Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 4

1 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN  TIỂU LUẬN MÔN TỐI ƢU PHI TUYẾN ĐỀ TÀI:TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM (PHẦN I) Thành viên nhóm 11: 1. Trần Việt Hùng 2. Ngô Thị Thƣơng 3. Phạm Ngọc Thu Trang 2 MỤC LỤC PHẦN I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN I. LÝ THUYẾT QUI HOẠCH TỐI ƢU 1) Bài toán tối ưu tổng quát 2) Phân loại bài toán quy hoạch 3) Một số phương pháp chung để giải bài toán quy hoạch II. HÀM KHẢ VI VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN 1) Hàm khả vi 2) Đạo hàm riêng và độ dốc của hàm số 3) Hàm vectơ khả vi 4) Đạo hàm riêng và Jacobian của một hàm vectơ 5) Định lý quy tắc dây chuyền 6) Hàm số khả vi cấp 2 và Hessian của nó 7) Định lý giá trị trung bình – Định lý Taylor – Định lý hàm ẩn III. TẬP LỒI – HÀM LỒI – MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI 1) Tập lồi 2) Hàm lồi - Hàm lồi nghiêm ngặt 3) Hàm lõm - Hàm lõm nghiêm ngặt 4) Một số tính chất của hàm lồi 4.1)Tính chất cơ bản của hàm lồi 4.1) Tính chất liên tục của hàm lồi 4.2) Đạo hàm theo hướng của hàm lồi PHẦN II: TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM 1) Tính khả vi của hàm lồi và hàm lõm 2) Tính khả vi ngặt của hàm lồi và hàm lõm 3) Tính khả vi cấp 2 của hàm lồi và hàm lõm 4) Tính khả vi cấp 2 ngặt của hàm lồi và hàm lõm PHẦN III: CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU FRITZ – JOHN VÀ KUHN – TUCKER 1) Nhắc lại một số bài toán tối ưu tổng quát 2) Các bài toán cực tiểu và bài toán điểm dừng Fritz John và Kuhn – Tucker 3 PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I. Lý thuyết quy hoạch tối ƣu: 1) Bài toán tối ƣu tổng quát: Bài toán tối ưu tổng quát có dạng: Max (/Min) f(x), với : n fD (1) Tìm   12 , , , n n x x x x D   sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất (/giá trị bé nhất).  Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu  Điểm   12 , , , n n x x x x D   gọi là phương án chấp nhận được (hay phương án khả thi hay phương án)  Miền n D  gọi là tập các phương án chấp nhận được (hay miền ràng buộc) Khi đó, bài toán (1)được viết : Hàm số : n fD     x/ n f x Ma Min xD       Bài toán cực đại: Max f(x), với : n fD (2) Tìm   * 12 , , , n n u u u u D   sao cho :     * , n f x f u x D     Điểm   * 12 , , , n n u u u u D   gọi là phương án tối ưu toàn cục Khi đó, bài toán (2) được viết: Hàm số : n fD       * 12 * , , , , n n n u u u u D f x f u x D              Điểm   12 , , , n n u u u u D   được gọi là phương án tối ưu địa phương nếu tồn tại một lân cận N  đủ nhỏ của u sao cho :     ,f x f u x N D      Tương tự, bài toán cực tiểu: Min f(x), với : n fD (2) Tìm   * 12 , , , n n u u u u D   sao cho :     * , n f x f u x D     Điểm   * 12 , , , n n u u u u D   gọi là phương án tối ưu toàn cục Khi đó, bài toán (2) được viết: Hàm số : n fD       * 12 * , , , , n n