Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 13

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM KHOA TOÁN - TIN TIỂU LUẬN TỐI ƯU PHI TUYẾN ĐỀ TÀI: TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUY HOẠCH PHI TUYẾN VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI GIẢNG VIÊN : TS. TRỊNH CÔNG DIỆU THỰC HIỆN : NHÓM 21 – VB2 TOÁN – KHÓA 2 01 : HUỲNH VĂN AN 02 : ĐINH HÙNG KỲ 03 : ĐOÀN NHẬT MINH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 01 NĂM 2015 MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 i MỤC LỤC MỤC LỤC i TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUY HOẠCH PHI TUYẾN VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI 2 1. Kiến thức chuẩn bị 2 1.1. Các định lý loại trừ 2 1.2. Hàm lồi và các định lý liên quan 2 1.3. Các điều kiện định tính và mỗi liên hệ giữa chúng 4 1.3.1. Bổ đề 1 5 1.3.2. Bổ đề 2 5 2. Các bài toán cực tiểu và các bài toán điểm dừng Fritz John và Kuhn-Tucker 7 3. Các tiêu chuẩn tối ưu đủ 8 3.1. Định lý 1 8 3.2. Hệ quả 1 9 3.3. Định lý 2 9 4. Các tiêu chuẩn tối ưu cần 11 4.1. Bổ đề tuyến tính hoá 11 4.2. Định lý tối ưu cần cho điểm dừng Fritz John 12 4.3. Định lý tối ưu cần cho điểm dừng Kuhn-Tucker 14 4.4. Định lý 16 4.5. Hệ quả 1 16 4.6. Hệ quả 2 17 5. Minh họa sơ lược mối liên hệ giữa nghiệm của các bài toán 18 6. Thuật toán và các ví dụ minh họa 19 6.1. Thuật toán giải bài toán MP bằng cách giải bài toán KTP tương ứng 19 6.2. Các ví dụ minh họa 20 MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 2 TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUY HOẠCH PHI TUYẾN VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Các định lý loại trừ 1.1.1. Định lý Farkas Cho A là ma trận pn , n b . Khi đó một và chỉ một trong hai hệ sau có nghiệm  0 0 Ax bx     với ẩn là n x  0 A y b y      với ẩn là p y  1.1.2. Định lý Gordan Cho ma trận A tùy ý. Khi đó, một và chỉ một trong hai hệ sau có nghiệm:  0Ax  với ẩn là x  0 0 Ay y       với ẩn là y , A  là ma trận chuyển vị của A 1.1.3. Định lý Motzkin Cho ( 0)A  , B , C là các ma trận tùy ý. Khi đó, một và chỉ một trong hai hệ sau có nghiệm:  0 0 0 Ax Bx Cx        với ẩn là x  1 2 3 1 3 0 0 0 A y B y C y y y             với ẩn là 1 y , 2 y , 3 y 1.2. Hàm lồi và các định lý liên quan 1.2.1. Định nghĩa Cho  là hàm số xác định trên tập n  : (i)  là hàm lồi tại x  nếu           0 1 1 1 1 x x x x x xx                       (ii) Nếu  là tập lồi thì (i) không cần điều kiện   1 xx     (iii)  là hàm lồi trên  nếu  lồi tại mọi x  . MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 3 1.2.2. Định lý 1 Cho  là hàm số xác định trên tập mở n  và  khả vi tại x  , nếu  là hàm lồi tại x  thì        x x x x x     với mọi x . 1.2.3. Định lý 2 Cho  là hàm số xác định trên tập mở n  và  khả vi tại x  , nếu  là hàm lồi nghiêm ngặt tại x  thì            x x x x x với mọi x , xx . MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 4 1.3. Các điều kiện định tính và mỗi liên hệ giữa chúng Giả thiết chung: 0 X là tập lồi trong n g là một hàm vectơ lồi m chiều xác định trên 0 X     0 0: | ,X x x X g x - Điều kiện Slater Hàm g được gọi là thỏa mãn điều kiện Slater trên 0 X nếu tồn tại 0 xX sao cho   0gx . - Điều kiện Karlin Hàm g được gọi là thỏa mãn điều kiện