Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 11

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN – TIN Lớp: Toán-VB2 khóa 2 TỐI ƯU PHI TUYẾN Đề tài : Tiêu chuẩn tối ưu của quy hoạch không khả vi Người thực hiện: 1. Lưu Thị Hảo 2. Nguyễn Thị Hồng Tiên 3. Đặng Lê Xuân Ánh Nguyệt Trang 2 Mục lục 1. Bài toán cực tiểu hóa và bài toán điểm yên ngựa 3 1.1. Bài toán cực tiểu hóa (MP) 4 1.2. Bài toán cực tiểu hóa địa phương (LMP) 4 1.3. Bài toán điểm yên ngựa Fritz John(FJSP) 4 1.4. Bài toán điểm yên ngựa Kuhn-tucker (KTSP) 4 1.5. Chú ý: 5 1.6. Chú ý: 5 1.7. Chú ý: 5 2. Một vài kết quả nền tảng cho bài toán cực tiểu hóa và cực tiểu hóa địa phương 6 2. 1. Định lý: 6 2. 2. Đinh lý về tính duy nhất: 6 2. 3. Định lý: 6 2. 4. Định lý: 7 3. Tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ 8 3.1. Định lý tối ưu đầy đủ 8 3.2. Bài toán 9 3.3. Hệ luận – kết quả tất nhiên 10 4. Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu 10 4.1 Định lý về kiều kiện cần cho tính tối ưu của bài toán điểm yên ngựa Fritz John 10 4.2 Bài toán 11 4.3 Tính chất ràng buộc Slater [Slater 50] 12 4.4 Tính chất ràng buộc Karlin [Karlin 59] 12 4.5 Tính chất ràng buộc ngặt 12 4.6 Bổ đề 12 4.7 Điều kiện tối ưu của định lý điểm yên ngựa Kuhn-Tucker 13 4.8 Định lý Kuhn-Tucker cần thiết cho tiêu chuẩn tối ưu trong sự hiện diện các ràng buộc tuyến tính [Uzawa 58] 14 4.9 Mở rộng điều kiện tối ưu Kuhn-Tucker 16 5. Bài tập 16 Trang 3 Chương 5: Tiêu chuẩn tối ưu của quy hoạch không khả vi Mục tiêu của chương này là để suy ra tiêu chuẩn tối ưu điểm yên ngựa cho bài toán quy hoạch phi tuyến tính. Để minh họa, ta xét ví dụ đơn giản sau Xét bài toán cực tiểu hóa: 2 ( ) ( ) m in ( ) (1) 20 uu uR u          hiển nhiên phương án tối ưu là * u2 và   m in ( ) : 4u u R   . Tiêu chuẩn tối ưu cho bài toán này là: điều kiện cần và đủ để * u là một phương án cuả bài toán cực tiểu hóa là * R   (ở đây *  = 4), sao cho , , 0,u R R       * * * * * * ( ) ( 2) ( ) ( 2) ( ) ( 2)u u u u u u                  Thật dễ dàng để thử lại rằng bất đẳng thức trên được thỏa mãn bởi ** 2, 4u   . Vì vậy hàm  được định nghĩa trong R 2 bởi: (u, ) (u ) ( u 2)        là một điểm yên ngựa tại ** 2, 4u   , bởi vì nó có một giá trị nhỏ nhất tại ** ( , )u  với uR , và một giá trị lớn nhất 0, R     Đối với các bài toán đơn giản trên, tiêu chuẩn điểm yên ngựa có lẽ là cả điều kiện cần và đủ của tiêu chuẩn tối ưu để u là phương án bài toán cực tiểu hóa (1). Điều này không phải luôn luôn đúng trong mọi trường hợp. Chúng ta sẽ chứng minh trong chương này là điều kiện điểm yên ngựa nói trên là điều kiện tối ưu đầy đủ mà không cần đòi hỏi tính lồi. Tuy nhiên để thiết lập điều kiện điểm yên ngựa nói trên, chúng ta không chỉ cần tính lồi mà