n u u u u D f x f u x D              Điểm   12 , , , n n u u u u D   được gọi là phương án tối ưu địa phương nếu tồn tại một lân cận N  đủ nhỏ của u sao cho :     ,f x f u x N D      4 2) Phân loại bài toán quy hoạch: Các bài toán tối ưu còn gọi là các bài toán quy hoạch toán học, được chia ra thành các lớp sau:  Bài toán quy hoạch tuyến tính (BTQHTT)  Bài toán tối ưu phi tuyến hay còn gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến (BTQHPT) bao gồm: bài toán quy hoạch lồi (BTQHL) và bài toán quy hoạch toàn phương (BTQHTP)  Bài toán tối ưu rời rạc, bài toán tối ưu nguyên và hỗn hợp nguyên  Bài toán quy hoạch động  Bài toán quy hoạch đa mục tiêu  Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên 3) Một số phƣơng pháp chung để giải bài toán quy hoạch: a) Phương pháp giải bài toán QHPT không ràng buộc:  Phương pháp Đường dốc nhất  Phương pháp Newton  Phương pháp Hướng liên hợp b) Phương pháp giải bài toán QHPT có ràng buộc:  Hàm Lagrange  Thiết lập điều kiện Kuhn- Tucker Các phương pháp toán học giải các lớp bài toán tối ưu tổng quát trên được gọi là các phương pháp tối ưu toán học (hay các phương pháp quy hoạch toán học). Trong phạm vi Tiểu luận này, ta chỉ tìm hiểu một số cơ sở lý thuyết của giải tích lồi, quy hoạch phi tuyến và các phương pháp giải một số dạng đặc biệt của BTQHPT. II. Hàm khả vi và một số Định lý liên quan: 1) Hàm khả vi: Cho  là một hàm số được xác định trên một tập mở n R .   là hàm khả vi tại x nếu n xR , xx  , ta có:         ,x x x t x x x x x        Trong đó,   tx là một vectơ n-chiều,  là một hàm số theo x và   0 lim , 0 x xx      là hàm khả vi trên n R nếu  khả vi tại mọi x .  Nếu  là hàm khả vi trên tập mở n R thì  cũng khả vi trên bất kỳ tập con A (mở hoặc không) của  . Do vậy, khi  là hàm khả vi trên tập A (mở hoặc không) thì  là hàm khả vi trên một số tập mở chứa A 2) Đạo hàm riêng và độ dốc của hàm số: Cho  là một hàm số được xác định trên một tập mở n R và x . 5   được gọi là có đạo hàm riêng tại x theo biến thứ i (hay biến i x ) , 1, ,in nếu     1 1 1 1 , , , , , , , , i i i n n x x x x x x x       hướng tới giới hạn, khi  tiến tới 0. Giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng từng phần của  tại x theo biến thứ i và kí hiệu là:   i x x    .  Các vectơ n-chiều là đạo hàm riêng của  đối với 1 , n xx tại x được gọi là độ dốc của hàm  tại x và kí hiệu là:   x   . Nghĩa là:       1 , , n x x x xx         Định lý: Cho  là một hàm số xác định trên một tập mở n R và x  Nếu  là hàm khả vi tại x thì  liên tục tại x , tồn tại   x   và           0 , lim , 0 x x x x x x x x x xx             , xx   Nếu  có đạo hàm riêng liên tục tại x đối với 1 , n xx , nghĩa là tồn tại   x   và   liên tục tại x thì  là hàm khả vi tại x Tóm tắt:   khả vi tại x    liên tục tại x ,   x   tồn tại >   khả vi tại x   <   x   tồn tại,   liên tục tại x > 3) Hàm vectơ khả vi: Cho  là một hàm vectơ m-chiều