Bảng tổng hợp kiến thức cần trhiết phần hình học

GV : Phạm Thanh Bình 1 Web site : http://thpttanhiep.net/thanhbinh  Hình Học Phẳng   Diện tích tam giác ABC  . 1.Vectơ 1 1 1 . . . 2 2 2 a b c S a h b h c h     Quy tắc 3 điểm. , , A B C là 3 điểm tùy ý AB BC AC       1 1 1 . . . 2 2 2 a b c S a h b h c h     Quy tắc hình bình hành. ABCD là hình bìnhhành AB AD AC           . . . 4 a b c S p p a p b p c p r R       Trong đó : , R r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. p là nửa chu vi tam giác 2 a b c p    6. Đường thẳng  Điều kiện để hai vectơ cùng phương. a  cùng phương với   0 b b      . a k b k R       Nếu 0 k  thì a  và b  cùng hướng .  Nếu 0 k  thì a  và b  ngược hướng . Ứng dụng: Ba điểm , , A B C thẳng hàng . AB k AC      Phương trình tổng quát : 0 ax by c      2 2 0 a b   2. Trung Điểm Và Trọng Tâm.  Phương trình tham số .  I là trung điểm đoạn AB 2. , MA MB MI M         G là trọng tâm ABC  0 GA GB GC          Tính chất : Với M tùy ý t/c : 3. MA MB MC MG        Đường thẳng đi qua   0 0 ; M x y vá nhận   ; u a b  làm vectơ chỉ phương có p/t tham số là :   0 0 . . x x a t t R y y b t             3. Tích vô hướng của hai vectơ , a b   :  Vị trí tương đối của hai đường thẳng : Là một số xác định bởi :   . . .cos ; a b a b a b        1 1 1 1 : 0 a x b y c     ;   2 2 2 2 2 2 2 : 0 0 a x b y c a b c      4. Biểu thức tọa độ . Với   1 2 ; a a a  và   1 2 ; b b b  ta có :  1 1 2 2 . . . a b a b a b     ;  2 2 1 2 a a a       1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . cos ; a b a b a b a b a a b b a b             1  cắt 2  1 1 2 2 a b a b    1  / / 2  1 1 1 2 2 2 a b c a b c     1   2  1 1 1 2 2 2 a b c a b c     1 1 2 2 . 0 . . 0 a b a b a b a b            Khoảng cách giữa hai điểm , A B :     2 2 B A B A AB AB x x y y        Khoảng cách từ điểm   ; M M M x y đến đường thẳng : 0 ax by c     là :   2 2 . . ; M M a x b y c d M a b      7. Đường tròn.  Tọa độ tring điểm I của AB : ; 2 2 A B A B x x y y I              Phương trình đường tròn tâm   ; I a b bán kính R :  Tọa độ trọng tâm G của ABC  :      2 2 2 x a y b R      Định lý . ; 3 3 A B C A B C x x x y y y G               5. Hệ thức lượng trong tam giác .  Định lý cosin . P/trình : 2 2 2 2 0 x y ax by c      với 2 2 a b c   là phương trình  2 2 2 2 .cos a b c bc A    đường tròn tâm   ; I a b bán kính 2 2 R a b c     2 2 2 2 .cos b a c ac B    8. Elíp  2 2 2 2 .cos c a b ab C     Định lý sin.  Phương trình chính tắc :  2 2 2 2 1 x y a b     0 a b    2 sin sin sin a b c R A B C    ( R là bán kính đg tròn ng/t )  2 2 2 c a b    Công thức độ dài đường trung tuyến.  Hai tiêu điểm:     1 2 ;0 ; ;0 F c F c   2 2 2 2 2 4    a b c a m  Tâm sai : 1 c e a   ; O là tâm đối xứng  Trục lớn 1 2 2 A A a  ; Trục bé : 1 2 2 B B b   2 2 2 2 2 4    b a c b m  2 2 2 2 2 4    c a b c m  Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elíp : 1 . . M M c MF a e x a x a     ; 2 . M MF a e x   GV : Phm Thanh Bỡnh 2 Web site : http://thpttanhiep.net/thanhbinh Hỡnh Hc Khụng Gian 5. Th tớch khi a din 1.Vect Khi chúp Khi lng tr Quy tc hỡnh hp ABCD.ABCD l hỡnh hp ' ' AB AD AA AC iu kin ng phng ca 3 vect Cho 3 vect , , a b c vi , b c khụng cựng phng. Khi ú : . h SH l chiu cao. . B l din tớch ỏy . ' h C H l chiu cao. . B l din tớch ỏy , , a b c ng phng , : . . m n R a m b n c 2. Quan h vuụng gúc. 1 1 . . 3 3 ABCD V B h S SH . . ' ABCD V B h S C H Chng minh hai ng thng vuụng gúc Khi nún Khi tr AB BC AC / / ( ) ( ) a P a b b P S O M l . l SM l ng sinh. . R OM l bỏn kớnh ỏy . h SO lỏ ng cao. O' O M l M' h . ' l MM l ng sinh. . R OM l bỏn kớnh ỏy . ' h OO lỏ ng cao. ( ) ( ) a P a b b P Chng minh ng vuụng gúc vi mt xq S Rl ; 2 1 . 