Karlin trên 0 X nếu không tồn tại m p , 0p  sao cho   0pg x  với mọi 0 xX . - Điều kiện nghiêm ngặt Hàm g được gọi là thỏa mãn điều kiện nghiêm ngặt trên 0 X nếu X chứa ít nhất hai điểm phân biệt 1 x , 2 x sao cho g lồi nghiêm ngặt tại 1 x . Giả thiết chung: 0 X là một tập mở trong n g là một hàm vectơ m chiều xác định trên 0 X     0 : , 0X x x X g x . - Điều kiện Kuhn-Tucker Hàm g được gọi là thoả mãn điều kiện Kuhn -Tucker tại xX nếu g khả vi tại x và nếu:                     01,                   Trong đó:     0 i I i g x - Điều kiện Arrow-Hurwicz-Uzawa Hàm g được gọi là thoả điều kiện Arrow-Hurwicz-Uzawa tại xX nếu g khả vi tại x và nếu     0 0 W V g x z g x z        có một nghiệm n z  Trong đó:    0 i V i g x , i g lõm tại x } và    0 i W i g x , i g không lõm tại x } - Điều kiện lồi đảo Hàm g được gọi là thoả điều kiện lồi đảo tại xX nếu g khả vi tại x và nếu với mỗi iI thì hoặc là i g lõm tại x hoặc là i g tuyến tính trên n , trong đó     0 i I i g x . MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 5 Ghi chú: Sở dĩ nói lồi đảo là vì nếu 0 X là một tập lồi và iI g  lõm trên 0 X , thì tập     0 0 iI x x X , g x   không lồi, nhưng phần bù của nó trong 0 X ,     0 0 iI x x X , g x   , là một tập lồi. Ví dụ: Nếu 0 n X  và   1g x xx   thì g thoả điều kiện lồi đảo tại mỗi   1 n x x x , xx 1.3.1. Bổ đề 1 Điều kiện Slater và điều kiện Karlin là tương đương. Điều kiện nghiêm ngặt thỏa thì cả hai điều kiện Slater và điều kiện Karlin cũng thỏa. 1.3.2. Bổ đề 2 Cho 0 X là tập mở trong n , g là hàm vectơ m chiều xác định trên 0 X và đặt :   0 , ( ) 0X x x X g x (i) Nếu g thỏa mãn điều kiện lồi đảo tại x , thì g thỏa điều kiện Arrow-Hurwicz-Uzawa tại x (ii) Nếu g thỏa mãn điều kiện lồi đảo tại x thì g thỏa điều kiện Kuhn-Tucker tại x . (iii) Cho 0 X lồi, g lồi trên 0 X và g khả vi tại x . Nếu g thỏa mãn điều kiện Slater trên 0 X , điều kiện Karlin trên 0 X hoặc điều kiện nghiêm ngặt trên 0 X thì g thỏa điều kiện Arrow- Hurwicz-Uzawa tại x . Chứng minh: (i) Cho g thỏa mãn điều kiện lồi đảo tại x . Khi đó với mỗi     0 i i I i g x   thì hoặc là i g lõm tại x hoặc là i g tuyến tính trên n , điều này dẫn đến    0 i W i g x , i g không lõm tại x } là tập rỗng và có 0z  thỏa ( ) ( ) 0 VI g x z g x z  , trong đó    0 i V i g x , i g lõm tại x } Do đó g thỏa điều kiện Arrow-Hurwicz-Uzawa tại x . (ii) Cho g thỏa mãn điều kiện lồi đảo tại x . Đặt   ( ) 0 i I i g x và   ( ) 0 i J i g x Lấy y là một vectơ bất kỳ trong n thỏa ) 0( I g x y . Đặt ()e x y    với 0   được xác định cụ thể ở dưới. Rõ ràng điều kiện (a) và (c) của điều kiện Kuhn-Tucker được thỏa. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng điều kiện (b) cũng được thỏa. Vì 0 X là tập mở, và do I g là lõm và khả vi tại x nên ta có 0 x y X   và           () 0 I I I I I g e g x y g x g x y g x y           với 01  và 0   . Do đó với 0   và 01  , ta có MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 6   0() I ge  và với iJ , ta có         , i i i i g x y g x g x y x y y              0 lim , 0 i xy            , i i i g x g x x y y         (theo 1.3.8) 0 với một số  nào đó thoả 0    (do   0 J gx và   0 lim , 0 i xy      ) Vậy ( ) 0 J ge     với 01  . Vì 0() I ge    với 01  , ta có ()eX   với 01  và điều kiện (b) của điều kiện Kuhn-Tucker được thỏa. (iii) Theo bổ đề 1, ta có điều kiện Slater và điều kiện Karlin là tương đương và điều kiện nghiêm ngặt bao hàm cả hai điều kiện Slater và Karlin. Vì thế ta chỉ cần thiết lập bổ đề này với điều kiện Slater. Nếu g thỏa điều kiện Slater trên 0 X thì tồn tại 0 ˆ xX sao cho   ˆ 0gx . Vì g khả vi tại x , theo định lý 1.2.2, ta có:         ˆ ˆ ˆ 0 ( ) I I I I g x g x g x g x x x     trong đó   ( ) 0 i I i g x Do đó bằng cách đặt ˆ z x x , ta có ( ) 0 I gx và điều kiện Arrow-Hurwicz-Uzawa được thỏa tại x .▐ Các kết quả của hai bổ đề trên được tóm tắt trong Hình 1.3 0 X lồi, g lồi      0 X mở, g khả vi tại x 0 X mở                       g khả vi tại x Điều kiện Karlin Điều kiện Slater Điều kiện nghiêm ngặt Điều kiện lồi đảo Điều kiện Arrow- Hurwicz-Uzawa Điều kiện Kuhn-Tucker Hình 1.3. Mối liên hệ giữa các điều kiện định tính MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 7 2. Các bài toán cực tiểu và các bài toán điểm dừng Fritz John và Kuhn-Tucker Giả thiết chung:  là một tập mở trong  là hàm số xác định trên  là hàm vectơ m chiều xác định trên 2.1. Bài toán cực tiểu toàn cục (MP) Tìm (nếu có) thỏa mãn:         0 min ,0 xX xx x X x x X g x            2.1. Bài toán cực tiểu địa phương (LMP) Tìm xX (nếu có) sao cho tồn tại quả cầu tâm , bán kính thỏa mãn:       min x B x X xx     2.3. Bài toán điểm dừng Fritz John (FJP) Tìm 0 0 m x X ,r ,r   nếu tồn tại, thỏa mãn:           0 0 0 0 0 0 r x r g x gx rg x r ,r               (Ta ngầm hiểu rằng  và g khả vi tại x ) 2.4. Bài toán điểm dừng Kuhn-Tucker (KTP) Tìm 0 m x X , u (nếu có) thỏa mãn:         0 0 0 0 x u g x gx ug x u              (Ta ngầm hiểu rằng  và g khả vi tại x ) Nhận xét: - Nếu   0 x,r ,r là một nghiệm của FJP, và 0 0r  , thì   0 x,r r là một nghiệm của KTP. Ngược lại, nếu   x,u là một nghiệm của KTP, thì   1x, ,u là một nghiệm của FJP. - Trong KTP ta có u  0 ,   gx  0 và   0ug x  nên suy ra   0 ii u g x  với 1, ,im như vậy bài toán có thể viết lại như sau: 0 X n  0 X g 0 X x   Bx  x 0  MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 8 Tìm 0 m x X , u (nếu có) thỏa mãn: (KTP)         0 0 1 2 0 0 ii x u g x gx u g x ,i , , ,m u              3. Các tiêu chuẩn tối ưu đủ 3.1. Định lý 1 Cho 0 xX , 0 X mở,  và g khả vi và lồi tại x . - Nếu   ,xu là một nghiệm của KTP thì x là một nghiệm của MP. - Nếu   0 ,,x r r là một nghiệm của FJP, và 0 0r  thì x là một nghiệm của MP. Chứng minh: Ý thứ hai của định lý được suy ra từ ý thứ nhất do nhận xét ở mục 2. Giả sử   ,xu là một nghiệm của KTP. Với mọi xX ta có     xx       x x x  (do  lồi, khả vi tại x và Định lý 1.2.2)    u g x x x    (vì     x u g x    )      u g x g x   (do g lồi và khả vi tại x , Định lý 1.2.2 và do u  0 )   ug x (vì   0ug x  )  0 (vì u  0 và   gx  0 ) Do đó   x    x với mọi xX , mà xX     do 0gx nên suy ra:     min xX xx     và xX .