còn cần chọn ra một vài điều kiện chính quy, một khả năng ràng buộc. Điều kiện tối ưu cần thì phức tạp và khó hơn để thiết lập Chúng ta sẽ phát triển tiêu chuẩn tối ưu của chương này mà không có bất kỳ giả thuyết khả vi nào trong hàm đã được suy ra. Chương sau, chương 7 và 11, sẽ thiết lập tiêu chuẩn tối ưu để suy ra các hàm khả vi. 1. Bài toán cực tiểu hóa và bài toán điểm yên ngựa Tiêu chuẩn tối ưu của chương này liên quan đến phương án tối ưu của một bài toán cực tiểu hóa, một bài toán cực tiểu hóa địa phương, và hai bài toán điểm yên ngựa mỗi loại. Chúng ta định nghĩa những bài toán dưới đây. Trang 4 Giả sử 0 M là tập hợp con của R n , giả sử  và f là một hàm số và một hàm véctơ m-chiều được định nghĩa trong 0 M . 1.1. Bài toán cực tiểu hóa (MP) Tìm một * u , nếu nó tồn tại, sao cho: * * 0 uM (u ) (u ) (M P ) f (u ) 0, u M             Tập hợp M được gọi là tập phương án hoặc tập hợp ràng buộc, * u là phương án tối ưu hoặc là nghiệm, và * (u ) là nhỏ nhất. Tất cả các điểm u trong tập phương án M được gọi là các phương án của bài toán. Nếu M là một tập lồi, và nếu  lồi trong M, bài toán cực tiểu hóa MP thường được gọi là bài toán quy hoạch lồi hoặc quy hoạch lồi. (Chúng ta chú ý rằng bài toán cực tiểu hóa trên là một trường hợp đặc biệt của bài toán cực tiểu hóa tổng quát 1.6.9, trong đó thêm đẳng thức véctơ k- chiều ràng buộc h(x)=0 đã có. Lý do cho trường hợp không khả vi này là chúng có điều kiện tối ưu không có nghĩa cho bài toán với tính chất ràng buộc không tuyến tính. Tuy nhiên một vài kết quả cho tính ràng buộc tuyến tính sẽ đạt được. Xem 5.3.2, 5.4.2, 5.4.8) 1.2. Bài toán cực tiểu hóa địa phương (LMP) Tìm một * u trong M, nếu nó tồn tại, sao cho quả cầu mở * B (u )  bao quanh * u với bán kính 0 * * * u B (u ) M (u ) (u ) (LM P ) u B (u ) M               1.3. Bài toán điểm yên ngựa Fritz John(FJSP) Tìm 00 * 0 * * m * u M , a R , a R , (a , a) 0,    nếu nó tồn tại, sao cho 0 0 0 * * * * * * * m0 00 (u , a , a ) ( u , a , a ) ( (u , a , a ) a 0, a R , u M , (FJSP ) (u , a , a ) a (u ) af ( u )             1.4. Bài toán điểm yên ngựa Kuhn-tucker (KTSP) Trang 5 Tìm * 0 * m * u M , R , 0,     nếu nó tồn tại, sao cho * * * * m0 0 (u , ) (u , ) (u , ) 0, a R , u M , (K T S P ) (u , a , a ) ( x ) f (u )                    1.5. Chú ý: Nếu 0 * * * (u , a , a ) là một nghiệm của FJSP và , thì 0 * * * (u , a / a ) là một nghiệm của KTSP. Ngược lại, nếu ** (u , ) là một nghiệm của KTSP thì ** (u ,1, a ) là một nghiệm của FJSP. 1.6. Chú ý: Hàm số 0 (u , a , a ) và (u , ) được định nghĩa ở trên thì thường được gọi là hàm lagrange hoặc đơn giản là Lagrange, và * a là véctơ m-chiều và *  là phép nhân Lagrange hoặc giá trị đối ngẫu. Phép nhân này được tính theo quy tắc trong