3 V R h 2 . xq S R l ; 2 . V R h Phng Phỏp Ta 1. H ta trong khụng gian. , , , a b a c b c caột nhau b c P ( ) a P c a b P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), P Q P Q b a P a Q a b Q P b a H gm ba trc , , Ox Oy Oz ụi mt vuụng gúc vi cỏc vect n v tng ng l , , i j k c gi l h trc ta vuụng gúc trong khụng gian Oxyz im O c gi l gc ta . Chng minh hai mt phng vuụng gúc 2. Ta ca vect v ca im. ; ; u x y z u xi y j zk ( ) ( ) ( ) ( ) a a a ; ; M x y z OM xi y j zk x : honh y : tung z : cao 3. Khong cỏch Khong cỏch t im M n ng thng M l trung im AB ; ; 2 2 2 A B A B A B x x y y z z M ; MH taùi H d M MH Dựng MH : d ( M , ) = MH M H G l trng tõm tam giỏc ABC ; ; 3 3 3 A B C A B C A B C x x x y y y z z z G Khong cỏch t im M n ng thng mp G l trng tõm t din ABCD ; ; 4 4 4 A B C D A B C D A B C D x x x x y y y y z z z z G ; MH taùi H d M MH Dựng : MH ( ) , H thuộc ( ) ta có : M H ; ; ; ; ; A A A B B B A x y z B x y z ; ; B A B A B A AB x x y y z z 4. Gúc 3. Hai vect cựng phng v hai vect bng nhau Gúc ga ng thng a v mp() Cho hai vect : 1 1 1 ; ; u x y z v 2 2 2 ; ; v x y z . Khi ú: L gúc gia a v hỡnh chiu a ca nú trờn mp() . , A a a M AH taùi H Goực ( ;( )) a = AMH Gúc gia hai mt phng () v () Hai vt và u v cựng phng : k u kv 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 x y z x y x x y z 1 2 1 2 1 2 x x u v y y z z 4. Tớch vụ hng v ng dng Bng gúc gia hai ng thng a v b ln lt nm trong hai mt phng v cựng vuụng gúc vi giao tuyn ca chỳng tai mt im. 1 2 1 2 1 2 . . . , os u v u v c u v x x y y z z GV : Phạm Thanh Bình 3 Web site : http://thpttanhiep.net/thanhbinh  2 2 2 2 1 1 1       u u x y z      1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos , , 0 . x x y y z z u v u v x y z x y z               Mặt phẳng đi qua điểm   0 0 0 ; ; M x y x và nhận   ; ;  n A B C làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là :       0 0 0 0       A x x B y y C z z .  1 2 1 2 1 2 . 0 0 u v u v x x y y z z            5. Tích có hướng của hai vectơ  Tích có hướng của hai vectơ   vµ u v là một véctơ ,  Nếu hai vectơ u  và v  không cùng phương và giá của chúng song song hoặc nằm trên    thì vectơ ,         n u v là một vectơ pháp tuyến của    .  Phương pháp viết phương trình mặt phẳng    kí hiệu là ,       u v , được xác định bởi : 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , ; ; y z z x x y u v y z z x x y                 , 0 u v          u  và v  cùng phương.  Tìm một điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z thuộc mp    .  Tìm một VTPT   ; ; n A B C  của mặt phẳng    .  Khi đó, phương trình mặt phẳng là:       0 0 0 0 A x x B y y C z z       9. Đường thẳng  , u v u         ; , u v v            , . .sin ; u v u v u v             Vectơ chỉ phương của đường thẳng.  , u v   , w  đồng phẳng , . 0 u v w          . 6. Ứng dụng tích có hướng tính diện tích và thể tích. Véctơ 0    u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của  u song song hoặc trùng với d .  Diện tích tam giác ABC  Phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng. 1 , 2        ABC S AB AC Đường thẳng d qua   0 0 0 ; ; M x y z và có vectơ chỉ phương   ; ;  u a b c có :  Thể tích tứ diện: 1 , . 6         ABCD V AB AC AD .  Diện tích hình bình hành ABCD  Phương trình tham số là : 0 0 0            x x at y y bt z z ct . ,        ABCD S AB AD  Phương trình chính tắc là : 0 0 0 x x y y z z a b c      với điều kiện 0  abc . (Nếu 0 abc  thỉ d không có PTCT)  Thể tích khối hộp: . ' ' ' ' , .         ABCD A B C D V AB AC AD . 10. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng 7. Mặt cầu.  