D O B C A Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học A. Li núi u Trong quỏ trỡnh ging dy, tụi nhn thy cỏc em hc sinh thng hay gp khú khn vi nhng bi toỏn cc tr. Vi vn hiu bit ớt i, tụi hi vng phn no thỏo g c nhng khú khn y. Vn bit i tỡm li gii chung cho mt loi toỏn l khụng th, nhng õy tụi c gng gii thiu mt vi suy ngh, trỡnh by phng phỏp tip cn vi tng bi toỏn c th qua ú cỏc em hc sinh cú th phn no vn dng cỏc suy ngh ú gii cỏc bi tp tip theo. Kin thc l vụ tn, ta khụng th dy cho cỏc em ton b kin thc ca nhõn loi, nhng nu trang b tt cho cỏc em phng phỏp tip cn kin thc thỡ cỏc em cú th t mỡnh tỡm tũi, phỏt hin, hc hi c nhng kin thc cn thit cho bn thõn. Mc dự ó rt c gng nhng chc chn khụng trỏnh khi nhng sai lm, rt mong s ng h, gúp ý ca cỏc thy cụ, cỏc bn ng nghip! B. Mt vi vớ d Bi 1: Cho ng trũn (O; R), dõy BC c nh. Tỡm v trớ ca A trờn cung ln BC tam giỏc ABC cú chu vi ln nht. Hng dn: BC c nh nờn gúc CAB khụng i, di BC khụng i Chu vi tam giỏc ABC ch cũn ph thuc vo AB+AC. Trờn tia i ca tia AB ly D sao cho AC = AD vy chu vi ca tam giỏc ABC ph thuc vo di ca BD hn na gúc CDB cng khụng i hay BD l dõy ca cung cha gúc 2 1 A dng trờn BC. Vy BD ln nht bng ng kớnh ca cung cha gúc 2 1 A dng trờn BC <=> A l im chớnh gia ca cung ln BC Bi 2: Cho ng trũn (O; R) vi dõy AB c nh sao cho khong cỏch t O ti AB bng 2 R . Gi H l trung im ca AB, tia HO ct ng trũn (O; R) ti C. Trờn cung nh AB ly M tựy ý ( khỏc A, B). ng thng qua A v song song vi MB ct CM ti I. Dy CM ct dõy Ab ti K. a) So sỏnh gúc AIM vi gúc ACB. b) Chng minh: . MK 1 MB 1 MA 1 =+ c) Gi R 1 , R 2 ln lt l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc MAK v tam giỏc MBK, hóy xỏc nh v trớ ca im M trờn cung nh AB tớch R 1 .R 2 t giỏ tr ln nht. Hng dn: Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm - Cao Đẳng S Phạm Quảng Ninh 1 K I C B A H O M Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học a) OH= R 2 1 => Nhn xột quan h gia dõy v v s cung cng dõy ( S cung AB = 120 0 ) T ú tỡm c quan h gia hai gúc AIM v ACB. b) Thng chuyn v t s cỏc on thng ( Cn chng minh 1 MB MK MA MK =+ ) Tỡm cỏch quy ng mu v trỏi bng cỏch ch ra cỏc tam giỏc ng dng? Tam giỏc cha hai cnh MK, MA ng dng vi tam giỏc no? tam giỏc cha hai cnh MK, MB ng dng vi tam giỏc no? (Tam giỏc MKA v tam giỏc MBC ng dng MC MB MA MK = , tam giỏc MKB v tam giỏc MAC ng dng MC MA MB MK = Vy MC MBMA MB MK MA MK + =+ do ú ta phi chng minh MA+MB = MC c) tỡm giỏ tr ln nhỏt ca tớch R 1 .R 2 , ta tỡm mi liờn h ca tng R 1 +R 2 vi cỏc yu t khụng i ca bi toỏn ý hai tam giỏc AMK, BMK cú hai gúc AMK, BMK khụng i (= 60 0 ), tng hai cnh i din khụng i. ( dựng cụng thc Asin2 a R = ) Li Gii s lc: a) Xột tam giỏc AOH cú CosO = 0 60AOH 2 1 OA OH == 000 60ACB120AB cung s120AOB === Tam giỏc ABC cú ng cao CH ng thi l trung tuyn. Vy tam giỏc ABC u => 0 60ACB = AI // MB => gúc AIM = gúc CMB = gúc CAB = 60 0 Vy gúc AIM = gúc ACB. b) Tam giỏc