một tập lồi) 6. Không gian con Một tập n AR là 1 không gian con nếu 12 12 , , p p R p x p y A x y A         Mỗi không gian con của n R chứa gốc và là một tập lồi. VD: Các không gian con của 3 R bao gồm 3 , R , gốc, và tất cả các đường thẳng và mặt phẳng đi qua gốc. 7. Bài toán Chứng minh rằng mỗi một quả cầu mở hoặc đóng ,            n B x x x R x x   ,            n B x x x R x x   bao quanh một điểm   n xR là một tập lồi. Chứng minh rằng phần trong của một tập lồi là tập lồi 8. Đỉnh Cho A là 1 tập lồi trong n R . Mọi aA mà ở đó không tồn tại 2 điểm khác biệt ,x y A khác a sao cho   ,yxx , được gọi là đỉnh của A (hoặc là 1 điểm cực trị của A) . VD: Một tập lồi n AR có thể không có đỉnh (ví dụ như mặt phẳng   , n x x R cx  và quả cầu mở Bx      không có đỉnh), có hữu hạn đỉnh. VD: Tập   , 0, ex 1   n x x R x , trong đó e là một n -vector đơn vị, có n đỉnh , 1, . . . , i e i n , trong đó i e là một n -vector với 1 i i e  và 0, i j e i j ), hoặc có vô số đỉnh (ví dụ quả cầu đóng có vô số đỉnh được cho bởi ,        n x x R x x  9. Định lý Nếu   i iI A  là một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) các tập lồi trong n R , khi đó phần giao i iI A   là một tập lồi. Chứng minh: Cho ,y i iI xA   Lấy 01  . Khi đó với mỗi iI : ,y i xA 3 vì i A lồi nên   1 i x y A     10. Đa diện và khối đa diện Định nghĩa: Một tập hợp trong n R là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng trong n R gọi là một đa diện. Một đa diện bị chặn (nghĩa là, với mỗi x thuộc đa diện, x  với  R  cố định), được gọi là một khối đa diện. Đa diện và khối đa diện là các tập lồi.( 4 và định lý 9) 11. Tổ hợp lồi Một điểm  n bR được gọi là một tổ hợp lồi của các vectơ 1 , ,  mn a a R nếu tồn tại m số thực 1 , , m pp sao cho: 1 1 1 1 , , , 0, 1       m m m m b p a p a p p p p 12. Đơn hình Cho 01 , , , m x x x là 1m  điểm phân biệt trong n R , với mn . Nếu các vector 1 0 0 , , m x x x x là độc lập tuyến tính, thì tập tất cả các tổ hợp lồi của 01 , , , m x x x 00 , , 0, 0, . . . , , 1            mm i i i i i ii S z z p x p R p i m p được gọi là một m -đơn hình trong n R với đỉnh 01 , , . . . , m x x x . VD: 0-đơn hình là một điểm, 1-đơn hình là một đoạn thẳng đóng, 2-đơn hình là một tam giác, và 3- đơn hình là một tứ diện) 13. Định lý Tập n AR là tập lồi khi và chỉ khi với mỗi số nguyên 1m , mỗi tổ hợp lồi của bất kỳ m điểm của A thì nằm trong A. 14. 1 1 11 1 , . . . , , . . . , 0 . . . . . . 1 m m mm m x x A p p p x p x A pp               1 1 m m p x p x A    Chứng minh: Điều kiện đủ của 14 là hiển nhiên; Lấy 2m  , khi đó A là tập lồi bởi 1.3. Ta chứng minh điều kiện cần của 14 bằng quy nạp. Với 1m  , 14 , hiển nhiên đúng. Với 2m  , 14 xem như là kết quả của 3. Giả sử 14 đúng với mọi m , chúng ta sẽ chứng minh rằng nó cũng đúng cho 1m  Cho 4 1 2 1 11 11 , , . . . , , . . . , p 0 . . . 1 m m m x x x A p pp         Nếu 1 0 m p   thì 1 1 m m p x p x A   , từ đó 14 đúng với mọi m . Nếu 1 1 m p   thì 1 1 1 11 mm m p x p x x A       . Nếu 1 01 m p   thì chúng ta có thể viết 1 11 1 1 11 11 mm i m m m i i m mm ii ii ii p p p x p x x p x A pp                      15. Định lý Carathéodory (Carathéodory 07) Cho n AR Nếu x là tổ hợp lồi của những điểm của A, thì x là 1 tổ hợp lồi của 1n  hoặc 1 vài điểm của A. Chứng minh: Cho 1 1 , , , 0, . . . 