Mặt cầu tâm   ; ; I a b c , bán kính R có phương trình là :       2 2 2 2       x a y b z c R P I M R Cho mặt phẳng   : 0      Ax By Cz D có VTPT   ; ;   n A B C , đương thẳng 0 0 0 :            x x at d y y bt z z ct đi qua   0 0 0 0 ; ; M x y z và có véctơ chỉ phương là   ; ;   a a b c .  Phương trình : 2 2 2 2 2 2 0        x y z ax by cz d với 2 2 2 0 a b c d     là phương trình của mặt cầu có tâm   ; ;    I a b c và bán kính 2 2 2 R a b c d     .  Điều kiện để mặt phẳng   P tiếp xúc mặt cầu tâm I bán kính R là :     ; d I P R  8. Mặt Phẳng  Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  Xét phương trình ( ẩn là t):       0 0 0 . . . 0        A x a t B y b t C z c t D (1).       d Phương trình (1) có vô số nghiệm.    / /   d Phương trình (1) vô nghiệm.  d cắt     Phương trình (1) có đúng một nghiệm    ,      d n a cùng phương . Véctơ 0    n được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    nếu giá của  n vuông góc với mp    11. Khoảng Cách  Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng : 0     Ax By Cz D ( với 2 2 2 0    A B C )  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :   1 0 x y z abc a b c      Tính chất.  Mặt phẳng   : 0 P Ax By Cz D     có một vectơ pháp tuyến là   ; ;   n A B C .  Khoảng cách giữa hai điểm. Cho hai điẻm   ; ; A A A A x y z và   ; ; B B B B x y z . Khi đó:       2 2 2 B A B A B A AB AB x x y y z z         .  Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Cho   : 0      Ax By Cz D và điểm   0 0 0 ; ; M x y z . Khi đó:     0 0 0 2 2 2 ,        Ax By Cz D d M A B C . GV : Phm Thanh Bỡnh 4 Web site : http://thpttanhiep.net/thanhbinh Khong cỏch t M n ng thng Nu ng thng i qua 0 M v cú VTCP l u . Thỡ 0 ; ; M M u d M u Khong cỏch gia 2 ng thngchộo nhau 1 v 2 ' ' ' ' A B C D A B C D . . ' n k n D k D / / ' ' ' ' A B C D A B C D . . ' n k n D k D ct : : ': ': ' A B C A B C . n k n ' ' ' 0 AA BB CC n n Nu mp cha 1 v song song vi 2 Thỡ 1 2 ; ;d d M ,vi 2 M 12. Gúc Phn kin thc t b sung Gúc gia ng d thng v mt phng Cho d cú VTCP ; ; u a b c v cú VTPT ; ; n A B C . Gi l gúc gia & d , 0 0 90 . Ta cú: 2 2 2 2 2 2 . sin cos ; u n Aa Bb Cc u n A B C a b c u n Gúc gia hai mt phng v . Gi s : 0 Ax By Cz D ; : ' ' ' ' 0 A x B y C z D Khi ú ta cú : 2 2 2 2 2 2 ' ' ' cos cos ; . ' ' ' AA BB CC n n A B C A B C . Gúc gia hai ng thng 1 d v 2 d . Cho hai ng thng 1 2 , d d ln lt cú vect ch phng 1 1 1 1 2 2 2 2 , , & , , u a b c u a b c . Khi ú : 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos cos ; . a a b b c c u u a b c a b c 13. V trớ tng i ca hai ng thng 1 d v 2 d . Cho 2 g/thng 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ' : : ' ' và x x a t x x a t d y y b t d y y b t z z c t z z c t 1 d cú vect ch phng 1 u v 2 d cú vect ch phng 2 u . Xột h (I): 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ' ' ' x a t x a t y b t y b t z c t z c t ( n t v t ). 1 d v 2 d ct nhau H (I) cú ỳng mt nghim 1 2 d d H (I) cú vụ s nghim. 1 2 / / d d 1 2 Heọ I voõ nghieọm u vaứ u cuứng phửụng 1 d v 2 d chộo nhau 1 2 Heọ I voõ nghieọm u vaứ u khoõng cuứng phửụng 14. V trớ tng i ca hai mt phng. Cho : 0 Ax By Cz D cú VTPT ; ; n A B C : ' ' ' ' 0 A x B y C z D cú VTPT '; '; ' n A B C . GV : Phạm Thanh Bình 1 Web site : http://thpttanhiep.net/thanhbinh  Hình Học Phẳng   Diện tích tam giác ABC  . 1.Vectơ 1 1 1 . . . 2 2 2 a b c S a h b h c h . AC       1 1 1 . . . 2 2 2 a b c S a h b h c h     Quy tắc hình bình hành. ABCD là hình bìnhhành AB AD AC           . . . 4 a b c S p p a p b. ngược hướng . Ứng dụng: Ba điểm , , A B C thẳng hàng . AB k AC      Phương trình tổng quát : 0 ax by c      2 2 0 a b   2. Trung Điểm Và Trọng Tâm.  Phương trình tham