Đường tròn-Tiết 34-Hình 10

Mục tiêu- Học sinh viết đ ợc ph ơng trình đ ờng tròn trong một số tr ờng hợp đơn giản... Câu hỏi 1: Em hãy nêu định nghĩa đ ờng tròn mà em đã biết.. Đ ờng tròn là tập hợp những điểm M

TiÕt 34

® êng trßn

Mục tiêu

- Học sinh viết đ ợc ph ơng trình đ ờng tròn trong một số tr ờng hợp đơn giản

- Xác định đ ợc tâm và bán kính của đ ờng tròn có dạng (x-x0)2 + (y-y0)2

= R2

- Biết đ ợc khi nào ph ơng trình

x2 + y2 + 2ax + 2by + c =0 là ph ơng trình đ ờng tròn và chỉ ra đ ợc tâm và bán kính của đ ờng tròn đó

Câu hỏi 1: Em hãy nêu định nghĩa đ ờng tròn mà em đã

biết.

Đ ờng tròn là tập hợp những

điểm M trong mặt phẳng luôn cách một điểm cố định I một

khoảng không đổi R

6 5

4 3

2

1 -1

-2 -4 -3 -2 -1

3 2 1

O

y

x

I 5

Câu hỏi 2: Trong mặt phẳng Oxy Cho đường tròn (C)

có tâm I(2; 3), bán kính bằng 5 Điểm nào sau đây

thuộc (C): A ( 4; 2), − − B ( 2;0 − ) ?

y0

y

x O

I(X0 ;Y0 ) R

M(x;y)

x y

Câu hỏi 3: Trong mặt phẳng Oxy Hãy

tìm điều kiện để điểm M(x;y) thuộc đ

ờng tròn tâm I(x0;y0) bán kính R

Do M cách I(x0;y0) một khoảng R Nên ta có IM = R hay IM2 = R2

hay (x-x0)2 + (y-y0)2 = R2

1 Ph ơng trình đ ờng tròn

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Ph ơng trình đ ờng tròn

tâm I(x0;y0) bán kính R là

(x-x0)2 + (y-y0)2 = R2 (1)

Ví dụ 1 : Ph ơng trình của đ ờng tròn tâm I(1; 2) và bán

kính R = 3 là (x-1)2 + (y – 2)2 = 32

Có nhận xét gì về hệ số của x

và y trong ph ơng trình (1)

Trong ph ơng trình (1), ph ơng trình của đ ờng tròn ta thấy hệ số

của x và y bằng nhau.

Nh vậy: Trong mặt phẳng Oxy ph

ơng trình của đ ờng tròn đ ợc xác

định khi biết tọa độ tâm và độ dài

của bán kính

áp dụng:

Bài 1: Các ph ơng trình sau có phải là ph ơng trình của đ ờng tròn không? Nếu là ph ơng trình của đ ờng tròn

thì chỉ ra tâm và bán kính của đ ờng tròn đó

1) (x-2)2 + (y – 1)2 = 32

Là ph ơng trình đ ờng tròn có tâm I(2;1) bán kính R =3

2) x2+y2=1

Là ph ơng trình đ ờng tròn tâm 0(0;0) và bán kính R =1

3) (x-0,5 )2 + (y+5)2 = 6

Là ph ơng trình đ ờng tròn tâm I( 0,5 ;-5) bán kính R =

4) (x-1)2+(2y-3)2 = 4

Không là ph ơng trình đ ờng tròn vì hệ số của x và y không bằng nhau

5) (2x+1)2 + (2y-5)2 = 9

Bài 2 Cho hai điểm P(-2;3) và Q(2;-3)

a) Hãy viết ph ơng trình của đ ờng tròn tâm P và đi qua Q b) Hãy viết ph ơng trình của đ ờng tròn đ ờng kính PQ

Trong mặt phẳng Oxy, muốn viết đ ợc ph

ơng trình của đ ờng tròn phải biết đ ợc những yếu tố nào?

Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy, muốn viết

đ ợc ph ơng trình của đ ờng tròn phải biết

đ ợc tọa độ của tâm và độ dài của bán kính

2) Nhận dạng ph ơng trình đ ờng tròn

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy

Ph ơng trình đ ờng tròn tâm I(-a;-b) bán kính R là

(x+a)2 + (y+b)2 = R2 Mọi ph ơng trình có dạng x2 + y2 + 2ax+2by + c = 0 (2)

với điều kiện a2 + b2 > c đều là ph ơng trình của đ ờng tròn có tâm là

Ví dụ:

ph ơng trình của đ ờng tròn có tâm là I(-1; -2) và bán kính là R=3 là

x2 + y2 + 2x + 4y - 4 = 0

Có nhận xét gì về hệ số của x2

và y Hệ số của x2 trong ph ơng trình (2)2 và y2 bằng nhau

I(-a; -b) và bán kính là R= a2 + − b c2

Bài 3:

Các ph ơng trình sau có phải là ph ơng trình của đ ờng tròn không? Nếu là ph ơng trình của đ ờng tròn thì chỉ ra tọa độ tâm và bán kính của đ ờng tròn đó

1) x2 + y2+ 2x + 4y + 4 =0

Là ph ơng trình đ ờng tròn tâm I(-1;-2) và bán kính R=1

2) x2 + y2- 2x -4y - 6 =0

Không là ph ơng trình đ ờng tròn vì a2 + b2 - c < 0

3) 2x2 + 2y2+ 8x – 4y - 22 = 0

Là ph ơng trình đ ờng tròn tâm I(-2;1) và R = 4

4) 2x2 + 3y2+ 7x – y - 22 = 0

Không là ph ơng trình của đ ờng tròn vì hệ số của x2 và y2 không bằng nhau

Tr ờng hợp đặc biệt

a- Đ ờng tròn đi qua gốc toạ độ

có ph ơng trình là

x2+y2 +2Ax+2By=0

b -Đ ờng tròn tiếp xúc với trục hoành có ph ơng

trình là

x2+y2+2Ax+2By+A2=0

+ I(a;b)

b

x y

+ I

b

x y

(a;b)

c- § êng trßn tiÕp xóc víi trôc tung

Cã ph ¬ng tr×nh lµ

x2+y2+2Ax+2By+B2=0

y

+ I(-A;-B)

-B

O

+ I(-A;-B)

x

y

-A -B

Bài tập luyện tập

Bài 1: Lập ph ơng trìmh đ ờng tròn đi qua 3 điểm M(2;0), N(0;1), P(-1;2)

Giải: Gọi I(a;b) là tâm và R là bán kính của đ ờng tròn cần tìm Ph ơng trình đ ờng tròn có dạng (x-a)2+ (y-b)2 =R2 (1)

Do M, N, P thuộc đ ờng tròn nên toạ độ của chúng đồng thời thoả mãn ph

ơng trình (1)

Ta cã hÖ ph ¬ng tr×nh

7

2

 + − + = + − +



⇔ 



 =



− + + =

− + − =



a

b

Thay vào (*) ta có R

Vậy ph ơng trình đ ờng tròn cần tìm là

Cách 2: giả sử I(-A;-B) là tâm đ ờng tròn và ph ơng trình đ ờng tròn có dạng

x2 + y2+ 2Ax + 2By +C = 0(**)

Do M, N, P thuộc đ ờng tròn nên toạ độ của chúng lần l ợt thoả mãn (**)

7 11 130

− + − =

x y

7 11 ,

4

Ta cã hÖ ph ¬ng tr×nh:

• Gi¶i hÖ ph ¬ng tr×nh trªn ta ® îc

• VËy ® êng trßn cÇn t×m cã ph ¬ng tr×nh lµ:

• x2 + y2 - 7x - 11y + 10 = 0

7 11

= − = − =

A B C

+ + =



 + + =



− + + + =



A C

B C

Bµi 2:ViÕt ph ¬ng tr×nh ® êng trßn cã ® êng kÝnh

AB BiÕt A(1;2) vµ B(3;4).

Gi¶i C¸ch 1

Gäi I lµ t©m vµ R lµ b¸n kÝnh cña ® êng trßn cÇn t×m

Do AB lµ ® êng kÝnh nªn I lµ trung ®iÓm cña AB

I(2;3) vµ R = IA=

VËy ph ¬ng tr×nh ® êng trßn cÇn t×m lµ :

(x-2)2+ (y-3)2 = 2 hay x2+y2- 4x - 4y – 9 = 0⇒ (3 1) − 2 + − (4 2)2 = 2

H íng dÉn gi¶i c¸ch 2

Do AB lµ ® êng kÝnh nªn ®iÓm M(x;y) thuéc ® êng trßn

Mµ

Nªn (1) (x-1)(x-3)+(y-2)(y-4)=0

x2 + y2 - 4x - 6y + 11 = 0

VËy ph ¬ng tr×nh ® êng trßn cÇn t×m lµ

x2+ y2- 4x - 6y + 11 = 0

uuuur

⇔

⇔

Qua bài này các em cần nắm vững:

• Ph ơng trình của đ ờng tròn ở cả 2 dạng

• Xác định đ ợc tâm và bán kính của đ ờng tròn khi biết ph ơng trình của nó

• Lập đ ợc ph ơng trình của đ ờng tròn biết 3 điểm mà nó đi qua hoặc biết đ ờng kính của đ ờng tròn đó

• Viết đ ợc ph ơng trình tiếp tuyến của đ ờng tròn khi biết ph ơng trình của đ ờng tròn

Bài tập về nhà: Làm câu hỏi trang 92

Làm bài 21, 23, 24 Sgk trang 95