xác định trên một tập mở n R và x ,  là khả vi tại x theo các biến 1 , n xx nếu mỗi thành phần 1 , , m  của nó khả vi tại x theo các biến 1 , n xx (tương ứng) 4) Đạo hàm riêng và Jacobian của một hàm vectơ: Cho  là một hàm vectơ m-chiều xác định trên một tập mở n R và x  có đạo hàm riêng tại x theo các biến 1 , n xx nếu mỗi thành phần 1 , , m  của  có đạo hàm riêng tại x theo các biến 1 , n xx (tương ứng)           1 1 1 1 n mm n x x x x x xx xx                  Ma trận   x   được gọi là Jacobian của  tại x 5) Định lý qui tắc dây chuyền: 6 Cho f là một hàm vectơ m-chiều xác định trên một tập mở n R và  là một hàm số xác định trên m R . Hàm số  xác định trên  bởi     x f x     là hàm khả vi tại x . Nếu f khả vi tại x và  khả vi tại   y f x thì       x y f x      6) Hàm số khả vi cấp 2 và Hessian của nó: Định nghĩa: Cho  là một hàm số xác định trên một tập mở n R và x   khả vi cấp 2 tại x nếu n xR , xx  ta có:             2 2 , 2 x x x x x x x x x x x            Trong đó,   2 x   là một ma trận nn của các phần tử bị chặn,  là một hàm số theo x ,   0 lim , 0 x xx     Ma trận   2 x   cấp nn được gọi là Hessian của  tại x và phần tử thứ ij của nó được viết:     2 2 ij ij xx xx        , , 1, ,i j n  Nếu  khả vi cấp 2 tại x thì  khả vi hầu khắp nơi tại x Định lý hàm số khả vi: Cho  là một hàm số được xác định trên tập mở n R và x . Khi đó: i.   khả vi tại x   khả vi cấp 2 tại x ii.   có đạo hàm riêng liên tục tại x   khả vi cấp 2 tại x iii. < 2   liên tục tại x >      2 i j i j xx x x x x              và   2 x   là đối xứng, nghĩa là:     22 ij ji xx             , , 1, ,i j n Chú ý:    / i xx   , i=1, ,n gọi là các đạo hàm riêng cấp một của  tại x   2 / ij x x x     , i,j=1, ,n gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của  tại x Tương tự ta định nghĩa đạo hàm riêng cấp k của  tại x  Cho  là một hàm số được xác định trên tập mở nn RR   và  khả vi tại   ,xy . Ta định nghĩa:           1 1 , , , , , n x k xy xy x x xy x y x y yy                  7       , , , , xy x y x y x y           Cho  là một hàm m-chiều được xác định trên một tập mở nk RR   và  khả vi tại   ,xy . Ta định nghĩa:           1 1 1 1 , , , , , n x mm n xy xy x x xy x y x y xx                            1 1 1 1 , , , ,, k y mm k xy xy y y xy x y x y yy                         , , , xy x y x y x y          7) Định lý giá trị trung bình - Định lý Taylor - Định lý hàm ẩn: Định lý giá trị trung bình: Cho  là một hàm số khả vi trên tập lồi mở n R và 12 ,xx , khi đó:         2 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x            , với số thực ,  0< <1  Định lý Taylor (bậc hai) Cho  là một hàm số khả vi cấp 2 trên một tập mở n R và 12 ,xx , khi đó:              2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 x x x x x x x x x x x x                với số thực ,  0< <1  Định lý hàm ẩn: Cho  là một hàm vectơ m-chiều được xác định trên một tập mở nn A