AIM u ( cú hai gúc bng 60 0 ) => AM = MI. MB CIc)-g-(c AMBAIC == MKA v MBC ng dng nờn MC MB MA MK = MKB v MAC ng dng nờn MC MA MB MK = Vy: 1 MC MAMB MC MA MC MB MB MK MA MK = + =+=+ hay . MK 1 MB 1 MA 1 =+ Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm - Cao Đẳng S Phạm Quảng Ninh 2 b c a R D O C A B Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học B : Trong tam giỏc ABC: R2 Csin c Bsin b Asin a === CM: V ng kớnh BD => gúc A = gúc D Xột tam giỏc vuụng BCD BD = Dsin BC hay Asin a R =2 tng t ta cm c R Csin c Bsin b Asin a 2=== c) p dng b ta c: Trong tam giỏc AKM: 3 AK 60sin2 AK Msin2 AK R 0 1 === Trong tam giỏc BKM: 3 BK 60sin2 BK Msin2 BK R 0 2 === p dng bt ng thc Cosi cho 2 s khụng õm R 1 , R 2 cú: hs 2 R 32 R3 32 BKAK 2 RR RR 21 21 === + = + du bng khi R 1 =R 2 AK = BK M l im chớnh gia ca cung AB. Vy R 1 R 2 max = 4 2 R khi M l im chớnh gia ca cung AB. Bi 3: Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R, ly C l trung im ca AO. K hai tia Ax v By vuụng gúc vi AB v cựng mt phớa vi na ng trũn. im M di ng trờn na ng trũn ( M khỏc A, B). Mt ng thng vuụng gúc vi CM ti M ct Ax P, ct By Q. Tỡm v trớ ca im M trờn na ng trũn t giỏc APQB cú din tớch nh nht. Tỡm giỏ tr din tớch nh nht ú. Phng hng: Hỡnh thang ABQP cú ng cao khụng i do dú din tớch ca nú nh nht AP+BQ nh nht. Ta i chng minh tớch AP. BQ khụng i Mun vy ch ra AP v BQ l cnh khụng tng ng ca hai tam giỏc ng dng. Gi ý: T giỏc APMC, BQMC ni tip => Hóy ch ra cỏc cp gúc bng nhau. ( liờn h gia cỏc gúc vi cỏc ng trũn) Li gii s lc: T giỏc APMC ni tip => gúc PCA = gúc PMA Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm - Cao Đẳng S Phạm Quảng Ninh 3 Q P C O A B M Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học Cú gúc AMB vuụng => gúc PMA + gúc BMQ = 90 0 T giỏc BQMC ni tip => gúc BMQ = gúc BCQ. Cú gúc CAQ vuụng => gúc BCQ + gúc BQC = 90 0 . Vy: gúc PCA = gúc BQC Do ú tam giỏc APC v tam giỏc BCQ ng dng BC.ACBQ.AP BQ BC AC AP == hs 4 R3 2 R3 . 2 R 2 === . p dng bt ng thc Cosi : R 2 3 4 R3 BQ.AP 2 BQAP 2 == + du bng khi AP = BQ CM vuụng gúc vi AB Hay ( ) 2 min ABQP R3R3.R2. 2 1 BQAPAB 2 1 S ==+= khi s cung AM = 60 0 . Bi 4: Cho tam giỏc u ABC, E l mt im trờn cnh AC ( E khỏc A), K l trung im ca on AE. ng thng EF i qua E v vuụng gúc vi ng thng AB ( F thuc AB) ct ng thng i qua C v vuụng gúc vi ng thng BC ti D. Xỏc nh v trớ ca E sao cho on KD cú di nh nht. Hng dn: Khai thỏc Tam giỏc ABC u, tam giỏc AEF vuụng, K l trung im AE, gúc DCB vuụng. => 5 im B, C, D, K, F cựng thuc mt ng trũn => KD l mt dõy cung . s cung DK khụng i. Do ú: KD nh nht bỏn kớnh nh nht. Li gii so lc: Tam giỏc AEF vuụng ti F, gúc A = 60 0 , FK l trung tuyn ng vi cnh huyn => Tam giỏc AKF u => gúc FKC = 120 0 . Vy T giỏc BCKF ni tip. T giỏc BCDF cú gúc F = gúc C = 90 0 Vy T giỏc BCDF ni tip hay 5 im B, C, D, K, F cựng thuc mt ng trũn ng kớnh BD. s cung DK = 2 gúc DFK = 60 0 => KD = 2 1 DB CB 2 1 du bng khi E trựng vi C Vy KD min = CB 2 1 khi E C. Bi 5: Cho tam giỏc ABC cõn B cú gúc ABC bng , O l trung im ca cnh AC, K l chõn ng vuụng gúc h t O xung cnh AB, () l ng trũn tõm O bỏn kớnh OK. E l mt im thay i trờn cnh BA sao cho gúc AOE bng (20 0 < < 90 0 ). F l im trờn cnh BC sao cho EF tip xỳc vi (). Tỡm AE + CF nh nht. Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm - Cao Đẳng S Phạm Quảng Ninh 4 F D K C A B E Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học Gi ý: Tỡm giỏ tr nh nht ca tng, ta i chng minh tớch khụng i Nhn xột quan h ca hai tam giỏc AEO v OEF? (S dng tớnh cht tip tuyn, tng cỏc gúc ca t giỏc, tam giỏc) Li gii s lc: Trong tam giỏc OEF: CFE 2 1 AEF 2 1 180OFEOEF180EOF 00 == Trong t giỏc AEFC: AEF + AFE = 360 0 - ( A + C) = 360 0 - (180 0 - ) =180 0 + Vy: EOF = 90 0 - 2 1 Tam giỏc ABC cõn => A = C = 2 1 (180 0 - ) = 90 0 - 2 1 Vy: EOF = A = C => tam giỏc AEO v tam giỏc OEF ng dng, Tam giỏc OEF v tam giỏc COF ng dng Vy tam giỏc AEO v tam giỏc COF ng dng. Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm - Cao Đẳng S Phạm Quảng Ninh 5 F K O C B A E Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học hsCO.AOCF.AE CF CO AO AE === ỏp dng bt ng thc Cosi: hsCO.AO2AF.AE2CFAE ==+ du bng khi AE = CF tam giỏc OEF cõn ti O tam giỏc AEO cõn ti A AOE = +== 4 1 45) 2 1 90( 2 1 90A 2 1 90 0000 Vy khi AOE = + 4 1 45 0 thỡ AE + CF nh nht Bi 6: Cho hai ng trũn(O 1 ; r 1 ) v (O 2 ; r 2 ) ct nhau ti hai im A v B. Bit rng r 1 = 1 cm; r 2 = 2 cm; AB = 1 cm v hai im O 1 , O 2 hai phỏi ca ng thng AB. Xột ng thng (d) i qua A, ct (O 1 ; r 1 ) v (O 2 ; r 2 ) lm lt ti cỏc im M v N sao cho A nm trong on MN. Tip tuyn ca (O 1 ; r 1 ) ti M v tip tuyn ca (O 2 ; r 2 ) ti N ct nhau ti im E. a) Chng minh t giỏc EMBN l t giỏc ni tip. b) Tớnh O 1 O 2 b) Tỡm giỏ tr ln nht ca 2EM + EN Hng dn: a) s dng quan h gia gúc ni tip, gúc to bi tip tuyn v dõy cung vi s o cung, lu ý quan h v s o cung ca hai dng trũn. c) Vn õy l vai trũ khụng i xng ca ME v EN. Cn tỡm mt s tng ng: 2.EM vi 1.EN. Ta li thy hai bỏn kớnh ca ng trũn cng cú s tng ng ú. Ta i tỡm nhng tam giỏc ng dng chuyn i s tng ng y. Li gii s lc: tiếp. nội EMBN giác Tứ Vậy =>=+ =+==>== 0 0 180MENMBN MEN180ENMEMNMBNAMEABM;ANEBNA)a b) O 1 O 2 = 153( 2 1 + ) Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm - Cao Đẳng S Phạm Quảng Ninh 6 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học x E M O2 O1 A B N c) MNB A; 21 OO ng dng => 2 AO AO BM BN 1 2 == ( Vỡ R 1 =1 cm, R 2 = 2 cm) BM2BN ==> EMB v NAB ng dng AN.MBEM AB AN MB EM == ( Vỡ AB = 1 cm) Tng t ta cng ch ra EN = NB.AM Vy 2.EM + EN = 2.MB.AN + NB.AM = 2. MB. AN + 2.MB.AM = 2.MB.