▐ Nhận xét: - Đối với các bài toán có các ràng buộc đẳng thức phi tuyến dạng   0hx , để chuyển về dạng KTP hoặc FJP ta thường thay ràng buộc này bằng hai ràng buộc bất đẳng thức   0hx và   0hx . Tuy nhiên do   hx là hàm phi tuyến nên   hx và   hx không đồng thời là hàm lồi, vì vậy không thể áp dụng định lý trên trong trường hợp này. Ngược lại đối với các ràng buộc đẳng thức tuyến tính thì có thể áp dụng định lý trên vì hàm tuyến tính vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm. - Nếu ta đặt         | 0 , | 0 ii I i g x J i g x    thì do   0 ii u g x  với 1, ,im ta suy ra 0 i u  với iJ và từ cách chứng minh trên ta nhận thấy có thể làm định lý chặt hơn bằng cách thay giả thiết g lồi tại x bởi giả thiết I g lồi tại x . MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 9 - Nếu ta đặt     | 0 , | 0 ii M i u N i u    thì ta cũng có thể thay giả thiết g lồi tại x bởi giả thiết N g lồi tại x . 3.2. Hệ quả 1 Cho 0 xX , 0 X mở,  và g khả vi và lồi tại x , B là ma trận kn cho trước và d là vectơ k  chiều cho trước. Khi đó nếu   ,,x u v với 0 , ,v mk x X u là một nghiệm của bài toán Kuhn – Tucker sau (I)         0 0 0 0 x u g x vB gx Bx d ug x u                 thì     min xX xx     với     0 | ,g 0,x X x x X x Bx d    Chứng minh: Giả sử   ,,x u v với 0 , ,v mk x X u là một nghiệm của (I), với mọi xX ta có     xx       x x x  (do  lồi và khả vi tại x và Định lý 1.2.2)       u g x vB x x     (do     0x u g x vB     trong (I))    u g x x x vBx vBx             u g x g x vd vd   (vì  lồi và khả vi tại x ,   do Bx d x X , và Bx d (do(I))   ug x (vì   0ug x  )  0 (vì u  0 và   gx  0 ) Do đó   x    x với mọi xX , mà   gx  0 và Bx d nên xX Vậy:     min xX xx     và xX .▐ Ghi chú: Trong ý thứ hai của định lý 1 có điều kiện 0 0r  . Nhưng điều kiện này có thể được thay bởi điều kiện g lồi nghiêm ngặt tại x . Xét định lý sau: 3.3. Định lý 2 Cho 0 xX , 0 X mở,  khả vi và lồi tại x , g khả vi và lồi nghiêm ngặt tại x . Nếu   0 ,,x r r là một nghiệm của FJP thì x là một nghiệm của MP. [...]... với định lý 1 SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 10 MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU 4 Các tiêu chuẩn tối ưu cần Trong các tiêu chuẩn tối ưu cần được đưa ra dưới đây, tính lồi không đóng vai trò quyết định Tính khả vi của các hàm được dùng để tuyến tính hóa bài toán quy hoạch phi tuyến, rồi sau đó bằng cách sử dụng các định lý loại trừ ta thu được các điều kiện tối ưu cần Tiếp theo... có thể loại trừ các trường hợp như vậy bằng các đặt thêm điều kiện định tính cho các ràng buộc g  x  0 Hình 4.1 Ví dụ về các bài toán cực tiểu mà r0  0 (trong FJP) SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 13 MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU 4.3 Định lý tối ưu cần cho điểm dừng Kuhn-Tucker Cho X 0 là tập mở trong n ,  là hàm số xác định trên X 0 , và g là hàm vectơ m chiều xác định... g i không lồi tại x ta vẫn chưa kết luận - được gì về nghiệm bài toán MP Nếu , gi lồi tại x với mọi i  N , theo phần nhận xét ở định lý 1 mục 3.1 ta kết luận x là nghiệm của bài toán MP SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 19 MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU 6.