R R ,  có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục tại   ,x y A ,   ,0xy   và   , y xy là nonsingular Tồn tại một quả cầu   , nn B x y R R   với bán kính 0   , một tập mở n R chứa x v à một hàm vectơ m-chiều e có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên  . Khi đó:   y e x và   ,0x e x     với x III. Tập lồi – Hàm lồi - Một số tính chất cơ bản của hàm lồi: 1) Tập lồi: Định nghĩa 1: (Định nghĩa Tập lồi) n S  là tập lồi   12 , , 0;1x x S       ,   12 . 1 .x x x S      8 Nói cách khác tập n S  là tập lồi nếu mọi đoạn thẳng nối 12 ,x x S đều nằm trong S.  Các tính chất của tập lồi: Cho các tập lồi 12 , n SS , khi đó: i. 12 SS là tập lồi ii. 12 SS là tập lồi iii. 12 SS là tập lồi 2) Hàm lồi: Định nghĩa 2.1:(Định nghĩaHàm lồi) Hàm  xác định trên tập n  được gọi là hàm lồi tại * x  nếu: ** * 0 1 (1 ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) x x x x x xx                       Hàm  được gọi là hàm lồi trên n  nếu nó lồi với mọi x Định nghĩa 2.2: (Định nghĩa hàm lồi nghiêm ngặt) Hàm  là hàm lồi nghiêm ngặt trên  nếu   2 x   xác định dương trên  , tức với x ,     2 0 , y R \ 0 Tn y x y      Ví dụ: Chứng tỏ   22 1 2 1 1 2 2 , 3 2 4x x x x x x     là hàm lồi nghiêm ngặt trên 2 R Ta có:   1 2 ' 12 ' 12 62 28 x x xx x xx                  1 1 1 2 2 1 2 2 '' '' 2 '' '' 62 28 x x x x x x x x x              Vì ma trận Hessian   2 x   xác định dương nên hàm  đã cho là hàm lồi nghiêm ngặt trên 2 R Mệnh đề 1:Nếu n S  là tập lồi thì:  là hàm lồi trên S               1 2 1 2 1 2 , , 0;1 1 . . 1x x S x x x x                   Mệnh đề 2:  là hàm lồi trên tập lồi n S  khi và chỉ khi epig  là tập lồi trong 1n 3) Hàm lõm: Định nghĩa 3.1: (Định nghĩa Hàm lõm) Hàm  xác định trên tập n  được gọi là hàm lõm tại * x  nếu: 9 ** * 0 1 (1 ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) x x x x x xx                       Hàm  được gọi là hàm lõm trên  nếu nó lõm với mọi x Định nghĩa 3.2: (Định nghĩa hàm lõm nghiêm ngặt) Hàm  là hàm lõm nghiêm ngặt trên  nếu   2 x   xác định âm trên  , tức với x ,     2 0 , y R \ 0 Tn y x y      4) Một số tính chất của hàm lồi : 2.1. Tính chất cơ bản của hàm lồi:  Nếu f và g là hàm lồi (/hàm lồi nghiêm ngặt) trên n  thì f+g cũnglà hàm lồi (/hàm lồi nghiêm ngặt) trên n   Nếu f là hàm lồi (/hàm lồi nghiêm ngặt) trên n  và ,0   thì  . . f cũng là hàm lồi (/hàm lồi nghiêm ngặt) trên n   Lưu ý: Nếu f là hàm lồi (/hàm lồi nghiêm ngặt) trên n  và ,0   thì không có kết luận về hàm  . f 2.2. Tính chất liên tục của hàm lồi: Định lí 1: Nếu Hàm số : n f    là hàm lồi thì f là hàm liên tục trong int 2.3. Đạo hàm theo hƣớng của hàm lồi: Định nghĩa 4: Cho tập khác rỗng n S  và hàm số :fS , khi đó đạo hàm của f tại xS theo hướng n d  được định nghĩa và kí hiệu bởi:       '' ' 0 ; lim f x d f x f x d        Định lí 2: Cho tập lồi khác rỗng n S  và hàm số lồi :fS , khi đó xS vàhướng bất kì n d  sao cho: .x