Bảng tổng hợp kiến thức cần trhiết phần hình học

Đường thẳng  Điều kiện để hai vectơ cùng phương.. lSM là đường sinh.. lMM' là đường sinh.. Hệ tọa độ trong khơng gian.. Tọa độ của vectơ và của điểm.. Tích vơ hương và ứng dụng Bằng

 Hình Học Phẳng   Diện tích tam giác ABC

S a h  b h  c h

 Quy tắc 3 điểm

, ,

A B C là 3 điểm tùy ý ABBCAC 1 1 1

S a h  b h  c h

 Quy tắc hình bình hành

4

a b c

R

Trong đó : , R r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp

p là nửa chu vi tam giác

2



6 Đường thẳng

 Điều kiện để hai vectơ cùng phương

a

cùng phương với b b  0

 

 Nếu k  thì a0



và b



cùng hướng

 Nếu k  thì 0 a



và b

ngược hướng

Ứng dụng: Ba điểm , A B C thẳng hàng , ABk AC.  Phương trình tổng quát :axby c 0 2 2 

0

a b 

 I là trung điểm đoạn AB MAMB2.MI,M

 G là trọng tâm ABC GAGBGC0

 Tính chất : Với M tùy ý t/c : MAMBMC3.MG

Đường thẳng đi qua M x y 0; 0vá nhận u a b ; 



làm vectơ

0

t R

  



3 Tích vô hướng của hai vectơ ,a b

 

Là một số xác định bởi : a b   a b  .cos a b ; 1:a x1 b y1   ;c1 0 2:a x2 b y2 c20a b c2 2 20

4 Biểu thức tọa độ Với a a a 1; 2



và b b b 1; 2



ta có :

 a b  a b1 1a b2 2 ;  2 2

a  a a

cos ;

a b a b

a b

a b

a b



 

 

 

  cắt 1 2 1 1

  / /1  2 1 1 1

  1  2

 a b a b   0 a b1.1a b2 20

 Khoảng cách giữa hai điểm A B : ,

AB AB x x  y y

 Khoảng cách từ điểm M x M;y M đến đường thẳng

:ax by c 0

; a x M b y M c

d M

 



7 Đường tròn

 Tọa độ tring điểm I của AB : ;



   Phương trình đường tròn tâm I a b bán kính R :  ; 

 Tọa độ trọng tâm G của ABC:   2  2 2

xa  yb R

 Định lý



5 Hệ thức lượng trong tam giác

 Định lý cosin

P/trình : x2y22ax2by   c 0

với 2 2

a b  là phương trình c

 2 2 2

2 cos

R a b  c

2 cos

2 cos

c a b  ab C

 Định lý sin

 Phương trình chính tắc :



a b  a b 0

R

A B C  (R là bán kính đg tròn ng/t )

c a  b

 Công thức độ dài đường trung tuyến  Hai tiêu điểm: F1c;0 ; F c2 ;0



2



a

a

  ; O là tâm đối xứng

 Trục lớn A A1 22a ; Trục bé : B B1 22b



2



b

m



2



c

m

 Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elíp :

MF1 a e x M a c.x M

a

    ; MF2 a e x M

 Hình Học Khơng Gian  5 Thể tích khối đa diện

 Quy tắc hình hộp

ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp

ABADAA'AC'

 Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ

Cho 3 vectơ , , a b c

  

với , b c

 

khơng cùng phương Khi đĩ :

h SH 

là chiều cao

B là diện

tích đáy

h C H  '

là chiều cao

B là diện

tích đáy

 , , a b c

  

đồng phẳng  m n, R a:m b.n c.

2 Quan hệ vuơng gĩc

V B h S SH V B h S  ABCD 'C H

AC



     

  

 / / ( )

( )

a b

 



 

S

O

M

l

lSM là đường sinh

ROM là bán kính đáy hSO lá đường cao

O'

O M

l

M'

h

lMM' là đường sinh ROM là bán kính đáy hOO'lá đường cao

 ( )

( )

a P

a b

b P



   

 

 Chứng minh đường vuơng gĩc với mặt S xq   Rl ; 1 2

3

V  R h S xq  2 R l ; V R h2

 Phương Pháp Tọa Độ 

1 Hệ tọa độ trong khơng gian



 









,

,

,

b c cắt nhau

a  ( )P

c

a b P













( ) ( )

( ),

Q

P b a

 Hệ gồm ba trục Ox Oy Oz đơi một , ,

vuơng gĩc với các vectơ đơn vị tương ứng là   , ,

i j k được gọi là hệ trục tọa

độ vuơng gĩc trong khơng gian Oxyz

 Điểm O được gọi là gốc tọa độ

 Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc

2 Tọa độ của vectơ và của điểm

 ; ;     

 ( )

( ) ( ) ( )

a

a









a

  ; ;     

x : hồnh độ

y : tung độ

z : cao độ

3 Khoảng cách

M

 

Dùng MH   : d(M,) = MH

 M

H

 G là trọng tâm tam giác ABC

G

 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng mp     G là trọng tâm tứ diện ABCD

G

 

 

 ; 







Dùng: MH  ( ), H thuéc ( ) ta cã:



M

H A x A;y z A; A;B x B;y z B; BAB x Bx A;y By A;z Bz A

 Gĩc gữa đường thẳng a và mp(α) Cho hai vectơ : u x y z 1; 1; 1

và v x y z 2; 2; 2

Khi đĩ:

Là gĩc giữa a

và hình chiếu

a’ của nĩ trên

mp(α)

 

 

,



   



 Góc ( ;( ))a  =AMH

 Gĩc giữa hai mặt phẳng (α) và (β)

 Hai vt uvµ v

cùng phương

:

  k  uk v 

2 2 2

0

x y x



1 2

1 2







 