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1:   x   x12   x2  2 2   x3  12  min  Giải bài toán MP:  2 2  g  x    g1... thỏa điều kiện lồi đảo tại mọi x  A  Hệ quả 1 mục 4.5 ta chưa thể kết luận bài toán vô nghiệm 2 , vì vậy theo Thật vậy bài toán ban đầu có nghiệm tại điểm x1  1 và x2  0 với min f  x   1 (Hình 6.4 ở dưới) SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 28 MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU Hình 6.4 Mô tả ví dụ 4 SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 29 ... tại một tổ hợp tuyến tính không âm của  ( x ) và g I ( x ) nào như vậy Trong những trường hợp như thế,  ( x ) có thể có trọng số bằng 0, như ví dụ trong Hình 4.1 Hình 4.2 Một mô tả hình học của các điều kiện trong bài toán Kuhn-Tucker (KTP) SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 17 MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU 5 Minh họa sơ lược mối liên hệ giữa nghiệm của các bài toán Hình 5.1...   2 ,0  1 nên từ định nghĩa ta suy f lồi tại 4 8 x   ,  5 5 4 8 Theo định lý 1 mục 3.1 ta kết luận x   ,  là một nghiệm của bài toán MP 5 5 16 min f  x   f  x   5 SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 và 27 MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU Ví dụ 4: 2 2 Xét bài toán f  x   x12  x2  min , với ràng buộc g  x     x1  1  x2 3 0 Bước 1: Kiểm tra tính khả... FJP và KTP Hình 5.2 Mối liên hệ giữa các nghiệm của LMP, MP, FJP, KTP và các bài toán điểm yên ngựa Fritz John (FJSP) và Kuhn - Tucker (KTSP) ở chương 5 SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 18 MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU 6 Thuật toán và các ví dụ minh họa 6.1 Thuật toán giải bài toán MP bằng cách giải bài toán KTP tương ứng Cho X 0 là một tập mở trong n ,  là hàm số xác định trên... các điều kiện tối ưu cần Tiếp theo đó, để có được các điều kiện tối ưu cần quan trọng hơn ta xét thêm các điều kiện định tính ở mục 1.1 Ta sẽ bắt đầu với bổ đề tuyến tính hoá dưới đây, nhằm thiết lập sự không tồn tại nghiệm của một hệ các bất đẳng thức tuyến tính với giả thiết rằng bài toán cực tiểu địa phương (LMP) có nghiệm 4.1 Bổ đề tuyến tính hoá Cho x là một nghiệm của LMP, X 0 là tập mở,  và... , g  x  0; h  x   0 Nhận xét: Bài toán trên có một ràng buộc đẳng thức tuyến tính, ta có thể sử dụng hệ quả 1 mục 3.2 để giải 2  f  x   x12  x2  min   2 Viết lại bài toán MP  g  x    x12  x2  5,  x1 ,  x2   h  x   x1  2 x2  4  0  SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 0 25 MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU Bước 1: Kiểm tra tính khả vi của hàm f , g Ta có... chưa thể kết luận gì về nghiệm của MP Chứng minh: Hệ quả này là một mệnh đề phản đảo của định lý 4.3 SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 16 MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS TRỊNH CÔNG DIỆU 4.6 Hệ quả 2 Cho X 0 là tập lồi, mở trong * chiều xác định trên X 0 Đặt toán KTP trong đó và u  ̅ n m ,  là hàm số xác định trên X 0 , và g là hàm vectơ lồi m | + Giả sử không tồn tại  x , u  thỏa bài khi đó . TIN TIỂU LUẬN TỐI ƯU PHI TUYẾN ĐỀ TÀI: TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUY HOẠCH PHI TUYẾN VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI GIẢNG VIÊN : TS. TRỊNH CÔNG DIỆU THỰC HIỆN : NHÓM 21 – VB2 TOÁN. NĂM 2015 MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 i MỤC LỤC MỤC LỤC i TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUY HOẠCH PHI TUYẾN VỚI GIẢ THIẾT KHẢ. định lý 1. MÔN HỌC: TỐI ƯU PHI TUYẾN GV: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: NHÓM 20 – LỚP VB2 TOÁN – KHÓA 2 11 4. Các tiêu chuẩn tối ưu cần Trong các tiêu chuẩn tối ưu cần được đưa ra dưới