d S   với  đủ nhỏ, luôn tồn tại đạo hàm theo hướng:       '' ' 0 ; lim f x d f x f x d         Các khái niệm, định nghĩa, định lý trên liên quan đến nội dung chính của Tiểu luận. Phần chứng minh các định lý đã được trình bày bởi các nhóm bạn 10 PHẦN II: TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM 1) Tính khả vi của hàm lồi và hàm lõm: Cho  là một hàm số được xác định trên một tập mở n  (xem phụ lục D) Nếu  khả vi tại x thì :           0 , lim , 0 n x x x x x x x x x x xx xx                 Trong đó:   x   là một bộ vec tơ n-chiều của  tại x (được gọi là độ dốc của hàm  tại x ), n thành phần của   x   là các đạo hàm riêng của  tại x , lấy vi phân theo các biến 1 , , n xx ;  là một hàm số theo x Định lý 1.1: Cho  là một hàm số xác định trên một tập mở n  và  khả vi tại x  Nếu  là hàm lồi tại x thì        x x x x x        , x   Nếu  là hàm lõm tại x thì        x x x x x        , x  Chứng minh: Cho  là hàm lồi tại x . Nếu  là tập mở thì tồn tại một quả cầu mở   Bx  tâm x chứa trong  . Lấy x và xx , khi đó với một số  thỏa: 0< <1  và / xx   Đặt       1x x x x x x B x              Từ giả thiết  là hàm lồi tại   x B x   ,   s x B x , với 01   , ta có:         11x x x x                      x x x x xx                    ,x x x x x x x x                     ,x x x x x x x x            Từ   0 lim , 0x x x       Lấy giới hạn của biểu thức trên khi  tiến về 0 ta được:         x x x x x        (1) [...]... 4 x1 x2 6 x1 3x2 x 1 4 4 x 1 = 6 3 1 x1 x2 x 4 6 x 2 2 2 vi cỏc rng buc: hay x1 x2 1 2 x 3x 4 1 2 x1 0 x2 0 g1 ( x) x1 x2 1 0 g ( x) 2 x 3 x 4 0 2 1 2 g3 ( x) x1 0 g 4 ( x) x2 0 Ta cú: 4 x 4 x2 6 ( x) 1 , g1 ( x) 6 x2 4 x1 3 Khi ú, ta cú bi toỏn (KTP): 1 2 1 , g2 ( x) , g3 ( x) , g4 ( x) 0 1 3 0 1 23 4. .. cú bi toỏn (KTP): 1 2 1 , g2 ( x) , g3 ( x) , g4 ( x) 0 1 3 0 1 23 4 x1 4 x2 6 1 2 1 0 u1 u2 u3 u4 0 1 3 0 1 6 x2 4 x1 3 u1 g1 ( x) u1 ( x1 x2 1) 0 u2 g 2 ( x) u1 (2 x1 3x2 4) 0 u g ( x) u ( x ) 0 3 1 3 3 u4 g 4 ( x) u4 ( x2 ) 0 ui 0, i 1, 4 Nhn xột: r r0 1) Nu ( x, r0 , r ) l mt nghim ca FJP v r0 0 thỡ ( x, ) l mt nghim ca KTP Ngc... Fritz John v Kuhn Tucker (bi 1.3 v 1 .4) nu thờm vo gi thit kh vi V ngc li, cỏc bi toỏn im yờn nga (bi 1.3 v 1 .4) ca Fritz John v Kuhn Tucker c suy ra t cỏc bi toỏn Fritz John v Kuhn Tucker (bi 2.3 bi 2 .4 bờn di) nu tớnh li c thờm vo gi thit Cho X 0 l tp m trong R n , l mt hm s v g l mt hm vect m chiu, v g u xỏc nh v kh vi trờn X 0 Lu ý: Trong a s bi toỏn quy hoch phi tuyn thỡ X 0 chớnh l R n Bi toỏn... 0 Bi toỏn 5.2 .4: (Bi toỏn im dng Kuhn Tucker - KTP) Tỡm x X 0 , u Rm (nu cú) tha: x ( x, u ) 0 u ( x, u ) 0 uu ( x, u ) 0 u0 ( x, u ) ( x) ug ( x) hoc: ( x) ug ( x) 0 g ( x) 0 ug ( x) 0 u0 2 Vớ d 1: Xột bi toỏn M in ( x) x12 x2 vi cỏc rng buc: hay 2 2 x1 x2 5 x1 , x2 0 x 2x 4 2 1 2 2 g1 ( x) x1 x2 5 0 g2 ( x) x1 0 g3 ( x) x2 0 h ( x) x 2 x 4 0 1 1 2 Ta... ) ( x, y ) ữ ữ ỗ 2 ữ ỗả yả x ảy ố ứ Kớ hiu: y = ( y1; y2 ) ẻ R 2 , y ạ 0 ổ 2ữộy1 ự 6 ử y.