(AM + AN) = 2MB.MN Li cú MBN v O 1 AO 2 ng dng theo t s 2 r MB OO MN 121 = Vy: 211 OO2.r2.2MN.MB2 = ( ) 1534)153( 2 1 .8 +=+ du bng khi MB = 2r 1 hay M i xng vi B qua O 1 . Bi 7: Cho tam giỏc u ABC ni tip ng trũn O v D l im nm trờn cung BC khụng cha im A. Xỏc nh v trớ ca D sao cho DA + DB + DC ln nht. Hng dn: Tng t bi 2.Ta chng minh c DA = DB + DC Bi 8: Cho hai ng trũn (O) v (O') ct nhau ti A v B sao cho hai tõm O v O' nm v hai phớa khỏc nhau i vi ng thng AB. ng thng (d) quay quanh B ct cỏc ng trũn (O) v (O') ln lt ti C v D ( C khỏc A, B v D khỏc A, B). Xỏc nh v trớ ca (d) sao cho an thng CD cú di ln nht. Bi ny quỏ d, bn cú th t lm. Bi 9: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ni tip ng trũn (O). M l im nm trờn cung BC khụng cha im A. Gi N, H, K ln lt l hỡnh chiu ca M trờn AB, BC, CA. Tỡm giỏ tr nh nht ca MK AC MN AB MH BC ++ Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm - Cao Đẳng S Phạm Quảng Ninh 7 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học Gi ý: Hóy tỡm cỏch rỳt gn biu thc: MK AC MN AB MH BC ++ bng cỏch chuyn cỏc t s trờn thnh cỏc t s cú cựng mu Li gii s lc: Nhn thy: Nu K nm ngoi AC thỡ N nm trong AB. MK CK MK AK MK AC MN AN MN BN MN AB = += Tam giỏc MCK v tam giỏc MBN ng dng => MK CK MN BN = Tam giỏc MAK v tam giỏc MBH ng dng MH BH MK AK = Tam giỏc MAN v tam giỏc MCH ng dng HM CH MN AN = Vy: MH BC 2 MH BH MH CH MH BC MK AC MN AB MH BC =++=++ Vy MK AC MN AB MH BC ++ nh nht MH ln nht MH = R M l im chớnh gia ca cung BC. C. Mt vi vớ d t gii ( cú th liờn h vi tỏc gi) Bi 10: Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a. M l im di ng trờn ng chộo AC. k ME, MF vuụng gúc vi AD, DC. a) Chng minh din tớch t giỏc BEDF luụn khụng i khi M di ng trờn AC. b) Xỏc nh v trớ ca M din tớch tam giỏc BEF nh nht. Bi 11: Cho ng trũn (O; R) ng kớnh AB, im M di ng trờn ng trũn sao cho MA MB. Trong tam giỏc AMB k ng cao MH. Gi r 1 , r 2 , r 3 theo th t l bỏn kớnh cỏc ng trũn ni tip cỏc tam giỏc AMB, AMH v BMH. Hóy xỏc nh v trớ ca M tng: r 1 +r 2 +r 3 t giỏ tr ln nht. Bi 12: Cho tam giỏc ABC cú gúc A = 30 0 , AB = c, AC = b, M l trung im ca BC. Mt ng thng (d) quay xung quanh trng tõm G ca tam giỏc ABC sao cho (d) ct on AB ti P v (d) ct on AC ti Q. a) t AP = x, hóy tỡm tp hp cỏc giỏ tr ca x. Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm - Cao Đẳng S Phạm Quảng Ninh 8 K N A H B C M Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học b) Tớnh giỏ tr ca biu thc AQ AC AP AB + . c) Hóy tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca din tớch tam giỏc APQ theo b, c. Bi 13: cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R v M l mt im thuc na ng trũn ( khỏc A v B). Tip tuyn ca (O) ti M ct tip tuyn ti A v B ca ng trũn (O) ln lt ti cỏc im C v D. Tớnh giỏ tr nh nht ca tng din tớch hai tam giỏc ACM v BDM. Bi 14: Cho ng trũn (O) v dõy BC c nh. Gi A l im di ng trờn cung ln BC ca ng trũn (O), (A khỏc B v C). Tia phõn giỏc ca gúc ACB ct ng trũn (O) ti D khỏc C, ly I thuc on CD sao cho DI = DB. ng thng BI ct ng trũn (O) ti im K khỏc B. a) Chng minh tam giỏc KAC cõn. b) Xỏc nh v trớ ca A di on AI l ln nht. Bi 15: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn (O; R) . im M lu ng trờn cung nh BC. T M k cỏc ng thng MH, MK ln lt vuụng gúc vi AB, AC ( H thuc ng thng AB, K thuc ng thng AC). Tỡm v trớ ca M di on HK ln nht. Bi 16: Cho hai ng trũn (O 1 , R 1 ) v (O 2 ; R 2 ) tip xỳc ngoi vi nhau ti A. ng thng (d) i qua A ct ng trũn (O 1 , R 1 ) ti M v ct ng trũn (O 2 ; R 2 ) ti N ( cỏc im M, N khỏc A). Xỏc nh v trớ ca ng thng (d) di on thng MN ln nht. Bi 17: ng trũn tõm O cú dõy AB c nh v I l im chớnh gia ca cung ln AB. Ly im M bt kỡ trờn cung ln AB, dng tia Ax vuụng gúc vi ng thng MI ti H v ct BM ti C. a) Chng minh cỏc tam giỏc AIB v AMC l cỏc tam giỏc cõn. b) Khi M di ng trờn cung ln AB chng minh rng im C di ng trờn mt cung trũn c nh. c) Xỏc nh v trớ ca im M chu vi tam giỏc AMC t giỏ tr ln nht. Bi 18: Cho tam giỏc nhn ABC. im D di ng trờn cnh BC. Gi O 1 , O 2 ln lt l tõm ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc ABD, ACD tng ng. a) Chng minh rng ng trũn ngoi tip tam giỏc AO 1 O 2 luụn i qua mt im c nh khỏc A. b) Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC v I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AO 1 O 2 . Hóy xỏc nh v trớ ca D trờn BC sao cho IO nh nht. Bi 19: Chi na ng trũn ng kớnh AB = 2R. Gi C l im tựy ý trờn na ng trũn, D l hỡnh chiu vuụng gúc ca C trờn AB. Tia phõn giỏc ca ACD ct ng trũn ng kớnh AC ti im th hai l E, ct tia phõn giỏc gúc ABC ti H. a) Chng minh AE // BH. b) Tia phõn giỏc gúc CAB ct ng trũn ng kớnh AC ti im th hai l F, ct CE ti I. Tớnh din tớch tam giỏc FID trong trng hp tam giỏc ú l u. c) Trờn on BH ly K sao cho HK = HD, gi J l giao ca AF v BH. Xỏc nh v trớ ca C tng khong cỏch t cỏc im I, J, K n ng thng AB t giỏ tr ln nht. Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm - Cao Đẳng S Phạm Quảng Ninh 9 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học Bi 20: Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R v dõy BC <2R, cỏc tip tuyn ca ng trũn ti B v C ct nhau ti A. M l im bt kỡ trờn cung nh BC v khụng trựng vi B, C. Gi H, I, K ln lt l hỡnh chiu ca M trờn BC, CA, AB. BM ct HK ti P, CM ct HI ti Q. a) Chng minh PQ // BC. b) Xỏc nh v trớ ca M tớch MH.MI.MK t giỏ tr ln nht. Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm - Cao Đẳng S Phạm Quảng Ninh 10 . đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học Cú gúc AMB vuụng => gúc PMA + gúc BMQ = 90 0 T giỏc BQMC ni tip => gúc BMQ = gúc BCQ. Cú gúc CAQ vuụng => gúc BCQ + gúc BQC = 90 0 . Vy: gúc. nht. Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm - Cao Đẳng S Phạm Quảng Ninh 9 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học Bi 20: Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R v dõy BC <2R, cỏc tip tuyn. Thực Hành S Phạm - Cao Đẳng S Phạm Quảng Ninh 2 b c a R D O C A B Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Cực trị hình học B : Trong tam giỏc ABC: R2 Csin c Bsin b Asin a === CM: V ng kớnh BD => gúc