Bai tap gioi han rat hay

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Một số kiến thức cần nhớ : 1. Một số dãy có giới hạn 0: k 3 1 1 1 * lim 0; lim 0; lim 0. n n n = = = * Định lý 1: Hai dãy số (u n ) và (v n ). Nếu u n  ≤ v n ∀n và lim v n = 0 thì lim u n = 0. * Định lý 2: Nếu q < 1 thì lim q n = 0. 2. Một số kiến thức về giới hạn hữu hạn: 2.1-Định lý 1: Giả sử lim u n = L. Khi đó: limu n  = L và ;L ulim 3 3 n = Nếu u n ≥ 0 ∀n thì L ≥ 0 và .L ulim n = 2.2-Định lý 2: Nếu lim u n = L, lim v n = M và c là một hằng số. Khi đó: lim(u n + v n ) = L + M; lim(u n - v n ) = L - M; lim(u n .v n ) = L.M; lim(cu n ) = cL; M L v u lim n n = (nếu M ≠ 0). 3.Một số kiến thức về giới hạn vô cực : Định lý : lim u n = ± ∞ thì n 1 lim 0 u = và một số quy tắc : Quy tắc 1 Quy tắc 2 Quy tắc 3 limu n limv n lim(u n v n ) limu n Dấu L lim(u n v n) Dấu L Dấu v n n n v u lim +∞ +∞ +∞ +∞ + +∞ + + +∞ +∞ -∞ -∞ +∞ - -∞ + - -∞ -∞ +∞ -∞ -∞ + -∞ - + -∞ -∞ -∞ +∞ -∞ - +∞ - - +∞ Bài 1 : Tính các giới hạn sau a) 3 3 6 2 1 lim 2 2 n n n n − + − + b) 2 2 1 2 lim 5 n n n n − + + c) 3 2 3 2 4 3 3 lim 5 7 n n n n n − + + − + d) 2 3 2 4 5 lim 3 7 n n n n + − + + e) 5 4 3 2 2 lim 4 6 9 n n n n n + − − + + f) 3 2 2 2 1 5 lim 2 3 5 1 n n n n   − +  ÷ + +   g) 2 2 2 2 7 3 2 2 2 lim 1 2 4 n n n n n n n   − + − + + −  ÷ + − +   h) 2 2 2 lim 1 3 n n n − − i) 3 3 lim 2 n n n + + j) 4 2 2 3 2 lim 2 3 n n n n + − − + k) 3 6 3 7 5 8 lim 12 n n n n − − + + l) 2 1 1 lim 3 2 n n n + − + + m) ( ) 3 lim 3 7 11n n− + n) 4 2 lim 2 2n n n− + + o) 3 3 lim 1 2n n+ − p) ( ) lim 3 1 2 1n n− − − q) ( ) lim 1n n n+ − r) ( ) 2 lim 1n n n+ + − s) ( ) 2 2 lim 1n n n− + t) ( ) 2 lim 2 1n n n+ + − + u) 1 lim 3 5n n+ − − v) ( ) 3 lim 2 2n n+ − w) ( ) 3 2 3 2 lim 1n n n− − + x) ( ) 3 2 3 3 lim 1 1n n n+ − − y) 3 3 2 3 2 lim 1 n n n n n − + − + z) ( ) 2 3 3 lim 2 1n n n− − + Bài 2 : Tính các giới hạn sau a) 2 3 5 lim 2.3 5 n n n + − + b) ( ) ( ) 2 1 3 5 lim 4 5 n n n n + + − + − + c) 2 2 4 2 lim 3 2 n n n n + + + + − d) 2 . 1 3 (2 1) lim 2 1 n n n n + + + − + + e) 3 3 3 2 1 2 lim 11 2 n n n + + + + + f) 2 2 2 2 2 1 3 3 3 lim 1 1 1 1 5 5 5 n n     + + + +  ÷  ÷         + + + +  ÷  ÷     (chú ý : 2 2 3 3 3 ( 1) 1 2 4 n n n + + + + = ) Bài 3 : Tính các giới hạn sau