 

4 Tích vơ hương và ứng dụng

Bằng gĩc giữa hai đường thẳng a và b

lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và

cùng vuơng gĩc với giao tuyến  của

chúng tai một điểm

        ,  1 2 1 2 1 2

os

 2 2 2 2

x x y y z z

 Mặt phẳng đi qua điểm M x y x 0; 0; 0 và nhận  ; ; 

n A B C làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là : A x x0B y y0C z z00

 uv  u v  0x x1 2y y1 2z z1 2 0

5 Tích có hướng của hai vectơ

 Tích có hướng của hai vectơ  

vµ

u v là một véctơ ,

 Nếu hai vectơ u và v

không cùng phương và giá của chúng song song hoặc nằm trên   thì vectơ  , 

  

n u v là một vectơ pháp tuyến của  

 Phương pháp viết phương trình mặt phẳng  

kí hiệu là  , 

 

u v , được xác định bởi :

, y z ;z x ;x y

u v

 

 u v ,    0 u

và v

cùng phương

 Tìm một điểm M0x y z0; 0; 0 thuộc mp  

 Tìm một VTPT n A B C ; ; 

của mặt phẳng  

 Khi đó, phương trình mặt phẳng là:

A x x0B y y0C z z0 0

9 Đường thẳng

 u v,  u

; u v,  v

 u v ,   u v  .sinu v ; 

 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

 ,u v

 

, w

đồng phẳng  u v w,  0

  

6 Ứng dụng tích có hướng tính diện tích và thể tích

Véctơ 0

u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của 

u song song hoặc trùng với d

 Diện tích tam giác ABC  Phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

1

, 2

  

ABC

phương  ; ; 

u a b c có :

 Thể tích tứ diện: 1 ,

   

ABCD

 Diện tích hình bình hành ABCD

 Phương trình tham số là :

0

0

0







  



,

  

ABCD

với điều kiện abc0 (Nếu abc 0thỉ d không có PTCT)

 Thể tích khối hộp: ' ' ' '  , 

  

ABCD A B C D

10 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

7 Mặt cầu

 Mặt cầu tâm I a b c , bán kính R  ; ; 

có phương trình là :

I

M R

Cho mặt phẳng   :AxByCzD0 có VTPT





n A B C , đương thẳng

0

0

0 :







  



đi qua

0 0; 0; 0

M x y z và có véctơ chỉ phương là  ; ; 

a a b c

 Phương trình : 2 2 2

với 2 2 2

0

a b c d  là phương trình của mặt cầu có

tâm I  a b; ; c và bán kính  2 2 2

R a b c d

 Điều kiện để mặt phẳng  P tiếp xúc mặt cầu tâm I

bán kính R là : d I ; P  R

8 Mặt Phẳng

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 Xét phương trình ( ẩn là t):

A x 0a t.B y 0b t.C z 0c t.D0 (1)

 d  Phương trình (1) có vô số nghiệm

 d/ /   Phương trình (1) vô nghiệm

 d cắt    Phương trình (1) có đúng một nghiệm

    ,

Véctơ  0

n được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt

phẳng   nếu giá của 

 Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng :

AxByCzD0 ( với A2B2C20 )

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :

x y z 1 abc 0

 Tính chất

 Mặt phẳng  P :AxBy Cz D0 có một vectơ

pháp tuyến là  ; ; 



n A B C

 Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điẻm A x A;y A;z A và B x B;y B;z B Khi đó:

AB AB  x Bx A2y By A2z Bz A2



 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Cho   :AxByCzD0 và điểm M x y z 0; 0; 0

d M

 Khoảng cách từ M đến đường thẳng 

Nếu đường thẳng  đi qua M và cĩ VTCP là 0 

u

M M u

d M

u

 

 



 Khoảng cách giữa 2 đường thẳngchéo nhau  và 1  2

      

 A  B  C  D

'



 





 

     / / 

 A  B  C  D

'



 





 

   cắt    A B C: :  A B C ' : ' : '   

        AA'BB'CC'0  

Nếu mp   chứa  và song song với 1  2

Thì d  1; 2 d M ;  ,với M   2

 Gĩc  giữa đường d thẳng và mặt phẳng  

Cho d cĩ VTCP u a b c ; ; 



và   cĩ VTPT n A B C ; ; 



Gọi  là gĩc giữa d &   ,  0

090 Ta cĩ:

u n

u n

 

 

 

 Gĩc  giữa hai mặt phẳng  và  

Giả sừ   :AxByCzD  ; 0

  : 'A xB y' C z' D'0

Khi đĩ ta cĩ :

 

 Gĩc  giữa hai đường thẳng d và 1 d 2

Cho hai đường thẳng d d lần lượt cĩ vectơ chỉ phương 1, 2

1 1, ,1 1 & 2 2, 2, 2

u a b c u a b c Khi đĩ :

a a b b c c

u u

 

13 Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và 1 d 2

Cho 2 đg/thẳng

'

'

vµ

1

d cĩ vectơ chỉ phương 1

u và d cĩ vectơ chỉ phương 2 2

u

Xét hệ (I):

' ' '









( ẩn t và t’ )

 d và 1 d cắt nhau 2  Hệ (I) cĩ đúng một nghiệm

 d1d2 Hệ (I) cĩ vơ số nghiệm

 d1/ /d2    



1 2

Hệ I vô nghiệm

u và u cùng phương

 d và 1 d chéo nhau 2    



1 2

Hệ I vô nghiệm

u và u không cùng phương

14 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho   :AxByCzD0 cĩ VTPT   ; ; 

  : 'A xB y' C z' D'0 cĩ VTPT   '; '; '