quy hoạch tuyến tính và không tuyến tính mà nó thì giống với quy tắc tính bởi phép nhân Lagrange của phép tính cổ điển nơi mà một hàm của một vài biến thì được cực tiểu để thỏa tính ràng buộc của đẳng thức ( xem ví dụ Fleming trang 65). Ở đây, bởi vì chúng ta có bất đẳng thức ràng buộc, phép nhân Lagrange được thay đổi để không âm. Khi chúng ta chú ý đến đẳng thức ràng buộc trong 5.3.2, 5.4.2 và 5.4.8, phép nhân liên đới với những đẳng thức này sẽ không được đòi hỏi không âm. 1.7. Chú ý: Bất đẳng thức đúng của bài toán điểm yên ngựa, FJSP 3 và KTSP 4: 00 * * * * * (u , a , a ) (u , a , a )  với mọi 0 uM và * * * (u , ) (u , )    với mọi 0 uM Có thể được thể hiện như 1 nguyên lý cực tiểu, giống nguyên lý cực đại Pontryagin [Pontryagin ví dụ ở trang 62]. Nguyên lý Pontryagin trong điểm xuất phát của nó là điều kiện cần để kiểm soát tính tối ưu của hệ thống được miêu tả bởi các phương trình khả vi thông thường. Chẳng hạn như, nó là một điều kiện cần cho bài toán quy hoạch, không phải trong R n , nhưng trong một vài không gian khác. Gần đây [Halkin 66, Canon ví dụ trang 66, Mangasarian-Fromovitz 67] một nguyên lý cực tiểu thì được thiết lập để kiểm soát tính tối ưu được miêu tả bởi các phương trình khả vi thông thường. Đây là một bài toán quy hoạch trong R n , nói chung thì không có tính lồi tổng quát, và vì vậy kết quả của chương này thì không được ứng dụng. tuy nhiên điều kiện tối ưu của chương 7 và 11, cái mà dựa trên sự tuyến tính và không dựa trên tính lồi, được ứng dụng để kiểm soát tính tối ưu của bài toán miêu tả bởi phương trình khả vi không tuyến tính. Trang 6 2. Một vài kết quả nền tảng cho bài toán cực tiểu hóa và cực tiểu hóa địa phương Chúng ta thiết lập một vài kết quả nền tảng liên quan đến tập hợp nghiệm của bài toán cực tiểu hóa và liên quan đến nghiệm của bài toán cực tiểu hóa và cực tiểu hóa địa phương cho mỗi loại. 2. 1. Định lý: Cho M là tập lồi, và cho  là một hàm lồi trong M. tập hợp các nghiệm của MP 5.1.1 là lồi. Chú ý: một điều kiện đủ nhưng không cần cho tính lồi của M là M 0 là một tập lồi và f lồi trong M 0 . Điều này do 4.1.10 và 3.1.9. Chứng minh: cho u 1 và u 2 là nghiệm của MP. Thì 12 uM (u ) (u ) m in (u )       Nó kéo theo bởi tính lồi của M và, nó cho 12 0 1, (1 )u (u ) M        và 1 2 1 2 1 uM [(1 )u u ] (1 ) (u ) (u ) (u ) m in (u )                  Vì vậy 12 (1 )u u    là một nghiệm của MP, và tập nghiệm thì lồi. + Pontryagin tạo 1 nguyên lý cực đại thay thế bởi nguyên lý cực tiểu bởi vì hàm Lagrange của ông là hàm Lagrange âm của quy hoạch không tuyến tính. 2. 