1           m ii i i i m i x p x x p R p p p . nếu 1mn thì x có thể được viết dưới dạng tổ hợp lồi của 1m  điểm trong A. Nếu bất kỳ i p nào trong biểu thức trên bằng 0, thì x là một tổ hợp lồi của 1m  hoặc 1 vài điểm của A. Giả sử 0 i p  . Vì 1mn , tồn tại 11 , ,   m r r R , không đồng thời bằng 0 sao cho:     11 11 . . . 0 m m m m r x x r x x        (do A.1.3) Đặt   11 mm r r r      . Khi đó 11 00 mm i ii ii r r x    Đặt i i i q p r   với 1, . . . ,im ( Với  >0 : 0 i qi , ít nhất k q bằng 0) chọn  sao cho 1 m ax ik i ik rr pp      5 Hình 3.1.4 Một tập A và bao lồi của nó   A Khi đó 1 1 1 1 1 0, 1, . . . , , 0 1 ik m m m m m i i i i i i i i i i ik q i m q q q p r p                     Và 1 1 1 1 m m m m i i i i i i i i i i i i ik x p x q x r x q x               Do đó x là một tổ hợp lồi của 1m  điểm trong A 16. Bao lồi Cho n AR . Bao lồi của A, ký hiệu là   A , là giao của các tập lồi trong n R chứa A. VD: Hình 3.1.4 : 1 tập không lồi trong 2 R được chứa trong một bao lồi 17. Định lý Bao lồi   A của 1 tập n AR bằng tập tất cả các tổ hợp lồi của các điểm của A. Chứng minh: Giả sử B là tập xác định bởi: Đặt 11 , , , 0, 1, 1 kk ii i i i i ii B x x p a p R a A p p k             Ta sẽ chứng minh B là tập lồi. Lấy 12 ,x x B ,   0,1   Do 1 xB nên dịnh nghĩa của B sẽ có 1 , , a k aB và 1 , , k p p R sao cho: 1 0, 1 k ii i pp    1 1 k ii i x p a    Do 2 xB nên dịnh nghĩa của B sẽ có 1 , , a k aB và 1 , , k p p R sao cho: 1 0, 1 k ii i pp    6 2 1 k ii i x p a    Ta có:     12 11 11 km ii ii ii z x x p a q b               11 1 km i i i i ii p a q b     Ta thấy:       0 ( 0,1 , 0) 1 0 ( 0,1 , 0) ii ii p do p q d o p              1 1 1 1 11 k m k m i i i i i i i i i i i i p a q b p a q b                  Vì vậy z là một tổ hợp lồi của hầu hết phần tử thuộc về B nghĩa là zB (do định nghĩa của B) Ta chứng minh   BA Ta sẽ chứng minh   BA nghĩa là j jI BC   , j C là tập lồi chứa A với mọi jI Thật vậy, ta sẽ chứng minh j BC với j C là tập lồi bất kỳ chứa A Lấy xB . Theo định nghĩa của B có , 1, , i a A i m có 1 0, 1, m ii i p i m sao cho p    1 m ii i x p a    , chú ý rằng 1, , j A C i m Theo định lý 13, x là tổ hợp lồi của 1 , , a mj aC nên j xC Chứng minh tren suy ra   xA Vậy   BA 18. Tổng của 2 tập Lấy A , B n R . Tổng của AB được định nghĩa bởi   ,,A B z z x y x A y B      19. Tích của một tập hợp với một số thực Cho n AR và  R  . Tích   ,A z z x x A     nếu 1   và A, thì B A B A     . 20. Định lý Tổng AB của hai tập lồi A và B trong n R là một tập lồi. Chứng minh: Cho 12 ,z z A B 7 thì 1 1 1 z x y 2 2 2 z x y ( 12 ,x x A và 12 ,y y B ) Cho 01        1 2 1 2 1 2 1 1 1z z x x y y A B                 Do đó A+B là tập lồi 21. Định lý Tích A  của một tập lồi A trong n R và số thực  là một tập lồi Chứng minh: Lấy 12 ,z z A   thì 1 1 2 2 ,z x z x   ( 12 ,x x A ). Cho 01      1 2 1 2 11z z x x A               22. Hệ quả Nếu A và B là 2 tập lồi trong n R , thì AB là 1 tập lồi Chứng minh: Cho 12 ,z z A B thì 1 1 1 z x y 2 2 2 z x y ( 12 ,x x A và 12 ,y y B ) Cho 01        1 2 1 2 1 2 1 [ 1 ] [ 1 ]z z x x y y A B                 Do đó A-B là tập lồi II. Định lý tách tập lồi 1. Siêu phẳng tách Siêu phẳng   , , 0   n x x R cx c  được gọi là tách (tách ngặt) hai tập A và B khác rỗng trong n R nếu     x A cx cx x B cx cx           8 Hình 3.2.1: Tách nhưng các tập không rời nhau. 2. Bổ đề Cho A là một tập lồi khác rỗng trong n R , không chứa gốc 0. Khi đó, tồn tại một siêu phẳng   , 0 , 0   n x x R cx c , tách A và 0. Do đó: 0x A cx   Chứng minh: Với mỗi xA chúng ta kết hợp các tập đóng khác rỗng   , 1, 0 n x B y y R yy xy    Cho 1 , . . . , m xx là tập hữu hạn các điểm trong A . Ta có 11 0, 1, 0, 1, . . . , mm i i i i ii x p p p i m       không có nghiệm  m pR Hình 3.2.2 Tập rời nhau nhưng không tách nhau. Hoặc tương đương 1 0, 0 m i i i x p p    không có nghiệm  m pR Từ định lý 2.4.5 của Gordan 0, 1, . . . , i x y i m có nghiệm  m yR 9 Với 0y  , lấy y sao cho 1yy  . Khi đó:   11 , 1, 0 i mm ni x ii y y y R yy x y C         Do đó 1 i m x i C     Các tập   x xA C  là tập đóng liên quan đến tập compact   ,1 n y y R yy ta có x xA C     . Lấy điểm c bất kỳ với 1cc  và 0cx xA . Do đó   ,0 n x x R cx là siêu phẳng tách được cần tìm. 3. Định lý tách Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau trong n R . Khi đó tồn tại một siêu phẳng   , , 0   n x x R cx c  , ngăn cách hai tập trên, đó là, x A cx x B cx         Chứng minh:   ,,B A x x y z y B z A      là lồi (hệ quả 3.1.22 ) và không chứa gốc 0. tồn tại   , 0 , 0   n x x R cx c sao cho 0x B A cx    hoặc   ,0y B z A c y z     (bổ đề 2) Do đó inf cy sup yB zA cz       Đặt 2     thì z A cz y B cy         4. Hệ quả Cho A là một tập lồi không rỗng trong n R . Nếu gốc 0 không là một điểm của bao đóng A ( hoặc gốc không nằm trong bao đóng A của A), thì tồn tại một siêu phẳng   , , 0, 0    n x x R cx c  , tách ngặt A và 0. Nói cách khác 0, 0 : 0 c A x A cx          Chứng minh    Giả sử: tồn tại 0, 0c   sao cho cx   với mọi xA . Nếu 0  thì tồn tại một xA sao cho 2xc   [...]... tồn tại một siêu phẳng x  B  A  cx    0 Hoặc y  B, z  A  c  y  z     0 Do đó 10 x là lồi và đóng  x  R , cx   , c  ,   0 n sao cho   in f c y  s u p c z    s u p c z   y B Đặt   z A z A   2 thì z  A  cz   y  B  cy   Hình 3.2.5 Giải thích hình học của Bổ đề 5 7 Bài toán Thiết lập định lý Farkas 2.4.6 bằng cách sử dụng định lý 6 ở trên (quan sát có nghiệm . PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN – TIN Lớp: Toán-VB2 khóa 2 TỐI ƯU PHI TUYẾN Đề tài môn: TẬP LỒI TRONG R n Người thực hiện: 1. Lưu Thị Hảo 2. Nguyễn Thị Hồng Tiên 3. Đặng Lê Xuân. gian con của 3 R bao gồm 3 , R , gốc, và tất cả các đường thẳng và mặt phẳng đi qua gốc. 7. Bài toán Chứng minh rằng mỗi một quả cầu mở hoặc đóng ,            n B x x x. Lấy 01  . Khi đó với mỗi iI : ,y i xA 3 vì i A lồi nên   1 i x y A     10. Đa diện và khối đa diện Định nghĩa: Một tập hợp trong n R là giao của một số hữu hạn các

Ngày đăng: 02/05/2015, 16:02

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w