ẹ 2 f ( x, y ) yT = [y1 , y2 ].ỗ ữờ ỳ= 5 y12 + 4 y2 2 + ( y1 + 2 y2 ) 2 ỗ ỗ2 8ữ y2 ỳ ữờ ỷ ố ứở Do 5 y12 + 4 y2 2 + ( y1 + 2 y2 )2 > 0, " ( y1, y2 ) ẻ R 2 \ {0} nờn theo nh lớ 4. 2, f l hm li trờn R 2 \ {0} 19 PHN III: CC IU KIN TI U FRITZ - JOHN V KUHN - TUCKER 1) Nhc li mt s bi toỏn ti u tng quỏt: Bi toỏn 1.1 (Bi... 2ứởy2 ỳ ở ỷ Do 2y12 + 2y2 2 0, " ( y1 , y2 ) ẻ R 2 nờn theo nh lớ 3.2, f l hm li trờn R 2 4) Tớnh kh vi cp 2 ngt ca hm li v hm lừm: Khụng phi tt c cỏc phn núi trờn u cp n cỏc hm li v lừm ngt bng cỏch thay th cỏc bt ng thc bng cỏc bt ng thc ngt Thc t, chỳng ta bt u bng cỏch xem xột cỏc kt qu cú phn trỏi ngc nh lý 4. 1: Cho l hm s xỏc nh trờn tp m T Rn v l hm kh vi cp 2 ti x T Nu l hm li ngt ti x... x 20 Bi toỏn 1 .4: (Bi toỏn im yờn nga Kuhn -Tucker - KTSP) Tỡm x X0, u Rm, u 0 (nu cú) sao cho: x, u x , u x , u u 0, u R m , x X 0 x, u x ug x 2) Cỏc bi toỏn cc tiu v bi toỏn im dng Fritz John v Kuhn Tucker: Bi toỏn cc tiu v cc tiu a phng c xột õy ging nh cỏc bi toỏn 1.1 v 1.2, ch thờm gi thit kh vi Cỏc bi toỏn Fritz John v Kuhn Tucker (bi 2.3 bi 2 .4 bờn di) c suy t... ta cú: 1 x x 1 x x , x , x x,0 1 (2 .4) v 1 x x Do l hm hi ti x nờn theo nh lý 1.1 ta cú: x x x x x , x (2.5) Bõy gi, chỳng ta chng minh: nu du bng xy ra trong (2.5) vi mt s x trong v x khỏc x thỡ mõu thun xy ra Du bng trong (2.5) xy ra khi x x, x v x x Khi ú : x x x x x (2.6) T (2 .4) v (2.6), ta cú : 1 x x x x x x ... theo lý thuyt 6.3.1: 2 x l na xỏc nh dng, iu ny cú ngha l 2 x khụng nht thit l xỏc nh dng Cú th nhn thy iu trờn t phn vớ d sau: 4 x x , x R ; l hm li ngt trờn R nhng 2 x 12 x khụng l xỏc nh dng vỡ 2 0 0 2 Trng hp hm lừm c chng minh tng t nh lý 4. 2: Cho l hm s kh vi cp 2 trờn tp li T Rn iu kin nhng khụng cn l hm li ngt trờn T l 2 x l xỏc nh dng trờn T, ngha l: vi x T... trờn T l 2 x l xỏc nh õm trờn T, ngha l : vi x T , y2 x y 0 , y Rn , y 0 Vớ d: Kho sỏt tớnh li cht ca hm s sau: f ( x, y) = 3x 2 + 2 xy + 4 y 2 , " ( x, y) ẻ R 2 \ {0} Gii: Ta cú: R 2 \ {0} l tp li m f l hm s cp nờn kh vi cp 2 trờn R 2 \ {0} Dựng nh lớ 4. 2 kim tra tớnh li ca hm s f, ngha l ta kim tra xem cú hay khụng bt ng thc yT 2 x y 0, ( x, y) R 2 ;( x, y) 0 Ta cú: ộả f ự ảf ẹ f ( x, . các lớp sau:  Bài toán quy hoạch tuyến tính (BTQHTT)  Bài toán tối ưu phi tuyến hay còn gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến (BTQHPT) bao gồm: bài toán quy hoạch lồi (BTQHL) và bài toán quy. hoạch toàn phương (BTQHTP)  Bài toán tối ưu rời rạc, bài toán tối ưu nguyên và hỗn hợp nguyên  Bài toán quy hoạch động  Bài toán quy hoạch đa mục tiêu  Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên . lõm 4) Tính khả vi cấp 2 ngặt của hàm lồi và hàm lõm PHẦN III: CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU FRITZ – JOHN VÀ KUHN – TUCKER 1) Nhắc lại một số bài toán tối ưu tổng quát 2) Các bài toán cực tiểu và bài