2. Đinh lý về tính duy nhất: Cho M lồi và * u là một nghiệm của MP 5.1.1. Nếu  là lồi ngặt tại * u , thì * u là nghiệm duy nhất của MP. Chứng minh: cho * u ' u là nghiệm khác của MP, thì, u ' M và * (u ') (u )   . Từ M lồi, thì * (1 )u u ' M     với 01   , và bởi tính lồi ngặt của  tại * u * * * [(1 )u u '] (1 ) (u ) (u ') (u )              Giả thiết mâu thuẫn này dẫn tới * (u ) là một giá trị nhỏ nhất, và từ đó u' không thể là 1 nghiệm khác. 2. 3. Định lý: Cho M lồi, và cho  là một hàm hằng lõm không đổi trong M thì không có điểm trong của M là phương án của MP 5.1.1, hoặc bất kì 1 phương án tối ưu tương đương * u của MP, nếu nó tồn tại, phải là một điểm biên của M. Chứng minh: Trang 7 Nếu MP 5.1.1 vô nghiệm thì định lý đúng một cách hiển nhiên. Cho là một nghiệm của MP. Do  không đổi trong M, nên tồn tại 1 điểm uM sao cho * (u ) (u )   . Nếu z là 1 điểm trong của M, thì tồn tại điểm yM sao cho tồn tại , 0 1    z (1 )u y     Hình 5.2.1 Do đó: ** * (z) [(1 )u y ] (1 ) (u ) (y) (1 ) (u ) (u ) (u )                       Và không đạt được giá trị nhỏ nhất của nó tại một điểm trong z  * u Hình 5.2.2 một ví dụ đơn giản của định lý 3 trong R. 2. 4. Định lý: Trang 8 Nếu * u là một phương án của MP 5.1.1, thì nó cũng là 1 phương án của LMP 5.1.2. Ngược lại thì đúng nếu M lồi và  là lồi tại * u . Chứng minh: Nếu * u thỏa mãn MP, thì * u thỏa mãn LMP với bất kì 0 . Để chứng minh ngược lại, giả sử * u thỏa mãn LMP với một vài 0 , và cho M lồi và  lồi tại * u . Cho u’ là 1 điểm bất kì trong M phân biệt với * u . Bởi vì M lồi, * (1 )u u ' M     với 01   . Bằng việc chọn  đủ nhỏ, sao cho * 0 / u ' u     và 1 , chúng ta có * * * u (u ' u ) (1 )u u ' B (u ) M            Do đó * * * (u ) u (u ' u )         ( bởi vì * u thỏa mãn LMP) * (1 ) (u ) (u ')       (bởi tính lồi của  tại * u ) Từ đó, kéo theo: * (u ) (u ')   3. Tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ Tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ chính được phát triển ở đây không đòi hỏi giả thuyết về tính lồi trong bài toán cực tiểu hóa MP 5.1.1. những tiêu chuẩn này thì dường như tịnh tiến để đạt được và không cần công cụ để suy ra. Kết quả đầu tiên của loại này đã đạt được trong [Uzawa 58]. 3.1. Định lý tối ưu đầy đủ Nếu * u là một nghiệm của KTSP 5.1.4, thì * u là một nghiệm của MP 5.1.1. Nếu * * * 0 (u , a , a ) là một nghiệm của FJSP 5.1.3, và 0 * a0 , thì * u là một nghiệm của MP 5.1.1 Chứng minh: Dạng 2 của định lý kéo theo một cách thông thường từ dạng đầu tiên bởi chú ý 5.1.5. Cho ** (u , ) là một nghiệm của KTSP 5.1.4. Thì với mọi 0 trong R m và mọi u trong M 0 * * * * * (u ) f (u (u ) f (u ) (u ) f (u )           Trang 9 Từ bất đẳng thức đầu tiên chúng ta có: ** ( )f (u ) 0    với mọi 0 Tồn tại j, 1 j m , cho i j * i * j voi i 1, 2, , j 1, j 1, , m 1           Nó kéo theo * j f (u ) 0 . Lặp lại điều này cho hết tất cả các j, chúng ta nhận được * f (u ) 0 , và do đó * u là một phương án chấp nhận được, do đó, * uM Bây giờ, bởi vì * 0 và * f (u ) 0 , chúng ta có ** f (u ) 0 . Nhưng lặp lại từ bất đẳng thức đầu tiên của bài toán điểm yên ngựa chúng ta có, đặt 0   , có ** f (u ) 0 . Do đó ** f (u ) 0 Cho u là một phương án bất kì trong M, từ bất đẳng thức 2 của bài toán điểm yên ngựa ta nhận được ** (u ) (u ) f ( u )     [ vì ** f (u ) 0 ] (u ) [ vì * 0, f (u ) 0 ]   Do đó u* là 1 phương án của MP. Điều được chú ý ở đây là vì không có giả thiết lồi được tạo trong định lý trên, nên đẳng thức ràng buộc có thể được sử dụng lại bởi việc thay thế chúng bởi 2 bất đẳng thức ràng buộc. Đó là, thay thế h (u ) 0 bởi h (u ) 0 và h (u ) 0 . 3.2. Bài toán Xét bài toán cực tiểu hóa   0 uM (u*) m in (u ) u* M u u M , f (u ) 0, h (u ) 0          Trong đó h là một hàm véctơ k-chiều trong M 0 và tất cả mọi thứ còn lại thì được định nghĩa như trong MP 5.1.1. Cho 00 (u , a , a , s ) a (u ) af (u ) sh ( u )     Và (u, , ) (u ) f (u ) vh (u)        Chứng minh rằng nếu tồn tại 0 m k u* M , * R , * 0 , * R       sao cho m k 0 (u*, , ) (u*, *, *) (u, *, *) voi m oi 0, R , R , u M                 Hoặc nếu tồn tại 00 0 m k u* M , a * R , a * 0, a* R , a * 0, s* R      sao cho Trang 10 0 0 0 m k 0 (u*, a * , a , s) (u*, a * , a *, s*) (u , a * , a*, s*) voi m oi a 0, a R , s R , u M        Thì u* là một nghiệm của bài toán cực tiểu hóa. (Chú ý rằng  và s không bị hạn chế về dấu) Vấn đề này có thể được nâng lên để biết loại điểm nào là điểm u* nếu 0 (u*, a * , a*) là một nghiệm của FJSP 5.1.3 và chúng ta không đòi hỏi 0 * a0 . Một câu trả lời cho vấn đề này được cho bởi kết quả sau. 3.3. Hệ luận – kết quả tất nhiên Nếu 0 * * * (u , a , a ) là một nghiệm của FJSP 5.1.3, thì * u là nghiệm MP 5.1.1 hay M không có phần trong đối với f (u ) 0 , đó là,   0 u u M , f (u ) 0    Chứng minh: bằng việc chứng minh tương tự như trong định lý 1 trên, chúng ta chứng minh rằng * f (u ) 0 và ** a f (u ) 0 . Nếu 0 * a0 , thì * u thỏa mãn MP bởi định lý 1. Nếu 0 * a0 , thì * a0 và chúng ta có từ bất đẳng thức thứ 2 của FJSP 5.1.3 : * * * 0 a f (u ) a f (u ) với mọi 0 uM Nếu tập hợp   0 u u M , f (u ) 0 là khác rỗng, thì với bất kì 1 phần tử u' làm cho * a f (u ') 0 , điều này mâu thuẫn với thiết lập ở phía trên: * a f (u ) 0 với mọi 0 uM . Do đó   0 u u M , f (u ) 0    4. Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu Vấn đề điều kiện cần thì phức tạp hơn so với điều kiện đủ của tiêu chuẩn tối ưu. 2 trường hợp này được so sánh trong bảng dưới đây: Điều kiện cần Điều kiện đủ (a) Cần tính lồi (b) Hệ quả của định lý tách của tập hợp lồi thì cần thiết (c) Điều kiện tổng quát (các tính chất ràng buộc) thì quan trọng hơn trong điều kiện cần (7 điều kiện dưới) Không cần tính lồi Hệ quả của định lý tách của tập hợp lồi thì không cần thiết Không cần tính chất ràng buộc Chúng ta bắt đầu thiết lập các điều kiện cho tiêu chuẩn tối ưu mà không đòi hỏi bất kì một điều kiện tổng quát nào. Tiêu chuẩn này giống điều kiện cho tiêu chuẩn tối ưu của Fritx John [John 48] (xem chương 7), cái mà được suy ra cho trường hợp hàm  và f khả vi mà không lồi. chúng ta không sử dụng tính khả vi nhưng chúng ta sử dụng tính lồi. Tiêu chuẩn hiện có là một tiêu chuẩn điểm yên ngựa, trong khi tiêu chuẩn của Friz John là 1 tiêu chuẩn gradien. Điểm chính của sự giống nhau là sự hiện diện của nhân tử 0 * a trong cả 2 tiêu chuẩn. 4.1 Định lý về kiều kiện cần cho tính tối ưu của bài toán điểm yên ngựa Fritz John Cho M 0 là một tập lồi trong R n , và cho  và f lồi trong M 0 . Nếu * u là 1 nghiệm của MP 5.1.1, thì u* và một vài 00 m a * R , a* R , (a * ,a*) 0   thỏa FJSP 5.1.3 và a * f (u*) 0 Chứng minh: [...]... là các phương án tối ưu địa phương  R ,  i  1, m Xét bài toán Trang 13 Ký hiệu nếu I   i : g i ( u * )  0  i  0,  i  I f , gi,i  I Giả sử các hàm sao cho:  f (u * )   i  g i (u * )  0 là các hàm lồi và khả vi tại u * là thì u* Lúc đó, phương án tối ưu của bài toán P i I 4.8 Định lý Kuhn-Tucker cần thiết cho tiêu chuẩn tối ưu trong sự hiện diện các ràng buộc tuyến tính [Uzawa... (u , a , a , s)  a  (u )  af (u )  sh (u ) 0 0 Gợi ý: sử dụng lại hệ luận Corollary 4.2.2 Điều được lưu ý ở đây là trong điềk kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu trên thì không đảm bảo a * Trong trường hợp a  0 * 0  0 0 , rõ ràng là điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu FJSP 5.1.3 thì không được đề cập nhiều như bài toán cực tiểu hóa MP 5.1.1., bởi vì hàm  không xuất hiện từ 5.1.3 và bất kỳ một hàm... nghiệm của bài toán cực tiểu hóa trong u* R u *  M  u | u  R , f (u )  0 ,  ( u * )  m in  ( u ) Bu  d n u M Và lấy f và h thỏa mãn tất cả các tiêu chuẩn ràng buộc: (i) (Khái quát Slater 3) là có một nghiệm x R n Hình 5.4.1: mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán cực tiểu hóa địa phương (LMP) 5.1.2, bài toán cực tiểu hóa (MP) 5.1.1, bài toán điểm yên ngựa Fritz John (FJSP) 5.1.3, và bài toán... 1 Do đó sự ràng buộc đẳng thức Bku  d k là thừa nghiệm và có thể được giảm từ bài toán cực tiểu hóa không thay đổi nghiệm u * Khi đó, một lần nữa chúng ta thiết lập định lý cho các hàng độc lập tuyến tính của B, chúng ta có thể biến đổi các hàng B (mà không làm thay đổi bài toán cực tiểu hóa) và bộ  *  0 trong k k bài toán điểm yên ngựa Bằng 2 định lý trên, tồn tại mà thỏa đó a* f u *  0 r0... * ( B u  d )  0 với mọi u trong R Do đó( xem phần chứng minh của 4.2.4) , mâu thuẫn với giả thiết là các hàng của B là độc lập tuyến tính Vậy a *  0 * 0 4.9 Mở rộng điều kiện tối ưu Kuhn-Tucker Định lý: (điều kiện tối ưu cần và đủ) Cho tập mở khác rỗng M  R n Xét bài toán:  f ( u )  m in , u  S  n P :  g i ( u )  0 , i  1, m , u  M  R  n  h i ( u )  0 , i  1, r , , u  M  R Giả... 0 * * là bất đẳng thức thứ nhất của FJSP m 5.1.3 4.2 Bài toán Xét bài toán cực tiểu hóa  ( u )  m in  ( u )  u  M  u u  M , f (u ) 0, h (u )  0 * * uM 0 Trong đó h là một hàm véctơ tuyến tính k-chiều trong Rn,   và f lồi trong M0 và tất cả mọi thứ còn lại thì được định nghĩa như trong MP 5.1.1 chứng minh rằng nếu u * là một nghiệm của bài toán trên thì u  (u , a * * a , a , s) (u , a... 1, r u * ,  i  1, r là các véc tơ độc lập tuyến là điểm cực tiểu địa phương của bài toán P thì  i ,  i  1, r sao cho: u*    f ( u * )    i g i ( u * )    i hi ( u * )  0  i I i I   0 ,  i  I  i r Nếu ngoài ra, các hàm gi : R n  R,i  I : cũng khả vi tại u  S * , thì điều kiện Kuhn-Tucker (điều kiện cần) để là phương án tối ưu có thể được viết như sau:    f (u * ) ...  0 i I  Các hàm  f , gi,i  I  i  J   i :  i  0  hi Lúc đó, u* i I lồi và khả vi tại u* , các hàm h i là lồi, còn  i  K   i :  i  0 , các hàm là lồi là phương án tối ưu của bài toán P 5 Bài tập Xét bài toán quy hoạch lồi: Trang 16  f ( u )  2 u 1  3 u 2  4 u 1 u 2  6 u 1  3 u 2  m in   u1  u 2  1  P :  2 u1  3u 2  2 4 2 2   u1  0  u2  0  Ta có thể viết lại... trọng nhất của tiêu chuẩn tối ưu không sử dụng tính khả vi Định lý được biết một cách rộng rãi dưới tên Kuhn-Tucker [Kuhn-Tucker 51], tuy nhiên cả Kuhn và Tucker đều đòi hỏi cả tính lồi lẫn tính khả vi trong phép lấy đạo hàm từ Trang 12 chính nó Dạng hiện tại của định lý, không có đòi hỏi tính khả vi, là thuộc tính của Uzuwa [Uzuwa 58] và Karlin [Karlin 59] 4.7 Điều kiện tối ưu của định lý điểm yên ngựa...  1, m    Kí hiệu I   i : g i ( u * )  0  , cho f , gi : R u*  S  R , i  1, m Xét bài toánP: Giả sử các hàm tại u * ,  i  I Ngoài ra, giả sử n f , gi,i  I khả vi tại u *, còn gi liên tục là các véctơ độc lập tuyến tính Lúc đó, nếu  g i ( u * ),  i  I u * là điểm cực tiểu địa phương của bài toán P thì sao cho:  f (u * )   i  g i (u * )  0 vo i  i  0 ,  i  I i I Hơn nữa, . và 11, sẽ thiết lập tiêu chuẩn tối ưu để suy ra các hàm khả vi. 1. Bài toán cực tiểu hóa và bài toán điểm yên ngựa Tiêu chuẩn tối ưu của chương này liên quan đến phương án tối ưu của một bài. 1. Bài toán cực tiểu hóa và bài toán điểm yên ngựa 3 1.1. Bài toán cực tiểu hóa (MP) 4 1.2. Bài toán cực tiểu hóa địa phương (LMP) 4 1.3. Bài toán điểm yên ngựa Fritz John(FJSP) 4 1.4. Bài. cho tiêu chuẩn tối ưu trong sự hiện diện các ràng buộc tuyến tính [Uzawa 58] 14 4.9 Mở rộng điều kiện tối ưu Kuhn-Tucker 16 5. Bài tập 16 Trang 3 Chương 5: Tiêu chuẩn tối ưu của quy hoạch